संख्यासिद्धांत: गणितामधील संख्या सिद्धांत या शाखेने गेल्या अडीच हजार वर्षांत अनेक प्रसिद्ध गणितज्ञांचे लक्ष वेधून घेतले आहे. ग्रीक, भारतीय व चिनी गणितज्ञांनी या शाखेमध्ये मोलाची भर घातली आहे. ⇨ पायथॅगोरस (इ. स. पू. सु. ५७५-४९५) व त्यांचे शिष्य यांनी संख्यांच्या विषयी अभ्यास केलेला आढळतो. ⇨ यूक्लिड (इ. स. पू. सु. ३००) यांच्या एलेमेंट्स या ग्रंथामध्ये संख्या सिद्धांताची काही प्रमेये व त्यांची सिद्धता यांची व्यवस्थित मांडणी केलेली आहे. यानंतरच्या ग्रीक गणितज्ञांमध्ये ॲलेक्झांड्रियाचे डायोफँटस यांनी संख्या सिद्धांतामध्ये बरीच भर घातली [⟶ डायोफँटस, ॲलेकक्झांड्रियाचे ]. भारतामध्ये इ. स. ५०० ते १२०० या काळामध्ये संख्या सिद्धांताचा बऱ्याच मोठया प्रमाणावर अभ्यास झाला होता. अलीकडे ⇨ प्येअर द फेर्मा (१६०१-६५) यांच्या काळापासून संख्या सिद्धांत या शाखेची चांगलीच प्रगती झाली. एकोणिसाव्या शतकापूर्वी ⇨ लेनर्ड ऑयलर (१७०७-८३), ⇨ झोझेफ ल्वी लाग्रांझ (१७३६-१८१३), ⇨ आद्रीअँ मारी लझांद्र (१७५२-१८३३), ⇨ कार्ल फी ड्रिखगौस (१७७७-१८५५) हे गणितज्ञ संख्या सिद्धांताशी निगडित होते. गौस यांचा Disquisitiones Arithmeticae हा ग्रंथ १८०१ मध्ये प्रसिद्घ झाला. तो संख्या सिद्धांताविषयी एक मौलिक ग्रंथ आहे. गौस यांचे पुढील विधान प्रसिद्ध आहे: ‘गणित ही सर्व विज्ञानशाखांची सम्राज्ञी आहे आणि संख्या सिद्धांतही गणितातील सम्राज्ञी आहे’.

प्राथमिक संख्या सिद्धांत : (अ)  १,२,३,…. या संख्यांना ‘नैसर्गिक संख्या’असे म्हणतात. दोन नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किंवा गुणाकार केला तर नैसर्गिक संख्याच मिळते. या नैसर्गिक संख्यांची वेगवेगळ्या प्रकारांनी वर्गवारी करता येते. उदा., सम-विषमसंख्या, भाज्य-अविभाज्य संख्या इत्यादी. या विभागात भाज्य-अविभाज्य या वर्गीकरणाचा विचार पुढे केला आहे. तसेच स्पष्ट निराळा उल्लेख नसेल तर ‘संख्या’ या शब्दाचा अर्थ नैसर्गिक संख्या असा आहे. भ ही संख्या न या संख्येची भाजक आहे …. (I), याचा अर्थ आपल्याला न =भ x त असे लिहिता येते व येथे त ही नैसर्गिक संख्याच आहे, असा होतो. (I) ही स्थिती भ l न अशी दाखविता येते. भ हा न चा भाजक नाही, ही स्थिती भϯ न अशी दाखविता येते. जर भ या संख्येला स्वत: भ आणि १ हे दोनच भाजक असतील तर भ ही संख्याअविभाज्य आहे,असेम्हणतात.भ l न अशी स्थिती असल्यास भ हा न चा भाजक किंवा अवयव आहे, असे म्हणतात. भ हा न चा सुयोग्य भाजक आहे याचा अर्थ भl न भ  ≠न.

समजा, ब आणि क या दिलेल्या संख्या आहेत व अ ही अशी मोठयात मोठी संख्या आहे की, अ l ब आणि अ l क अशा स्थितीत अ हा ब आणि क चा महत्तम साधारण विभाजक (म.सा.वि.) आहे, असे म्हणतात व ती स्थिती (ब,क)=अ अशीदाखवितात. समजा, (ब, क)=१ असेल तर ब आणि क यांना सापेक्ष अविभाज्य संख्या असे म्हणतात. [अविभाज्य संख्या ].

