विमा विषयक सांख्यिकी

विमा विषयक सांख्यिकी : विमाविज्ञानाच्या या शाखेत विविध विमाविषयक जोखिमी लक्षात घेऊन विम्याच्या हप्त्यांचे परिगणन करण्यासाठी सांख्यिकीय (संख्याशास्त्रीय) संकल्पनांचा व पद्धतींचा वापर करण्यात येतो.

सर्वसाधारण आर्थिक व्यवहारातील देणी-घेणी ही भविष्यकाळात अमूक एका वेळी व्हावयाचीच असतात हे निश्चित ठरलेले असते. त्यामुळे त्यांचे आजचे मूल्य काढताना फक्त चक्रवाढ व्याजाचा उपयोग करून भागते पण विम्याच्या व्यवहारातील देण्या-घेण्यांचे तसे नसते. देण्या-घेण्याची रक्कम व कधी कधी वेळ ही दोन्हीही जरी ठरलेली असली, तरी हे देणे-घेणे एखादी विशिष्ट घटना घडण्यावर अवलंबून असते. जर ती घटना घडली तरच हा व्यवहार पूर्ण होतो, नाही तर नाही. उदा., आयुर्विम्याच्या व्यवहारात जोपर्यंत विमेदार जिवंत आहे, तोपर्यंतच तो विम्याचे हप्ते भरतो. विम्याचा हप्ता व तो भरण्याच्या तारखा ठरलेल्या असल्या, तरी एखाद्या विशिष्ट तारखेचा हप्ता भरावा लागेल की नाही हे विमेदाराच्या त्या तारखेला जिवंत असण्यावर अवलंबून असल्याने अनिश्चित असते. तसेच हयातीनंतरच्या विम्याची रक्कम विमेदाराच्या मृत्यूनंतर त्याच्या वारसांना मिळावयाची असते. या प्रकारच्या विम्यात वारसांना पैसे मिळण्याची वेळही अनिश्चित असते. अशा प्रकारे ज्या रकमांचे एखाद्या विशिष्ट किंवा कोणत्याही वेळी देणे-घेणे अनिश्चित असते अशा रकमांचे आजचे मूल्य कसे काढावे हा विमाविज्ञानातील मुख्य प्रश्न आहे.

हा प्रश्न सोडविण्यासाठी सांख्यिकीतील ‘अपेक्षित मूल्य’ [⟶ वंटन सिद्धांत] या संकल्पनेचा उपयोग करतात. या संकल्पनेप्रमाणे एखाद्या विशिष्ट वेळच्या, परंतु अनिश्चित घटनेवर आधारलेल्या, देण्या-घेण्याचे अपेक्षित मूल्य काढावयाचे असल्यास ती घटना निश्चित आहे या गृहितावर चक्रवाढ व्याजाने त्या देण्या-घेण्याचे जे मूल्य येईल त्या मूल्याला त्या घटनेच्या संभाव्यतेने गुणतात. या संकल्पनेचा उपयोग विम्याच्या व्यवहारात करण्यासाठी ज्या घटनांवर रकमांचे देणे-घेणे अवलंबून असते त्या घटनांची संभाव्यता माहीत असावी लागते. आयुर्विम्यात या घटना मानवी आयुष्यावर अवलंबून असतात. त्यांची संभाव्यता मृत्यू-प्रमाणांच्या साहाय्याने ठरवितात. ही मृत्यू-प्रमाणे निश्चित करणे ही आयुर्विमाविषयक सांख्यिकीचा हेतू होय.

आयुर्विम्याखेरीज अन्य प्रकारच्या विम्यांत सांख्यिकीचा उपयोग भारतात तरी फारसा होत नाही. म्हणून प्रस्तुत नोंदीची व्याप्ती आयुर्विमाविषयक सांख्यिकीपुरतीच मर्यादित ठेवली आहे.

विम्याचे प्रकार [⟶ विमा] अनेक असले, तरी बहुसंख्य विमे हे हयातीतील किंवा हयातीनंतरचे असे असतात. अशा विम्यात मृत्यूनंतर किंवा ठराविक वयाला विम्याची रक्कम मिळावी अशी तरतूद असते. या विम्याचे हप्ते ठरविण्यासाठी वेगवेगळ्या वयांना मृत्यूचे प्रमाण काय असेल हे निश्चित करावे लागते. ही मृत्यू-प्रमाणे निश्चित झाली की त्यांच्या साहाय्याने मृत्यू-सारणी तयार करतात. चक्रवाढ व्याजाच्या फलानांची (गणितीय संबंधांची) जोड देऊन परिवर्तन फलनांची सिद्धता करतात व त्यांचा हप्ते ठरविताना उपयोग करतात.

