समाकल समीकरणे व रूपांतरे : सैद्धांतिक आणि उपयोजित गणितामध्ये समाकल समीकरणे व त्यांचीच पर्यायी रूपांतरे यांचा उपयोग केला जातो. विशेषतः यांत्रिक कंपने व त्यासंबंधीची अभियांत्रिकी आणि सैद्धांतिक भौतिकी यांमध्ये त्यांचा वापर करण्यात येतो. समाकल समीकरण म्हणजे ज्या समीकरणात अज्ञात फलन हे समाकल चिन्हांकित असते असे समीकरण. समाकल समीकरणाचा प्रथम उपयोग ⇨ प्येअर सीमाँ मार्की द लाप्लास (१७३६-१८१३) या फेंच गणितज्ञांनी केला. त्यांच्या सन्मानार्थ एका महत्त्वाच्या समाकल रूपांतरास लाप्लास रूपांतर असे म्हणतात. त्यानंतर ⇨ नील्स हेन्रिक आबेल (१८०२- २९) आणि ⇨ झोझेफ ल्यूव्हील (१८०९-८२) या दोघां गणितज्ञांनी समाकल समीकरणांची सैद्धांतिक चर्चा केली. त्यानंतरचे या शाखेतील महत्त्वाचे गणितज्ञ म्हणजे ⇨ डाव्हीट हिल्बर्ट (१८६२-१९४३), ई. आय्. फेडहोल्म (१८६६-१९२७) व व्ही. व्होल्टेरा (१८६०-१९४०).
समाकल समीकरणांचे प्रकार :
फ ( क्ष ) = अ∫क्षग ( क्ष, झ ) फ ( झ ) dझ + फा ( क्ष ) …. (१)
या ठिकाणी फ ( क्ष ) हे फलन अज्ञात आहे. फा ( क्ष ) आणि ग ( क्ष, झ ) ही ज्ञात फलने आहेत. ग ( क्ष, झ ) या फलनाला समाकल समीकरणाचा गाभा म्हणतात. समी. १ ला दुसऱ्या प्रकारचे व्होल्टेरा समीकरण म्हणतात. समाकलातील मर्यादा स्थिरांक घेऊन समीकरण पुढीलप्रमाणे मांडता येईल :
फ ( क्ष ) = अ∫बग ( क्ष, झ ) फ ( झ ) dझ + फा ( क्ष ) …. (२)
समी. २ ला दुसऱ्या प्रकारचे फेडहोल्म समीकरण म्हणतात. अज्ञात फलन जर फक्त समाकलातच समाविष्ट असेल तर पहिल्या प्रकारची व्होल्टेरा अथवा फेडहोल्म समीकरणे मिळतात. अर्थात ती अशी होतील :
अ∫क्षग ( क्ष, झ ) फ ( झ ) dझ = फा ( क्ष )
अ∫बग ( क्ष, झ ) फ ( झ ) dझ + फा ( क्ष ) …. (३)
समी. १ हे पुढील समीकरणाचे एक विशेष उदाहरण आहे.
फ ( क्ष ) = फा (क्ष) +λ अ∫क्षग ( क्ष, झ ) फ ( झ ) dझ …. (४)
समी. ४ मधील λ याला प्रचल म्हणतात.
फ्रेडहोल्म समीकरणाचे उपयोजित गणितातील उदाहरण म्हणजे
फ ( क्ष ) = १/ ट० ०∫लग ( क्ष, झ ) प ( झ ) dझ …. (५)
येथे फ (क्ष) हे तारेचे स्थैतिक नमन, प (झ) संतत वंटन केलेला प्रति-एकक लांबीवरील भार. फ (क्ष) ज्ञात असून प (झ) अज्ञात असताना समी. ५ हे पहिल्या प्रकारचे फेडहोल्म समीकरण होते.
समी. ४ मधील समीकरणाचा निर्वाह मिळविण्याकरिता पुढील रीत वापरता येते. निर्वाह श्रेढीच्या रूपात पुढील सूत्राने मिळतो असे समजल्यास,
फ ( क्ष ) = फo ( क्ष ) + फ१ ( क्ष ) λ + फ२ ( क्ष ) λ2 + …. (६)
उजव्या बाजूची श्रेढी [अ, ब] अंतरालात एकविधाभिसारी आहे असे मानू. फ ( क्ष ) चे समी. ६ ने मिळणारे मूल्य समी. ४ मध्ये वापरून पदश: समाकलन करता येईल व नंतर λ च्या निरनिराळ्या घातांचे दोन्ही बाजूं-कडील सहगुणक समान मांडून फ१, फ२, …. यांकरिता पुढील समीकरणे मांडता येतील :
फo (क्ष) = फा (क्ष) फ१ (क्ष) = अ∫ब ग (क्ष, ट) फo (ट) dट
फ२ (क्ष) = अ∫ब ग (क्ष, ट) फ१ (ट) dट …… (७)
समी. ६ मधील निर्वाह दुसऱ्या एका प्रकारे मांडता येतो. त्यामध्ये उपसादित गाभ्यांचा उपयोग केला जातो. उपसादित गाभ्यांकरिता पुढील सूत्रे वापरतात.
