संदर्भ – व्यूह

संदर्भ-व्यूह : ( रेफरन्स फेम ). कोणत्याही घटनेचे स्थलकाल वर्णन करण्यासाठी काही तरी निर्देशक ( संदर्भ ) पद्धती वापरावी लागते. घटनास्थलाचा निर्देश करण्यासाठी एखादया आदिबिंदूपासून एकमेकांशी काटकोनात असलेल्या तीन अक्षांची मांडणी करतात. हिलाच त्रिमिती संदर्भ-व्यूह असे म्हणतात. प्रत्येक निरीक्षकाचा वेगवेगळा संदर्भ-व्यूह असू शकतो. त्यामध्ये आदिबिंदू वेगळा असेल अथवा अक्षाच्या दिशासुद्धा निराळ्या असू शकतील. आदिबिंदूपासून X – अक्षाच्या दिशेने a इतके अंतर गेल्यानंतर व तेथून Y – अक्षाला समांतर b इतके अंतर गेल्यानंतर आणि तेथून पुढे Z – अक्षाला समांतर c इतके अंतर गेल्यास घटनास्थलावर पोहोचता येते. असे झाल्यास घटनास्थलाचे सहनिर्देशक a, b, c आहेत असे मानले जाते व घटनास्थल (a, b, c) अशा राशी समुच्च्यामुळे ओळखता येते. दुसऱ्या बाजूने विचार केल्यास घटनास्थल YZ प्रतलापासून ( पातळीपासून ) ‘a’ अंतराइतके दूर आहे तसेच ZX आणि XY प्रतलांपासूनची त्यांची अंतरे अनुक्रमे b आणि c अशी आहेत, असे दिसून येईल.

( x1, y1, z1) आणि ( x2, y2, z2) अशा दोन वेगळ्या घटनास्थलांचे निरीक्षण केल्यास त्यांमधील अंतर [(x1–x2)2 + (y1– y2)2 + (z1– z2)2] एवढे असते. दुसऱ्या एखादया निरीक्षकाने त्याच्या वेगळ्या संदर्भ-व्यूहानुसार याच घटनास्थलांचे निरीक्षण करताना जर ( x/1 , y /1 , z/1 ) आणि ( x/2 , y/2, z/2 ) असे त्याचे सहनिर्देशक मिळाले, तर या दोन घटना-  स्थलांमधील अंतर [( x/1– x/2)2+ ( y/1–y/2)2 + (z/1–z/2)2] एवढे होईल. अर्थातच दोन्ही निरीक्षकांना मिळालेली अंतरे सममूल्य असणार हे उघड  आहे. यावरून दोन स्थलांतील अंतराबद्दलच्या अविचलतेचा नियम निर्माण होतो.

घटनेच्या कालाचा ( t ) निर्देश करण्याकरिता एक आदिक्षण ठरवावा  लागेल व स्थानिक वेळ मोजण्याकरिता एक घडयाळ घ्यावे लागेल. स्थलकालाची एकत्रित मोजणी ( x , y , z , t ) अशा चार राशी समुच्च्याने दर्शविली जाते. म्हणून यात चतुर्मिती संदर्भ-व्यूहांचा उपयोग केला आहे, असे म्हटले जाते. चतुर्मिती संदर्भ-व्यूहांची उपयुक्तता सापेक्षता सिद्धांताच्या अभ्यासामध्ये कळून Amcr.[→ सापेक्षता सिद्धांत].

चारही सहनिर्देशक एकाच परिमाणात मोजण्याच्या आवश्यकतेमुळे प्रकाशवेगाचे ( c ) अविचल ( स्थिर ) मूल्य व सैद्धांतिक विवेचनामध्ये त्याचे मान्यता पावलेले महत्त्व विचारात घेऊन चौथा सहनिर्देशक ct ( काही पद्ध तीत ict ) असा वापरण्याचा प्रघात पडला. त्यामुळे दोन घटनांमधील स्थलकालांतर [(x1– x2)2 +  (y1– y2)2 +  (z1– z2)2 –  c2(t1– t2)2 ] असे समजले जाते व ही राशी कोणत्याही निरीक्षणात सममूल्य राहते. दोन निरीक्षकांमधील सापेक्ष गतीचा वेग जर प्रकाशवेगाच्या मानाने अत्यल्प असेल व त्यांची घड्याळे एकदा जमवून घेतली, तर शेवटपर्यंत तशीच राहतील म्हणजेच ( t1– t2) अथवा (t/ 1– t/ 2) सममूल्य होतील. जर सापेक्ष गतीचा वेग बराच असेल, तर या दोन राशींच्या मूल्यमापनामध्ये फरक दिसून येईल. म्हणजे दोघांची घडयाळे सुरूवातीला जुळवून घेतली, तर एक सतत पुढे जात राहील, असे असूनसुद्धा कोणत्याही दोन घटनांमधील स्थलकालांतर एकमूल्यी असेल.