मृत्यू-प्रमाण : मृत्यू-प्रमाण म्हणजे मृत्यूची संभाव्यता. x या वयाची व्यक्ती एका वर्षात मृत्यू पावण्याची जी संभाव्यता असेल ती X या वयाच्या मृत्यू-प्रमाणाचे मूल्य होय. हे मूल्य q_X या चिन्हाने दाखवितात. आयुर्विम्याच्या व्यवहारात उपयोगी पडावी म्हणून काढलेली मृत्यू-प्रमाणे विमा कंपन्यांकडे उपलब्ध असलेल्या माहितीचा उपयोग करून निश्चित करतात.

मृत्यू-प्रमाणे निश्चित करण्यासाठी अनुसंधानाची आवश्यकता असते. या अनुसंधानासाठी विमा कंपन्यांकडे उपलब्ध असलेल्या माहितीपैकी शक्य तितक्या अलीकडील कालखंडातील माहिती वापरली जाते. ही माहिती म्हणजे वेगवेगळ्या वयांना किती विमेदार या अनुसंधानाच्या कक्षेत आले व वेगवेगळ्या वयांना मृत्यूने किंवा इतर अन्य कारणाने (उदा., विम्याची मुदत पूर्ण होणे, विम्याची सोडरक्कम घेणे किंवा विमा रद्द होणे यामुळे) किती विमेदार अनुसंधानाच्या कक्षेबाहेर गेले या स्वरूपाची असते. ही माहिती वापरून केलेले अनुसंधान कशा स्वरूपाचे असते याचे स्थूल मानाने खालीलप्रमाणे वर्णन करता येईल.

कोणतेही एक x हे वय घेतले, तर x व x + 1 या वयांमधील मानवी व्यक्तींचे एकूण किती वर्षाचे आयुर्मान अनुसंधानाच्या कक्षेत येते ते काढतात आणि असे गृहीत धरतात की, हे आयुर्मान एकूण a वर्षाचे असेल, तर a इतक्या व्यक्तींचे x व x + 1 या वयांमधील प्रत्येकी संपूर्ण एक वर्षाचे आयुर्मान निवडलेल्या कालखंडात पडते. याच कालखंडात b व्यक्ती x व x + 1 या वयांमध्ये मरण पावलेल्या आहेत असे आढळून आले , तर b  ÷ a हे x या वयाला लागू असणारे मृत्यू-प्रमाण होय. अशा प्रकारे माहितीच्या आधारे काढलेल्या मृत्यू-प्रमाणांना स्थूल ( कच्ची ) मृत्यू-प्रमाणे असे म्हणता येईल.

तथापि, ही स्थूल मृत्यू-प्रमाणे आहेत तशीच वापरता येत नाहीत. कारण उपयोगात आणलेली माहिती कितीही मोठ्या जनसमुदायासंबंधीच्या अनुभवावर आधारलेली असली, तरी संभाव्यतेची सैद्धांतिक व्याख्या [⟶ संभाव्यता] व बृहत्‌संख्यांचा नियम [⟶ संभाव्यता सिद्धांत] हे ध्यानात घेतले, तर त्या दृष्टीने ती माहिती अपुरीच पडते. त्याचप्रमाणे वृद्धावस्थेतील वयांचा व कधी कधी आरंभीच्या काही वयांचा जनसमुदाय मुळातच लहान असतो. यामुळे स्थूल मृत्यू-प्रमाणांचा आलेख काढला, तर तो वेडावाकडा येतो, सफाईदार येत नाही. अमर्यादित (व म्हणून प्रत्यक्षातील नव्हे तर केवळ कल्पनागम्य अशा) माहितीच्या अनुभवावर आधारलेल्या सैद्धांतिक मृत्यू-प्रमाणांचा आलेख सफाईदार यावा अशी अपेक्षा असते. उपलब्ध असलेल्या मर्यादित माहितीचा उपयोग करून काढलेल्या मृत्यू-प्रमाणांच्या आधारे काही सांख्यिकीय पद्धती वापरून या सैद्धांतिक मृत्यू-प्रमाणांचे अनुमान केले जाते. या अनुमान करण्याच्या प्रक्रियेला प्रसरलनाची प्रक्रिया म्हणतात. प्रसरलित मृत्यू-प्रमाणे ठरविताना त्यांचा आलेख सफाईदार असेल एवढेच पाहत नाहीत, तर प्रसरलित मृत्यू-प्रमाणे आणि मूळची स्थूल मृत्यू-प्रमाणे यांतील फरक सांख्यिकीय दृष्ट्या योग्य असेल हेही पाहतात. व्यवहरात प्रसरलित मृत्यू-प्रमाणांचा उपयोग करतात.