ग१ (क्ष, ट) = ग (क्ष, ट) = गन (क्ष, ट) अ∫ब गन-१ (क्ष, ट१) ग (ट१, ट) dट१
यांचा उपयोग करून निर्वाह पुढीलप्रमाणे मांडतात :
|
|
∞ |
ब |
|
फ(क्ष) = फा (क्ष) +λ |
∑ |
∫ गन+१ (क्ष,ट) λनफा (ट)dट · · · ·(८) |
|
|
न= o |
अ |
एकविधाभिसारितेमुळे समाकलन व संकलन यांची अदलाबदल शक्य आहे म्हणून
|
∞ |
||
|
फ(क्ष) = फा (क्ष) + λ अ∫ब |
∑ |
गन+१ (क्ष,ट१) ग (ट१,ट) dट१ …. (९) |
|
न = o |
|
ω |
||
|
वि (क्ष, ट λ) = |
Ρ |
गन+१(क्ष,ट) λन, |
|
न = o |
यालाग (क्ष,ट) या गाभ्याचा वियोजक म्हणतात.
समाकल रूपांतरे :
प (क्ष) = ∫ ग(क्ष, य) फ (य) dय …. … …. (१०)
या समाकल समीकरणाने फ (क्ष) चे रूपांतर प (क्ष) मध्ये होते म्हणून प (क्ष) ला फ (क्ष) चे समाकल रूपांतर म्हणतात. येथे गाभा फलन ग (क्ष, य) दिलेले आहे. या समीकरणामुळे एखाद-दुसरे फलनच नव्हे तर फलनांचा एखादा संच दुसऱ्या फलन संचात रूपांतरित झालेला मिळतो. अशा प्रकारच्या रूपांतराची उपयुक्तता उपयोजित गणितात विशेष जाणवते. समजा, फ (क्ष) हे काही प्रकियातून निष्पन्न होणारे फलन आहे. समी. १० मुळे फ (क्ष) वरील प्रकियांच्या संगत प्रकिया प (क्ष) वर केल्या जातात आणि त्यामुळे प (क्ष) मिळविणे सुलभ होते. प (क्ष) मिळाल्यावर अर्थातच फ (क्ष) मिळविणे सोपे होते. उदाहरणार्थ फ (क्ष) एखादया अवकल समीकरणाने दिलेले आहे असे समजू. रूपांतरामुळे फ (क्ष) चे रूपांतरित फलन प (क्ष) बैजिक समीकरणातून म्हणजे विशेष सुलभ रीतीने मिळू शकेल. समी. १० दोन प्रकारे वापरता येईल. पहिला प्रकार म्हणजे ज्यामध्ये फ (क्ष) ज्ञात आहे व रूपांतरित फलन प (क्ष) मिळवावयाचे आहे. उलटपक्षी दुसऱ्या प्रकारात प (क्ष) ज्ञात आहे व फ (क्ष) मिळवावयाचे आहे. रूपांतरित फलनांची संकल्पना व त्यांचा उपयोग तसा बराच जुना आहे. अनेक परिचित रूपांतरे त्यांच्या मूळ संशोधकांच्या किंवा त्यांचा उपयोग प्रामुख्याने करणाऱ्या गणितज्ञांच्या नावे संबोधिली गेली आहेत. त्यातील काही महत्त्वाची रूपांतरे पुढीलप्रमाणे :
|
संबोधन |
गाभा |
अंतराल |
|
फूर्ये |
ei क्ष य |
[-∞, +∞] |
|
ज्या ( कोज्या ) |
ज्या ( कोज्या ) क्ष य |
[0, ∞] |
|
लाप्लास मेलीन |
e– क्ष य क्षय-१ |
[0, ∞] [0, ∞] |
|
हँकेल ( किंवा फूर्ये-बेसेल ) |
Jम( क्ष य ) |
[0, ∞] |
याशिवाय अनेक रूपांतरे निरनिराळ्या उपयोगाकरिता वापरण्यात आलेली आहेत. ही रूपांतरे व संबंधित फलने त्यांच्यावरील बंधने ( अभिसारिता, संततता वगैरे ) लक्षात घेऊन वापरली पाहिजेत, हे उघड आहे.
