भूमिति : गणितशास्त्राच्या विविध शाखांपैकी भूमिती ही एक प्रमुख शाखा असून तिला अवकाशाच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करणारी शाखा असे म्हणता येईल. इतर विज्ञान शाखांप्रमाणे भूमितीचा उगम माणसाच्या व्यावहारिक गरजेमध्येच सापडतो. भूमिती या शब्दाचे जे दोन भाग भू=भूमी व मिती=मापन यांवरून ही गोष्ट स्पष्ट होते.

 प्रस्तुत नोंदीत या विषयांवरील विवेचन पुढील ११ भागांत दिलेले आहे : (१) इतिहास, (२) युक्लिडीय भूमिती, (३) वैश्लेषिक भूमिती, (४) बहुमितीय भूमिती, (५) वर्णनात्मक भूमिती, (६) परिमित भूमिती, (७) अयुक्लिडीय भूमिती, (८) प्रक्षेपीय भूमिती, (९) अवकल भूमिती, (१०) रीमानीय भूमिती व (११) बैजिक भूमिती. ‘इतिहास’ या भागात भूमितीच्या सर्वसाधारण इतिहासाचा आढावा घेतलेला असून विशिष्ट भागांच्या ऐतिहासिक विकासासंबंधी त्या त्या भागांत अधिक माहिती दिलेली आहे. 

इतिहास

प्राचीन :  भूमितीचे स्वतंत्र शास्त्र ज्यांनी बनविले त्या ग्रीक लोकांनी भूमिती ईजिप्तमधून घेतल्यामुळे उदय ईजिप्तमध्ये झाला असे साधारणपणे समजले जाते. इ. स. पू. १५०० वर्षापूर्वीच्या काळात ईजिप्तमधील भूमितीमध्ये क्षेत्रफळे काढणे, निरनिराळे कोन आखणे अशासारखे प्रश्न हाताळलेले दिसतात.वैदिक काळामध्ये (इ.स.पू. १५०० ते ७८०) भारतामध्येही भूमितीचा अभ्यास झाला. भूमितीविषयक सिद्धांत शुल्ब सूत्रामध्ये आढळतात. यज्ञकुंडाची आकारमाने कशी असावीत, ती कशी मोजावीत या संबंधात भूमितीमधील काही नियम या सूत्रात दिले आहेत. उदा., काटकोन त्रिकोणासंबंधीचा नियम (जो पायथॅगोरस नियम म्हणून ओळखला जातो), दिलेल्या रेषाखंडांचा लंबदुभादजक काढणे, दिलेल्या आयताइतक्या क्षेत्रफळाचा समद्विभुज समलंब चौकोन वगैरेसंबंधीचे नियम यामध्ये दिले आहेत. त्या वेळी भूमितीच्या अभ्यासाची दृष्टी व्यावहारिक असल्यामुळे प्रमेये सिद्ध न करता फक्त मांडलेली आढळतात. व्यावहारिक भूमितीचे तर्ककठोर निगमन पद्धतीच्या अमूर्त भूमितीमध्ये रूपांतर करून त्याचे काटोकोर शास्त्र बनविण्याचे श्रेय ग्रीक लोकांना दिले पाहिजे. इ. स. पू. सातव्या शतकात ईजिप्त व ग्रीस या देशांतील व्यापारी संबंधातून साहजिकच विचारांचीही देवघेव सुरू झाली. मायलीटस येथील थेलीझ श्र इ. स. पू. सु. ६४०-५४६) या ग्रीक शास्त्रज्ञांनी ईजिप्तमध्ये राहून तेथील गणित व इतर भौतिक शास्त्रांचा अभ्यास केला. ग्रीसमध्ये भूमितीचा अभ्यास सुरू करण्याचा मान थेलीझ यांनाच दिला जातो. थेलीझ व त्यांचे शिष्य यांनी भूमितीमध्ये समद्विभुज त्रिकोणाचे कोन, व्यासाने होणारे वर्तुळाचे दोन सारखे भाग, दोन बाजू व त्यांतील समाविष्ट कोन हे समान असलेल्या त्रिकोणांची एकरूपता वगैरेसंबंधी अभ्यास केलेला आढळतो. ग्रीक गणितज्ञ व तत्त्वज्ञ ⇨ पायथॅगोरस (इ. स. पू. ५७५-४९५) यांनी दक्षिण इटलीमध्ये तत्वज्ञान व शास्त्रे यांच्या अभ्यासकांचा एक पंथ स्थापन केला. काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंसंबंधीचे प्रमेय हे पायथॅगोरस प्रमेय या नावानेच प्रसिद्ध आहे (तथापि या प्रमेयात सांगितलेला गुणधर्म बॅबिलोनियन, ईजिप्शियन, चिनी व भारतीय अभ्यासकांना पायथॅगोरस यांच्या काळच्या फार पूर्वीपासून माहिती होता असे दिसते). त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज दोन काटकोन होते हे प्रमेय या पंथातील गणितज्ञांनीच सिद्ध केले. भूमितीविषयक अभ्यासाबरोबरच पायथॅगोरस पंथीयांनी अपरिमेय संख्या (दोन पूर्णाकांच्या गुणोत्तराच्या रूपात मांडता येत नाहीत अशा संख्या उदा., √२) व प्रमाण सिद्धांतावरही बरेच संशोधन केले. या पंथातील गणितज्ञांनी वर्तुळ भूमितीकडे फारसे लक्ष दिले नाही पण पुढे इ. स. पू. पाचव्या शतकात अथेन्समधील सॉफिस्ट पंथाच्या शिक्षकांनी खाली उल्लेखिलेल्या तीन भूमितीय रचना सोडविण्याकरिता वर्तुळासंबंधी बराच अभ्यास केला :  (१) दिलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या चौरस रचणे, (२) कोनाचे तीन सारखे भाग पाडणे, (३) दिलेल्या घनाच्या दुप्पट घनफळाचा घन रचणे. ही घटना त्यावेळच्या भूमितीच्या प्रगतीची द्योतक मानली पाहिजे. त्या वेळची समजूत भूमितीय रचना ही फक्त कंपास व पट्टी यांनीच करता आली पाहिजे, अशी होती. ही अट मान्य केल्यास या तीन रचना अशक्य आहेत असे आता सिद्ध झाले आहे [⇨ गणितातील अनिर्वाहित प्रश्न]. ही अट बाजूला सारून पुढे ग्रीक गणितज्ञांनी हे प्रश्न यशस्वीपणे सोडविले. प्लेटो (इ. स. पू. सु. ४२८-सु. ३४८) व त्यांच्या शिष्यांनी बिंदू, रेषा पृष्ठ वगैरे भूमितीय घटकांच्या व्याख्या व गृहीतके यांचे स्पष्टीकरण या दिशेने प्रगती केली. पुढे ⇨ युक्लिड (इ. स. पू. सु. ३६५-सु. २७५) यांनी आपल्या भूमितीवरील ग्रंथात या व्याख्या व गृहीतके यांचा उपयोग केलेला आढळतो. युक्लिड यांनी बरीच ग्रंथरचना केली. इ. स. पू. ३०० च्या सुमारास त्यांनी लिहिलेला एलेमेंट्स हा ग्रंथ विशेष महत्त्वाचा आहे. त्या काळातील गणितशास्त्रामधील निरनिराळ्या सिद्धांतांची तर्कशुद्ध आणि संगतवार मांडणी हे युक्लिड यांचे महत्त्वाचे कार्य आहे. एलमेंट्‍स हा ग्रंथ सु. २,००० वर्षे पाठ्यपुस्तक म्हणून वापरला जावा हा गणितशास्त्राच्या इतिहासातील एक चमत्कारच मानला पाहिजे. ⇨आर्किमिडीज (इ. स. पू. सु. २८७-२१२) हेप्राचीन काळातील एक फार थोर शास्त्रज्ञ मानले जातात. त्यांच्या मनाचा कल प्रायोगिक शास्त्राकडे असल्यामुळे ⇨ अन्वस्त ( पॅराबोला) या वक्राचे क्षेत्रमापन, गोल व चिती यांचे पृष्ठफळ व घनफळ या संबंधीचे सिद्धांत, वर्तुळाचे क्षेत्रफळ, वर्तुळाचा परिघ व व्यास यांच्या गुणोत्तरासंबंधीची

(p)

२२ 

&gt

&gt

३ 

१० 

७ 

७१ 

 ही असमा, अशासारखे भूमितीमधील संशोधन त्यांनी केले. ग्रीक गणितज्ञांनी शांकवांच्या [एका प्रकारच्या वक्रांच्या ⇨शंकुच्छेद] अभ्यासासही चालना दिली व त्याची फलश्रुती ⇨पेर्गाचे अँपोलिनियस (इ.स.पू.२६१-२००) यांच्या कोनिक्स या प्रसिद्ध ग्रंथाने झाली. या ग्रंथामुळे अँपोलोनियस यांना थोर भूमितीविज्ञ हा बहुमान प्राप्त झाला. यूक्‍लिड. आर्किमिडीज व अँपोलोनियस यांच्या काळात भूमितीने प्राचीन काळातील प्रगतीचे अत्युच्च शिखर गाठले. यानंतरच्या काळात मात्र ग्रीक गणितज्ञांची विशेष उल्लेखनीय कामगिरी आढळत नाही.


मध्ययुग : मध्ययुगात (इ. स. पाचवे शतक ते सु. १५००) भारतात ⇨आर्यभट (जन्म इ. स. ४७६) व ⇨ ब्रह्मगुप्त (५९८-६६५ ?) हे दोन प्रसिद्ध गणितज्ञ होऊन गेले. त्रिकोण व वर्तुळ यांचे क्षेत्रफळ, समरूप त्रिकोण,

=

१७७ 

१२५० 

  

किंवा ३.१४१६ वगैरे संबंधीचे सिद्धांत आर्यभटांनी मांडले. ब्रह्मगुप्तांनी चक्रीय चौकोनाचे क्षेत्रफळ व कर्ण यासंबंधीचे अनेक सिद्धांत सिद्ध केले. या काळातील अरब गणितज्ञांनी एकमेकांस छेदणाऱ्या शांकवांच्या साहाय्याने त्रिघाती समीकरण सोडविण्याची भूमितीय रीत शोधून काढली. यूरोपमध्ये योहानेस केल्पर (१५७१-१६२९) यांनी अत्यल्प व अनंत संख्यांच्या संकल्पनेचा उपयोग सुरू केला. वर्तुळ ही अनंत-भुजाकृती समजता येईल ही कल्पना त्यांनी मांडली. डोळ्यांना दिसणारे (त्रिमितीय) दृश्य तसेच (द्विमितीय पृष्ठभागावर) कसे चित्रित करता येईल हा प्रश्न, त्याचप्रामाणे गोलावरील आकृतीचे प्रतलावर निदर्शन करणे, भूगोलातील नकाशे तयार करताना येणारा प्रश्न, अशा प्रश्नांमधून या काळात प्रक्षेपीय भूमितीच्या अभ्यासास सुरूवात झाली. ⇨ झेरार देझार्ग (१५९१-१६६१) यांनी यथादर्शन त्रिकोणासंबंधीचे प्रमेय सिद्ध केले (या प्रमेयासंबंधीचे विवरण ‘प्रक्षेपीय भूमिती’ या शीर्षकाखाली पुढे दिले आहे). एक स्वतंत्र भूमिति-शाखा म्हणून प्रक्षेपीय भूमितीचा विकास मात्र पुढे अठराव्या व एकोणिसाव्या शतकांत झाला. प्रक्षेपामध्ये आकृतींचे जे गुणधर्म अचल राहतात अशांचा अभ्यास प्रक्षेपीय भूमितीमध्ये होतो. रेषेची लांबी, कोन हे प्रक्षेपामध्ये बदलतात म्हणून प्रक्षेपीय भूमिती ही युक्लिडीय भूमितीप्रमाणे मानीय भूमिती नाही (यासंबंधी प्रक्षेपीय भूमितीत अधिक विवेचन केलेले आहे).