 मृत्यू-सारणी : ही सारणी तयार करण्यासाठी ज्या जनसमुदायातील व्यक्तींची संख्या केवळ मृत्यूनेच कमी होते असा एखाद्या विशिष्य पूर्ण वयाचा, उदा., x या वयाचा, जनसमुदाय गृहीत धरतात. या समुदायाची गृहीत धरलेली संख्या L_x या चिन्हाने दाखवितात. L_x पैकी कोणत्याही x + K या पूर्ण वयाला जिवंत असणाऱ्या व्यक्तींची संख्या L _x+k या चिन्हाने आणि x + k व x+k+1  या पूर्ण वयांमध्ये मृत्यू पावणाऱ्या व्यक्तींची संख्या d_x+k या चिन्हाने दाखवितात. आरंभीचे पूर्ण वय शून्यापासून पुढे कोणतेही असू शकेल व त्याचप्रमाणे k चे मूल्य शून्य किंवा त्या पुढचा कोणताही पूर्णाक असू शकेल. ज्या मृत्यू-प्रमाणांचा (q_x ) आधारे मृत्यू-सारणी तयार करावयाचे योजिले असेल, ती मृत्यू-प्रमाणे या जनसमुदायास तंतोतंत लागू आहेत असे गृहीत धरतात. या गृहीतकृत्यामुळे 

वगैरे समीकरणे ओघानेच मिळतात. या समीकरणांच्या आधारेच d_x , d_{x+1 ,} आणि l _{x+1 ,} l _{x+2 , .. ..} यांची मूल्ये काढतात.

X पासून पुढच्या सर्व पूर्ण वयांना l_x, d_x वq_x यांची मूल्येदाखविणाऱ्या कोष्टकाला मृत्यू-सारणी किंवा आयुर्मान-सारणी म्हणतात. सारणीचा आरंभ कोणत्याही वयापासून करता येतो. ज्या वयापासून ही सुरूवात केली असेल त्या वयाला l चे मूल्य काहीही असू शकते. या मूलधाराला काही तरी मोठे शून्य मूल्य देऊन – जसे ९९,९९९-व वरील सूत्रांचा उपयोग करून मृत्यू-सारणीचा सिद्धता करतात. मृत्यू-सारणीचा शेवटी q_x चे मूल्य १ होते आणि सारणी संपते किंवा ते १ च्या इतके जवळ जाते की सारणी पुढे चालू ठेवण्यात काहीच अर्थ उरत नाही. मृत्यू-सारणीचे उदाहरण म्हणून भारतीय आयुर्विमा महामंडळाच्या १९७५-७६ ते १९७८-७९ या वर्षाच्या अनुभवावर आधारलेली मृत्यू-प्रमाणे वापरून तयार केलेल्या मृत्यू-सारणीचा सुरूवातीचा भाग खाली दिला आहे.

देशातील संपूर्ण लोकसंख्येच्या अनुभवावर आधारलेल्या अशा प्रकारच्या कोष्टकाला राष्ट्रीय आयुर्मान-सारणी म्हणतात.

परिवर्तक फलने : मृत्यू-सारणीतील फलनांचा चक्रवाढ व्याजाच्या फलनांची जोड देऊन परिवर्तक फलने तयार करतात. चक्रवाढ व्याजाचा दरसाल दरशेकडा दर r असला,तर एक रूपयाची १ वर्षाच्या शेवटी रास  (1+r/100) होते. म्हणजेच एका वर्षाच्या शेवटी १ रूपया येणे असल्यास त्याचे आजचे मूल्य 1(1+r/100)होते. 1/(1+r/100) ऐवजी v हे चिन्ह वापरतात. प्रमुख परिवर्तक फलने अशी आहेत.

