सांत अंतर कलन : गणिताची ही शाखा ⇨ अवकलन व समाकलन शास्त्राशी काहीशी सदृश अशी आहे; परंतु या शाखेमध्ये संतत राशीऐवजी विविक्त राशींचा विचार केला जातो. म्हणजेच यातील चलांचे चलन सांत अंतरांनी होते. य (परचल) हे क्ष चे (स्वचल) फलन आहे असे मानल्यास, क्ष ची सांत अंतरातील मूल्ये व य ची संगत मूल्ये कोष्टकरूपाने मांडता येतात. या मूल्यांमध्ये असलेल्या अंतरांच्या साहाय्याने य चे विशिष्ट मूल्य ठरविणे, सांत संख्यांची बेरीज करणे, सांत अवकलन व सांत समाकलन सूत्रे काढणे इ. विचार या शाखेमध्ये केला जातो. तसेच ⇨ अंतर्वेशन व बहिर्वेशन सूत्रे तयार करण्याचाही अभ्यास केला जातो. या सूत्रांचा उपयोग सांख्यिकी, विमाविज्ञान वगैरे संख्याप्रधान शास्त्रांत होतो.
सांत अंतर कलनाची सुरुवात १७१५ च्या सुमारास ⇨ ब्रुक टेलर यांच्या मेथोडस इंक्रिमेंतोरम दिरेक्ता इनहर्सा या ग्रंथापासून झाली व १८६० मध्ये ⇨ जॉर्ज बूल यांच्या कॅलक्यूलस ऑफ फायनाइट डिफरन्सेस या ग्रंथाने त्यातील महत्त्वाचा टप्पा गाठला. Δ हे अंतर चिन्ह १७०६ मध्ये योहान बेर्नुली यांनी प्रथम वापरले व Σ हे चिन्ह ⇨ लेनर्ड ऑयलर यांनी १७५५ मध्ये वापरले [⟶ अंतर्वेशन व बहिर्वेशन].
सांत अंतर कलनास (Δ–Σ) कलन असेही म्हणतात.
चिन्हे व व्याख्या : जेव्हा क्ष चे मूल्य अ असेल तेव्हा य चे संगतमूल्य यअ असे दर्शवितात. अ च्या मूल्यात घडणारे सांत चलन Δअ या चिन्हाने दर्शवितात आणि अ +Δअ या क्ष च्या मूल्याशी संगत य चे मूल्य य अ+Δअ किंवा यअ +Δयअ असे दर्शवितात. क्ष ची मूल्ये अ पासून Δ अ या सांत अंतराने बदलत गेली तर ती मूल्ये क्रमशः अ, अ+Δअ, अ+ २Δअ, … … (१) अशी मांडता येतील. या मूल्यांशी संगत य ची मूल्ये यअ,यअ+Δअ , यअ+ २Δअ , … … (२) अशी मांडता येतील. (२) या श्रेणीतील प्रत्येक संख्या पुढील संख्येतून वजा केली असता पुढील श्रेणी मिळेल :
यअ+Δअ– यअ = Δयअ
यअ+ २Δअ – यअ+Δ अ = Δयअ +Δअ
यअ+ ३Δअ – यअ+ २Δअ = Δय अ+२Δअ
Δयअ , Δयअ+Δअ , Δयअ+२Δअ , … … (३). ही श्रेणी ‘प्रथम अंतर श्रेणी’ किंवा ‘प्रथम अंतरे’ म्हणून संबोधिली जाते. या श्रेणीपासून वरीलप्रमाणेच वजाबाकी करून एक नवी श्रेणी मिळेल. ती अशी :
Δयअ+ Δअ – Δ यअ = Δ२यअ
Δयअ+२Δअ – Δयअ = Δ२ यअ+ Δअ
Δ२यअ, Δ२ यअ +Δ अ, … …(४). या श्रेणीला ‘द्वितीय अंतरे’ म्हणतात. याच पद्घतीने तृतीय, चतुर्थ इ. अंतरांच्या श्रेणी बनविता येतात. कोष्टक रूपाने या श्रेणींची मांडणी पुढीलप्रमाणे करतात :
| स्वचल
क्ष |
परचल
यक्ष |
प्रथम अंतरे
( Δ) |
द्वितीय अंतरे
(Δ२) |
तृतीय अंतरे
(Δ३) |
चतुर्थ अंतरे
(Δ४) |
| अ
अ + Δअ अ + २Δअ अ + ३ Δअ अ + ४Δअ |
यअ
यअ+Δअ यअ+२Δअ यअ+३Δअ यअ+४Δअ |
Δ यअ
Δयअ+Dअ Δयअ+२Dअ Δयअ+३Dअ |
Δ२ यअ
Δ२ यअ+Δअ Δ२ यअ+२Δअ |
Δ३ यअ
Δ ३ यअ+Δअ |
Δ४ यअ |
(यापुढील विवेचनातΔ अ =१ मानले आहे.त्यामुळे विवेचनात काही फरक पडणार नाही.)