लाप्लास रूपांतर व कृत्य-कलन : वर दिलेल्या रूपांतरांपैकी विशेष उपयुक्त व म्हणून विशेष प्रसिद्ध रूपांतर म्हणजे लाप्लास रूपांतर. याचा उपयोग विशेषत: गतिकीय किंवा विद्युत् प्रणालींच्या अभ्यासात होतो. या प्रणालीशी संगत फलने कालदर्शक चल ‘ट’ वर अवलंबून असतात. अशा फलनांची एखादया क्षणापासून (ट = 0) पुढची सर्व मूल्ये माहीत असतात. त्यापूर्वीच्या कालात ( ट < 0) फलनाची मूल्ये शून्याबरोबर असतात. अशा तऱ्हेच्या फलनांच्या प्रश्र्नास प्रारंभिक-मूल्य प्रश्र्न म्हणतात. ही फलने सामान्यत: अवकल समीकरणांच्या भाषेत दिलेली असतात.
समजा, फ (ट) हे अशा प्रकारचे फलन आहे आणि फ (ट) ची ट 0 करिता मूल्ये ज्ञात आहेत. फ (ट) चे लाप्लास रूपांतर फा (ठ) पुढील समीकरणाने मांडतात :
फा (ठ) = o∫∞e-ठट फ (ट) dट
फ (ट) = eअट असेल, तर
|
फा (ठ)= o∫∞e–ठट फ (ट)d ट = |
१ |
ठ > सत्‌ (अ) |
|
ठ – अ |
याउलट रूपांतर फा (ठ) दिले असेल, तर त्याचे व्यस्त म्हणजे मूळ फलन फ (ट) मांडता येते. नित्य वापरात आढळणाऱ्या सोप्या व मूलभूत फलनांची लाप्लास रूपांतरे पुढील तक्त्यामध्ये दिली आहेत.
|
फ (ट) |
लाप्लास रूपांतर फा (ठ) |
||
|
१ |
१ |
||
|
ठ |
|||
|
टन |
न ! |
||
|
ठन+१, |
नपूर्णांक |
||
|
eअट |
१ |
||
|
(ठ – अ) |
|||
|
ज्या ( अट ) |
अ |
||
|
(ठ२ + अ२) |
|||
|
कोज्या ( अट ) |
ठ |
||
|
(ठ२ + अ२) |
|||
|
अपास्त ज्या ( अट ) |
अ |
||
|
(ठ२ + अ२) |
|||
|
अपास्त कोज्या ( अट ) |
ठ |
||
|
(ठ२– अ२) |
|||
|
ट |
ज्या (अट) |
ठ |
|
|
२अ |
(ठ२+ अ२)२ |
||
|
टन |
. e –अट |
१ |
|
|
न ! |
(ठ+ अ)न+१ |
||
वरील मूलभूत रूपांतरांच्या आधारे व पुढील साधे प्रमेय वापरून अनेक फलनांची लाप्लास रूपांतरे मिळविता येतात. फलन फा(ठ) हे फ(ट) चे लाप्लास रूपांतर असेल तर फ(ठ + अ) हे e-अट फ(ट) चे रूपांतर असते. तसेच अवकलजाचे लाप्लास रूपांतर पुढील सूत्राने मिळते.
|
d फ d ट |
चे लाफ्लास रूपांतर |
= |
ठ फा ( ठ ) – फ० |
( |
फ० = सीमा फ (ट) ट ⟶ ∞ |
) |
चे लाप्लास रूपांतर = ठ फा (ठ) -फ0 फ0= सीमा फ(ट) न कमांकाच्या अवकलजाच्या रूपांतराकरिता सर्वसाधारण नियम असा,
|
dन फ |
|||
|
d टन |
चे लाप्लास रूपांतर |
= |
ठन फा ( ठ ) – ठन-१ फ० … … फ न-१ |
येथे फ१, फ२, .. .., फन-१ या फ च्या कमवार अवकलजांच्या ट = 0 या बिंदूतील मूल्ये आहेत.