D_X = V^X X L_X

N_X = D_X + D_X+1 + D_X+2 + …..सारणीच्या शेवटापर्यंत

CX = v^x+1 X d_x

M_x = C_x + C_x+1 + C_x+1 + …..सारणीच्या शेवटापर्यंत

विमा हप्त्यांचे निर्धारण : वरील परिवर्तक फलनांच्या साहाय्याने आजीव वर्षासनांची व विम्यांची आजची मूल्ये काढता येतात आणि त्यांचा उपयोग करून विम्यांचे हप्ते ठरवितात.

आजीव वर्षासन म्हणजे एखाद्या व्यक्तीला ती जिवंत असेपर्यत विशिष्ट वेळांना देणे असलेल्या ठराविक रकमांची मालिका. जर या व्यक्तीचे आजचे वय X असेल व दर वर्षाच्या प्रारंभी म्हणजे x, x+ 1, x + 2, … या वयांना १ ही रक्कम मिळणार असेल, तर अशा वर्षासनाला दातव्य वर्षासन म्हणतात आणि त्याचे आजचे मूल्य

 हयातीनंतरच्या विम्यात विम्याची रक्कम ज्या वर्षात विमेदाराचा मृत्यू घडेल त्या वर्षी घ्यावयाची असते. जर ही रक्कम १ असेल व विमेदाराचे आजचे वय x असेल, तर या विम्याचे आजचे मूल्य A _x या चिन्हाने दाखवितात. हे मूल्य

या सूत्राने मिळते. 

हयातीतील विमा एका ठराविक मुदतीचा असतो. विमेदार या मुदतीत मृत्यू पावला, तर वरीलप्रमाणे त्याला रक्कम मिळतेच, पण त्याशिवाय तो या मुदतीपर्यत जगला, तर मुदतीच्या शेवटी त्याला विम्याची रक्कम मिळते. विमेदाराचे वय x असेल, मुदत n वर्षे असेल व रक्कम १ असेल, तर या विम्याचे आजचे मूल्य A _{x :  n} या चिन्हाने दर्शवितात. हे मूल्य

या सूत्राने मिळते. 

विम्याचे हप्ते ठरविताना प्रथम हप्त्याचे आजचे मूल्य व विम्याचे आजचे मूल्य यांचे समीकरण मांडतात. विमा उतरविल्यावर लगेच व त्यानंतर विमा चालू असेपर्यत दर वर्षाच्या प्रारंभी याप्रमाणे हप्ते भरावयाचे असतात. म्हणजेच हप्त्यांचे एक दातव्य वर्षासन होते.

वर वर्णिलेल्या हयातीनंतरच्या विम्याचा वार्षिक नक्त हप्ता P_x या चिन्हाने दाखवितात. या हप्त्याचे मूल्य P_x X ä_xहोते आणि P_x ´ä_x = A _x या समीकरणाने P_´= A _x / ä_x हे उत्तर येते. त्याचप्रमाणे वर वर्णिलेल्या हयातीतील विम्याचा वार्षिक नक्त हप्ता P_{x : n} या चिन्हाने दाखवितात. या हप्त्यांचे वर्षासन तात्पुरते असल्याने त्याचे मूल्य P_{x : n} ¬´ ä_{x: n}¬ होते आणि

         P_{x : n}¬ X  ä_{x: n}¬= A _{x : n}¬ या समीकरणाने 

         P_{x : n} ¬= A_{x : n}¬ /  ä_{x: n}¬हे उत्तर मिळते. 

व्यवहारात हप्ते सहामाही, तिमाही किंवा क्वचित मासिकही असतात. हे हप्ते वार्षिक हप्त्यांपासून गणिताने काढतात.

विमा कंपन्यांचा खर्च व इतर काही व्यावहारिक तपशील यांसाठी नक्त हप्त्यांत वाढ करतात. अशी वाढ करून येणारे हप्तेच प्रत्यक्षात आकारले जातात.  