अर्वाचीन काळ : सतराव्या शतकात फ्रेंच गणितज्ञ ⇨ रने देकार्त (१५९६-१६५०) व ⇨ प्‍लेअर द फेर्मा (१६०१-६५) या दोघांनी स्वतंत्रपणे निर्मिलेली वैश्लेषिक भूमिती ही भूमितीच्या विकासाच्या हृष्टीने फार महत्तवाची घटना समजली पाहिजे. १६३७ मध्ये देकार्त यांनी आपले संशोधन La Geometrie या ग्रंथामध्ये प्रसिद्ध केले. पण फेर्मा यांचे संशोधन त्यांच्या मृत्यूनंतर १६७९ मध्ये प्रसिद्ध झाले. या भूमितीमध्ये बिंदुचे स्थान सहनिर्देशकांनी निश्चित करणे आणि वक्र किंवा पृष्ठ यांचे बीजगणिती समीकरणाने निदर्शन करणे या गोष्टी प्रमुख आहेत. या सूत्रांच्या साहाय्याने भूमितीमधील कोणत्याही प्रश्नास बीजगणिती रूप देऊन बीजगणितातील परिणामकारक पद्धतीचा वापर करणे शक्य झाले. त्यामुळे भूमितीच्या प्रगतीस अनेक दिशांनी चालना मिळाली : (१) प्रतलावरील रेषा व शांकव यांचा अभ्यास एकघाती व द्विघाती समीकरणांनी करता येतो. तेव्हा स्वाभाविकपणे तीन, चार, …, प-घाती वक्रांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करणेही सुलभ झाले. (२) अनेक जुन्या व नव्या प्रश्नांची खात्रीलायक उत्तरे मिळू लागली. ग्रीक गणितज्ञांनी मांडलेल्या तीन भूमितीय रचना केवळ कंपास व पट्टी यांनी शक्य नाहीत, हे सिद्ध झाले. कारण बीजगणिती भाषेत याकरिता घनमूळाची क्रिया वापरावी लागते. जिच्यामध्ये बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार व वर्गमूळ या क्रिया वापरल्या जातात अशीच भूमितीय रचना केवळ कंपास व पट्टी यांनी शक्य होते, हे सिद्ध झाले.(३)सहनिर्देशक पद्धतीमुळे प-मितीय अवकाशाची संकल्पना सजह रीतीने वापरणे शक्य झाले. प-मितीय अवकाशातील बिंदू प सहनिर्देशकांनी निश्चित होतात.

बीजगणितातील असत्‌संख्येच्या [⟶ संख्या] साहाय्याने भूमितीत असत्‌ बिंदू, असत्‌ रेषा या संकल्पनांचा उपयोग होऊ लागला. यामुळे अनेक प्रमेये कोणत्याही अपवादाशिवाय जास्त व्यापक स्वरूपात मांडणे शक्य झाले. उदा., ‘दोन शांकव एकमेकांना चार बिंदूमध्ये छेदतात’ हे प्रमेय. यामध्ये दोन किंवा काही वेळेस चारीही बिंदू असत् बिंदू असू शकतील. यापुढे जाऊन गणितज्ञ सदसत्‌ प्रतल, सदसत्‌ अवकाश यांचाही अभ्यास करू लागले.

सतराव्या शतकाच्या उत्तरार्धात अवकलन शास्त्राच्या [⟶अवकलन व समाकलन ] विकासाचा भूमितीवरही परिणाम झाला. वक्रांच्या स्पर्शरेषा, वक्रता अशासारखे अवकलजांचा संबंध येणारे प्रश्न हाताळणेशक्य झाले. ⇨ लेनर्ड ऑयलर (१७०७-८३), ⇨गास्पार माँझ (१७४६-१८१८) व ⇨कार्ल फ्रीड्रिख गौस (१७७७-१८५५) या गणितज्ञांनी पृष्ठासंबंधीचे बरेच प्रश्न अभ्यासून अवकल भूमितीची शाखा विशेष समृद्ध केली. पृष्ठाला वेष्टिणाऱ्या (अन्वालोपी) अवकाशावर अवलंबून नसणारे असे पृष्ठाची वक्रता, त्यावरील अल्पांतरी रेषा अशासारख्या पृष्ठाच्या अंगभूत गुणधर्मांचा गौस यांनी विशेष अभ्यास केला. शुद्ध भूमितीच्या पुरस्कर्त्याना भूमितीच्या विकासाची ही दिशा विशेष मान्य नव्हती. त्यांच्या मते भूमितीचे खरे सौंदर्य बीजगणितीय सूत्रांमध्ये लोपू लागले होते. एकोणिसाव्या शतकात माँझ या फ्रेंच गणितज्ञांच्या पुढाकाराने त्यांचे शिष्य एल्‌. एन्‌. एम्‌. कार्नो (१७५३-१८२३ ), ⇨ झां व्हीक्‍ताँर पाँस्ले (१७८८-१८६७) यानी शुद्ध भूमितीचे महत्त्व पुन्हा प्रस्थापित केले. या पद्धती बीजगणिती किंवा वैश्लेषिक पद्धतीइतक्याच किंवा काकणभर जास्त परिणामकारक रीतीने भूमिगत वापरता येतात, असे त्यांनी सिद्ध केले. पाँस्ले व त्यांचे शिष्य यांनी पुढे एकोणिसाव्या शतकात प्रक्षेपीय भूमितीचा बराच विकास केला. माँझ यांनी वर्णनात्मक भूमितीची निर्मिती केली. ही भूमिती अनुप्रयुक्त (व्यावहारिक) गणिताचीच एक शाखा मानणे जास्त योग्य होईल.

वरील सर्व घटनांना मागे सारणारी व गणिती जगात खळबळ उडवून देणारी घटना एकोणिसाव्या शतकात घडली आणि ती म्हणजे अयुक्लिडीय भूमितीचा जन्म. युक्लिडीय भूमितीमधील समांतर रेषांसंबंधीचे गृहीतक वा गृहीततत्व (दोन रेषांना छेदणारी एखादी रेषा काढली असता ज्या बाजूच्या आंतरकोनाची बेरीज दोन काटकोनांपेक्षा कमी असेल त्या बाजूस त्या दोन रेषा वाढविल्या असता एकमेकींस छेदतात आ.१) यूक्लिड यांच्यानंतर जवळजवळ २,००० वर्षे वादाचा विषय झाले होते. ते इतर गृहीतकांप्रमाणे स्वयंसिद्ध वाटत नसल्यामुळे अनेक गणितज्ञांनी ते सिद्ध करण्याचा प्रयत्न केला. शेवटी एकोणिसाव्या शतकात गौस, ⇨ न्‍यिकली इव्हानव्हिच लोबाचेव्हस्की (१७९३-१८५६), ⇨यानोश बोल्याँई (१८०२-६०) आणि पुढे ⇨ गेओर्ख फ्रीड्रिख रीमान (१८२६-६६) यांनी केलेल्या संधोधनाने असे सिद्ध झाले की, हे गृहीतक सिद्ध करणे शक्य नाही, इतकेच नाही याऐवजी समांतर रेषांविषयी दुसरे एखादे गृहीतक धरले, तर युक्लिडीय भूमितीइतकीच सुसंगत अशी दुसरी भूमिती निर्माण करणे शक्य आहे. य़ूक्लिडीय भूमिती हीच फक्त खरी भूमिती या विचाराची पकड गणितज्ञांच्या मनावर इतकी दृढ होती की, त्याला धक्का देणारा हा शोध सहजासहजी पचवणे शक्य नव्हते. त्यामुळे वरील गणितज्ञांच्या शोधांना मान्यता मिळण्यास साहजिकच काही वेळ लागला. प्रतलावरील समांतर रेषांसंबंधी केलेल्या निरनिराळ्या गृहीतकांनुसार युक्लिडीय, लोबाचेव्हस्कीय व रीमानीय अशा तीन मुख्य द्विमितीय भूमिती शाखा अस्तित्वात आहेत.


आ. १. समांतर रेषांसंबंधीचे गृहीतक : अ व आ

या रेषांना या रेषेने छेदल्याने झालेल्या क व ख या आंतरकोनांच्या बाबतीत Ð क + Ð ख ही बेरीज १८०पेक्षा कमी असल्यास या कोनांच्या बाजूला अ व आ या रेषा छेदतात१८५४ मध्ये रीमान यांनी प-मितीय अवकाशातील दोन बिंदूमधील अंतर देणारे सूत्र व्यापक करून जी भूमिती निर्माण केली ती रीमानीय भूमिती या नावाने ओळखली जाते. आइनस्टाईन यांनी आपल्या ⇨सापेक्षता सिद्धांतामध्ये या भूमितीचा उपयोग केल्यामुळे तिच्या अभ्यासाला विशेष चालना मिळाली. या दिशेने झालेल्या संशोधनात सजातीय संबद्ध भूमिती व आर्‌. फिन्सलर या गणितज्ञांच्या नावाने ओळखण्यात येणारी ‘फिन्सलर भूमिती’ यांचा अभ्यास झाला. रीमान हे ⇨ संस्थितिविज्ञान या भूमितीच्या महत्त्वाच्या शाखेचेही निर्माते आहेत. एखाद्या आकृतीवर प्रसरण, आकुंचन, वाकवणे, पिरगळणे वगैरे क्रिया आकृती न फाडता केल्या असता ज्या निरनिराळ्या आकृत्या मिळतील त्या संस्थितिविज्ञानात तुल्य समजल्या जातात (उदा., रबराच्या पृष्ठावर काढलेल्या आकृतीचे रबर न फाडता निरनिराळ्या आकृत्यांमध्ये रूपांतर केल्यास त्या सर्व तुल्य होतील) व अशा प्रक्रियेमध्ये जे गुणधर्म अचल राहतात त्यांचा अभ्यास या शाखेत होतो.

अत्याधुनिक काळ : भूमितीच्या या भव्य इमारतीचा पाया मात्र बराच उशिरा मजबूत करण्यात आला. यूक्लिड यांचा भूमितीवरील ग्रंथ हा सुसंगत अशा सैद्धांतिक प्रणालीचे एक उत्तम उदाहरण म्हणून समजले गेले होते. पण त्यामध्ये यूक्लिड यांनी काही वेळा गृहीतकांवर न आधारलेल्या अशा काही संकल्पनांचा वापर केला, असे दिसून आले. भूमितीची गृहीतके अशी हवीत की त्यांवर आधारित भूमिती ही या गृहीतकांच्या व्यतिरिक्त इतर कशावरही अवलंबून असता कामा नये. या दृष्टीने ⇨ जूझेप्पे पेआनो (१८५-१९३२), एम्‌. पाश (१८४३-१९३०) व एम्‌. पिएरी (१८६०-१९१३) या गणितज्ञांनी अभ्यास केला. अलीकडे ⇨ डाव्हीट हिल्बर्ट (१८६२-१९४३), ⇨झ्यूल आंरी प्वँकारे (१८५४-१९१२), ⇨ऑझ्वाल्ड व्हेब्लेन (१८८०-१९६०) या गणितज्ञांनी त्यामध्ये विशेष कार्य केले. यामुळे भूमितीचा पाया तर दृढ झालाच पण भूमितीकडे पाहण्याचा दृष्टिकोनही बदलला. भूमिती ही एक निगामी (विशिष्ट गृहीत विधानांवरून तर्कशास्त्रीय नियमांनुसार एखादे विधान सिद्ध करणारी) प्रणाली असल्यामुळे त्यातील प्रत्येक प्रमेय हे पूर्वी सिद्ध केलेल्या प्रमेयावरून सिद्ध केले जाते. ही क्रिया अनंत वेळा करणे शक्य नसल्यामुळे भूमिती ही काही गृहीतकांवर आधारित असली पाहिजे. [⟶ गणिताचा तात्विक पाया].

आधुनिक गणितामध्ये मूलभूत घटकांच्या व्याख्या करण्याची पद्धत नाही, कारण यामध्ये अडचण अशी येते की, व्याख्येमध्ये वापरलेल्या संज्ञांची पुन्हा व्याख्या करावी लागते. अशा तऱ्हेने आपण मागे किती जाणार याला अंत नसतो. म्हणून कमीत कमी संज्ञा व्याख्यारहित गृहीतक धरून आपण पुढचा विचार सुरू करतो. ⇨ संच सिद्धांतात ‘संच’ व त्यातील ‘घटक’ या दोन संज्ञा अशा तऱ्हेने वापरतात. याचप्रमाणे प्रतलीय भूमितीमध्ये ‘बिंदू’ व ‘रेषा’ या संज्ञा मूलभूत घटक म्हणून अशाच तऱ्हेने वापराव्या लागतात.

