समीकरण सिद्धांत : ही बीजगणितातील एक महत्त्वाची शाखा आहे. यामध्ये बीजगणितातील समीकरणांची बीजे शोधून काढण्याच्या निरनिराळ्या पद्धतींचा अभ्यास केला जातो. तसेच त्या बीजांसंबंधी इतर माहिती मिळविण्याचा प्रयत्न केला जातो. या अभ्यासामध्ये महत्त्वाचे समीकरण म्हणजे (क्ष) = ० क्ष + १ क्ष न-१ ++अ = ० हे होय. या समीकरणामध्ये क्ष ही अज्ञात संख्या, पूर्णांक व , , …, हे ज्ञात स्थिरांक होत. , , .. वगैरे स्थिरांकास समीकरणाचे सहगुणक म्हणून संबोधितात. वरील समीकरणातील डाव्या बाजूस क्ष ह्या चलाची ‘’ कोटीय बहुपदी म्हणतात. क्ष ऐवजी एखादा स्थिरांक वापरून बहुपदीचे मूल्य शून्य होत असेल तर त्या स्थिरांकास (क्ष) =० या समीकरणाचे बीज म्हणतात. उदाहरणार्थ, २ ही संख्या क्ष-२ क्ष +क्ष – = ० या समीकरणाचे बीज होय. कारण क्ष ऐवजी २ ही संख्या डाव्या बाजूकडील पदावलीमध्ये घातल्यास पदावलीचे मूल्य शून्य होते. याशिवाय ह्या शाखेमध्ये दोन किंवा अधिक चल राशी असलेल्या समीकरण समूहाचाही विचार केला जातो.

या शाखेमध्ये अभ्यासिलेल्या प्रमुख विषयांची वर्गवारी पुढे दिल्याप्रमाणे मांडता येईल : (१) सहगुणकांच्या संख्या संचावर अवलंबून नसलेले बहुपदीचे गुणधर्म, (२) बहुपदीचे पृथक्करण, (३) परिमेय, सत् व सदसत् संख्या सहगुणक असलेली समीकरणे, (४) सत् बीजांची मर्यादा ठरविणे, (५) सत् बीजांची आसन्न मूल्ये ठरविणे, (६) व्दिकोटीय, त्रिकोटीय व चतुष्कोटीय समीकरणांची बीजे ठरविणे. प्रस्तुत नोंदीमध्ये वरील (३) मध्ये निर्देश केल्याप्रमाणे परिमेय, सत् व सदसत् संख्या सहगुणक असलेल्या बहुपदींचा व समीकरणांचा विचार करण्यात आलेला आहे. समजा, (क्ष) = ० क्ष + १ क्ष न-१++ आणि (क्ष) = क्ष + १ क्षम-१+…+ब या दोन बहुपदी आहेत व त्यामध्ये , , …, ०, , …, वगैरे ज्ञात स्थिरांक आहेत आणि &gt . ⇨ यूक्लिड यांच्या भाजन गणनविधी विशेषाचा उपयोग करून (क्ष) =क(क्ष).(क्ष) + र(क्ष) असे नित्य समीकरण मांडता येईल. या मांडणीमधील (क्ष) आणि (क्ष) या राशी निश्चित व अनन्य असतात (क्ष) ची कोटी (क्ष) च्या कोटीपेक्षा कमी असते. जर (क्ष) =० असेल, तर (क्ष) ने (क्ष)ला भाग जातो. वरील गणनविधी विशेषामुळे काही निष्कर्ष अविलंब मांडता येतात उदाहरणार्थ, शेष सिद्धांत. हा सिद्धांत असा : जर (क्ष) ही (क्ष -अ) अशी एक कोटीय पदी असेल तर (क्ष) =क(क्ष).(क्ष ) +र या ठिकाणी र स्थिरांक असेल. क्ष=अ मानल्यास () =र यालाच शेष सिद्धांत म्हणतात. जर () =र= ० असेल, तर हे (क्ष) ० या समीकरणाचे बीज होय. यावरून (क्ष ) हा (क्ष) चा अवयव आहे, हे सिद्ध होते. याला अवयव सिद्धांत म्हणतात. अवयव सिद्धांतावरून असे दाखविता येते की, (क्ष) ही ‘’ कोटीय बहुपदी असेल तर (क्ष) = ० या समीकरणाची जास्तीत जास्त न बीजे असू शकतील. (क्ष) या बहुपदीचे अवयव विचारात घेतलेल्या संख्या क्षेत्रावर अवलंबून असतात. उदाहरणार्थ,

