संख्यात्मक विश्लेषण: गणितातील या शाखेमध्ये समस्यांची संख्यात्मक उत्तरे शोधण्याचा प्रयत्न केला जातो. संख्यात्मक विश्लेषण हे शास्त्रही आहे तसेच ती एक कलाही आहे. शास्त्र म्हणून संख्यात्मक विश्लेषणामध्ये अंकगणितीय कृत्यांचा वापर करणाऱ्या निरनिराळ्या गणन पद्धती शोधून काढल्या जातात. विशिष्ट प्रश्न सोडविण्याकरिता कोणती पद्घत वापरावयाची ही एक कला आहे. अर्थात ती अनुभवानेच साध्य होईल. संगणकाच्या शोधानंतर संख्यात्मक विश्लेषणाचे स्वरूपच बदलून गेले आहे. संख्यात्मक विश्लेषणाच्या साहाय्याने पुढील प्रश्न हाताळता येतात : (१) फलनाचे अवकलज शोधणे, (२) अवकल समीकरणाचे निर्वाह शोधणे, (३)समाकलाचे मूल्य मिळविणे, (४) युगपत समीकरणे सोडविणे वगैरे. आधुनिक गणितामध्ये सर्वसाधारण कल अमूर्तीकरणाकडे आणि व्यापकीकरणाकडे असला तरी वैज्ञानिक व यांत्रिकी प्रश्नांमध्ये संख्यात्मक उत्तरांचीच जरूर भासते. उदा., अवकाशातील सफरीकरिता तिच्याशी निगडित गणितीय समीकरणांची संख्यात्मक उत्तरेच आवश्यक आहेत. इलेक्ट्रॉनीय संगणकाचा संख्यात्मक विश्लेषणशास्त्राच्या प्रगतीवर बराच परिणाम झालेला आहे. [⟶संगणक].

अचूकता आणि त्रूटी : कोणत्याही प्रश्नाचे संख्यात्मक उत्तर क्वचितच अचूक असते. संख्यात्मक विश्लेषणामध्ये निरनिराळ्या गणन पद्धतीच्या शोधा बरोबर त्या पद्धती विशिष्ट प्रश्न सोडविताना वापरल्यास संख्यात्मक उत्तरामध्ये येणाऱ्या त्रूटीचाही विचार आवश्यक ठरतो. या त्रूटी दोन प्रकारच्या असतात. अनंत गणन पद्धतीमध्ये ठराविक पायऱ्यांनंतर येणाऱ्या त्रूटीला छेदितत्रूटी म्हणतात. या त्रूटीचा अभ्यासकरून अपेक्षित आसन्नता मिळविण्याकरिता किती पायऱ्यापर्यंत गणन पद्धती वापरली पाहिजे हे ठरविता येते. त्रूटीचा दुसरा प्रकार म्हणजे स्थूलांकन त्रूटी. अंकगणितीय कृत्ये करताना प्रत्येक कृत्यानंतर स्थूलांकन करावे लागते. जरी प्रत्येक कृत्याच्या वेळी येणारी त्रूटी लहान असलीतरी अशा तऱ्हेची पुष्कळ कृत्ये केल्यानंतर येणारी संकलित त्रूटी वाढत जाणार व काही वेळा शेवटी मिळणारे उत्तर चुकीचे किंवा निरूपयोगी ठरण्याची शक्यता असते. गणन पद्धती योग्य असण्याकरिता संकलित त्रूटीपासून प्रतिरक्षित असली पाहिजे. या प्रतिरक्षितेला संख्यात्मक स्थिरता म्हणतात.

अंतर्वेशन : अंतर्वेशन : समजा, य हे क्ष चे फलन आहे आणि त्याची क्ष०, क्ष१, …, क्षन या क्ष च्या मूल्यांशी संगत मूल्ये माहीत आहेत. अशा वेळी क्ष च्या [क्ष०, क्षन] या अंतरालातील कोणत्याही मूल्याशी संगत य चे मूल्य शोधणे याला अंतर्वेशन म्हणतात. अंतराला बाहेरी लक्ष च्या मूल्याशी संगत य चे मूल्य शोधणे याला बहिर्वेशन म्हणतात. अंतर्वेशन सूत्रा मध्ये ⇨ सांत अंतर कलनातील E, Δ, ∇ , δ ही चिन्हे वापरतात. [⟶अंतर्वेशन व बहिर्वेशन ]. त्यांच्या व्याख्या पुढीलप्रमाणे :

E =य+१Δ=य+१  ∇   = य-य-१ δ=य  र  +१/२-१/२.