आज गणितज्ञ बनाख अवकाश, हिल्बर्ट अवकाश वगैरे अमूर्त अवकाशांचा अभ्यास करीत आहेत [⟶फलनक विश्लेषण]. या अवकाशातील फलने ही मूळ भूमितीय घटक (बिंदू) आहेत. हिल्बर्ट यांनी तर अनंत मितीय अवकाशाची संकल्पनाही वापरली आहे. आज भूमितीय घटक म्हणून कोणतीही गणितीय वस्तू वापरली जाते. या नवीन नवीन घटकांच्या बाबतीत काही वेळा असे काही विलक्षण गुणधर्म आढळत आहेत की, पूर्वी त्यांची कल्पनाही अशक्य वाटली असती. भूमितीचे हे नवे रूप पाहून कोणाला वाटेल की, भूमिती ही गणितज्ञांच्या केवळ कल्पनाविलासाचा खेळ झाला आहे. पण आश्रर्याची गोष्ट अशी की, या नव्या संकल्पना विज्ञानाच्या इतर शाखांतील प्रश्नसोडविण्यास उपयुक्त ठरत आहेत. आधुनिक भूमितीतील स्वंयसिद्धकांनुसारी परिमित भूमितीचा सांख्यिकीमधील (संख्याशास्त्रातील) ⇨ प्रयोगांचा अभिकल्प या शाखेत उपयोग केला जातो. या शाखेच्या प्रगतीत आधुनिक भारतीय गणितज्ञांनी हातभार लावला आहे.

युक्लिडीय भूमिती

इ. स. पू. ३०० च्या सुमारास यूक्लिड यांनी तेरा भागांचा एलेमेंट्स हा जो प्रसिद्ध ग्रंथ लिहिला त्यामधील भूमितीविषयक जो भाग आहे त्याला युक्लिडीय भूमिती हे नाव दिले जाते. युकिल्ड यांनी अँलेक्झांड्रिया येथे भूमितीच्या अध्यापनाकरिता एक संस्थाही स्थापन केली होती. यूक्लिड यांचा हा ग्रंथ वैज्ञानिक विचार-विकासाच्या इतिहासातील फार महत्त्वाचा टप्पा समजला जातो. दोन हजार वर्षानंतरही आज सर्व देशांमध्ये माध्यमिक शाळांमधून जी भूमितीची पाठ्यपुस्तके वापरली जातात, ती सर्व यूक्लिड यांच्या ग्रंथाचा शैक्षणिक सोयीकरता काही बदल करून केलेला अनुवाद आहेत.

एलेमेंट्स ह्या ग्रंथाचे तेरा भाग आहेत, त्यांपैकी पहिल्या सहा भागांमध्ये सध्या माध्यामिक शाळांमधून जी प्रतलीय भूमिती शिकविली जाते तो भाग आहे. सात ते दहा या भागांत भूमितीय विषयांऐवजी ⇨ संख्या सिद्धांतामधील प्रश्नांचा उहापोह आढळतो. वर्गमूळ व घनमूळ, अपरिमेय संख्या, अविभाज्य संख्या, परंपरित प्रमाण वगैरेसंबंधीचा विचार या भागात केलेला आहे. अकरा व बारा या भागांत घन भूमिती, क्षेत्रफळ व घनफळ यांचे मापन यासंबंधीची चर्चा आहे. शेवटच्या भागात प्रथम, अन्त्य व मध्य गुणोत्तर यासंबंधी व नंतर पाच सुसम घनाकृती वा प्रस्थ (घन, चतुपृष्ठक, अष्टपृष्ठक, द्वादशपृष्ठक व विंशतिपृष्ठक) यांच्या संबंधीची माहिती आहे. ह्या सुसम प्रस्थांना प्लेटॉनिक प्रस्थ म्हणतात [⟶ प्रस्थ, सामान्य]. भूमितीमधील बहुसंख्य प्रमेये बिंदू, सरळ रेषा, प्रतल व यांचे समूह यासंबंधी आहेत, वक्ररेषांपैकी वर्तुळ व पृष्ठांपैकी वर्तुळाशी संबंधित गोल, चिती व शंकू यासंबंधीच्या प्रमेयांचा समावेश या भूमितीत केलेला आहे.


प्रतलीय भूमिती : तार्किक पाया : युक्लिडीय भूमितीमध्ये निगमन पद्धतीने आविष्कृत अशी गणितशास्त्राची संगतवार मांडणी आढळते. या मांडणीचा पाया पुढील तीन खांबांवर उभा आहे : (१) बिंदू, रेषा, प्रतल, त्रिकोण, वर्तुळ, कोन असे जे भूमितीचे प्रमुख घटक आहेत त्यांच्या व्याख्या (२) काही गृहीतके (ज्यांची सत्यता गृहीत धरली जाईल पण जी कदाचित स्वयंसिद्ध नसतीलही) (३) सर्वसामान्य अनुभवास धरून काही स्वयंसिद्धके [ स्वतः सिद्ध असलेली व सामान्यतःग्राह्य मानण्यात येणारी तत्वे ⟶ स्वयंसिद्धक]. युक्लिडीय भूमिती ही ह्या तीन खांबांवर आधारित अशी प्रमेय प्रणाली आहे. प्रत्येक प्रमेय हे त्यापूर्वी सिद्ध केलेल्या प्रमेयावर आधारित असते.

घटकांच्या व्याख्या : यूक्लिड यांच्या ग्रंथाचा प्रत्येक भाग त्यामध्ये येणारे भूमितीय घटक व संकल्पना यांच्या व्याख्यांनी सुरू होतो. प्रतलीय भूमितीमधील यूक्लिड यांनी दिलेल्या काही व्याख्या खाली दिल्याप्रमाणे आहेत.

(१) बिंदुला स्थान असते परंतु विस्तार नसतो. (२) रूंदीरहित लांबी म्हणजे रेषा. (३) दोन प्रतलीय रेषा एकमेकांशी जो विक्षेप करतात त्यास प्रतलीय कोन म्हणतात. दोन रेषा जर एकाच रेषेत असतील, तर त्या कोनास सरळ कोन म्हणतात. (४) जेव्हा एक सरळ रेषा दुसऱ्या सरळ रेषेवर अशा तऱ्हेने उभी असते की, संलग्न कोन समान होतात तेव्हा तो प्रत्येक कोन म्हणजे काटकोन होय. (५) वर्तुळ ही अशी एकरेषीय प्रतलीय आकृती आहे की, त्यावरील प्रत्येक बिंदुला एका विवक्षित स्थिर अंतर्गत बिंदूस जोडणाऱ्या सर्व सरळ रेषा समान लांबीच्या असतात. त्या अंतर्गत बिंदूस केंद्र म्हणतात व समान लांबीस त्रिज्या म्हणतात. (६) तीन सरळ रेषांनी बद्ध असलेली आकृतीम्हणजे त्रिकोण होय. (७) ज्या प्रतलीय रेषा दोन्ही दिशांनी कितीही वाढविल्या असता एकमेकांस छेदत नाहीत त्या समांतर रेषा होत.

युक्लिडीय प्रतलीय भूमितीचे मूलभूत घटक बिंदू व रेषा हे आहेत [⟶बिंदु रेषा]. या घटकांची व्याख्या देण्यासाठी इतर घटकांचा उपयोग करावा लागतो आणि या इतर घटकांची व्याख्या देण्यासाठी आणखी काही घटक आवश्यक ठरतील. यामुळे आधुनिक भूमितीय विवरणात बहुधा या मूलभूत घटकांच्या व्याख्या देण्यात येत नाहीत. या घटकांच्या युक्लिडीय व्याख्या अंतःप्रेरणात्मक स्वरूपाच्या आहेत आणि गणितीय प्रणालीत त्या प्रचलित व्याख्यांप्रमाणे यथार्थपणे बसत नाहीत. आता एखाद्या भौतिकीविज्ञाला अवकाशाचा अभ्यास करण्यासाठी भूमितीचा उपयोग करावयाचा असेल तर त्याला कोणत्या भौतिकीय वस्तू बिंदू (उदा.,एखाद्या इलेक्ट्रॉन,एखाद्या तारा,एखादे शहर),रेषा (उदा.,अतिशय घट्ट ताणलेली तार वा दोरी,प्रकाशकिरणाचा मार्ग) इ. घटकांनी दर्शवावयाच्या आहेत हे अगोदर ठरवावे लागेल. या प्रत्येक निदर्शनात भूमितीच्या (खाली दिलेल्या) स्वयंसिद्धकांपैकी सर्वांचीच पूर्तता होते असे नाही हे स्पष्ट आहे तसेच बिंदू व रेषा यांचे कोणते गुणधर्म असावेत याची अंतःप्रेरणात्मक जाणीव होत नाही. सामान्यतःभौतिकीय वस्तूंच्या बाबतीत स्वयंसिद्धकांची पूर्णतःपूर्तता होणार नाही, तथापि जेथे त्यांची बहुतांशी पूर्तता होत असेल तेथे युक्लिडीय प्रणालीतील प्रमेये तदनुरूप भौतिकीय वस्तूंच्या बाबतीत बहुतांशी सत्य ठरतील.

युक्लिडीय व्याख्येनुसार बिंदू म्हणजे ज्याला भाग नाहीत असा घटक होय, तर आधुनिक भूमितिविज्ञांनुसार बिंदू हा भूमितीचा अव्याख्यात (व्याख्यारहित) घटक असून बिंदूच्या प्रत्येक जोडीशी संगत असा बिंदूचा एक एकमेव संच असतो व त्याला रेषा म्हणतात. यूक्लिडीयोत्तर मानीय भूमितीत बिंदूंची प्रत्येक जोडी, एक (सत्‌) संख्या निर्धारित करते व तिला अंतर कख म्हणतात. हे भिन्न बिंदू असतील, तर ही संख्या धन असते आणि भिन्न नसून एकच असतील तर शून्य असते.

युक्लिडीय व्याख्येप्रमाणे रेषा ही रूंदीरहित लांबी होय, रेषेची टोके म्हणजे बिंदू होत आणि सरळ रेषा म्हणजे तिच्या बिंदूसह समसमान स्थितीत असलेली रेषा होय. तीन बिंदू क, ख हे जर एकाच सरळ रेषेवर असतील, तर ते एकरेषीय आहेत असे म्हणतात. आधुनिक संकेतानुसार परिमित युक्लिडीय सरळ रेषेला रेषाखंड म्हणतात आणि रेषा हा एकेरी शब्द भूमितीत सामान्यतः दोन्ही दिशांनी अमर्यादपणे वाढविलेल्या यूक्लीडीय सरळ रेषेला उद्देशून वापरतात व ती निर्देशित करण्यासाठी एकच अक्षर (उदा., रेषा ) वापरतात. मानीय भूमितीत जर , या एकाच सरळ रेषेवरील बिंदूच्या बाबतीत कप+पख = कख असेल,तर प हा बिंदू यांच्या दरम्यान आहे असे म्हणतात. तीन बिंदूपैकी एक जर बाकीच्या दोहोंच्या दरम्यान असेल, तर ते बिंदू एकरेषीय आहेत असे म्हणतात. 

प्रतलीय भूमितीत बिंदु व रेषा या घटकांपासून इतर अनेक घटक निर्माण करता येतात. यांपैकी अधिकांशाने अभ्यास करण्यात येणारे काही घटक म्हणजे रेषाखंड,किरण,कोन,त्रिकोण,चौकोन व इतर बहुभूजाकृती,वर्तुळ व इतर शांकव हे होत.