 क्ष५-१/३क्ष +क्ष३- २/३ क्ष+क्ष+ ८/३ या बहुपदीचे सहगुणक परिमेय आहेत व परिमेय संख्या क्षेत्र विचारात घेतल्यास या बहुपदीचे

( क्ष+४) ( क्ष२ – २) (क्ष – १/३ ) असे अवयव पडतात. जर सत् क्षेत्र विचारात घेतल्यास त्याच बहुपदीचे 

( क्ष२+ ४) (क्ष– √२) ( क्ष+√२) (क्ष– १/३) 

असे अवयव पडतात व क्षेत्र सदसत् संख्यांचे असेल, तर

( क्ष+ २i) ( क्ष – २i) (क्ष+ √२ ) ( क्ष– √२) (क्ष- १/३) 

असे अवयव पडतात. एखादया बहुपदीचे कमी कोटीच्या बहुपदीमधील अवयवांमध्ये पृथक्करण होत नसेल, तर त्या बहुपदीला असंक्षेप्य बहुपदी म्हणतात. अर्थात ही गोष्ट विचारात घेतलेल्या संख्या क्षेत्रावर अवलंबून असते. उदा., ( क्ष२+ १) ही द्विपदी परिमेय संख्या क्षेत्रावर असंक्षेप्य आहे परंतु सदसत् संख्या क्षेत्रामध्ये तिचे (क्ष+ i) आणि ( क्ष– i) असे अवयव पडतात. म्हणून तिला सदसत् संख्या क्षेत्रामध्ये असंक्षेप्य म्हणता येणार नाही. प्रत्येक बहुपदी तिच्या असंक्षेप्य अवयवामध्ये एकाच रीतीने मांडता येते परंतु हे कसे साधावयाचे याबद्दल निश्र्चित किया उपलब्ध नाही. बहुपदीचे सहगुणक परिमेय असतील, तर त्या बहुपदीचे असंक्षेप्य अवयव शोधून काढण्याची पद्धत ⇨ लेओपोल्ट कोनेकर या गणितज्ञांनी दिली आहे.

बीजगणितातील पायाभूत सिद्धांत म्हणजे सदसत् संख्या सहगुणक असलेल्या समीकरणाचे बीज सदसत् संख्या असतेच. या सिद्धांताची पहिली समाधानकारक सिद्घता ⇨ कार्ल फीडि्नख गौस या गणितज्ञांनी १७९९ मध्ये दिली. ⇨ ऑग्युस्तीन ल्वी कोशी या गणितज्ञांनी पुढे १८२१ मध्ये एक नवीन सिद्धता मांडून दाखविली. हा सिद्धांत बीजगणितातील पायाभूत सिद्धांत असला तरी त्याची सिद्घता वैश्लेषिक फलन पद्धतीने दिली जाते. ती अशी : () हे फलन च्या सर्व मूल्यांना वैश्लेषिक आहे. १/ () चे मूल्य अनंत होईल तेव्हाच () चे मूल्य शून्य होईल. १/ () हे एक वैश्र्लेषिक फलन आहे व ⇨ झोझेफ ल्यूव्हील यांच्या सिद्धांताप्रमाणे त्याचे मूल्य स्थिर असले पाहिजे अथवा झ च्या एक किंवा अधिक मूल्यांना ते अनंत झाले पाहिजे. म्हणजेच () चे मूल्य कमीत कमी एकदा तरी शून्य होईल. ल्यूव्हील यांच्या सिद्धांताप्रमाणे झ चे मूल्य परिमित किंवा अनंत असू शकेल परंतु झ →∞ तेव्हा () →∞, म्हणून ईप्सित असलेले झ चे मूल्य परिमितच असले पाहिजे. या सिद्धांताची सिद्धता ⇨ संस्थिति-विज्ञाना च्या पद्धतीनेही देता येते. वरील सिद्धांतावरून असे दाखविता येते की, सदसत् संख्या सहगुणक असलेल्या न कोटीय बहुपदीचे न एक-कोटीय अवयव पाडता येतील. (क्ष) = ० यातील सहगुणक सत् असतील आणि (अ+ i ) हे या समीकरणाचे एक बीज असेल, तर ( – i ) हेही एक बीज असते.


 सममित फलन : समजा, क्ष, क्ष, … , क्ष ही (क्ष)=० या समीकरणाची बीजे आहेत.