(आ)  यूक्लिड यांनी असे सिद्ध केले की, कोणताही अविभाज्य संख्यांचा संच दिला असता त्या संचाच्या सभासदांपेक्षा निराळा असा अविभाज्य अस्तित्वात असल्याचे सिद्ध करता येते. समजा की,

{, , …,}   ……   …  …(I)

हा एक अविभाज्यांचा संचआहे. = अ x अx….x+१ ही संख्या घेतल्यास  ला संच (I) मधील कोणत्याच संख्येने भाग जात नाही. तेव्हा एक तर  हा स्वत: अविभाज्य आहे व तो (I) मधील संख्यांपेक्षा निराळा आहे किंवा  ला भाग देणारा  हा एक असा अविभाज्य आहे की जो (I) मध्ये नाही. कसेही झाले तरी (I) या संचातील अविभाज्यांपेक्षा निराळी अविभाज्य संख्या शोधून काढता येते.

या युक्तिवादात हे गृहीत धरले आहे की,  या संख्येचे अविभाज्य संख्यांत अवयव पाडता येतात, हे गृहीत कार्ल गौस यांनी अठराव्या शतकाच्या अखेरीस सिद्ध केले. या प्रमेयाची नेमकी मांडणी अशी : कोणत्याही संख्येचे अविभाज्य अवयव पडतात व या अवयवांचा संच एकमेव असतो. या प्रमेयाला ‘अंकगणिताचे मूलभूत प्रमेय’ असे म्हणतात.

(इ) प  संख्येच्या सुयोग्य भाजकांची बेरीज  इतकीच होत असेल तर  ला परिपूर्ण संख्या असे म्हणतात. उदा., ६ या संख्येचे १, २, ३ हे व एवढेच अवयव आहेत. ६ = १+२+३ म्हणून ६ ही परिपूर्ण संख्या आहे. २८ व ४९६ या त्यानंतरच्या दोन परिपूर्ण संख्या आहेत. (२अ -१) ही अविभाज्य असेल तर तिला मेर्सेन संख्या असे म्हणतात. यूक्लिड यांनी असे सिद्ध केले होते की, (२-१) ही मेर्सेन संख्या असेल, तर

अ-१ x (२-१) ………… (I)

ही परिपूर्ण संख्या असते. १९९० सालापर्यंत ३१ मेर्सेन संख्या व त्यांच्यामुळे मिळणाऱ्या ३१ परिपूर्ण संख्या माहीत होत्या.

(I) या सूत्रावरून हे स्पष्ट आहे की, यूक्लिड पद्धतीने मिळणाऱ्या परिपूर्ण संख्या या सम संख्याआहेत. विषम आणि परिपूर्ण अशा संख्या आहेत की नाहीत, हे अद्याप माहीत नाही पण अशी संख्या असलीच तर ती १०१०० या संख्येपेक्षा मोठी असेल, असा होरा आहे.

(ई) समजा की, क्ष ही एक नैसर्गिक संख्या आहे व √क्ष या संख्येपर्यंत चे २,३,५,७,…., प हे अविभाज्य माहीत आहेत. यावरून क्ष पर्यंतचे अविभाज्य काढण्याची एकरीत ⇨ एराटॉस्थीनीझ (इ. स. पू. तिसरे शतक) यांनी बसविली. ‘चाळण पद्घत’ या नावाने ओळखली जाणारी ती रीत अशी : √क्ष पासून क्ष पर्यंतच्या सर्व संख्या मांडा. त्यांपैकी २,३,५,….,  यांनी भाग जाणाऱ्या संख्या पुसून टाका. उरतील त्या संख्या ह्या √क्ष व क्ष यांच्या मधील अविभाज्य संख्या होत.

ख्रिस्तिआन गोल्डबाख यांनी १७४२ मध्ये असा होरा मांडला होता की, प्रत्येक सम संख्या (२ वगळून) दोन अविभाज्यांची बेरीज या रूपात मांडता येते. उदा., ८=५+३, १६=११+५ इ. चाळणी पद्धतीचा उपयोग करून हा होरा सिद्घ करण्याचे प्रयत्न झाले पण ते यशस्वी झाले नाहीत. १९६६ सालीचे न नावाच्या गणितज्ञांनी असे सिद्घ केले की, कोणतीही सम संख्या (२ वगळून) क्ष+य या रूपात लिहिता येते येथे क्ष ही संख्या अविभाज्य आहे व  ही संख्या अविभाज्य नसल्यास दोन अविभाज्यांचा गुणाकार अशारूपात असते.