रेषाखंड हा एखाद्या रेषेवरील दिलेल्या दोन बिंदूच्या दरम्यानच्या सर्व बिंदूंनी बनलेला असतो. अशा प्रकारे रेषाखंडाला दोन अंत्यबिंदू असतात व तो रेषेप्रमाणे दोन्ही दिशांना ‘अमर्यादपणे’ विस्तारलेला नसतो. रेषाखंड [कख] यात हे दोन भिन्न बिंदू आणि त्यांच्या दरम्यानचे सर्व बिंदू समाविष्ट असतात. कख ही रेषा आणि हे भिन्न बिंदू व त्यांच्याशी एकरेषीय असलेले सर्व बिंदू यांनी बनलेली असते.

किरणाला फक्त एक व एकच अंत्यबिंदू असून त्या बिंदूपासून किरण एकाच दिशेने अमर्यादपणे वाढविता येतो. किरण हा अर्धरेषा म्हणूनही मानण्यात येतो. किरण () यात रेषाखंड [कख] आणि ज्यांच्या बाबतीत ख हा बिंदू यांच्या दरम्यान असतो असे सर्व बिंदू समाविष्ट होतात. रेषेचे निदर्शन करण्याकरिता ज्या भौतिकीय वस्तू (उदा.,अतिशय घट्ट ताणलेली तार,प्रकाशकिरण इ.) वापरण्याची शक्यता आहे त्या वस्तू रेषेऐवजी रेषाखंड अथवा किरण यांच्याशी अधिकांशाने सदृश आहेत, हे वरील विवरणावरून स्पष्ट होते.

कोणत्याही दोन रेषा (अमर्यादपणे वाढविलेल्या) एकरूप असतात. दोन भिन्न बिंदू समाईक असलेल्या दोन रेषा,संपाती आहेत असे म्हणतात आणि दोन रेषांना फक्त एकच बिंदू समाईक असेल,तर त्या रेषांना एकमेकींना छेदणाऱ्या रेषा म्हणतात. कोणतेही दोन किरण एकरूप असतात. त्या दोहोंचा अंत्यबिंदू व आणखी एक बिंदू सममाईक असतील, तर ते दोन किरण संपाती असतात. दोन रेषाखंडांच्या लांब्या समान असतील, तरच ते एकरूप आहेत असे म्हणतात.


जर दोन किरणांना एकच अंत्यबिंदू समाईक असेल, तर त्या किरणांमधील बिंदूचा (अंत्यबिंदूसहित) संचाला कोन म्हणतात. समाईक अंत्यबिंदूला कोनाचा शिरोबिंदू म्हणतात. कोनाची ही व्याख्या भूमितीच्या अभ्यासाच्या दृष्टीने समाधारकारक असली,तरी तीत कोनाच्या ‘इतिहासाचा’ म्हणजे कोन कसा तयार झाला याचा अंतर्भाव झालेला नाही आणि या संदर्भात या व्याख्याने सर्व कोनांचे माप १८०° वा त्यापेक्षा कमी असू शकते. तथापि ⇨ त्रिकोणमितीसारख्या विषयात १८०° पेक्षा मोठे कोन विचारात घ्यावे लागत असल्याने कोनाच्या निर्मितीची काही कल्पना अंतर्भूत करणे आवश्यक ठरते. म्हणून रेषेने तीवरील एका बिंदूभोवती एकाच प्रतलात केलेल्या परिभ्रमणाच्या मोजमापाच्या स्वरूपात कोनाची केलेली व्याख्या वापरावी लागते [⟶ कोन].

त्रिकोण हा तीन नैकरेषीय (एकाच रेषेवर नसलेल्या) बिंदूंनी व या तीन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडांनी बनलेला असतो. या तीन बिंदूंना त्रिकोणाचे शिरोबिंदू व तीन रेषाखंडांना त्याच्या बाजू किंवा भुजा म्हणतात. त्रिकोणाचे समभुज, समद्विभूज, विषमभुज इ. प्रकार आहेत. सध्याच्या संकेतानुसार त्रिकोणासारख्या भूमितीय आकृतीच्या बाबतीत निर्देश करताना सामान्यतःतिचा निर्देश आकृतीचा अंतर्भाग असा न करता आकृतीची मर्यादा वा सीमा असा करतात. त्रिकोण ही तीन बाजू असलेली बहुभुजाकृती होय,चार बाजू असलेली बहुभुजाकृती म्हणजे चौकोन (याचे समभुज,समांतरभुज,आयत. चौरस इ. प्रकार आहेत), पाच बाजू असलेली म्हणजे पंचकोन इत्यादी. सुसम बहुभुजाकृती म्हणजे जिच्या सर्व बाजूंची मापे व सर्व कोनांची मापे सारखी आहेत अशी आकृती होय [⟶बहुभुजाकृति].

वर्तुळ, विवृत्त, अपास्त इ. शांकव या प्रतलीय आकृत्या असून जात्य वृत्तशांकवीय (ज्याचा पाया वर्तुळाकार असून अक्ष पायाला लंब आहे अशा शंकूच्या) पृष्ठाला निरनिराळ्या स्थितीतील प्रतलाने छेदून त्या मिळविता येतात [⟶शंकुच्छेद].

गृहीतके : यूक्लिड यांनी प्रतलीय भूमितीसंबंधी मांडलेली पाच गृहीतके पुढीलप्रमाणे आहेत : (१) कोणत्याही एका बिंदूपासून दुसऱ्या कोणत्याही बिंदूस जोडणारी सरळ रेषा काढता येते. म्हणजेच कोणतेही दोन बिंदू एक सरळ रेषा निश्चित करतात. (२) कोणतीही परिमित सरळ रेषा त्याच सरळ रेषेत दोन्ही दिशांत सतत वाढविता येते. (३) प्रतलावरील कोणताही बिंदू केंद्र मानून पाहिजे त्या त्रिज्येचे वर्तुळ काढता येते. (४) सर्व काटकोन एकमेकांस समान असतात. (५) दोन सरळ रेषांना छेदणारी सरळ रेषा काढली असता ज्या बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज दोन काटकोनांपेक्षा कमी असेल त्या बाजूस रेषा वाढविल्या असता एकमेकांस छेदतात. समांतर रेषांसंबंधीची प्रमेये या गृहीतकावर आधारित असल्यामुळे या गृहीतकास समांतर गृहीतक म्हणतात. हे गृहीतक पुढे निरनिराळ्या स्वरूपात मांडले गेले. जसे ‘दिलेल्या रेषेबाहेरील बिंदूमधून त्या रेषेस एकच एक समांतर रेषा काढता येते’ किंवा ‘ज्या रेषांमधील अंतर सतत सारखे रहाते त्या समांतर रेषा असतात’.

स्वयंसिद्धके : यूक्लिड यांनी आपल्या ग्रंथाच्या सुरूवातीस उल्लेखिलेली पाच स्वयंसिद्धके पुढीलप्रमाणे आहेत : (१) जे घटक दुसऱ्या एका घटकाशी समान असतात ते एकमेकांशी समान असतात. (२) समान भाग दुसऱ्या समान भागांमध्ये मिळविले असता समग्र भागही समान असतात. (३) समान भाग समान भागातून काढून घेतले असता उर्वरित भाग समान असतात. (४) जे घटक (एकमेकांवर ठेवले असता) एकरूप होतात ते एकमेकांशी समान असतात. (५) समग्र भाग हा त्याच्या अंश भागापेक्षा मोठा असतो.

भूमिती ही काही गृहीतकांवर आधारित अशी प्रणाली असल्यामुळे ही गृहीतके अतिशय स्पष्ट रीतीने मांडणे जरूर आहे आणि विषयाच्या पुढील मांडणीमध्ये सुरूवातीस उल्लेखिलेल्या गृहीतकांखेरीज अन्य कशाचाही आधार घेणे योग्य होणार नाही. अशा परिस्थितीत भूमितिविज्ञांस ‘ही प्रमेये खरी आहेत का ? ’ असा प्रश्न केला, तर तो उत्तर देईल होय, ‘जर माझी गृहीतके खरी असली तर’. यापुढील स्वाभाविक प्रश्न हा की, गृहीतके सत्य का असत्य? पण ह्याचे उत्तर देण्याची जबाबदारी गणितज्ञांची नाही. तो प्रांत भौतिकीविज्ञ किंवा तत्वज्ञ यांचा होईल. युक्लिडीय भूमिती वरील कसोटीस उतरत नाही. वर उल्लेखिलेल्या व्याख्या, गृहीतके व स्वयंसिद्धके यांशिवाय काही तत्वांचा व संकल्पनांचा वापर यूक्लिड यांनी प्रमेये सिद्ध करताना केला आहे. उदा.,कख या रेषाखंडावर समभुज त्रिकोण काढण्याची रचना त्यांनी पुढीलप्रमाणे दिली आहे : क आणि ख ही केंद्रे अनुक्रमे घेऊन कख त्रिज्येची दोन वर्तुळे काढा. ती ज्या ठिकाणी छेदतील तो (ग बिंदू) त्रिकोणाचा तिसरा शिरोबिंदू होईल (आ. २). या रचनेमध्ये काढलेली वर्तुळे ही एकमेकांस कशावरून छेदतील ? या गोष्टीबद्दल स्पष्टीकरण न देता ही गोष्ट आकृतीच्या किंवा अवकाशासंबंधीच्या सहज ज्ञानाचा आधार घेऊन गृहीत धरलेली आहे. एकरूप त्रिकोणासंबंधीची प्रमेये सिद्ध करताना एक त्रिकोण उचलून दुसऱ्या त्रिकोणावर ठेवून ते तंतोतंत जोडून एकरूप होतात असे दाखविले आहे. यामध्ये त्रिकोणाचे आकारमान न बदलता अवकाशातून तो हालवून दुसऱ्या त्रिकोणावर ठेवता येतो हेगृहीत धरलेले आहे. ही गोष्ट स्वाभाविक वाटली तरी अवकाशातील गतीसंबंधी यूक्लिड यांनी आपल्या गृहीतकांमध्ये कोठेच उल्लेख केलेला नाही. (यूक्लिड यांच्यानंतर आता दोन भूमितीय आकृत्यांच्या एकरूपतेची व्याख्या पुढीलप्रमाणे करण्यात येते. जर एका आकृतीतील बिंदूंची दुसऱ्या आकृतीतील बिंदूशी अशी एकास-एक संगती लावता येत असेल की एका आकृतीतील कोणत्याही दोन बिंदूंमधील अंतर दुसऱ्या आकृतीतील संगत बिंदूमधील अंतराइतकेच असेल,तर त्या दोन आकृत्या एकरूप आहेत असे म्हणतात). या उदाहरणावरून युक्लिडीय भूमिती ही अंशतः भौतिक ज्ञानावर किंवा सहज ज्ञानावर आधारित असून ती पूर्णपणे तार्किक नाही असे म्हणावे लागेल. तरी पणऐतिहासिक दृष्ट्या गणितशास्त्राच्या तार्किक मांडणीचा एलेमेंट्स हा पहिलाच प्रयत्न होता असे म्हणता येईल. 


आ. २. समभुज त्रिकोणाची रचना.

अलीकडील गणितज्ञांनी युक्लिडीय भूमितीमधील उणिवा दूर करण्याचा प्रयत्न केला. त्यांनी गृहीतकांची मालिका अशी तयार केली की,त्यांच्यापासून निगमन पद्धतीने कोणतेही प्रमेय आकृतीही न काढता सिद्ध करता येईल. यामध्ये गौस, लोबाचेव्हस्की, पाशु, जी. व्हेरोनीझ (१८५४-१९१७) आणि विशेषतः पेआनो व पिएरी या गणितज्ञांचा भाग बेराच आहे. १९०० मध्ये हिल्बर्ट यांनी प्रथम अशा तऱ्हेच्या गृहीतकांची संगतवार मांडणी केली. त्यामध्ये गृहीतकांचे पाच गट केले आहेत. साहचर्य, क्रम, एकरूपता, समांतर रेषा व सातत्या यांसंबंधीची गृहीतके त्यामध्ये आहेत. त्यानंतर व्हेब्लेन व ई. व्ही. हंटिंग्टन (१८७४-१९५२) या गणितज्ञांनी जास्त स्पष्ट व सोप्या गृहीतकांची प्रणाली मांडली आहे.