वरील कोष्टकातीलΔयअ, Δ२ यअ,Δ३ यअ,…यांना ‘अग्रग अंतरे’ म्हणतात. यअला ‘अग्रग पद’ म्हणतात. या विवेचनात स्वचलाच्या दोन मूल्यांतील अंतर Δअ हे समान आहे असे मानले आहे. हे अंतर निरनिराळे असण्याचीही शक्यता आहे व याकरिता विभाजित अंतरे वापरतात.
याला ‘विभाजित अंतर’ म्हणतात. विभाजित अंतराच्या व्यस्तांकाला‘व्यस्तांकी अंतर’ म्हणतात. म्हणजेच 
हे व्यस्तांकी अंतर होय.हे
या चिन्हाने दर्शविण्याची पद्धत आहे. द्वितीय श्रेणीचे व्यस्तांकी अंतर प्रथम श्रेणीच्या व्यस्तांकी अंतराचा वापर करून पुढीलप्रमाणे मांडले जाते :
‘न’ व्या श्रेणीचे व्यस्तांकी अंतर पुढीलप्रमाणे :
ही सर्व अंतरे क्ष०, क्ष१,…वगैरे मूल्यांच्या संदर्भात सममित आहेत, हे सहज दिसून येईल. या अंतरांचा उपयोग करून थीले यांनी आपले फलनाच्या सन्निकटनाकरिता परंपरित अपूर्णांकाच्या रूपात सूत्र तयार केले.
अंतरे दर्शविण्याच्या पद्घती : अग्रगामी अंतर, प्रतिगामी अंतर व मध्य अंतर अशा तीन पद्घतींनी अंतरे दर्शविली जातात व त्याकरिता पुढील चिन्हे वापरतात Δ, Δ, δ. या चिन्हांचा वापर करून (यअ+१– यअ) हे अंतर Δयअ,Δ यअ+१, δ यअ+१/२ अशा तीन पद्घतींनी दर्शविता येईल. अर्थात, (δ यअ+१/२–δयअ –१/२) हे अंतर d δय२अ असे दर्शविले जाईल. यक्ष हे फलन क्ष ची न कोटीची पदावली असेल, तर त्या फलनाची न व्या श्रेणीची अंतरे स्थिरांक असतात, हे दाखविता येते. याउलट एखाद्या फलनाची न व्या श्रेणीची अंतरे स्थिरांक असतील तर ते फलन न कोटीची पदावली आहे, हेदाखविता येते. न(न–१) (न–२) …(न– म +१) हा गुणाकार न(म) या चिन्हाने दर्शवितात. याला क्रमगुणित चिन्ह म्हणतात.
उदा., ५(४)= ५ ×४ × ३ × २ = १२०
क्ष(४) = क्ष (क्ष– १) (क्ष– २) (क्ष– ३).
यक्ष = क्ष(म) असेल, तर Δ यक्ष = म क्ष(म-१)
हे सहज दिसून येईल. या सूत्राचे अवकलजाशी असलेले साम्यही सहज लक्षात येते. त्याचप्रमाणे Δ२यक्ष = म(म–१) क्ष(म-२) वगैरे. अर्थात Δमयक्ष = म!