यांमधील E,Δ, ∇, δ यांना कारक म्हणतात. यांचे परस्परांतील संबंध असे :

Δ=(E-१)=δ+क/२=  ∇ +क 

अंतर्वेशनाकरिता पुढील सूत्रे वापरतात :

(१) ग्रेगरी-न्यूटन यांचे अग्रगामी अंतर्वेशन सूत्र :

य = य + अ Δ य +

अ (अ-१) 

Δ + … 

२! 

या ठिकाणी क्ष-क्ष-१=ह आणि क्ष=क्ष +अ.ह  

(२) ग्रेगरी-न्यूटन यांचे प्रतिगामी अंतर्वेशन सूत्र : 

य = य – अ ∇  +

अ (अ-१)

∇  – … 

२! 

 

या  ठिकाणी  क्ष-क्ष-१ = आणि क्ष = क्ष -अ.ह 

(३)स्टर्लिंग यांचे अंतर्वेशन सूत्र :

य = य + अ μδ य +

 

δ य + 

अ (अ – १

μδ य + 

अ (अ-१

δ य + … 

२! 

३! 

४! 

 

या ठिकाणी क्ष = क्ष + अ.ह  μ () = / (+१/२ +-१/२).

वरील सर्व सूत्रांमध्ये ह स्थिर आहे असे मानले आहे. 

क्ष चे मूल्य अंतरालाच्या सुरूवातीच्या भागात असेल, तर ग्रेगरी-न्यूटन यांचे अग्रगामी सूत्र, अखेरच्या भागात असेल तर प्रतिग्रामी सूत्र आणि मध्यभागात असेल तर स्टर्लिंग यांचे सूत्र वापरतात.

जर क्ष–क्ष-१=ह स्थिर नसेल तर लाग्रांझ यांचे सूत्र वापरतात. ते सूत्र असे :

 

य = 

(क्ष – क्ष) (क्ष-क्ष)…(क्ष-क्ष

 + 

(क्ष – क्ष) (क्ष-क्ष)…(क्ष-क्ष

 

 

(क्ष – क्ष) (क्ष-क्ष)…(क्ष-क्ष

य१ +… 

 

(क्ष – क्ष) (क्ष-क्ष)…(क्ष-क्ष

 

या खेरीज न्यूटन यांचे विभाजित फरकाचे सूत्रही उपयोगी पडते.  फ(क्ष) च्या विभाजित फरकाची व्याख्या अशी :

न्यूटन यांचे विभाजित फरकाचे सूत्र पुढीलप्रमाणे :

फ(क्ष) = फ [क्ष] + (क्ष – क्ष) फ [क्ष, क्ष] +

           

(क्ष – क्ष) (क्ष-क्ष) फ [क्ष, क्ष, क्ष] + … 


समीकरणांचे निर्वाह : चारापर्यंतघात असलेली बैजिक समीकरणे सोडविण्याकरिता सूत्रे उपलब्ध आहेत. परंतु घात चारापेक्षा जास्त असेल तर ती सूत्राच्या साहाय्याने सोडविता येत नाहीत. अशा समीकरणाचे निर्वाह व बीजातीत समीकरणाचे निर्वाह मिळविण्याकरिता संख्यात्मक विश्लेषण उपयोगी पडते.

न्यूटन-रॅफ्‌सन यांचे उपसादन : समजा, फ (क्ष) =० या समीकरणाचा क्ष हा आसन्न निर्वाह आहे. जर प्रत्यक्ष निर्वाह क्ष+ह (ह लहान) असेल तर

 

फ (क्ष+ह)== फ (क्ष) +हफ (क्ष) + 

” 

(क्ष) + …. 