गृहीतक प्रणालीसंबंधी दोन अटी पाळल्या गेल्या पाहिजेत. पहिली अट अशी की, ही प्रणाली एक स्वतंत्र प्रणाली असली पाहिजे म्हणजे तिच्यातील कोणतेही गृहीतक हे तिच्यामधील इतर गृहीतकांवर आधारित असू नये. दुसरी महत्त्वाची व आवश्यक अट म्हणजे ही गृहीतक प्रणाली विसंगत असून चालणार नाही. ही अट पाळली गेली नाही, तर अशा गृहीतकांवर आधारित सिद्धांत ढासळून पडतील. भूमितीच्या बाबतीत अजून कोणतीही विसंगती आढळून आलेली नाही, पण पुढेही कधी ती आढळणार नाही असे खात्रीने सांगता येईल का ? या प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा एक प्रयत्न असा : भूमितीय घटक आणि संख्या यांच्यामध्ये एकास-एक संगती प्रस्तापित करणे आणि हा प्रश्न भूमितीच्या प्रांतामधून संख्या सिद्धांताच्या प्रांतामध्ये आणून सोडणे. पण यामुळे प्रश्न सुटला असे होत नाही. संख्या सिद्धांतामधील गृहीतके सुसंगत आहेत का ? हा प्रश्न शिल्लक रहातो. १९३१ मध्ये ⇨ कुर्ट गोडेल ह्या जर्मन गणितज्ञांनी निर्णायक तऱ्हेने असे सिद्ध केले आहे की, एखाद्या गृहीतक प्रणालीची सुसंगती स्वतंत्रपणे सिद्ध करणे शक्य नाही.

विसाव्या शतकाच्या सुरूवातीच्या काळापर्यत अशी सर्वसाधारण समजूत होती की,गणितशास्त्रातील सत्याचे वैशिष्ट्य हे मानवाच्या इतर ज्ञानाच्या शाखांपेक्षा काही विशेष निराळे आहे. ‘गणितशास्त्रामध्ये आम्ही केवळ शुद्ध सत्याचाच विचार करतो …’ या एकोणिसाव्या शतकातील एका गणितज्ञांच्या उद्गारावरून त्यावेळच्या समजुतीची कल्पना येते. आज कोणताही गणितज्ञ आपल्या विषयासंबंधी अशा गैरवाजवी कल्पनांना थारा देणार नाही. थोर गणितज्ञ हिल्बर्ट हे गणितशास्त्राचे वर्णन अशा शब्दात करतात : ‘गणितशास्त्र हा आधी ठरविलेल्या काही नियमांनुसार व ज्यांना काही विशिष्ट अर्थ नाही अशा कागदावरील चिन्हांच्या साहाय्याने खेळावयाचा एक खेळ आहे’. हा खेळ बुद्धिबळाच्या खेळासारखा आहे. त्या सिद्धांतप्रणालीमधील मूळ घटक (उदा., भूमितीमधील मूळ घटक बिंदू, रेषा, … इ.) ही मोहरी आणि खेळांचे नियम म्हणजे त्या प्रणालीची गृहीतके व तर्कशास्त्राची तत्वे होत. म्हणून गणितशास्त्रातील एखादी सिद्धांतप्रणाली ही सत्य आहे का या प्रश्नाऐवजी ती तिच्यातील नियमांनुसार सुसंगत आहे ना हा प्रश्न विचारणे जास्त योग्य होईल. [ ⟶ गणिताचा तात्विक पाया].

युक्लिडीय भूमितीचा नमुना म्हणून प्रतलीय भूमितीमधील काही प्रमेये व रचना यांचे खाली विवरण दिलेले आहे.

प्रमेये : या भूमितीमधील प्रमेये दोन प्रकारची आहेत काही प्रमेयांमध्ये भूमितीमधील आकृत्यांचे गुणधर्म प्रस्थापित केले आहेत, तर काहींमध्ये आकृतीचे आवश्यक भाग दिले असता तिची रचना कशी करावयाची याचा विचार केलेला आहे. काही प्रमेये मापनाच्यासंकल्पनेशी निगडित आहेत. अशा तऱ्हेने संख्यात्मक संकल्पना भूमितीमध्ये आणलेल्या आहेत. लांबीचे एकक म्हणजे सोयीप्रमाणे निवडलेल्या सरळ रेषेचा खंड (इंच, सेंटीमीटर, … इ.), क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी एकक लांबीच्या बाजू असलेला चौरस हा एकक आणि कोन मोजण्यासाठी एखाद्या रेषेने तीवरील एका बिंदूभोवती केलेल्या एका पूर्ण प्रदक्षिणेचा १/३६० वा भाग (१ अंश) हा एकक निवडतात. सैद्धांतिक विवरणात कोनमापनासाठी आणखीही एका एककाची निवड केली जाते. वर्तुळामध्ये त्रिज्येइतक्याच लांबीच्या कंसासमोरील वर्तुळमध्यापाशी दोन त्रिज्यांनी बनवलेला कोन हे कोनमापनाचे एकक म्हणून निवडतात. या एककास अरीयमान (रेडियन) असे म्हणतात. [⟶ कोन].

काही प्रातिनिधिक प्रमेयांचा खाली उल्लेख केलेला आहे. दोन त्रिकोणांची एकरूपता सिद्ध करणाऱ्या प्रमेयांचा एक समूह आहे. यामध्ये एक त्रिकोण उचलून जर दुसऱ्यावर ठेवला, तर गृहीतकाचा उपयोग करून ते एकमेकांशी पूर्ण एकरूप होऊ शकतात असे दाखविले आहे. यांपैकी एक प्रमेय असे आहे : ‘एका त्रिकोणाच्या दोन बाजू व त्यांच्यातील कोन दुसऱ्या त्रिकोणाच्या दोन संगत बाजू व त्यांमधील कोन यांच्याशी अनुक्रमे समान असतील, तर हे दोन त्रिकोण एकरूप असतात’.


गृहीतक : कख = क’ ख’, कग = क’ ग‘, &lt = &lt क’ [ आ. ३]. 

आ. ३. त्रिकोणांच्या एकरूपतेचे बाजू-कोन-बाजू प्रमेय

कखग हा त्रिकोण क ‘ ख’ ग’ ह्या त्रिकोणावर असा ठेवा की, बिंदू हा ‘ वर पडेल, बाजू कख बाजू क’ख’ वर पडेल आणि ग’ हे क’ ख’ च्या एका बाजूलाच असतील. 

&lt =&ltककग बाजू ग’ वर पडेल. 

कख = क’ ख’ हा बिंदू ख’ वर पडेल. 

कग = क’ ग’ हा बिंदू ग’ वर पडेल. 

खग ही बाजू ग’ शी एकरूप होईल. 

&lt कखग व &lt ग’ एकरूप आहेत.

त्रिकोणाच्या एकरूपतेविषयी इतर प्रमेये पुढीलप्रमाणे आहेत : ‘एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन संगत बाजूंशी अनुक्रमे समान असतील, तर ते दोन त्रिकोण एकरूप असतात’.

आ. ४. त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज

‘एका त्रिकोणाचे दोन कोन व एक बाजू हे दुसऱ्या त्रिकोणाचे दोन संगत कोन व एक संगत बाजू यांच्याशी अनुक्रमे समान असतील, तर ते दोन त्रिकोण एकरूप असतात’.

 ‘त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज दोन काटकोनांबरोबर असते’ हे प्रमेय समांतर रेषांच्या गुणधर्मावर आधारित आहे. आ. ४ मध्ये क मधून खग ला मन ही समांतर रेषा काढल्यास प्रमेय सहज सिद्ध करता येते. यावरून त्रिखोणाचा बाह्य कोन हा त्रिकोणांच्या दोन अंतर्गत कोनांच्या बेरजेबरोबर असतो हे प्रमेय सिद्ध करता येते. 

पायथॅगोरस प्रमेय हे या भूमितीमधील विशेष महत्त्वाचे प्रमेय आहे. ते प्रमेय असे : ‘ काटकोन त्रिकोणातील कर्णावरचा चौरस हा उरलेल्या दोन बाजूंवरील चौरसांच्या बेरजेबरोबर असतो’. आ. ५ मधील दोन आकृत्यांची तुलना करता असे दिसून येते की, क्ष या चौरसाचे क्षेत्रफळ हे क्ष आणि क्षया चौरसांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेइतके आहे.


आ. ५. पायथॅगोरस प्रमेय : क२ + ख२ = ग२

दोन त्रिकोण जर समकोन असतील, तर एकरूप असतीलच असे नाही पण ते सरूप असतात. कारण दोन समकोन त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर समान असते व याचा व्यत्यासही सिद्ध करता येतो परंतु इतर सरल रेषात्मक आकृत्यांच्या बाबतीत हे खरे नाही. उदा., चौरस व आयत समकोन असूनही सरूप नाहीत. तसेच चौरस व समभूज चौकोन यांच्या बाजूंचे गुणोत्तर समान असूनही त्या आकृती समकोन नाहीत व म्हणून सरूप नाहीत. 

‘दोन सरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्यांच्या संगत बाजूंवरील चौरसांच्या गुणोत्तराबरोबर असते’.

Dकखग 

=

[कख] 

Dक’ख’ग 

[क’ख’] 

दोन सरूप बहुभुजाकृतींचे सरूप त्रिकोणांमध्ये भाग पडत असल्यामुळे वरील प्रमेय सरूप बहुभूजाकृतीचे सरूप त्रिकोणांमध्ये भाग पडत असल्यामुळे वरील प्रमेय सरूप बहुभुजाकृतींनाही लागू पडते. 

वर्तुळासंबंधीची काही प्रमेये खाली दिली आहेत.

 ‘वर्तुळाची स्पर्शरेषा (स्पर्शिका) व स्पर्शबिंदूमधून जाणारी त्रिज्या ही एकमेकांस लंब असतात’. (आ. ६). 

‘वर्तुळातील कोणत्याही कंसासमेरील वर्तुळमध्य कोन त्याच कंसासमोरील परिघ कोनाच्या दुप्पट असतो’ (आ. ७) व यावरून ‘एकाच वर्तुळखंडामधील परिघ कोन समान असतात’.

‘वर्तुळाच्या परिघावरील बिंदूतून जाणारी स्पर्शरेषा व त्याच बिंदूतून जाणारी जीवा यांमधील कोन विरूद्ध अंगास असणाऱ्या वर्तुळखंडातील कोनांबरोबर असतो’ (आ. ८).

आ. ६. वर्तुळाची स्पर्शरेषा (पफ) व स्पर्शबिंदूतून जाणारी त्रिज्या (कप) यांतील कोन Ðकपफ = ९००.


रचना : युक्लिडीय भूमितीमध्ये रचना करण्याकरिता दोन उपकरणांचाच फक्त उपयोग करावयाचा असतो. ती उपकरणे म्हणजे सरळरेषा काढण्याकरिता अंशांकन न केलेली (लांबीचे अंश दर्शविणाऱ्या खुणा न केलेली) पट्टी आणि वर्तुळे काढण्याकरिता कंपास. ज्या रचना या उपकरणांचा उपयोग करून काढता येतात त्यांना युक्लिडीय रचना म्हणता येईल. उदा., दिलेल्या कोनाचे द्विभाजन ही अशा तऱ्हेची एक रचना आहे (आ.९). दिलेला कोन जर Ð कखगअसेल, तर हा मध्य व कोणत्याही त्रिज्येचे वर्तुळ काढल्यास ते कोनाच्या भुजांना मध्ये छेदते. नंतर हे मध्य घेऊन कोणत्याही सोईस्कर अशा समान त्रिज्येची वर्तुळे काढली असता ती एकमेकांस मध्ये छेदतात. जोडले असता ती रेषा मधून जाते व खर्य हा कोनाचा दुभाजक होतो. 

आ. ७.वर्तुळमध्य कोन (Ð खकग ) = २ परिघ कोन (Ð खपग ).

‘त्रिकोणाचे कोणतेही तीन स्वतंत्र घटक दिले असता त्रिकोण काढणे’, अशा त्रिकोणांच्या रचनांचा एक समूह आहे. उदा., दिलेल्या दोन बाजू व त्यांच्यामधील दिलेला कोन असलेला त्रिकोण काढणे. 