 निवड सारणी : आतापर्यत असे गृहीत धरले आहे की, मृत्यू-प्रमाण हे केवळ वयावर अवलंबून आहे पण विमा कंपन्यांचा या बाबतीतील अनुभव वेगळा आहे. याचे कारण असे आहे की, विमेदाराची वैद्यकीय तपासणी होऊन मगच विमा कंपनी विमा देते. ज्या व्यक्ती या कसोटीला उतरतात अशांनाच नेहमीच्या दराने विमे दिले जातात. या व्यक्ती एका विशिष्ट तऱ्हेने निवडलेल्या असतात, असेही म्हणता येईल. ही निवड झाल्यानंतर काही वर्षापर्यत तरी असे दिसून येते की, एकाच वयाच्या व्यक्तींचे निवडीनंतर लोटलेल्या निरनिराळ्या वर्षाप्रमाणे केलेले गट घेतले, तर ज्या गटातील व्यक्तीची निवड होऊन जास्त वर्षे लोटली आहेत अशा गटातील व्यक्तींचे मृत्यू-प्रमाण जास्त असते. जसजशी ही निवडीनंतरची वर्षे वाढत जातात तसतसे त्या त्या गटाचे मृत्यू-प्रमाण वाढत जाते. पण काही कालावधीनंतर ही वाढ अगदी अल्प प्रमाणात होते व नंतर पूर्णपणे थांबते. या कालावधीनंतर मृत्यू-प्रमाण फक्त वयावर अवलंबून असते, असे म्हटले तरी चालू शकते. या कालावधीला निवड कालावधी म्हणतात व हा कालावधी दाखविणाऱ्या सारणीला निवड सारणी म्हणतात. या सारणीतील ज्या भागात मृत्यू-प्रमाण वय व निवडीनंतरचा काळ या दोन्हीवर अवलंबून असते तो भाग निवड भाग होय. उरलेल्या भागात मृत्यू -प्रमाण फक्त वयावर अवलंबून असते. त्या भागाला अंत्य भाग किंवा अंत्य सारणी म्हणतात. निवड कालावधीचा वेगळा विचार न करता जी सारणी तयार करतात तिला समग्र सारणी म्हणतात.

विमा कंपन्या विम्यांचे हप्ते ठरविताना निवड सारणीचा उपयोग करतात. विम्यांच्या नियतकालिक मूल्यमापनासाठी मात्र बहुधा अंत्य सारणीचा किंवा क्वचित समग्र सारणीचा उपयोग करतात.

वर्षासनांच्या माहितीवर आधारलेली मृत्यु-सारणी तयार करताना आणखी एका मुद्याचा विचार करावा लागतो. आजवरचा सार्वत्रिक अनुभव असा आहे की, दिवसेंदिवस मृत्यू-प्रमाण कमी होत आहे किंवा लोक अधिक वर्षे जगत आहेत. या मुद्याचा विचार विम्याशी संबंधित असलेल्या सारणीत करण्याची आवश्यकता नसते, कारण मृत्यू-प्रमाण जितके कमी होईल तितके विमा कंपनीला हवेच असते. पण वर्षासन खरेदी करणाऱ्याला तो जिवंत असेपर्यत वर्षासनाची रक्कम मिळावयाची असल्याने मृत्यू-प्रमाण कमी झाले व अपेक्षेपेक्षा अधिक लोक वाचले, तर विमा कंपनी तोट्यातच येण्याची शक्यता निर्माण होईल. हा धोका टाळण्यासाठी वर्षासनांवर आधारलेल्या अनुसंधानात प्रसरलनाच्या जोडीला मृत्यू-प्रमाणांची भविष्यात काय पातळी राहील याचाही अंदाज करतात व त्यानुसार मृत्यू-प्रमाण ठरवितात.

मृत्यू-प्रभाव : मृत्यू-सारणीतील आतापर्येत उल्लेख न केलेले पण महत्त्वाचे असे फलन म्हणजे मृत्यू-प्रमाण हे होय. हे फलन x या वयाला m_x या चिन्हाने दाखविले जाते. या फलनाचे x या वयाला l_x या फलनाचे मूल्य कमी होण्याचे दरडोई दरसाल प्रमाण किती आहे ते कळते. हे फलन बरेचसे सैद्धांतिक महत्त्वाचे आहे, पण जर वेगवेगळ्या वयाच्या m_x ची मूल्ये गुंफणारे सूत्र सापडले, तर त्याच्या व्यवहारातही उपयोग होऊ शकतो. असे सूत्र सापडले, तर त्याच्या साहाय्याने प्रसरलन करता येते व एकाहून अधिक व्यक्तींच्या विमाविषयक गणितात सुकरता येते. याशिवाय या विषयाला एक सैद्धांतिक अधिष्ठान प्राप्त होते ते वेगळेच. या बहुविध हेतूंनी प्रेरित होऊन आजवर अनेकांनी असे सूत्र शोधून काढण्याचा प्रयत्‍न केला आहे. त्यांपैकी सर्वांत पहिला प्रयत्‍न बेंजामिन गाँपर्ट्‌स (१७७९ – १८६५) यांचा होय. त्यांनी १८२५ मध्ये m_x = B_c^x हे सूत्र सुचविले (या व इतर सूत्रांत उजवीकडे येणारी x खेरीजची अक्षरे स्थिरांक दर्शवितात). त्यानंतर सुचविण्यात आलेल्या