२! 

ह लहान असल्यामुळे , ह…. वगैरे दुर्लक्षित करून

ह ≑ —

फ (क्ष) 

फ’ (क्ष)

 [ जवळजवळ क्ष असल्यास क्ष असे लिहितात ].

फ (क्ष)=० या समीकरणाचा निर्वाह क्ष, क्ष, …. या श्रेणीची सीमा आहे असे मानल्यास

 

क्ष+१=क्ष

फ (क्ष

हे सूत्र मिळते.

फ’ (क्ष)

 

यालाच न्यूटन-रॅफ्‌सन यांचे उपसादन सूत्र म्हणतात. जर अवकलज फ(क्ष) उपलब्ध नसेल तर त्याऐवजी वाढाव्यांचे गुणोत्तर वापरून

  

क्षर+१=क्ष– 

(क्ष-क्षर-१) फ (क्ष

फ (क्ष) – फ (क्षर-१

 हे सूत्र मिळते. या लारेग्यूला फाल्सी असे म्हणतात.

युगपत समीकरणे : न वर्णांची न समीकरणे आव्यूहांचा उपयोग करून पुढील रूपात मांडता येतात.

 सहगुणक आव्यूह त्रिकोणी आव्यूहामध्ये रूपांतरित करून वरील आव्यूह समीकरण असे मांडता येईल [⟶आव्यूह सिद्धांत].

यावरून पुढील समीकरणे मिळतात.

अ’११ क्ष१ + अ’१२ क्ष + ….. अ’१न क्ष = ब’

 

अ’२२ क्ष+….. अ’रन क्ष = ब’

…………………………………………… 

अ’नन क्ष = ब’

ही समीकरणे सहज सोडविता येतात आणि क्षक्ष, ….,क्ष यांचीक्ष=क-ब१२क्ष-ब१३क्ष….-ब१नक्ष

 

क्ष=क-ब२१क्ष-ब२३क्ष….-ब२नक्ष 

…………………………………. 

क्ष=क-बन१क्ष-बन२क्ष…-बननक्ष 

सुरूवातीला क्ष(०)=०,=२,३,….,न असे गृहीत मानतात. उजव्या बाजूच्या क्ष बद्दल क्ष(स) ही मूल्ये घालून डाव्या बाजूच्या क्ष ची जी मूल्ये येतात ती क्ष (+१) ने दर्शवितात. पहिल्या समीकरणात क्ष = क्ष(०)=०,= २,३,…., न घातले की क्ष() चे मूल्य मिळते. दुसऱ्या समीकरणात क्ष=क्ष(०)=०,=३,४,…., आणि क्ष=क्ष() घातले म्हणजे क्ष(मिळतो. या प्रमाणे क्ष(१)क्ष(१),…., क्ष(१) मिळतात. यांचा वापर करून पुन्हा पहिल्या समीकरणापासून सुरूवात करून क्ष(२)क्ष(२),….,क्ष(२मिळतात. हीच पद्घत चालू ठेवूनक्ष(स) आणि क्ष(+१) यांमधील फरक पुरेसा लहान मिळेपर्यंत ही प्रकियाचालू ठेवतात.

शिथिलन पद्धती : या पद्धतीने सर्व अज्ञातांची आसन्न मूल्ये एकदमच मिळ

मूल्ये मिळविता येतात. याला ⇨ कार्ल फ्रीड्रिख गौस यांची स्थगन पद्धती म्हणतात.

गौस-सिडेल यांची उपसादन पद्धती : न वर्णांची न समीकरणे पुढील प्रमाणे मांडता येतात.

तात. समजा, न वर्णांची न समीकरणे पुढीलप्रमाणे दिलेली आहेत.