आ. ८. विरूद्ध अंगाच्या वर्तुळखंडातील कोन

काही रचना दिसण्यास सोप्या परंतु केवळ पट्टी आणि कंपास यांचा वापर करून करता येत नाहीत. म्हणजेच त्या युक्लिडीय नसतात. एखादी रचना युक्लिडीय आहे किंवा नाही हे समजण्याचा मार्ग काय ? ह्याचे उत्तर पुढील प्रमेयाने मिळते : ‘जी बीजगणितीय पदावली परिमेयकृत्य (बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार) व वर्गमूळ काढण्याचे कृत्य यांचाच केवळ उपयोग करून आलेली आहे तिची रचना भूमितीमध्ये केवळ पट्टी व कंपास यांनी करता येते याउलट जी रचना युक्लिडीय आहे तिचे बीजगणितीय निदर्शन केवळ परिमेयकृत्य व वर्गमूळ कृत्य यांनी करता येते’.


आ. ९. कोनाचे द्विभाजन

 

कोणताही सरळ रेषेचा खंड घेतल्यास त्याची लांबी व एकक लांबी यांचे गुणोत्तर एक सत्‌संख्या होईल व त्या संख्येचा तो खंड निदर्शक मानता येईल आणि कोणतीही सत्‌संख्या सरळ रेषाखंडाने निदर्शित करता येईल. बीजगणितातील परिमेयकृत्ये भूमितीमध्ये कशी निदर्शित करता येतील याचा ऊहापोह खाली केला आहे. 

हे जर दोन सरळ रेषाखंड (म्हणजेच दोन सत्‌संख्या) असले, तर हा खंड कंपासाने खंडाच्या रेषेवर आणता येईल व असा तऱ्हेने + किंवा हे खंड मिळविता येतील. क×ख हा गुणाकार

१ 

=

क 

क्ष 

   

या समीकरणाने दर्शविता येईल. आ. १०  

मध्ये क्ष = ×हा हा खंड काढण्याची रचना दिली आहे.

पय=१, यम=ख, पर= आणि मन ।। यर

पय 

=

पर 

यम 

रन 

क 

हा भागाकार 

१ 

क्ष 

ख 

ख 

क 

रन 

क 

× 

ख 

या समीकरणाने दर्शविला तर वरीलप्रमाणेच 

क 

ख 

या खंडाची रचना करता येईल. 


वर्गमूळ 

 

हे 

१ 

=

क्ष

क्ष 

क 

  

या समीकरणावरून खालील प्रमाणे काढता येईल (आ. ११)  

पब=पफ+फब=१+ हा खंड व्यास घेऊन एक वर्तुळ काढा व मधून पब ला लंब रेषा काढून ती वर्तुळास म आणि न ह्या बिंदूंत छेदू द्या. आता मफ×फन=पफ×फब=१×म्हणून मफ=फन=√

यावरून प्रमेयाचा पहिला भाग सिद्ध होतो. आता प्रमेयाच्या दुसऱ्या भागाचा विचार करू. समजा एखादी आकृती पट्टी व कंपास यांच्या साहाय्याने काढलेली आहे. अशा रचनेमध्ये काही सरळ रेषा आणि वर्तुळे ह्यांचे छेदन आणि बिंदू काढलेले असतात. वैश्लेषिक भूमितीच्या कार्तीय सहनिर्देशक पद्धतीमध्ये सरळ रेषेचे समीकरण एकघाती असते. म्हणजेच कक्ष+खय+=० असते आणि वर्तुळाचे समीकरण क्ष++२टक्ष+२छय+ = ० हे द्विघाती असते. (यासंबंधी वैश्लेषिक भूमितीत अधिक विवरण दिलेले आहे.) दोन सरळ रेषांचा छेदन बिंदू हा दोन एकघाती युगपत समीकरणे सोडवून मिळतो. यामध्ये फक्त परिमेयकृत्यांचाच वापर होतो. सरळ रेषा व वर्तुळे यांचे छेदन बिंदू हे एकघाती व दुसरे द्विघाती अशी युगपत समीकरणे सोडवून मिळतील. यामध्ये 

आ. १० क × ख ची रचना येथे आकृती आहे. आ. ११. √क ची रचना

  

वर्गमूळ कृत्याचाही वापर करावा लागतो. यावरून प्रमेयाचा दुसरा भाग सिद्ध होतो. 

ग्रीक भूमितीमधील तीन प्रसिद्ध रचनांना ही कसोटी लावल्यास त्या रचना अशक्य आहेत हे दिसून येईल. या तीन रचनांचा उहापोह खाली केला आहे.

(१) दिलेल्या कोनाचे विभाजन : समजा दिलेला कोन Ð अ आहे म्हणजेच रचनेने

१ 

Р

३ 

मिळवावयाचा आहे. समजा कोज्या (अ)=क आणि कोज्या


  १ 

अ 

=

क्ष

त्रिकोणमितीमधील सूत्रान्वये कोज्या (अ)=४ कोज्या

अ 

– 

३ 

कोज्या 

अ 

३ 

३ 

म्हणजे क्ष निश्चित करण्याकरिता ४ क्ष-३ क्ष–क=० हे समीकरण सोडवावे लागेल. हे त्रिघाती समीकरण असल्यामुळे घनमूळ कृत्याचा वापर करावा लागेल. म्हणजेच ही रचना केवळ कंपास  व पट्टी यांनी करता येणार नाही. कोनाच्या द्विभाजनाची रचना घेतली, तर 

त्यामध्ये समीकरण कोज्या (अ)=२ कोज्या  

  अ 

– 

१ 

२ 

म्हणजेच २ क्ष = १+क सोडवावे लागेल आणि ते सोडवून क्ष =

√ 

+

  

म्हणजेच वर्गमूळांचाच फक्त वापर झाला, म्हणून कोन द्विभाजनाची रचना युक्लिडीय आहे. 

(२) दिलेल्या घनाच्या दुप्पट घन रचणे : म्हणजे दिलेल्या घनाच्या दुप्पट घनफळ असेल अशा घनाची बाजू रचणे. दिलेल्या घनाची बाजू जर क असेल, तर सोडवावयाचे समीकरण  क्ष= २क असे होईल, म्हणून ही रचना युक्लिडीय नाही.

(३) वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचा चौरस रचणे : वर्तुळाच्या परिघाइतकी सरळ रेषा काढणे ही रचना व वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतका चौरस काढणे ही रचना या समतुल्य आहेत. कारण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ =

१ 

२ 

  

त्रिज्या गुणिले परिघ. कोणत्याही वर्तुळाचा परिघ व व्यास ह्यांचे गुणोत्तर एक स्थिरांक आहे व ते πpह्या ग्रीक अक्षराने दर्शवितात. ए. एम्. लझांद्र या गणितज्ञांनी १७९४π मध्ये pही परिमेय संख्या नाही हे सिद्ध केले आणि पुढे सी. एल. एफ. लिंडेमान यांनी १८८२ मध्ये ही संख्या बीजातील (परिमेय संख्या सहगुणक असलेल्या कोणत्याही बीजगणितीय समीकरणाचे बीज नसलेली) असल्याचेही सिद्ध केले. यावरून ही रचना केवळ पट्टी व कंपास यांच्या साहाय्याने शक्य नाही हे उघड आहे. [ ⟶ गणितातील अनिर्वाहित प्रश्न].

सुसम बहुभूजाकृतीच्या रचना : प-बाजू असलेल्या सुसम बहुभूजाकृतीची रचना करणे म्हणजेच वर्तुळाच्या परिघाचे प समान भाग पाडणे होय. या रचनेच्या प्रश्नाचा बीजगणिताच्या विकासावर बराच परिणाम झाला. ग्रीक भूमितिविज्ञ ३, ४, ५, ६, ८,१०,… अशा बाजू असलेल्या सुसम बहुभूजाकृतीची रचना करण्यात यशस्वी ठरेल पण ७ बाजूंच्या सुसम बहुभूजाकृतीची रचना करण्यामध्ये त्यांना अपयश आले. ही रचना शक्य होण्यास प चे मूल्य काय असले पाहिजे या प्रश्नाचे उत्तर शोधण्यासाठी (क्ष) =१ या समीकरणाचा अभ्यास गणितज्ञांना करावा लागला. गौस यांनी असे प्रस्थापित केले की, ज्यावेळी प ही संख्या २. .न, …… या स्वरूपाची असेल आणि , न,…. या २२र + १ या स्वरूपाच्या अविभाज्य संख्या असतील तेव्हा प बाजूंची सुसम बहुभूजाकृतीची रचना शक्य आहे. ७ व ९ या संख्या अशा स्वरूपाच्या नसल्यामुळे ७ व ९ बाजूंच्या सुसम बहुभूजाकृती काढणे शक्य नाही.


वर उल्लेखिलेल्या ज्या रचना पट्टी व कंपास यांनी शक्य नाहीत त्या स्थूलमानाने करणे शक्य असते किंवा पट्टी व कंपास यांच्या बरोबर इतरही उपकरणे वापरली तर शक्य होतात. उदा., कोनाचे त्रिभाजन व दिलेल्या घनाच्या दुप्पट घन रचणे या रचना शांकव काढण्यासाठी ज्या उपकरणांचा उपयोग करतात ती वापरून शक्य होतात. तिसऱ्या रचनेमध्ये πp.ही बीजातील संख्या येत असल्यामुळे या रचनेकरिता बीजातील वक्रांचा उपयोग करावा लागतो [उदा., वृत्तज ⟶ वक्र].

घन भूमिती : एलेमेंट्सच्या अकरा व बारा या भागांत घन भूमितीचा विचार केलेला आहे. घन भूमितीच्या विचाराकरिता आवश्यक त्या नवीन व्याख्या सुरूवातीस देण्यात आलेल्या आहेत उदा., दोन प्रतलांमधील कोनाची व्याख्या. ही व्याख्या अशी देण्यात येते : दोन प्रतलांच्या छेदन रेषेवर कोणताही बिंदू घेऊन त्या ठिकाणी दोन्ही प्रतलांच्या छेदन रेषेला लंब काढले असता त्या लंब रेषांमधील कोन म्हणजे त्या दोन प्रतलांमधील कोन होय. ह्या कोनास द्वितल कोन म्हणतात. तीन किंवा त्याहून अधिक प्रतले एकाच बिंदूतून घेतली असता घन कोन तयार होतो. हीच व्याख्या व्यापक करून असे म्हणता येईल की, गोलावर कोणताही एखादा बंद वक्र घेऊन त्याच्या वरील बिंदू गोल-मध्याला जोडले असता गोल-मध्याजवळ घन कोन तयार होतो. तीन प्रतलांनी तयार होणाऱ्या कोनाला त्रितल कोन म्हणतात. [ ⟶ कोन].

प्रतलीय भूमितीचे विश्व द्विमितीय प्रतल असते आणि आता सामान्यतःत्यातील अव्याख्यात मूलभूत घटक बिंदू व रेषा हे मानण्यात येतात. घन भूमितीचे विश्व त्रिमितीय अवकाश असून त्यातील अव्याख्यात मूलभूत घटक प्रतले (सर्व दिशांनी अमर्यादपणे विस्तारलेली) व त्याचबरोबरच बिंदू व रेषा हे मानण्यात येतात [ ⟶ प्रतल बिंदू रेषा]. प्रतलांच्या बाबतीत मानण्यात येणाऱ्या गृहीतकांत पुढील गृहीतकांचा समावेश होतो : (१) दिलेले तीन नैकरेषीय बिंदू समाविष्ट करणारे एक आणि एकच प्रतल असते. (२) दिलेली रेषा व तिच्या बाहेरील एक बिंदू यांतून जाणरे एक आणि एकच प्रतल असते. (३) प्रतलातील कोणतेही दोन बूंदू समाविष्ट करणारी रेषा पूर्णपणे त्या प्रतलात असते. (४) परस्परांना छेदणाऱ्या दोन प्रतलांचा छेद म्हणजे एक रेषा असते.