सूत्रांमधील महत्त्वाची सूत्रे अशी आहेत : 

मेकहॅम सूत्र (१८६०) m_x = A + Bc^x

मेकहॅम सूत्र (१८६९) m_x =  A + Hx + Bc^x

लाझारस सूत्र (१८६७) m_x =  A + Bc^x + Mn^x

आयुर्मान अपेक्षा : मृत्यू-सारणीतील नमूद करण्याजोगे शेवटचे फलन म्हणजे आयुर्मान अपेक्षा (किंवा अपेक्षित आयुर्मान) हे होय. हे फलन x या वयाला e⁰_x या चिन्हाने दाखवितात. या वयाला अस्तित्वात असलेल्या l_x व्यक्तीचे भविष्यातील संपूर्ण जीवन लक्षात घेतले, तर प्रत्येक व्यक्तीच्या वाट्याला सरासरीने किती वर्षे आयुष्य येईल त्या वर्षाचा आकडा म्हणजे e⁰_x  होय. e⁰_x चे मूल्य काढताना असे गृहित धरतात की, कोणत्याही एका जीवनवर्षात होणारे मूत्यू हे सरासरीने त्या जीवनवर्षाच्या मध्यावर होतात. या आधारावर e⁰_x  चे सूत्र 

e⁰_x = 1/2 + 1/I _x (l _{x + 1} + l _{x + 2} + . . . . . ) असे होते. 

दोन मृत्यू-सारण्यांची तुलना करण्यासाठी e⁰_x  चा उपयोग होऊ शकतो.

हुविध-घट-सारणी : वर वर्णन केलेल्या सर्व मृत्यू-सारण्यांत मृत्यू हेच समुदायातील व्यक्तींच्या संख्येत घट होण्याचे कारण होते. काही वेळा मृत्यूखेरीज इतर कारणांचाही अनुसंधानात समावेश करावा लागतो. एखाद्या कार्यालयातील किंवा कारखान्यातील नोकरवर्गाचा आपण विचार केला, तर राजीनामा, बडतर्फी अथवा निवृत्ती या कारणांनीही त्यांची संख्या कमी होते असे दिसते. जर अशा निर्गमनांनंतर उपदान देण्याची किंवा निवृत्तिवेतन सुरू करण्याची व्यवस्था असेल, तर अशा उपदानांना व निवृत्तिवेतनांना काय खर्च येईल आणि त्यासाठी अंशदान काय असावे हे ठरविण्यासाठी जी सारणी वापरावयाची तीत या सर्व निर्गमन कारणांचा समावेश करावा लागतो. अनुसंधान व रचना या बाबतींत या बहुविध – घट सारण्या पूर्वी वर्णन केलेल्या एकेरी–घट–सारणीसारख्याच असतात. फक्त त्या समग्र स्वरूपाच्याच असतात, कारण नोकरीत प्रवेश करताना निवड होत असली, तरी त्या निवडीचे स्वरूप वेगळे असते.

पहा : विमा संभाव्यता.

संदर्भ : 1. Anderson, J. L. Dow, J. B. Actuarial Statistics : Vol. II, Construction of Mortality and other Tables, Cambridge, 1952.

            2. Bowers, N. L. and others, Actuarial Mathematics, 1986.

           3. Fisher, H. F Young, J. Actuarial Practice of Life Assurance, Cambridge, 1965.

          4. Hooker, P. F. Longley Cook, L. H. Life and other Contingencies, Cambridge, Vol, I,1953 Vol. II, 1957.

          5. Tately, H. Actuarial Statistics, Vol. I. Statistics and Graduation, Cambridge, 1946.

डोंगरे, नी. मा.

“