(उ) (५,७), (११, १३), (१०१, १०३) इ. जोड्यां तील अविभाज्यांना जुळे अविभाज्य असे म्हणतात. कारण एका जोडीतील अविभाज्य एकामागे एक येतात. नैसर्गिक संख्यांच्या श्रेणीत जितके पुढे जाऊ तितके जोड्यांचे वितरण विरळ होत जाते. प्रश्न असा आहे की, अशी कोणती ‘’ ही संख्या सापडते का, की ‘’ नंतर जुळे अविभाज्य सापडतच नाहीत ? हा प्रश्न अद्याप अनुत्तरितच आहे.

एकूण अविभाज्याच्या मानाने जुळे अविभाज्य किती विरळ आहेत याचे एक गमक मिळाले आहे. समजा, कही अविभाज्य संख्या आहे. न ही कोणतीही संख्या दिली तर म हीअशी संख्या शोधून काढू शकतो की

 

∑ 

१ 

 न. म्हणजेच 

 ∑ 

१ 

हा अपसारी श्रेढी आहे. उलट ∑ 

१ 

क &lt म 

 

क 

क 

ख 

 

(ख हा जुळ्यांपैकी अविभाज्य आहे ) ही अभिसारी श्रेढी आहे [⟶ श्रेढी].


मापी एकरूपता : (अ) आतापर्यंत संख्या सिद्धांताचा विचार नैसर्गिक संख्यांच्या संदर्भात केला. आता नैसर्गिक संख्यांची प्रणाली वाढवू व पूर्णांक संख्यांच्या प्रणालीत जाऊ …..-३, -२, -१, ०, १, २, ३, …. ही पूर्णांक संख्यांची प्रणाली होय. या प्रणालीत बेरीज व वजाबाकी यादोन्ही द्विमान प्रक्रिया करता येतात आणि गुणाकारही करता येतो. त्यामुळे ही प्रणाली एक रिंग बनते. ही प्रणाली Z या अक्षराने दाखविली जाते.

 आणि  या दोन पूर्णांक संख्यांतील फरकाला  या नैसर्गिक संख्येने भाग जात असेल तर,  व  या संख्या  चे ‘मापी एकरूप’ आहेत, असे म्हटले जाते. ही स्थिती  =  (मापी ) अशा चिन्हाने दाखवितात.  ने भागले असता तीच बाकी देणाऱ्या संख्यांच्या समूहाला मापी  अवशेष वर्ग असे म्हणतात. अशा तऱ्हेचे  वर्ग आहेत. ०, १, २, …., ( – १) असे अवशेष देणारे ते वर्ग आहेत. हे वर्ग ०, १, २, …., ( – १) या चिन्हांनी दाखवितात. म ला सापेक्ष अविभाज्य असणारे मापी  अवशेष वर्ग निर्देशित करणाऱ्या ϕ () संख्यांना मापी  संक्षिप्त अवशेष वर्ग म्हणतात. उदा.,  = ८ असेल १, ३, ५, ७ हे संक्षिप्त अवशेष वर्ग असून ϕ (८) = ४. हे उघड आहे की,

 

 

ϕ () = 

 

π

(१ – 

 

१ 

).

/ 

 

   

 हे अक्षर  ला भाग देणारा अविभाज्य दर्शविते. उदा.,

ϕ (८) = ८ x

(१ – 

१ 

) = ४.

जर  आणि  सापेक्ष अविभाज्य असतील तर ϕ() = १ (मापी प) या निष्कर्षाला ऑयलर यांचे प्रमेय असे म्हणतात. हे प्रमेय म्हणजे प्येअर द फेर्मा यांनी मांडलेल्या प्रमेयाचा विस्तार आहे. येथे प ही अविभाज्य नैसर्गिक संख्या आहे.

(जर क्ष  (मापी ) ….( I ) (येथे क्ष हा चल आहे) या समीकरणाला पूर्णांक संख्यांच्या संचात निर्वाह असेल, तर  हा ‘मापी ’ चा द्विघाती अवशेष आहे, असे म्हणतात. समजा, प हा विषम अविभाज्य असून  प ϯ  आणि क्ष=(मापी ) अशी स्थिती असेल, तर ती गोष्ट (अ l प)= १ दाखवितात पण  हा मापी  चा द्विघाती अवशेष नसेल, तर ती गोष्ट (अ l ) =-१ अशी दाखवितात. (अ l ) या चिन्हाला लझांद्र यांचे चिन्ह असे म्हणतात. यावरून खालील निष्कर्ष सिद्घ करता येतात.