 

 

∑ 

टठक्ष– क =०, (ट = १,२ ,….,

ठ = १

 

 क्ष, क्ष, ….,क्षयांची मूल्ये घालून डाव्याबाजूचे जे मूल्य मिळते त्याला अवशिष्ट म्हणतात व ते R ने दर्शवितात (ट १,२ ,….,). जसे क्षठ बद्दल क्ष घातले तर

न 

 

∑ 

टठ क्ष’ – क =R.जेव्हा क्ष’ असे मिळतील

ठ = १

 

की सर्व R =० तेव्हा सर्व क्षठ ची पाहिजे असलेली मूल्ये मिळतील. सुरूवातीला क्ष ची स्वेच्छ मूल्ये घेऊन R ची मूल्ये कमी करत नेऊन उपसादनाने क्ष ची आसन्न मूल्ये मिळवितात. या सर्वपद्धतीला शिथिलन पद्धती म्हणतात. शिथिलन पद्धती हे नाव साऊथवेल यांनी दिले. 


संख्यात्मक अवकलन : वर वर्णन केलेल्या अंतर्वेशन सूत्रांचे अवकलन करून संख्यात्मक अवकलनाची सूत्रे उपलब्ध होतात. यामध्ये एक गोष्ट लक्षात ठेवली पाहिजे की, फलनापेक्षा त्याच्या अवकलजामध्ये त्रूटी जास्त असते व त्यामुळे वरच्या कोटीच्या अवकलजामध्ये संकलित त्रूटी वाढत जाते.

अवकलनाकरिता पुढील सूत्रे वापरता येतात.

स्टर्लिंग यांच्या अंतर्वेशन सूत्रावरून पुढील सूत्रे मिळतात.

संख्यात्मक समाकलन : निश्चित समाकलाचे मूल्य संख्यात्मक समाकलन पद्धतीने मिळविता येते. या पद्धतीमध्ये न्यूटन-कोट्स पद्घत ही महत्त्वाची पद्घत आहे. या पद्धतीत समाकल्य एकघाती, दोनघाती अथवा प -घाती राशीने दर्शविले आहे असे मानतात. समाकलाच्या अंतरालाचे सारखे भाग पाडतात. समाकल्य -घाती राशी मानल्यास अंतरालाचे प च्या पटीत च सारखे भाग पाडावे लागतात. अंतरालाचे भाग क्षक्ष,…,क्ष या मूल्यांनी पाडले असल्यास या मूल्यांशी संगत  ची मूल्ये ज्ञात आहेत, असे गृहीत धरले जाते. समाकलाकरिता सूत्र पुढीलप्रमाणे :

अर्थात हे सूत्र ग्रे गरी-न्यूटन यांच्याअग्रगामी अंतर्वेशन सूत्रावरून मिळविले आहे. या सूत्रामध्ये , …, एवढीच मूल्ये वापरली जातात व त्या पुढील सर्व पदे दुर्लक्षितात. या पद्धतीतील उपयुक्त सूत्रे पुढीलप्रमाणे :

(१) समलंब नियम ( प =१)

क्ष०क्ष१ फ(क्ष) d क्ष = / ()

(२) सिंप्‌सन यांचा (/) नियम ( =२)

क्ष०क्ष२ फ(क्ष) d क्ष = / ( + ४ + ),

(३) सिंप्‌सन यांचा (/) नियम ( =३)

क्ष० ∫क्ष३ फ(क्ष) dक्ष = / ( + ३ +३+ ),

(४) वेडल यांचा नियम (प =६)

क्ष०क्ष६ फ(क्ष) dक्ष = /१० ( + ५ ++६+ + ५ +),

ग्रेगरी यांचा समाकलनाचा नियम वापरताना आंतरसारणी वापरावी लागते. तो नियम पुढीलप्रमाणे :

साधारण अवकल समीकरण : प्रथम कोटीचे एक घाती अवकल समीकरण 

d 

फ (क्ष, य) सोडवावयाचे आहे.

dक्ष

क्ष क्ष असेल तेव्हा =आहे. य करिता टेलर श्रेढी पुढीलप्रमाणे :

 

य = य + (क्ष-क्ष’ +

(क्ष-क्ष)२ 

”+….

२! 

 

दिलेल्या समीकरणावरून ’ = (क्ष, ) ”= क्ष (क्ष, ) + क्ष (क्ष, )’+… वगैरे

यांचा उपयोग करून टेलर श्रेढीवरून य चे आसन्न मूल्य मिळविता येते.