प्रतलांच्या व रेषांच्या बाबतीतील काही व्याख्या व गुणधर्म पुढीलप्रमाणे आहेत. एकाच प्रतलात नसलेल्या रेषांना नैकप्रतलीय किंवा वितलीय रेषा म्हणतात. या रेषा अर्थात एकमेकींना छेदत नाहीत. दोन रेषा एकाच प्रतलात असून एकमेकींना छेदत नसतील, तर आणि तरच त्यांना समांतर रेषा म्हणतात. दोन प्रतले अथवा एक प्रतल व एक रेषा जर एकमेकांना छेदत नसतील, तर ती समांतर आहेत असे म्हणतात. दोन भिन्न प्रतले तिसऱ्या एकाच प्रतलात समांतर असतील, तर ती दोन प्रतलेही एकमेकांना समांतर असतात. दोन नैकप्रतलीय रेषांपैकी एक जर दुसरीला समांतर असलेल्या रेषेला लंब असेल, तर त्या नैकप्रतलीय रेषाएकमेकींना लंब आहेत असे म्हणतात. दिलेल्या रेषेला त्या रेषेवर नसलेल्या अशा दिलेल्या बिंदूतून एक आणि एकच लंब काढता येतो. हाच गुणधर्म प्रतलाच्या बाबतीतही सत्य आहे, पण जर दिलेला बिंदू दिलेल्या रेषेवरच असेल, तर अवकाशाच्या बाबतीत हा गुणधर्म लागू पडणार नाही. जर एखादी रेषा एखाद्या प्रतलाला प या बिंदूत छेदत असेल आणि जर ती प मधून काढलेल्या व त्या प्रतलातच असणाऱ्या प्रत्येक रेषेला लंब असेल, तर ती रेषा त्या प्रतलाला प येथे लंब आहे असे म्हणतात. तसेच ते प्रतल त्या रेषेला लंब आहे असे म्हणतात. एकमेकींना छेदणाऱ्या दोन रेषांपैकी प्रत्येकीला जर एखादी रेषा लंब असेल, तर ती रेषा त्या छेदणाऱ्या रेषांच्या प्रतलाला तसेच त्या प्रतलातील प्रत्येक रेषेला लंब असते.एखाद्या बिंदूचे एखाद्या रेषेपासूनचे अथवा एखाद्या बिंदूचे एखाद्या प्रतलापासूनचे अंतर हे त्या बिंदूपासून रेषेवर अथवा प्रतलावर टाकता येणाऱ्या एकमेव लंबाच्या लांबीएवढे असते.

घन भूमितीमधील काही प्रमेये पुढीलप्रमाणे आहेत : (१) दोन नैकप्रतलीय रेषांना छेदणारी व लंब अशी एक व एकच रेषा काढता येते आणि ही रेषा त्यांमधील लघुतम अंतर असते. (२) त्रितल कोनामध्ये दोन प्रतलीय कोनांची बेरीज तिसऱ्या प्रतलीय कोनापेक्षा जास्त असते. (३) चतुःपृष्ठकाच्या मध्यगा (शिरोबिंदू व त्यांच्या विरूद्ध असणाऱ्या पृष्ठकांचे मध्य जोडणारे रेषाखंड) एकसंपाती (एकाच बिंदूतून जाणाऱ्या) असतात व संपात बिंदू प्रत्येक मध्यगेस ३:१ या प्रमाणात विभागतो. (४) समांतर पृष्ठकांचे कर्ण एकसंपाती असतात व संपात बिंदू प्रत्येक कर्णाला दुभागतो. 

चार किंवा अधिक प्रतलांनी बंधित असणाऱ्या आकृतीला बहुपृष्ठक म्हणतात. ज्या बहुपृष्ठकामध्ये (१) सर्व पृष्ठके समान सुसम बहुभूजाकृती असतात व (२) प्रत्येक बिंदूतून जाणाऱ्या कडा व पृष्ठके समान असतात त्या बहुपृष्ठकांना सुसम बहुपृष्ठके म्हणतात. सुसम बहुपृष्ठके पाचच प्रकारची असू शकतात ह्या विधानाची सिद्धता पुढीलप्रमाणे आहे : कमीत कमी तीन प्रतलांनी घन कोन तयार होतो. कोणत्याही घन कोनाच्या प्रतलीय कोनांची बेरीज ३६० पेक्षा कमी असते. म्हणून कोणत्याही घनकोनाचा प्रत्येक प्रतलीय कोन १२० पेक्षा कमी असला पाहिजे, म्हणून सुसम बहुपृष्ठकाची पृष्ठके (१) समभुज त्रिकोण, (२) चौरस, (३) समकोणीय पंचकोनच असले पाहिजेत. समभुज त्रिकोणाचा कोन ६०असतो म्हणून समभुजत्रिकोण पृष्ठके असलेली बहुपृष्ठके तीनच संभवतात. चौरसाचा कोन ९० असतो म्हणून चौरस पृष्ठके असलेले बहुपृष्ठक एकच असू शकते.


आ. १२. सुसम बहुपृष्ठके (प्‍लेटॉनिम प्रस्थ) : (अ) चतु: पृष्ठक (आ) घन (इ) अष्टपृष्ठक (ई) द्वादशपृष्ठक (उ) विंशतिपृष्ठक.

तसेच समकोणीय पंचकोन पृष्ठके असलेले बहुपृष्ठक एकच असू शकते. (आ.१२). बहुपृष्ठकांविषयीचे ऑयलर यांचे पुढील सूत्र प्रसिद्ध आहे. बहुपृष्ठकाच्या पृष्ठकांची संख्या प, कडांची संख्या क आणि शिरोबिंदूची संख्या श असेल, तर श-क+प=२  

बहुपृष्ठकांविषयीच्या अधिक माहितीकरिता तसेच प्रचिन (प्रिझम), चिती, प्रसूची (पिरॅमिड) इ. प्रस्थांविषयीच्या माहितीकरिता ‘प्रस्थ, सामान्य’ ही नेंद पहावी. 

वैश्लेषिक भूमिती

देकार्त व फेर्मा या सतराव्या शतकातील दोन फ्रेंच गणितज्ञांना वैश्लेषिक भूमितीचे जनक मानण्यात येते. पण या भूमितीतील वैचारिक पार्श्वभूमी मेनाक्मस (इ.स.पू.सु.चौथ्या शतकाचा मध्यकाळ ) वअँपोलोनियस या ग्रीक गणितज्ञांच्या ग्रंथांत आढळते. अँपोलोनियस यांना शांकव भूमितीचे ‘यूक्लिड’ म्हणतात. समीकरणाद्वारे बिंदूपथाचा अभ्यास करणारे शास्त्र अशी या भूमितीची व्याख्या केल्यास तिच्या निर्मितीमधील अग्रपूजेचा मान ग्रीक गणितज्ञांनाच दिला पाहिजे. दशमान पद्धती व बीजगणितीय चिन्हे त्या वेळी अस्तित्वात नसल्यामुळे वैश्लेषिक भूमितीची आधुनिक स्वरूपात सुरूवात देकार्त व फेर्मा यांच्यापासून झाली असे म्हणता येईल. बिंदूचे स्थान सहनिर्देशकांनी निश्चित करून वक्र किंवा पृष्ठ यांचा अभ्यास बीजगणितीय समीकरणाद्वारे करणे हे या भूमितीचे वैशिष्ट्य आहे. कोणताही वक्र किंवा पृष्ठ हा या भूमितीचा अभ्यास विषय होईल. येथे निरनिराळ्या सहनिर्देशक पद्धती आणि त्यांचा प्रतलावरील रेषा, शांकव व घन भूमितीमधील प्रतल, रेषा, शांकवज (निरनिराळे शांकव एखाद्या अक्षाभोवती फिरविल्यास निर्माण होणारी पृष्ठे) यांच्या अभ्यासात होणारा उपयोग यांचाच थोडक्यात विचार केला आहे.

सहनिर्देशक पद्धती : एखादा ⇨ संदर्भ-व्यूह निवडून त्याच्या द्वारे कोणत्याही भूमितीय घटकांच्या (बिंदू, रेषा, वगैर) संचातील  

आ. १३. एकमितीय ( अथवा रेषीय ) सहनिर्देशक पद्धती


प्रत्येकाचे स्थान सहनिर्देशकांनी निश्चित करण्याची पद्धती म्हणजे सहनिर्देशक पद्धती होय. पृथ्वीच्या गोलावरील कोणतेही ठिकाण अक्षांश व रेखांश यांनी निश्चित करण्याची पद्धती ही सर्वांना परिचित अशी एक सहनिर्देशक पद्धती आहे. एकमितीय (किंवा रेषीय) सहनिर्देशक पद्धतीमध्ये संदर्भ-अक्ष सरळ रेषा, क्ष’ आक्ष घेऊन तिच्यावर आ हा आदिबिंदू ज्याच्यापासून अंतरे मोजतात असा बिंदू निवडतात (आ. १३). अंतराचे माप निश्चित करून उजवीकडील अंतरे घन व डावीकडील अंतरे ऋण मानली, तर या रेषेवरील कोणत्याही बिंदूचा सहनिर्देशक ठरविता येईल. उदा., आ. १३ मधील सहनिर्देशक पद्धतीत प या बिंदूचा सहनिर्देशक + ३ व प’ या बिंदूचा-४ होईल. या रेषेवरील बिंदूंचा संच व सत्  संख्यांचा संच यांच्यात एकास-एक संगती लावता येते [ ⟶ संख्या]. 

कार्तीय सहनिर्देशक पद्धती : या पद्धतीला कार्तीय हे नाव देकार्त यांच्या नावावरून पडले आहे. प्रतलावर किंवा अवकाशात नेहमी वापरली जाणारी अशी ही सहनिर्देशक पद्धती आहे. 

आ. १४. जास्य कार्तीय सहनिर्देशक पद्धती

प्रतलावर एक स्थिर बिंदू ‘आ’ हा आदिबिंदू धरून आणि त्यामधून जाणाऱ्या क्ष’ आक्ष आणि य’ आय या दोन रेषा हा प्रतलावरील संदर्भव्यूह तयार होतो (आ.१४). क्ष’ आक्ष व य’ आय या संदर्भ-अक्षांनी प्रतलाचे चार भाग (चतुष्क) पडतात. प्रतलावरील कोणताही बिंदू (समजा प) घेतला व त्यामधून पम, पल या संदर्भ-अक्षांना समांतर रेषा काढल्या, तर आल (=क्ष) व आम (=य) ही दोन अंतरे ‘प’ चे स्थान निश्चित करतात. ‘प’ चे सहनिर्देशक (क्ष, य) अशा क्रमात (क्रमित युग्मरूपात) लिहितात. प्रतलावरील प्रत्येक बिंदू व अशी सत्‌संख्यांची क्रमित युग्मे यांत परस्पर एकास-एक संगती असल्याचे दाखविता येते. क्ष’ आक्ष (क्ष-अक्ष) या संदर्भ-अक्षावरील (किंवा त्याला समांतर मोजलेली) आ या बिंदूच्या उजवीकडील अंतरे घन व डावीकडील ऋण आणि य’ आय (य-अक्ष) या संदर्भ-अक्षावरील (किंवा त्याला समांतर मोजलेली) आ या बिंदूच्या वरच्या बाजूकडील अंतरे धन व खालच्या बाजूकडील ऋण मानण्यात येतात. प बिंदू ज्या चतुष्कात असेल त्याप्रमाणे त्याच्या सहनिर्देशकांची चिन्हे (+, +), (-, +), (-, +)(+, -) अशी होतील. क्ष’ आक्ष व य’ आय हे संदर्भ-अक्ष जेव्हा एकमेकांना लंब असतात, तेव्हा या पद्धतीस जात्य (काटकोनी) कार्तीय सहनिर्देशक पद्धती म्हणतात. क्ष सहनिर्देशकास भुज व य सहनिर्देशकास कोटी असेही म्हणतात. आदिबिंदू आ याचे सहनिर्देशक अर्थातच (०, ०) असे होतील. प्रतलावरील प्रत्येक बिंदूमधून संदर्भ-अक्षांना समांतर रेषा काढल्यास त्या प्रत्येक रेषेवर एक सहनिर्देशक अचल राहतो. अशा वक्रांना सहनिर्देशक-वक्र म्हणतात. 