(अ ब l प ) ≡ (अ l प) (ब l प)

( अ l प )  ≡ अ (प)/२ (मापी  प)

(-१ l प) ≡ (-१) (प-१)/२

द्विघाती रूपे :(अ) समजा, अ, ब, क या पूर्णांक संख्या असून क्ष, य हे चल पूर्णांक मूल्ये घेणारे आहेत. अशा स्थितीत

अ क्ष२ + २ ब क्ष य + क य२ ………………….. ( I )

या राशीला द्विघाती रूप असे म्हणतात. ही राशी थोडक्यात (अ, ब, क) अशी लिहितात. आव्यूह (मॅट्रिक्स) याचा उपयोग करून ही राशी पुढील प्रमाणे लिहिता येईल :

अ क्ष + २ ब क्ष य + क य ≡ [ क्ष, य ]   

[

अ ब

]

[

क्ष 

]

ब क 

 

≡ झा. आ. झा’ . … (II).

द्विघाती रूप (II) या पद्धतीने लिहिले असता आ हा आव्यूह द्विघाती रूपाचे प्रतिनिधित्व करतो असे म्हणता येईल.

निर्धारक () =(-अ क) याला द्विघाती रूपाचा विवेचक असे म्हणतात.

वरील ( I) या राशीत समजा क्ष आणि  यांच्या जागी त्यांची पूर्णांक मूल्ये  आणि  लिहिली, तर एक पूर्णांकच मिळेल. समजा,

म=अ त+ २ब त थ + क थ२ ………… ( III )

अशा स्थितीत असे म्हणता येते की, (अ, ब, क) हे द्विघाती रूप  या संख्येचे निर्देशन करते. जर (त,थ) = १ असेल तर  चे (अ, ब, क) ने केलेले निर्देशन आदिम आहे, असे म्हणतात. या बाबतीत पुढील प्रमेय महत्त्वाचे आहे : जर (अ, ब, क) हे द्विघाती रूप  या पूर्णांकाचे आदिम निर्देशन करीत असेल, तर (अ, ब, क) या द्विघाती रूपाचा विवेचक (मापी ) चा द्विघाती अवशेष असतो. म्हणजेच क्ष ≡ विवेचक (अ, ब, क) (मापी मv).

(आ) आ =

[

अ ब

]

या आव्यूहाने मांडलेले द्विघातू रूप 

 

 

ब क 

   

 

(क्ष, य) x  x

(

क्ष

)

असे असते आणि ते थोडक्यात ‘आ’ या

 

 

य 

   

 

आव्यूहाने दर्शवितात. मात्र 

क्ष 

=

ट ठ 

)

क्ष 

 

य 

द ध 

य 

 

 

                         

हे रूपांतरण घेतले असता नवीन द्विघाती रूप मिळते आणि याचा आव्यूह बा x आ x बा’ असा असतो. येथे बा = 

ट ठ 

आणि बा’ =

(

ट द

द ध 

ठ ध 

या नवीन द्विघाती रूपाचा विवेचक – निर्धारक x ( निर्धारक बा )२ इतका असतो.

समजा, निर्धारक बा = ± १ असे असेल तर (आ) ने दिलेले द्विघाती रूप आणि रूपांतरणाने मिळणारे द्विघाती रूप ही रूपे तुल्य आहेत, असे म्हणतात. जर निर्धारक बा = ± १ असे असेल तर ही दोन रूपे सुतुल्य आहेत, असे म्हणतात. दोन तुल्य रूपे त्याच संख्यांचे निर्देशन करतात त्यामुळे तुल्य रूपांचा निरनिराळा विचार करण्याची गरज नाही.

या संदर्भात पुढील दोन प्रश्न उपस्थित होतात : दोन द्विघाती रूपांचा एकच विवेचक असेल तर ती द्विघाती रूपे तुल्य असतात का?

अ क्ष + २ ब क्ष य + क य२ …………………… ( I )

हे द्विघाती रूप व ही पूर्णांक संख्या दिली तर चे निर्देशन ( I ) हे रूप करते का? आणि करीत असल्यास आणखी कोणती द्विघाती रूपे चे निर्देशन करतात? यांपैकी दुसऱ्या प्रश्नाचे अंशत: उत्तर वरील () या परिच्छेदाच्या शेवटी दिले आहे. पहिला प्रश्न गौस यांनी अंशत: सोडविला.