कोणतीही पूर्णांक सहगुणक असलेली पदावली क्रमगुणित चिन्हाचा वापर करून मांडता येते व ही मांडणी निरनिराळ्या श्रेणीची अंतरे मांडताना सोईस्कर होते.
उदा.,यक्ष= क्ष४–८क्ष३ + १६क्ष२– २५क्ष +१५ ही चतुर्थ घाताची पदावली क्रमगुणित चिन्हाचा वापर करून क्ष(४) – २क्ष(३) – क्ष(२) – १६क्ष(१) +१५ अशी मांडता येईल व त्यावरून निरनिराळ्या श्रेणीची अंतरे पुढीलप्रमाणे :
Δ यक्ष = ४क्ष(३) – ६क्ष(२) – २क्ष(१) – १६
Δ२यक्ष = १२क्ष(२)– १२क्ष(१) – २
Δ ३ यक्ष =२४क्ष(१) – १२
Δ ४ यक्ष = २४
एखाद्या फलनाचा अवकलज माहीत असल्यास समाकलाने मूळ फलन मिळविता येते. त्याचप्रमाणे फलनाचे प्रथम अंतर माहीत असल्यास मूळ फलन काढता येईल. उदा., प्रथम अंतर पदावली
Δयक्ष = ९क्ष२ +११क्ष +५ असेल तर त्यावरून
Δयक्ष = ९क्ष(२) + २०क्ष(१) +५ मांडता येईल.
यक्ष = ३क्ष(३) + १०क्ष(२) + ५क्ष(१) +क (क= स्थिरांक).
कारक (E) : स्वचलात किंवा परचलात एका सांत चलनाने झालेली वाढ E या कारकाने दर्शविली जाते.जसे E यन= यन+१, E२यन= यन+२ वगैरे. तसेच सर्वसाधारणपणे Eर(Eस यन)=
यन+स+र यावरून Δ यन = यन+१– यन = E यन – यन = (E – १) यन असेलिहिता येईल. म्हणून Δ व E यांमधील संबंध पुढीलप्रमाणे :
Δ = E – १ किंवा E =१ +Δ . द्विपद सिद्घांताचा उपयोग करून,
E२= (१ + Δ)२ = १ + २Δ+Δ२ आणि
Δ२= (E –१)२ = E२ –२ E + १
य०, य१, य२…., यन या श्रेणीतील कोणतीही संख्या अंतर संख्याच्या साहाय्याने काढता येते.
उदा., यन = Eन य० = (१ + D)न य०
= य० + न Δय० + न (न –१)/२! Δ२ य० + … +Δन य०
या सूत्राला गेगरी-न्यूटन सूत्र म्हणतात. तसेच नव्या श्रेणीच्या अंतराकरिता पुढील सूत्र मिळते :
Δ न य० = (E – १)नय०
= यन –न यन–१ + न (न –१)/२! यन –२ –… + (–१)नय०
यक्ष आणि वक्ष ही दोन फलने दिली असता त्याच्या गुणाकाराच्या न व्या श्रेणीच्या अंतराकरिता पुढील सूत्र सिद्घ करता येते,
Δन = (Δ +Δ’+ΔΔ ‘)न यक्ष ·वक्ष
या सूत्रात उजव्या बाजूच्या कंसाचा विस्तार करून नंतर Δ चिन्हाचा यक्ष वर आणि Δचिन्हाचा वक्ष वर कारक म्हणून उपयोग करावयाचा(Δ व Δ ‘ दोन्ही चिन्हे एकाच अर्थाची आहेत).
अ१ +अ२ +…+अन ही श्रेणीच्या न पदांची बेरीज सन ने दर्शविल्यास ती अ१ व त्याची अंतरे यांच्या भाषेत मांडता येते व त्याचे सूत्र पुढीलप्रमाणे :
सन = न अ१+ न (न –१)/२! Δ अ१ +…+Δन –१ अ१
सन्निकट समाकलन : (अ, ब) या अंतरालाचे न समान भाग केले तर प्रत्येक भागाची लांबी ल = (ब – अ)/न एवढी येईल व विभाजन बिंदू क्ष० = अ, क्ष१= अ+ल, …, क्षन = अ +न ल = ब असे येतील. क्ष च्या या मूल्यांशी संगत य ची मूल्ये य०, य१,…,यन समजू.