पिकार्ड यांची उपसादन पद्धती : दिलेल्या समीकरणावरून

य = य + क्ष०क्ष फ(क्ष, य) dक्ष

असे मांडता येते. यामध्ये उजव्या बाजूच्या समाकलामध्ये य=य घातल्यास य चे (१) हे पहिले आसन्न मूल्य मिळते. तसेच पुढील आसन्न मूल्य

(२) = य + क्ष०क्ष फ(क्ष, य(१)) dक्ष

अशा तऱ्हेने उपसादन पद्धतीने  चे अपेक्षित आसन्न मूल्य मिळविता येते.

रूंगे-कुट्टा यांची पद्घत : संख्यात्मक पद्धतीमध्ये साधारण अवकल समीकरण सोडविण्याची ही पद्घत ऐतिहासिक महत्त्वाची आहे.

 

d 

फ (क्ष, य) क्ष = क्ष असल्यास य = य

dक्ष

वरील अवकल समीकरण सोडविणे म्हणजे दिलेल्या समीकरणाचा व त्याच्या वरील निर्बंधाचा वापर करून क्षम+१ या क्ष च्या मूल्याशी संगत क्षम+१ हे मूल्य मिळविणे.

क्ष+१ क्ष= ह आणिम+१ –य = Δ य असे मानल्यास

 

Δय =(ह D +

D2

D3

+…)  य ≡ 

d

२ ! 

 

३! 

dक्ष

१ व २ या पादांकांनी फ चे क्ष व य सापेक्ष आंशिक अवकलज दर्शविले तर

 

∆ य = ह फ +

(फ + फफ) +

 

 

२ 

 

 

 

[फ११ + २फ१२ + फ२२ + फ (फ + फफ)]+

 

६ 

 

 

 

[फ१११ + ३फ फ११२ + ३फ१२२ + फ२२२ +

२४ 

 

  (फ११ + २ फ फ१२ + फ फ२२) +

३ (फ + फफ) (फ१२ + फ फ२२) + फ (फ + फ फ)]. 

 क्रमाचे रूंग-कुट्टा यांचे सूत्र (क्ष) च्या  मूल्यांनी बनविलेले असते. या सूत्राने मिळणारे +१ मूल्य आणि म+=यम +Δ यामध्ये, Δ चे मूल्य वरील सूत्रातील पर्यंतच्या पदांचाच वापर करून मिळणारे +१ मूल्य, ही दोन्ही मूल्ये समान येतात.

प्रथम क्रमाचे रूंगे-कुट्टा यांचे सूत्र म्हणजे ऑयलर यांची पद्घत होय. त्यामध्ये म+१=यम+हफ (क्ष, य) असे समीकरण येते.

द्वितीय क्रमाचे रूंगे-कुट्टा यांचे सूत्र म्हणजे ऑयलर यांची सुधारित पद्घत.

यांमध्ये म+१ = य + / [फ (क्ष, य) + फ (क्षम+१, यम+१)] असे समीकरण मिळते. उजव्याबाजूच्या म+१ बद्दल य+ह(क्ष, यवापरतात.

चतुर्थ क्रमाचे रूंगे-कुट्टा यांचे सूत्र हे पुष्कळ प्रचारात आहे व म्हणून त्याचा उल्लेख केवळ रूंगे-कुट्टा पद्घत असाही केला जातो. या ठिकाणी

म+१ = य + / (क + २क + २क + क)

 

=  फ (क्ष, य) क = फ (क्ष + /,  य + /)

 

= फ (क्ष + /,  य + /) क = फ (क्ष + ह,  य + ह क)

वरील सर्व पद्धतींमध्ये दिलेले समीकरण आणि क्ष, य ची दिलेली संगत मूल्ये (समजा क्ष) यांच्या साहाय्याने क्ष, य क्ष, य क्ष, यअशी संगत मूल्ये मिळवितात व अवकल समीकरण सोडविले जाते. 