नैसर्गिक संख्यांच्या घातांनी मिळणाऱ्या संख्यांच्या बेरजा : (अ) फेर्मा यांनी असा अंदाज बांधला होता की,  ≡ १ (मापी ४) अशा स्वरूपाचा अविभाज्य असेल तर  हा दोन पूर्ण वर्गांच्या बेरजेच्या रूपात लिहिता येतो. उदा., १३= +२ हा अंदाज पुढे ऑयलर या गणितज्ञांनी सिद्घ केला.

या प्रमेयाचा संबंध खालील निष्कर्षाशी आहे. समजा,  ≡ १ (मापी ४) अशी स्थिती आहे तर – १ हा मापी  चा द्विघाती अवशेष असतो.  ≡ १ (मापी ४) आहे याचा अर्थ  = ४  + १ आहे. आता (-१/) =(-१)(प-१)/२ हे समीकरण लक्षात घ्या. उजव्या बाजूला प च्या जागी (४ + १) हे मूल्य घाला. म्हणजे (-१/) = (-१)२क=+१, म्हणजे -१ हा मापी प चा द्विघाती अवशेष आहे.

(लाग्रांझ यांनी असे प्रमेय मांडले की, कोणतीही नैसर्गिक संख्या ही जास्तीत जास्त ४ पूर्ण संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या स्वरूपात मांडता येते आणि काही संख्या अशा आहेत की, ज्यांना ४ पूर्णांकांचे वर्ग लागतातच. या प्रमेयाचा विस्तार एडवर्ड वॅरिंग या शास्त्रज्ञांनी १७८२ साली मांडला तो खालीलप्रमाणे :

 ही नैसर्गिक संख्या आहे व  ही आणखी एक नैसर्गिक संख्या आहे.  ला अनुलक्षून  () ही नैसर्गिक संख्या अशी शोधता येते की,

म = अ + अ + …. + अ आणि ट ≤  ग (क).

() वरील प्रकारच्या प्रश्नांचे विस्तारित रूप डायोफँटस यांची समीकरणे या नावाखाली अभ्यासता येतात. समीकरणांच्या ज्या प्रणालीत चलांची संख्या समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त आहे व जेथे समीकरणांचे निर्वाह पूर्ण संख्यांच्या स्वरूपात अपेक्षित आहेत, अशा समीकरणांना डायोफँटस (इ. स. २५०) यांची समीकरणे असे म्हणतात.

पायथॅगोरस यांचे प्रसिद्घ समीकरण =क्ष+य हे डायोफॅँटस यांचे समीकरण आहे. कारण येथे हे समीकरण एकच असले तरी चल तीन आहेत व उत्तरे पूर्ण संख्यांत अभिप्रेत आहेत. या समीकरणांची अनेक उत्तरे माहीत आहेत. उदा., (३, ४, ५), (५, १२, १३) (९, ४०, ४१), वगैरे. याच प्रकारचा एक निष्कर्ष फेर्मायांचे शेवटचे प्रमेय म्हणून प्रसिद्घ आहे. तो असा की, क्ष+य=झ ( ही दोना पेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या) या समीकरणाला पूर्णांकी उत्तर सापडत नाही. या प्रमेयाची सिद्घता आपणास सापडली असा दावा खुद्द फेर्मा यांनी व त्यानंतर अनेकांनी केला पण १९९५ साली या प्रमेयाची चोख सिद्घता आर्. टेलर आणि अँड्र्यू वाइल यांनी दिली.

() दिलेल्या डायोफँटस समीकरणाला पाहिजे त्या स्वरूपातील निर्वाह आहेत की नाहीत हे तपासण्याच्या अनेक रीती बसविता येतात. उदा., क्ष-२य =० याला (०, ०) हा एकच पूर्णांकी निर्वाह आहे कारण २ हा पूर्ण वर्ग नाही. कक्ष+खय=ग या समीकरणाला पूर्णांकी निर्वाह असण्यासाठी अट अशी की,  आणि  या संख्यांच्या म. सा. वि. ने ‘’ ला भाग गेला पाहिजे. या निष्कर्षाचा विस्तार करून असे म्हणता येते की,

१ क्ष१ + अ२ क्ष२ + …. + अत  क्षत = थ

या समीकरणाला पूर्णांकी निर्वाह आणण्यासाठी (, अ, ….,) यांच्या म. सा. वि. ने  ला भाग गेला पाहिजे.