अवकल समीकरणांचे रूपांतर :
|
समजा, |
d न फ d टन |
+ |
ग१ |
d न-१ फ d टन-१ |
+ … + गन फ = भ (ट) ट > ० … ( ११ ) |
या अवकल समीकरणाचे लाप्लास रूपांतर करावयाचे आहे. दोन्ही बाजूंना eQR> ने गुणून [ 0, µ ] या अंतरालात समाकल घेतल्यास पुढील समीकरण मिळते :
(ठन+ ग१ ठन–१+ … + गन) फा(ठ) = भा(ठ) + गन–१(फ0) +
या समीकरणावरून फा (ठ) चे मूल्य मिळते. हे मूल्य म्हणजेच समी. ११ च्या निर्वाहाचे रूपांतर होय. लाप्लास रूपांतराच्या साहाय्याने फा(ठ) पासून फ(ट) मिळविण्यास बीजगणितातील रीतींचीच केवळ जरूरी असते. फा(ठ) चे रूप सामान्यत: परिमेय फलन असते. त्यामुळे
|
फा (ठ) |
गार ठ – अर |
अशा आंशिक अपूर्णांकांच्या बेरजेमध्ये मांडता येते. |
|
म्हणजे फा ( ठ ) = |
न S र = १ |
गार ठ – अर |
… … … … ( १३ ) |
लाप्लास रूपांतरांच्या साहाय्याने
|
न |
|||
|
फ (ट) = |
S |
गार eअ रट |
… … … … … ( १४ ) |
|
र = न |
समी. १४ ला ⇨ ऑलिव्हर हेव्हिसाइड यांचे विस्तार प्रमेय म्हणतात. अवकल किंवा समाकल किया यांच्याऐवजी साध्या बीजगणितीय पद्धतीचा वापर करून फलनांची साधिते मिळविता येतात, हे हेव्हिसाइड यांनी दाखविले. अशा प्रकारच्या पद्धतीस कृत्य- कलन असे म्हणतात. हेव्हिसाइड यांनी आपल्या पद्धतीत
|
d |
१ |
|
d ट |
बद्दल प आणि òd ट प वापरले. येथे प हा कारकाचा निदर्शक आहे. |
त्याशिवाय फलन भ(ट) हेदेखील एका विशिष्ट पद्धतीने मांडण्यात येते. त्याची
|
१,ट > ० |
|||
|
व्याख्या पुढीलप्रमाणे : भ (ट ) = |
{ |
०, ट < ० |
या फलनाला हेव्हिसाइड |
यांचे एकक फलन म्हणण्याचा प्रघात आहे. लाप्लास रूपांतराप्रमाणे हेव्हिसाइड पद्धतीतील रूपांतराचे तक्ते उपलब्ध आहेत. अलीकडील काळात लाप्लास रूपांतरांचाच जास्त प्रमाणात उपयोग करण्यात येतो, कारण लाप्लास रूपांतर अधिक समावेशक आहे.
विद्युत् मंडल सिद्धांत : लाप्लास रूपांतरांचा उपयोग विशेषकरून प्रारंभिक-मूल्य प्रश्र्मनांध्ये होतो हे वर पाहिले आहेच. अशा प्रश्र्नांचा विशेष महत्त्वाचा नमुना म्हणजे विद्युत् मंडलाचा सिद्धांत. उदाहरणार्थ, एक सोपे विद्युत् मंडल विचारात घेऊ. समजा, या मंडलात प्रवर्तकत्व (C), रोध (रो) व धारणा (धा) हे एकसरीत आहेत आणि अ-ब या अगामध्ये वर्चोभेद [ मा (ट), ट >>0] दिलेला आहे. विद्युत् प्रवाह (व) आणि धारित्र भार (भ) पुढील दोन समीकरणे पूर्ण करतात.
|
वा = |
d भ d ट |
उ |
d व d ट |
+ |
रो व |
+ |
भ धा |
= |
मा |
… … ( १५ ) |
व, भ ची प्रारंभीची मूल्ये व०, भ0 घेतली तर समी. १५ चे लाप्लास रूपांतर पुढीलप्रमाणे होते.
|
( उ ठ + रो + |
१ धा ठ |
) |
— व = मा + उ व० – |
भ० धा ठ |
… … … ( १६ ) |
( व आणि मा हे व आणि मा चे लाप्लास रूपांतर ). यातून व चे मूल्य सहज मिळते, म्हणून उ-रो-धा मंडलाकरिता समी. १६ मूलभूत मानतात. या समीकरणातील रूपांतर व पासून मूळ प्रवाह व चे मूल्य लाप्लास रूपांतरांच्या तक्त्याच्या साहाय्याने मिळविता येते.
संदर्भ : 1. Akhiezer, M. I. Lectures on Integral Transforms, 1992.
2. Corduneanu, C. Integral Equations and Applications, 1991.
3. Kondo, J. Integral Equations, 1992.
4. LePage, W. R. Seely, S. General Network Analysis, New York, 1952.
आपटे, अ. शं.