आंशिक अवकल समीकरण : भौतिकी, रसायनशास्त्र वगैरे विज्ञानशाखांतील तसेच तंत्रविद्येतील प्रश्न हाताळताना आंशिक अवकल समीकरणे सोडवावी लागतात. लाप्लास यांचे समीकरण, फूर्ये यांचे उष्णताविषयक समीकरण, प्वासाँ यांचे समीकरणही काही प्रसिद्घ आंशिक अवकल समीकरणे आहेत. आंशिक अवकल समीकरणे संख्यात्मक विश्लेषणाच्या पद्धतीने सोडविण्याचे तंत्र विकसित झाले नसते व गणकयंत्राचा विकास झाला नसता तर विज्ञानातील व तंत्रविद्येतील कित्येक प्रश्न हाताळताही आले नसते.

दुसऱ्या कोटीची रेखीय आंशिक अवकल समीकरणे अन्वस्तीय, अपास्तीय आणि विवृत्तीय या तीन प्रकारांत मोडतात. उदा.,

 

(१) क 

फ 

=

उष्णता वहनाचे समीकरण (अन्वस्तीय). 

 क्ष 

 ट 

(२)  

  फ 

=

 फ 

तरंग समीकरण(अपास्तीय). 

 क्ष 

 ट 

(३)  

 फ 

 फ 

=०लाप्लास यांचे समीकरण (विवृत्तीय). 

 क्ष 

 य 

 

आंशिक अवकल समीकरणामधील, मर्यादा मूल्य समस्या, अवकल समीकरणाचे अंतर समीकरणात रूपांतर करून सोडविता येतात. या पद्धतीचे संशोधन एल्. एफ्. रिचर्ड्‌सन यांनी केले. हाइन्‍रिख लिबमन, शॉर्टले व वेलर यांनी त्यात भर घातली.

u (क्ष, य) या फलना करिता अग्रगामी अंतरकारक पुढीलप्रमाणे :

 

uक्ष =

u (क्ष + ह, य) – u (क्ष, य)

तसेच प्रतिगामी अंतकारक 

uक्ष=

u (क्ष , य) – u (क्ष-ह, य)

ह 

 

म्हणून u-क्ष क्ष =

u (क्ष + ह , य) – २u (क्ष, य) + u (क्ष – ह ,य)

आणि u-य य =

u (क्ष , य + ह) – २u (क्ष, य) + u (क्ष, य – ह)

लाप्लास यांच्या समीकरणात जर वरील u-क्ष क्षu-य य ची मूल्ये घातली तर पुढील समीकरण मिळेल :

u (क्ष, य) = / [u (क्ष + ह, य) + u (क्ष, य + ह) +

                         u (क्ष-ह,य) + u (क्ष, य-ह) ].

 

यावरून असे दिसून येईल की, u हे फलन लाप्लास समीकरणाची पूर्तता करीत असेल तर u चे कोणत्याही बिंदूतील मूल्य नजिकच्या चार जालकबिंदूंतील मूल्यांच्या सरासरीएवढे असते. समजा, u फलनाची आयताकृती क्षेत्रातील मूल्ये मिळवावयाची आहेत. लांबीचे प्रत्येकी  लांबीचे  भाग पाडले व रूंदीचे प्रत्येकी K लांबीचे  भाग पाडले. सीमेवरच्या २ (+) बिंदूतील u च्या मूल्यावर मर्यादा प्रतिबंध आहेत. आतील () () जालकबिंदूवर आंशिक अवकल समीकरणाचे अंतर समीकरणातील रूपांतरण मिळेल. अशातऱ्हेने (+) (+) अज्ञातातील () () समीकरणे व २ (+)(+) मर्यादा प्रतिबंध यांच्या साहाय्याने अज्ञातांची मूल्ये मिळविता येतील. ही युगपत समीकरणे सोडविण्याकरिता शिथिलन पद्घत किंवा उपसादन पद्घत वापरता येईल.