डायोफँटस यांच्या समीकरणांच्या नियमात आजही संशोधन चालू आहे. वर वाइल-टेलर यांच्या संशोधनाचा उल्लेख आलाच आहे. १९७७ साली माटिसाजेव्हिक यांनी असे सिद्घ केले की, सर्व डायोफँटस समीकरणांचे निर्वाह सापडण्यासाठी उपयोगी पडेल अशी एकच रीत बसविता येणे शक्य नाही.

संख्या विभाजन (अ)  या नैसर्गिक संख्येचे विभाजन म्हणजे  ही संख्या नैसर्गिक संख्यांच्या बेरजेच्या स्वरूपात मांडणे. मांडणीतील नैसर्गिक संख्यांना  च्या घटक संख्याअसे म्हणतात. एका मांडणीतील घटकांच्या स्थानांची अदलाबदल करून मिळणारी मांडणी निराळी समजत नाहीत. जर सर्व घटक संख्या विषम असतील तर त्या मांडणीला  चे विषम विभाजन असे म्हणतात. जर विभाजनातील सर्व घटक संख्या वेगवेगळ्या असतील तर त्या विभाजनाला पृथक्‌ विभाजन असेम्हणतात. न ही संख्या दिल्या नंतर तिची एकूण विभाजने किती होतात, त्यांपैकी पृथक्‌ विभाजने किती, विषम विभाजने किती असे प्रश्न उपस्थित होतात.

 या संख्येची एकूण विभाजने p () या चिन्हाने दर्शवितात. p (५०) ही संख्या २, ०४, २२६ इतकी मोठी आहे. उघड आहे की,   p (०) =१. न दिल्यानंतर p (न) शोधून काढण्यासाठी एक निर्मिति-फलन ऑयलर यांनी शोधून काढले. ते असे,

  

 

∞ 

 

 ∑ 

p () क्ष =

π 

(१ – क्ष)-१ 

 =

 

=

 

  

समजा, p () शोधून काढावयाचा असेल तर उजवीकडील गुणाकाराचा विस्तार करून त्या विस्तारातील क्ष या घाताचा सहगुणक शोधून काढतात. तो p () चे मूल्य होय.

() ऑयलर यांनी असे सिद्घ केले की, दिलेल्या  या संख्येच्या विषम विभाजनांची जेवढी संख्या असते तेवढी च संख्या  च्या पृथक्‌ विभाजनांचीअसते. उदा.,  =७ घेतल्या स या संख्येची पाच विषम विभाजने होतात. ती अशी : (१, १, ५), (१, ३, ३), (१, १, १, १, ३), (१, १, १, १, १, १, १) आणि (७). ही पृथक्‌ विभाजने नाहीत,हे उघडच आहे. आता  या संख्येची पृथक्‌ विभाजने पहा. ती अशी : (१, ६), (२, ५), (३, ४), (१, २, ४) आणि (७).

इ. स. १९७४ मध्ये ऑयलर यांच्या या प्रमेयाचा विस्तार जी. अँड्र्यू यांनी सिद्घ केला. तो असा :  ही नैसर्गिक संख्या घ्या. नंतर एकूण नैसर्गिक संख्यांचे  आणि  असे दोन संच पाडा.pअ,क () ही संख्या न ची अशी विभाजने दाखविते की, प्रत्येक घटक  मधून आलेला आहे आणि  ने भाग जाणारा घटक त्या विभाजनात आवृत्त झालेला नाही. p ब() ही संख्या अशी विभाजने दाखविते की, ज्यातील घटक  या संचातून आलेले आहेत. या स्थितीत pअ,क ()=p().

येथे न हा विषम संख्यांचा संच घेतला, अ हा सर्व नैसर्गिक संख्यांचा संच घेतला आणि क = १ घेतला तर ऑयलर यांचे प्रमेय मिळते.

()श्रीनिवास अय्यंगार रामानुजन (१८८९-१९२१) व ⇨ गॉडफ्री हॅरल्ड हार्डी (१८७३-१९४५) यांनी १९१७ साली असे सिद्ध केले की,

 

p (न) ≑

 

१ 

घातीय (ð√२न/३).

४न √३

p () या फलनाला अनेक मापी गुणधर्मही आहेत. त्यातील काही रामानुजन यांनी शोधून काढले, ते असे : p(५ +४)=०(मापी ५) p(७ न + ५ ) = ० (मापी ७). संख्या विभाजनांचा अभ्यास आजवर चालू असून नवीन निष्कर्ष मिळतच आहेत.