न्यूटनप्रणीत संदर्भ-व्यूह : ज्या दोन संदर्भ-व्यूहांमध्ये घडयाळांची टिक् टिक् एकाच लयीत चालते, त्यांना न्यूटनप्रणीत संदर्भ-व्यूह असे संबोधले जाते. अशा सर्व व्यूहांच्या कालगणनांमध्ये काहीच फरक पडत नाही. त्यामुळे स्थलकालमापनाकरिता त्रिमिती संदर्भ-व्यूह पुरेसा होतो. याचा दुसरा अर्थ असा होतो की, कालप्रवाह सर्व निरीक्षकांसाठी एकाच संथतेने ( संथ गतीने ) चालू आहे. म्हणून कालनिरपेक्ष आहे, अशी कल्पना रूढ झाली. न्यूटनप्रणीत दोन संदर्भ-व्यूहांमध्ये सापेक्ष गती प्रकाश- वेगाच्या मानाने अत्यल्प असते. असा एक संदर्भ-व्यूह दुसऱ्या सापेक्ष v या गतीने समान X – अक्षाच्या दिशेने जात असेल आणि एखादया बिंदूचा सहनिर्देशक पहिल्या व्यूहात x1 आणि दुसऱ्या व्यूहात x2 असेल, तर t या कालानंतर x1 आणि x2 ही

x2= x1+ vt … … … … …(१)

या सूत्राने संबंधित राहतील. जर v ही गती कोणत्याच अक्षाला समांतर नसेल व त्याचे जर vX , vy , vZ असे घटक असतील, तर

अशी समीकरणे मिळतील. यांना गॅलिलीअन रूपांतरण समीकरणे असे म्हणतात. यावरून असेही दिसून येते की, घटनास्थलाचा प्रवेग दोन्ही व्यूहांमध्ये ‘ शून्य ’ मूल्याचा आहे.[→यामिकी].

निरूढीय संदर्भ-व्यूह : निरनिराळ्या घटनांच्या स्थलकालमापना-वरूनच भौतिकी नियमाची मांडणी तयार होते →  भौतिकी]. मात्र ही मापने यथायोग्य संदर्भ-व्यूहात करावयास हवीत. पृथ्वीवर आणि तिच्या सभोवती गुरूत्वाकर्षणाचे क्षेत्र अस्तित्वात आहे. त्याचा सर्व मापनांवर परिणाम घडून येतोच. त्यामुळे भौतिकी नियमांची सूत्रबद्ध आणि सोपी मांडणी करता यावी, म्हणून स्थलकालमापनासाठी गुरूत्वाकर्षणहीन संदर्भ-व्यूह वापरणे आवश्यक पडते. पृथ्वीवर गुरूत्वाकर्षणामुळे मुक्तपणे पडणारी वस्तू हा आदिबिंदू मानून उभारलेला संदर्भ-व्यूह याकरिता उपयुक्त आहे. यालाच निरूढीय संदर्भ-व्यूह म्हणतात [→निरूढी].

निरूढीय संदर्भ-व्यूहामध्ये प्रेरणाविरहित वस्तूची गती स्थिर असते. उलट बाजूने असेही म्हणता येईल की, ज्या संदर्भ-व्यूहामध्ये एखादया प्रेरणाविहीन वस्तूची गती स्थिर असते, तो व्यूह निरूढीय असतो. न्यूटन यांचे गतिविषयक नियम निरूढीय संदर्भ-व्यूहातच लागू पडतात.

 संदर्भ-व्यूहाची सापेक्ष गती v समान X– अक्षावर जर प्रकाशवेगाच्या ( c ) मानाने अत्यल्प नसेल, तर गॅलिलीअन रूपांतरण समीकरणांऐवजी खालील लोरेन्ट्स रूपांतरण समीकरणे लागू पडतात.

 परिभ्रमित संदर्भ-व्यूह : यामध्ये सहनिर्देशक अक्षांचे एखादया विशिष्ट निरूढीय-व्यूहासापेक्ष परिभमण होत असते. त्यामुळे अशा परि-भ्रमित व्यूहासापेक्ष एखादे घटनास्थल स्थिर असेल, तर निरूढीय-व्यूहामध्ये ते गोलाकार फिरत आहे असे दिसेल. त्यामुळे त्याला केंद्रगामी ( केंद्राकडे जाणारा ) आणि कोरिऑलिस असे दोन प्रवेग आहेत असे अनुभवाला येईल. मात्र परिभ्रमित संदर्भ-व्यूहामध्ये त्यावर काहीच प्रेरणा नसते. [→कोरिऑलिस परिणाम].

परिभ्रमित संदर्भ-व्यूह म्हणजे प्रवेगवान संदर्भ-व्यूहाचाच एक प्रकार होय. अशा व्यूहामध्ये प्रवेग आणि प्रेरणा यांमध्ये समप्रमाण नसते व न्यूटन यांचे गतिविषयक नियम त्याला लागू पडत नाहीत.