सन्निकट समाकल स ने दर्शविल्यास त्याकरिता सूत्र पुढीलप्रमाणे:
या सामान्य सूत्रात न = १, २, ३,…या संख्या घातल्यास अनेक वेगवेगळी सूत्रे मिळतात. यामध्ये थॉमस सिंप्सन यांचे ‘एक तृतीयांश नियम’ व ‘तीन अष्टमांश नियम’ हे प्रसिद्घ आहेत. न = ६ घेतल्यास वेडल यांचा नियम मिळतो.
अंतर समीकरणे : स्वचल, परचल आणि परचलाची विविध क्रमांकांची अंतरे यांचे परस्परातील संबंध दाखविणाऱ्या समीकरणास ‘अंतर समीकरण’ म्हणतात. कोणत्याही क्रमांकांची अंतरे परचलाच्या क्रमशः मूल्यांच्या साहाय्याने देता येतात, म्हणून अंतर समीकरण हे स्वचल व परचल यांच्या विविध मूल्यांतील परस्पर- संबंध दर्शविणारे समीकरण असते. अंतर समीकरणाचे अवकल समीकरणाशी सादृश्य आहे, हे सहज लक्षात येईल. दिलेल्या समीकरणात फ(क्ष) या फलनाची प्रतिस्थापना करून जर समीकरणाची पूर्तता होत असेल, तर फ(क्ष) याला त्या समीकरणाचा निर्वाह म्हणतात. समजा, Dयक्ष= २क्ष२ हे समीकरण दिले आहे. याचा निर्वाह यक्ष =२/३ क्ष(३) + क्ष(२) + क हा आहे, हे सहज दिसून येईल. येथे क हा अनिश्चित स्थिरांक आहे. सर्व साधारणपणे न क्रमांकाच्या समीकरणाच्या निर्वाहात न अनिश्चित स्थिरांक येतात. अनिश्चित स्थिरांकांना विवक्षित मूल्ये दिली असता विशिष्ट निर्वाह मिळतो. एकघाती प्रथम क्रमांकांचे सर्वसाधारण समीकरण पुढीलप्रमाणे :
यक्ष+१– कक्ष यक्ष = खक्ष. यामध्ये कक्ष आणि खक्ष ही क्ष ची ज्ञात फलने आहेत. या समीकरणाच्या निर्वाहात दोन भाग असतात. एक भाग यक्ष +१ – कक्ष यक्ष = ० या समीकरणाचा निर्वाह. या भागात अनिश्चित स्थिरांक असतो. दुसरा भाग म्हणजे दिलेल्या समीकरणाचा एक विशिष्ट निर्वाह असतो.
यक्ष+न+ प१यक्ष+न−१ + प२यक्ष+न२ + … +पनयक्ष= र(क्ष).
या समीकरणात प१, प२,…हे स्थिरांक किंवा ‘क्ष’ ची ज्ञात फलने आहेत. अशा समीकरणाला ‘एकघाती समीकरण’ म्हणतात. वरील एकघाती समीकरणात सर्व ‘प’ स्थिरांक असतील तर अवकल समीकरणाप्रमाणे साहाय्यक समीकरणाचा उपयोग करून निर्वाह मिळतात. उदा., यक्ष+२ – ४यक्ष = ० हे समीकरण E२यक्ष – ४यक्ष = ० असे मांडता येईल. याकरिता साहाय्यक समीकरण E२ – ४ = ० असे होईल. याची बीजे +२ व −२ म्हणून समीकरणाचा निर्वाह यक्ष = क१२क्ष+ क२ (–२)क्ष असतो.
पहा : अंतर्वेशन व बहिर्वेशन संख्यात्मक विश्लेषण.
संदर्भ : 1. Boole, George, Calculus of Finite Differences, 1970.
2. Jordan, C. Calculus of Finite Differences, 1965.
3. Spiasel, M. R. Calculus of Finite Differences and Differential Equations, New York, 1971.
चिखलीकर, अ. ना.
“