वरीलप्रमाणे अवकाशातही आ ह्या आदिबिंदूमधून काढलेल्या आक्ष, आय आणि आझ या तीन दिशायुक्त नैकप्रतलीय रेषा हा अवकाशातील कार्तीय पद्धतीचा संदर्भ-व्यूह होतो (आ.१५). ज्या वेळी हे तीन संदर्भ-अक्ष एकमेकांना लंब असतात त्या वेळी ती जात्य कार्तीय पद्धती होते व सामान्यपणे हीच पद्धती वापरणे जास्त सोयीचे असते. हे तीन संदर्भ-अक्ष अवकाशाचे आठ भाग (अष्टक) पाडतात. समजा अवकाशातील या कोणत्याही बिंदूपासून क्षआय प्रतलात पल हा लंब काढून लम हा आक्ष (क्ष-अक्ष) या संदर्भ-अक्षावर लंब टाकला आहे. मग प बिंदूचे क्ष-अक्षाला समांतर असे यआझ या सहनिर्देशक प्रतलापासूनचे अंतर (आम=क्ष) म्हणजे त्याचा क्ष-सहनिर्देशक होय. याचप्रमाणे चे -सहनिर्देशक व -सहनिर्देशक निश्चित करता येतील. अशा तऱ्हेने अवकाशामध्ये बिंदूचे स्थान तीन सहनिर्देशकांनी निश्चित होते आणि ते (क्ष, य, झ) या क्रमामध्ये (क्रमित त्रयीच्या रूपात) लिहिले जातात. अवकाशातील प्रत्येक बिंदू व अशा सत्‌संख्यांच्या क्रमित त्रयी यांतपरस्पर एकास-एक संगती लावता येते. वरील संदर्भ-व्यूह दोन प्रकारचा असू शकतो. आक्ष पासून आय कडे वळताना आझ या दिशेने जाणारा स्क्रू हा दक्षिणहस्त (ज्याचे डोके घड्याळाच्याकाट्यांच्या गतीच्या दिशेने फिरविले असता ज्याचे टोक पुढे जाते असा) किंवा वामहस्त (ज्याचे डोके घड्याळाच्या काट्यांच्या गतीच्या विरूद्ध दिशेने फिरविले असता ज्याचे टोक पुढे जाते असा) असेल त्याप्रमाणे संदर्भ-व्यूहही दक्षिणहस्त किंवा वामहस्त दग्वलित आहे असे म्हणतात.


आ. १५. जात्य त्रिमितीय कार्तीय सहनिर्देशक पद्धती.  

वरील सहनिर्देशक पद्धतीमुळे प्रतलावरील बिंदू व सत्‌संख्यांची क्रमित युग्मे (क्ष,य) आणि अवकाशातील बिंदू व सत्‌संख्यांची क्रमित त्रयी (क्ष, य, झ) यांच्यामध्ये एकास-एक संगती लावता येते. 

ध्रुवीय सहनिर्देशक पद्धती : प्रतलावर दुसरी एक उपयुक्त अशी ध्रुवीय सहनिर्देशक पद्धती आहे. आ हा ध्रुवबिंदू (किंवा आदिबिंदू) व आक्ष हा ध्रुवाक्ष हा या पद्धतीमधील संदर्भ-व्यूह होतो. प या प्रतलावरील बिंदुचे स्थान पुढील दोन गोष्टींनी निश्चित होईल : (१) आप हे त्रिज्यांतर (र) आणि (२) आप ही दिक्त्रिज्या आक्ष ह्या ध्रुवाक्षाशी करीत असलेला कोन (ϴ).ϴ हा दिक्कोन अरीयमानात देतात. 

आ. १६. ध्रुवीय सहनिर्देशक पद्धती

ϴ च्या परिभ्रमणाची दिशा अपसव्य (घड्याळाच्या काट्यांच्या गतीच्या दिशेच्या विरुद्घ दिशेने) किंवा सव्य (घडाळाच्या काट्यांच्या गतीच्या दिशेने) असेल, त्यानुसार ϴ हा कोन धन किंवा ऋण समजला जातो. (र, ϴ) हे प चे ध्रुवीय सहनिर्देशक होत. (र, ϴ) ह्या युग्माच्या मूल्याचा निदर्शेक असा प्रतलावर एकच बिंदू मिळतो पण एकाच बिंदूचे अनेक ध्रुवीय सहनिर्देशक असू शकतील उदा.,

२, 

२, 

९p 

२, 

-७p 

४ 

४ 

४ 

हे एकाच बिंदूचे ध्रुवीयसहनिर्देशक आहेत. हा या पद्धतीचा दोष असला तरी ही पद्धती ग्रहांचे परिभ्रमण किंवा चक्राकार वक्र यांच्या अभ्यासात विशेष उपयुक्त ठरते. प या बिंदूचे जात्य कार्तीय सहनिर्देशक जर (क्ष, य) असतील, तर क्ष=र. कोज्या ϴ, य=र.ज्या ϴ आणि र=√ क्ष + य,

 ϴ=स्प -१


य 

क्ष 

ही या दोन सहनिर्देशक पद्धतीमधील रूपांतर सूत्रे होत. 

समघाती सहनिर्देशक पद्धती : कार्तीय व ध्रुवीय सहनिर्देशक पद्धतींच्या व्यतिरिक्त आणखी एक सहनिर्देशक पद्धती काही वेळा वापरली जाते. ही पद्धती समघाती सहनिर्देशक पद्धती म्हणून ओळखली जाते. प्रतलावरील बिंदूकरिता कार्तीय सहनिर्देशक (क्ष, ) ऐवजी (क्ष, क्ष, क्ष) अशी सहनिर्देशक त्रयी वापरली की, (क्ष=०असता)  

क्ष 

क्ष 

,

 

क्ष 

क्ष 

क्ष 

असे मिळते. (क्ष, य) मधील कोणत्याही समीकरणाचे रूपांतर (क्ष, क्ष, क्ष) मधील समघाती समीकरणात होते. उदा., कक्ष+खय+=० या सरळ रेषेच्या समीकरणाऐवजी आपणास कक्ष+खक्ष+गक्ष=० असे समघाती समीकरण मिळते. यामध्ये (क्ष, क्ष, क्ष)  या त्रयीमध्ये क्ष शून्य नाही हे गृहीत धरले  आहे. जर क्ष=० असेल, तर(क्ष, क्ष, ०) हा बिंदू अनंतस्थ असतो. म्हणजेच क्ष=० या समीकरणाने अनंतस्थ रेषा निश्चितहोते. अशा तऱ्हेच्या समघाती सहनिर्देशक पद्धतीमधील विशेष वापरात असलेली क्षेत्रीय सहनिर्देशक पद्धती पुढीलप्रमाणे आहे. त्रिकोण अआइ हा संदर्भ त्रिकोण मानला व त्याच्या प्रतलावर प हा कोणताही बिंदू घेतला, तर प चे (क्ष, क्ष, क्ष) हे सहनिर्देशक क्षेत्र गुणोत्तराने खालीलप्रमाणे निश्चित केले जातात.

क्ष 

Dपआइ 

,

क्ष 

Dअपइ 

क्ष 

=

Dअआप

Dअआइ 

Dअआइ 

Dअआइ 

  

यामध्ये अनंतस्थ रेषेचे समीकरण  क्ष+ क्ष+ क्ष =० असे होते. समघाती सहनिर्देशक पद्धतीचा उपयोग विशेषकरून प्रक्षेपीय भूमितीच्या अभ्यासात होतो. कारण त्या भूमितीत अनंतस्थ रेषा इतर सामान्य रेषांप्रमाणेच मानली जाते. त्रिमितीय वा अधिक मितीय अवकाशाकरिता समघाती सहनिर्देशकांची व्याख्या वरील व्याख्येशी सदृश अशीच करण्यात येते.

वृत्तचितीय व गोलीय सहनिर्देशक पद्धती : अवकाशातील भूमितीय घटकांकरिता या दोन सहनिर्देशक पद्धती आहेत. प ह्या बिंदूचे वृत्तचितीय सहनिर्देशक (, ϴ,) (आ. १७) म्हणजे ल चे ध्रुवीय सहनिर्देशक (, ϴ) आणि लप= हे अंतर. प चे जात्य कार्तीय सहनिर्देशक (क्ष, य़, झ) आणि वृत्तचितीय सहनिर्देशक (, ϴ, ) यामधील रूपांतर सूत्रे पुढीलप्रमाणे होतील. क्ष=. कोज्या ϴ, =. ज्या ϴ, =

प बिंदूचे गोलीय सहनिर्देशक (r,ϴ,Ø) यांची व्याख्या पुढीलप्रमाणे आहे (आ. १८) : (१)आप=r हे अंतर, (२) आप ही त्रिज्या आझ या संदर्भ-अक्षाशी करीत असलेला कोन Ø, (३) आझ याचा क्षआय या प्रतलावरीव प्रक्षेप आल हा आक्ष या संदर्भ-अक्षाशी करीत असलेला कोनϴ.

आ. १७. वृत्तचित्रीय सहनिर्देशक पद्धती.


आ. १८. गोलीय सहनिर्देशक पद्धती.

गोलीय सहनिर्देशक (r, ϴ, Ø) व जात्य कार्तीय सहनिर्देशक (क्ष य, झ) यांमधील रूपांतर सूत्रे पुढीलप्रमाणे होतील :

  क्ष=r. कोज्या ϴ. ज्या Ø , =r ज्या Ø .ज्या Ø , =r. कोज्या Ø आणि

=

√क्ष+य+झ,

ϴ 

स्प–१ 

क्ष 

Ø 

कोज्या–१ 

  झ 

अवकाशातील किंवा प्रतलावरील जात्य कार्तीय पद्धती ही जात्य सरळ रेषात्मक पद्धती आहे तर वृत्तचितीय, गोलीय व ध्रुवीय सहनिर्देशक पद्धती या जात्य वक्र रेषात्मक पद्धतीची उदाहरणे आहेत. 

सहनिर्देशक परिवर्तन : वैश्लेषिक भूमितीमध्ये सहनिर्देशक संदर्भ-व्यूह जर योग्य रीतीने निवडला, तर वक्र किंवा पृष्ठ यांची समीकरणे सुलभ होतात. अशा रीतीने संदर्भ-व्यूह बदलला, तर एकाच बिंदूचे जुन्या व नव्या संदर्भ-व्यूहांवरून निश्चित केलेले सहनिर्देशक यांमधील संबंध देता आले पाहिजेत. कार्तीय सहनिर्देशक पद्धतीमध्ये जर संदर्भ-व्यूह बदलला, तर सहनिर्देशक रूपांतर सूत्रे खालीलप्रमाणे होतील.


आ. १९. कार्तीय सहनिर्देशक रूपांतर : आदिबिंदूचे स्थानांतर  

  

आदिबिंदू बदलणे : समजा आदिबिंदू ऐवजी (क्ष, य) हा घेतला आणि संदर्भ-अक्ष जुन्या संदर्भ-अक्षांना समांतर घेतले (आ. १९). बिंदूचे जुने व नवे सहनिर्देशक अनुक्रमे (क्ष, य) व (क्ष’, य’) असतील, तर क्ष=क्ष’ +क्ष, व =य’+. त्याचप्रमाणे अवकाशात (क्ष,, ) हा नवा आदिबिंदू निवडला, तर क्ष=क्ष’ + क्ष, =य’+, =झ’+ .

अक्षांची दिशा बदलणे : समजा प्रतलावरील आक्ष व आय हे जात्य 

आ. २०. कार्तीय सहनिर्देशक रूपांतर : अक्षांचे परिभ्रमण

संदर्भ-अक्षϴ ह्या कोनातून अपसव्य दिशेने परिभ्रमण करतात (आ. २०). चे जुने व नवे सहनिर्देशक अनुक्रमे (क्ष, ) व (क्ष’, य’) असतील, तर रूपांतर सूत्रे पुढीलप्रमाणे होतील : 

क्ष=क्ष‘.कोज्या ϴ-य’.ज्याϴ

=क्ष‘.ज्याϴ+‘.कोज्या ϴ

तसेच  क्ष’=क्ष . कोज्या ϴ+.ज्या ϴ

य’=क्ष . ज्या ϴ+.कोज्याϴ

उर्वरित भाग पहाण्यासाठी येथे क्लिक करा