(क्ष)=अक्षन +अक्ष ++अ = ‡० … (१)

(क्ष)= अ० (क्ष क्ष१) (क्ष क्ष) … (क्ष क्ष) … (२)

(क्ष) ची समी. (१) व (२) मधील रूपे बरोबर मांडल्याने एक नित्य समीकरण मिळते आणि क्ष च्या कोणत्याही मूल्याला सत्य असते. म्हणून समी. (२) मधील कंसातील पदावलींचा गुणाकार करून दोन्ही बाजूंकडील क्ष च्या सारख्या घातांच्या सहगुणकांची समीकरणे मांडता येतील ती अशी :

=अ

क्ष = –

र = १

क्ष क्ष = 

र = १

 = १

……………………

……………………

(क्षक्ष  क्ष)= (- १)न 

वरील समीकरणातील Σ क्षर  Σ क्षर क्षप वगैरे राशींना बीजांची सममित फलने म्हणतात. केवळ सममित फलनांच्या साहाय्याने बीजांची मूल्ये काढणे विशेष सोपे होते असे नाही. पण बीजांसंबंधी आणखी माहिती उपलब्ध असल्यास बीजे मिळविणे सुलभ होते. एक कोटीय, व्दि कोटीय, त्रिकोटीय व चतुष्कोटीय समीकरणांची बीजे सहगुणकांच्या बैजिक राशीमध्ये मांडता येतात.

(१) अ क्ष +  = ० या एककोटीय समीकरणाचे बीज (- / ) होय

(२) अ क्ष+ ब क्ष + क= ० या व्दिकोटीय समीकरणाचे बीजे

  

(

-ब ± √  – ४ अ क

)

 

अशी  मांडता येतात

(३) क्ष + अ क्ष + अ क्ष + अ  = ० या त्रिकोटीय समीकरणात क्ष बद्दल (य -१ / ३ अ ) घातल्यास मधील एक त्रिकोटीय समीकरण मिळेल आणि त्यामध्ये   चा सहगुणक शून्य असेल, म्हणजेच ते समीकरण   + अ  य + ब = ० असे होईल. या ठिकाणी (य = झ + र ) मानून आणि ही + ब ल – अ / २७ = ० अशा व्दिकोटीय समीकरणाची बीजे आहेत, हे दाखविता येते आणि यांची मूल्ये मिळविता येतात. यांचा उपयोग करून मूळ समीकरणाची बीजे मांडता येतात. जे. कार्डन यांची त्रिकोटीय समीकरणे सोडविण्याची ही पद्धत प्रसिद्ध आहे.

(४) चतुष्कोटीय समीकरणाची बीजे एल्.फेरारी या गणितज्ञांनी मांडून दाखविली.

गेगरी या गणितज्ञांनी पंचकोटीय समीकरण सोडविण्याचा प्रयत्न केला परंतु त्यांचे संशोधन पूर्ण होण्यापूर्वीच ते कालवश झाले. ⇨ लेनर्ड ऑयलर (१७७०) व ⇨ झोझेफ ल्वी लागांझ (१७७१) यांनी अधिक मूलगामी विचार करून पंचकोटीय समीकरण सोडविण्याचा प्रयत्न केला. इटालियन गणितज्ञ पाओलो रफिनी (१८१३) व नॉर्वेजियन गणितज्ञ ⇨ नील्स हेन्रिक आबेल (१८२४) यांनी स्वतंत्रपणे पंचकोटीय समीकरण सोडविण्याची अशक्यता सिद्ध करून दाखविली. या सर्व प्रयत्नांतून स्फूर्ती घेऊन ⇨ एव्हारीस्त गाल्वा या गणितज्ञांनी आपला क्षेत्र सिद्धांत मांडला व ⇨ गट सिद्धांत आणि क्षेत्र सिद्धांत यांचा पाया घातला.