समाकल समीकरण : या समीकरणामध्ये ज्या फलनाचे मूल्य मिळवावयाचे असते ते समाकल रूपात समाविष्ट असते. हे समीकरण सोडविण्याकरिता समाकलाऐवजी योग्य सूत्र वापरून एका संयुतीचा आदेश करतात व नंतर त्या समीकरणाचा निर्वाह वर चर्चिलेल्या पद्धतींपैकी एखादया सोईस्कर पद्धतीने मिळवितात. समाकल समीकरणांच्या मुख्यत: दोन जाती आहेत एक ई.आय्. फ्रेडहोल्म यांचे समीकरण व दुसरी व्हिटो व्होल्टेरा यांचे समीकरण. ती समीकरणे अशी :

फ्रेडहोल्म समीकरण :

α (क्ष) य (क्ष) = फ (क्ष) + λ K [क्ष, ζ  , य (ζ) ] d ζ

व्होल्टेरा समीकरण :

α (क्ष) य (क्ष) = फ (क्ष) + λ K [क्ष, ζ , य ( ζ) ] dζ 

या ठिकाणी α, फ व Kही फलने दिलेली आहेत व  λ,  , स्थिरांक आहेत. व्होल्टेरा समीकरणात समाकल अनिश्चित आहे. ही समीकरणे सोडवून  हे फलन मिळवावयाचे असते. K ला गाभा म्हणतात. जर K हे फा (क्ष, ζ)य (ζ ) या रूपात असेल तर समीकरण रेखीय असते. जर α=० असेल तर समीकरण पहिल्या प्रकारचे आणि α=१ असेल तर समीकरण दुसऱ्या प्रकारचे आहे असे म्हणतात. फ्रेड होल्म समीकरणामध्ये () अंतरालाचे न समान भाग करून समलंब नियम किंवा सिंप्‌सन यांचा नियम वापरतात व त्यावरून (न-) अज्ञाताकरिता युगपत समीकरणे मिळतात. व्होल्टेरा जातीच्या समीकरणात वरची सीमा + ख,++,…. अशी घेत जातात व येणारी समीकरणे पायरी पायरीने सोडवितात.

हरात्मकविश्लेषण: लवचिक दोरा अथवा पटल यांची कंपने, उष्णतेचे वहन, विजेचा प्रवाह इत्यादींच्या अभ्यासामध्ये फलनाचे ‘ज्या’ व ‘कोज्या’ युक्त श्रेढीमध्ये रूपांतर करणे जरूर असते. आवर्ती घटनांचे विश्लेषण त्यामुळे सुलभ होते. (क्ष) हे फलन [c, c + २l] या अंतरालात दिलेले असेल आणि ⇨ पेटर गुस्टाफ लअझन डीरिक्ले यांच्या अटी पूर्ण होत असतील तर (क्ष) पुढील श्रेढीमध्ये मांडता येते.

या श्रेढीला फूर्ये श्रेढी म्हणतात. [⟶फूर्येश्रेढी ].

क्ष आणि  (क्ष) यांची संगत मूल्ये दिली असता योग्य तेवढी पदे घेऊन वरील श्रेढीपासून युगपत समीकरणे मिळविता येतील व ती सोडवून  आणि  यांची मूल्ये मिळविता येतील. (क्ष) फलनाचा आवर्तनांक २π आहे असे गृहीत धरल्यास श्रेढी पुढीलप्रमाणे मिळते.

फ (क्ष) = 

१ 

 

∞ 

कोज्या 

रक्ष + 

∞ 

ज्या 

रक्ष 

२ 

∑ 

∑ 

     

= 

   

= 

   

पहा : अंतर्वेशन व बहिर्वेशन अवकलन व समाकलन अवकल समीकरणे समाकल समीकरणे व रूपांतरे सांत अंतरकलन.

संदर्भ: 1. Atkinson, K. E. Elementary Numerical Analysis, 1993.  

           2. Eldon, L. Numerical Analysis : An Introduction, 1990.  

           3. Gerald, C. F. Whitley, P. O. Applied Numerical Analysis, 1988.  

           4. Patel, V. A. Numerical Analysis, 1993.  

           5. Schwarz, H. R. Waldvogel, J.Numerical Analysis : A Comprehensive Introduction, 1989.

रानडे,म.आ.ओक,स.ज.