बैजिकी संख्या सिद्धांत : (अ)  आणि  हे पूर्णांक आहेत आणि i या चिन्हाने √-१ ही संख्या दाखवितात. अशा स्थितीत  + (ब xi) या संख्येला सदसत्‌ पूर्णांकसंख्याअसे म्हणतात. या संख्यांची जी रिंग तयार होते ती Z [i] या चिन्हाने दाखविली जाते. सत्‌ पूर्णांकसंख्यांची रिंग Z या चिन्हाने दाखविली जाते. Z मध्ये एक महत्त्वाचा निष्कर्ष माहीत आहे, तो हा की, धन पूर्णांक संख्येला अविभाज्य अवयव असतात व अशा अवयवांचा संच एक मात्र असतो. अशाच प्रकारचा निष्कर्ष Z [i] या रिंगमध्ये संभवतो का, याचा विचार गौस या गणितज्ञांनी केला व तेव्हा पासून बैजिकी संख्या सिद्धांताला सुरूवात झाली.

प्रथमत: हे ध्यानात येते की, Z मध्ये ज्या संख्या अविभाज्य असतात त्या संख्या Z[i] मध्ये अविभाज्य राहतातच असे नाही. उदा., २ ही संख्या Z मध्ये अविभाज्य आहे पण तिचे Z[i] मध्ये {(१+ i),(१- i)} असे अवयव पडतात. असे दाखविता येते की, ३ (मापी ४) या स्वरूपाचे जे अविभाज्य Z मध्ये आहेत ते Z[i] मध्येही अविभाज्य राहतात. मात्र १ (मापी ४) या स्वरूपातील Z मधील अविभाज्य (उदा.,१७) हे Z[i] मध्ये अविभाज्य राहत नाहीत. उदा., १७ = (४+i) (४-i).

(आ) Z[i] ही रिंग Z या रिंगचा विस्तार आहे. तशाच प्रकारचा पण अधिक आवाक्याचा विस्तार खालील प्रकारे तयार करता येतो.

क्षन १ क्षन १ २ क्ष-२ + …. + न ० …….. ( I )

हे समीकरण घ्या. येथे क्ष याचा सहगुणक १ असून , ….,  या पूर्णांक संख्या आहेत. या समीकरणाचा θ हा निर्वाह घ्या. θ चा Z मध्ये समावेश करून Z[ θ] ही रिंग तयार करा. या रिंगमधील प्रत्येक संख्या अ+ब θ अशास्वरूपाची असून त्यात  आणि  या पूर्णांक संख्या आहेत. उदा., क्ष२ + ५ =० या समीकरणापासून Z [ √-५] अशी रिंग मिळते व ती मधील संख्या (५-७ √-५) अशास्वरूपाच्या असतात.

या नव्या रिंगमध्येही अविभाज्य, अवयव या संकल्पना मांडता येतात. मात्र येथे अवयवांच्या संचाची एकमेवता अबाधित राहत नाही. उदा., Z [-५] या रिंगमध्ये २१ या संख्येचे {३,७}, {(१+२ √-५), (१-२  √-५)}, {(४ +√-५), (४-√-५)} असे वेगवेगळे अवयव संच मिळतात.

() अवयवांच्या संचाची एकमेवता ‘कोणत्या तरी’ रूपात हस्तगत करण्याच्या हेतूने एर्न्स्ट एडुआर्ट कुमर (१८१०-९३) व ⇨ युलिअस (व्हिल्हेल्म रिखार्ट) डेडेकिंट (१८३१-१९१६) या दोघांनी ‘आयडियल’ ही नवी संरचना प्रचारात आणली. Z [θ] या रिंगमध्ये ‘’ हे आयडियल आहे याचा अर्थ ‘’ हा Z[θ] चा असा उपसंच आहे की, (i) जर अ, ब ϵ आ तर अ, ब ϵ आ आणि (ii) जर  ϵ  आणि  ϵ Z[θ] तर अ x झ ϵ . या नंतर दोन आयडियलांचा गुणाकार आणि अविभाज्य आयडियल या संकल्पनांच्या व्याख्या करता येतात.

आता Z [θ] मधील संख्या विचारात न घेता त्या संख्येचे निर्मिलेले आयडियल विचारात घेऊ. उदा.,  ϵ Z [θ] ही संख्या घेतली तर  नेनिर्मिलेलेआयडियल () ={ क्ष l क्ष ϵZ[θ]} असे असते. नंतर असे दाखविता येते की, () हे आयडियल अविभाज्य आयडियलांचा गुणाकार असून या गुणक असणाऱ्या अवयवांचा संच एकमेव असतो.