आसन्नबीजे : फ (क्ष) =० या समीकरणातील  (क्ष) चे सातत्य बीजठरविण्या करिता उपयोगी पडते.  () आणि  () विरूद्धचिन्हाचे असतील, तर  फ (क्ष) =० या समीकरणाचे कमीत कमी एक सत् बीज अंतरालातअसते.समीकरणाचीसत्बीजे शोधण्याकरिता कलन शास्त्रातील रोल यांचा सिद्धांतही उपयोगी पडतो. कोणत्याही समीकरणाच्या धनबीजांची संख्या त्या समीकरणातील सहगुणकांच्या चिन्हामध्ये होणाऱ्या बदलापेक्षा जास्त असणार नाही व ऋणबीजांची संख्या त्या समीकरणातील सहगुणकांच्या चिन्हामध्ये असणाऱ्या सातत्यापेक्षा जास्त असणार नाही. याला ⇨ रनेदेकार्त यांचा चिन्ह सिद्धांत म्हणतात. देकार्त चिन्हसिद्धांतावरून समीकरणाच्या बीजांविषयी माहिती मिळाली तरी सत्बीजांच्या एकंदर संख्येची निश्र्चिती करता येत नाही. त्या सिद्धांताने धन व ऋण बीजांच्या संख्येची कमाल मर्यादा मिळते. या नंतर सु. दोनशे वर्षे गणितज्ञांनी दोन सत्संख्यांमध्ये असणाऱ्या सत्बीजांची निश्र्चित संख्या शोधण्याचा प्रश्र्न हाताळला. शेवटी जे. सी. एफ्. स्टूर्म या गणितज्ञांनी १८३५ मध्ये या विषयी एक सिद्धांत मांडून दाखविला. याचा उपयोग करून [अ, ब ] या अंतरालातफ (क्ष) = ० या समीकरणाची किती सत्बीजे असतील हे निश्र्चित पणे ठरविता येऊ लागले. बहुपदी समीकरणाच्या बीजाचे आसन्नमूल्य मिळविण्या करिता डब्ल्यू. जी. हॉर्नर यांची पद्धत प्रसिद्ध आहे. आसन्नमूल्य ठरविण्याकरिता न्यूटन यांच्या पद्धतीमध्ये उपसादनाचा वापर केला जातो.

अनेक वर्ण समीकरणे : समीकरणांच्या विचारामध्ये कित्येक वेळा एकाहून अधिक अज्ञात संख्या असलेल्या समीकरण समूहाचा विचार करावा लागतो. अशा प्रकारचा समूह पुढीलप्रमाणे :

११क्ष + १२क्ष + … + क्ष=ब

२१क्ष + २२क्ष + … + क्ष=ब 

………………………………………..

………………………………………..

………………………………………..

क्ष + क्ष + … + मनक्ष =  

ही समीकरणे नेहमीच सोडविता येतात असे नाही. या ठिकाणी तीन शक्यता निर्माण होतात : (१) क्ष, क्ष, … यांची मूल्ये एकाच तऱ्हेने निश्चित करता येतात. (२) क्ष, क्ष, … यांची मूल्ये अनेक तऱ्हांनी मांडता येतात. (३) क्ष, क्ष, … यांची मूल्ये ठरविणे अशक्य असते. वरील (१) व (२) मध्ये त्या समीकरण समूहाला सुसंगत म्हणतात व (३) मध्ये त्याला विसंगत म्हणतात. या समीकरण समूहाची सुसंगतता ठरविण्याकरिता आव्यूहाचा उपयोग करतात [→ आव्यूह सिद्धांत].

त्याकरिता

अ 

११ … अ१न 

 

११ … अ१न 

……………… 

 

………………… 

……………… 

आणि अ =

………………… 

……………… 

 

………………… 

म१ … अमन 

 

म१ … अम१ 

या दोन आव्यूहांचा विचार करावा लागतो. समजा, अ या आव्यूहाची कोटी र आहे आणि ची कोटी  र′ आहे. जर र = र′ असेल, तर समीकरणे सुसंगत असतात आणि र′ &gt र असेल, तर ती विसंगत असतात.

इतिहासईजिप्तमधील आद्य गणितज्ञ आमेझ यांच्या पपायरसमध्ये ( ऱ्हिंड पपायरसमध्ये इ. स. पू. १७०० च्या सुमारास )समीकरणाचा उल्लेख आढळतो. यूक्लिड यांनी भूमितीय पद्धतीने व्दिकोटीय समीकरण चर्चिले आहे. अरबस्थानात ⇨अल् ख्वारिज्मी  या गणितज्ञांनी क्ष +२१ = १० क्ष हे समीकरण सोडवून दाखविले आहे. भारतामध्ये इ. स. पू. ३०० मध्ये व्दिकोटीय समीकरण सोडविले होते,याचा पुरावा उपलब्ध आहे. सध्या प्रचलित असलेले व्दिकोटीय समीकरणाच्या बीजाविषयीचे सूत्र श्रीधराचे सूत्र म्हणून ⇨ भास्कराचार्य  यांनी आपल्या बीजगणित या ग्रंथात उल्लेख केलेला आहे.

संदर्भ : 1. Barnett, R. A. Kearns, T. J. Elementary Algebra : Structure and Use, 1994.

             2. Dobbs, D. Hanks, R. A. Modern Course onthe Theory of Equations, 1992.

             3. Uspensky, J. V. The Theoryof Equations, 1948.

ओक, स. ज.