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत : फलन आणि सीमा या संकल्पना मध्यवर्ती ठेवून गणिताची जी शाखा अठराव्या व एकोणिसाव्या शतकांत विस्तार पावली तिला विश्लेषण असे म्हणतात. संख्या सिद्धांताचे प्रश्न सोडविण्यासाठी विश्लेषणातील निष्कर्षांचा उपयोग करण्यात आल्यामुळे विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतही शाखा निर्माण झाली.

क्ष ही सत्‌ संख्या दिली असता स {पl प ≤ क्ष &gt ०, पहा अविभाज्य } असा संच मांडता येतो. या  मध्ये जे आविभाज्य आहेत त्यांची संख्या π(क्ष) याचिन्हाने दाखवितात. गौस यांनी १७९३ साली असा होरा (कंजेक्चर) मांडलाकी,

सीमा 

π (क्ष) x लॉगरिथम क्ष

= १

क्ष ⟶ ∞ 

क्ष 

 

 

 ⇨ झाक सॉलोमन हादामार्द आणि सी. जे. द ला व्हाले पुसँ यांनी हा होरा पुढे १८९६ साली प्रसिद्घ केला. यासाठी या दोघांनी ⇨ गेओर्ख फीड्रिख बेर्नहार्ट रीमान यांनी १८५९ साली लिहिलेल्या एका शोध निबंधातील संकल्पनांचा उपयोग केला होता. त्यातील मुख्य संकल्पना म्हणजे

 

∞ 

१ 

 

ζ () =

∑ 

 

…   ….   …. (I)

 

न=१ 

   

हे फलन होय. येथे ही नैसर्गिक संख्या असून ही सदसत्‌ संख्या आहे.

स = क + i ख …. ….    ….   (II)

&gt १ असे असेल तरच (I) ही श्रेढी अभिसारी असतो.

याचा अर्थ असा की, सदसत्‌ संख्यांच्या प्रतलातील क्ष १ या रेषेच्या उजव्या बाजूस असणाऱ्या बिंदूंशीच केवळ ζ () या फलनाला मूल्ये असतात. पण या फलनाचा विश्लेषणीय विस्तार संपूर्ण सदसत्‌ प्रतलावर करता येतो.

कोणत्याही सदसत्‌ पूर्णांकाचे अविभाज्य अवयव पडतात व अवयवांचा संच एकमात्र असतो. याचा उपयोग करून ζ (स) हे फलन खालील प्रमाणे लिहिता येते.

ζ(स) = 

π

१ 

…     ….    …. (III)

 

-प-स 

  

येथे हा चल सर्व अविभाज्य नैसर्गिक संख्या घेतो.

 ही सदसत्‌ संख्या ζ () या फलनाचे शून्य आहे, याचा अर्थ ζ () =०. रीमान यांनी ζ () या फलनाची जी शून्ये आहेत, त्यांचे दोन भाग पाडले होते. स = -२, -४, इ. शून्यांना ते दुर्लक्षणीय शून्ये म्हणत असत. या खेरीज ζ () ची जी शून्ये आहेत ती सर्व (१/२ +i य) अशा स्वरूपाची आहेत, म्हणजे ती शून्ये क्ष = १/२ या सदसत्‌ प्रतलातील रेषेवर असतात असा रीमान यांचा अभ्युपगम आहे. हा अभ्युपगम २००० सालापर्यंत सिद्घ झालेला नाही.

लेव्हिन यांनी १९७४ साली असे सिद्घ केले की, दुर्लक्षणीय शून्ये वगळता इतर शून्यांपैकी किमान /३  शुन्ये क्ष=/ या रेषेवर नक्कीच आहेत. त्यानंतर व्हार्दो यांनी १९९१ साली असे सिद्घ केले की, एकूण शून्यांपैकी ४०% शून्ये या रेषेवर नक्कीच आहेत.

पहा : अंकगणित अविभाज्यसंख्या गणित गणितातील अनिर्वाहित प्रश्न.

संदर्भ : 1. Koch, Telmut Introduction To Classical Mathematics,Vol. I, London, 1991.

             2. Niven, I. Zuckerman, H. S. Niontgomery, H. L. An Introduction To Theory of Numbers, 1991.

भावे,श्री.मा.