समजा, एखादया बिंदूचे a1, a2 असे केंद्रगामी व कोरिऑलिस प्रवेग निरूढीय संदर्भ-व्यूहात आढळले आणि a3 हा परिभ्रमित व्यूहात असलेला प्रवेग असेल, तर निरूढीय व्यूहात a1+ a2+ a3 एवढा प्रवेग आढळून येईल व त्या बिंदूवरील F ही प्रेरणा खालील सूत्रावरून मिळेल,

F = ma1 + ma2 + ma3 … … … ……(४)

समी. 4 वरून ma3= F– ma1– ma2 असे समीकरण मिळेल. हे न्यूटन यांच्या नियमात बसविण्याकरिता – ma1 याला F1 ही केंद्रोत्सारी ( केंद्रापासून दूर जाणारी ) प्रेरणा आणि – ma2 यांस F2 अशी कोरिऑलिस प्रेरणा असे समजले, तर

ma3= F + F1 + F2 ………………(५)

असे सूत्र मिळेल. यामध्ये समीकरणाच्या उजव्या बाजूची बेरीज सदिश ( दिशा व मूल्य असणाऱ्या ) राशीच्या पद्धतीने करावयास हवी. F1आणि F2 या आभासी प्रेरणांचा अंतर्भाव केल्यास न्यूटन यांचा गतिनियम परिभ्रमित व्यूहामध्ये देखील लागू पडतो, असे दिसून येते.

दुसऱ्या बाजूने विचार केल्यास असे आढळून येईल की, आभासी प्रेरणांचे अस्तित्व समजून आल्यास परिभ्रमित संदर्भ-व्यूहाच्या गतीबद्दल देखील संपूर्ण माहिती मिळेल.[→प्रेरणा-२].

खगोलीय संदर्भ-व्यूह : खगोलीय वस्तूशी जखडून ठेवलेल्या व्यूहांना हे नाव दिलेले आहे. आकाशातील वस्तूंचे पृथ्वीवरून निरीक्षण करण्यास भूकेंद्रित संदर्भ-व्यूह फार सोयीचा आहे. यामध्ये पृथ्वीचा आस हा एक निर्देशक अक्ष घेतलेला असतो. विषुववृत्ताची पातळी आणि पृथ्वीच्या सूर्यप्रदक्षिणेची पातळी यांच्या छेदाने दुसरा अक्ष ठरविला जातो. तिसरा अक्ष पहिल्या दोन्हींशी काटकोनात असतो. कालगणनेचे परिमाण पृथ्वीच्या स्वत:च्या आसाभोवती फिरण्याच्या वेळाइतके म्हणजे सरासरीचा सौर दिवस असे वापरले जाते.

ग्रहांचे निरीक्षण जरी पृथ्वीवरून केले, तरी त्यांची गती सूर्यकेंद्रित व्यूहासापेक्ष अतिशय सुलभ रीतीने समजू शकते. तसेच ताऱ्यांची गती तारकापुंजांच्या मध्यातून उभारलेल्या संदर्भ-व्यूहामार्फत अत्यंत सोपी व सुटसुटीत होते.

एखादया अवाढव्य खगोलीय वस्तूच्या सरासरीच्या ठिकाणावर उभारलेल्या संदर्भ-व्यूहाची निरूढीय संदर्भ-व्यूहाशी बरोबरी होते.

प्रयोगशालेय व गुरूत्वमध्य संदर्भ-व्यूह : आणवीय विकिरण ( विखुरण्याच्या ) क्रियांचा अभ्यास करताना दोन प्रकारच्या संदर्भ-व्यूहांचा उपयोग करतात. एखादा अणू जर दुसऱ्या एखादया स्थिर म्हणजे घन पदार्थातील अणूवर येऊन आदळला, तर निरीक्षकदेखील स्थिर असल्यामुळे प्रयोगशालेय संदर्भ-व्यूहात ( संक्षेपाने व्यूहात ) त्याने सर्व मापने केली असे म्हणण्याचा प्रघात आहे.

गुरूत्वमध्य संदर्भ-व्यूहात ( अथवा C व्यूहामध्ये ) या दोन अणूंचा गुरूत्व-मध्य स्थिर राहतो. सैद्धांतिक विवेचनाकरिता हा व्यूह अधिक उपयोगी आहे. कारण यामध्ये प्रवेग-अविचलतेचे बंधन आपोआप पाळले जाते.

दोन समान अणूंच्या अशा आघातकियेमध्ये त्यांची सापेक्ष गती जर v असेल आणि L व्यूहातील निरीक्षणाप्रमाणे एकजण स्थिर असेल, तर दुसऱ्याची गती v असेल. C व्यूहामधून केलेल्या निरीक्षणाप्रमाणे दोन्ही अणू प्रत्येकी इतक्या वेगाने एकमेकांवर आदळणार त्यामुळे त्यांचा गुरूत्वमध्य नेहमी स्थिर राहणार हे उघड आहे.

या दोन अणूंमध्ये प्रत्यास्थ ( स्थितिस्थापक ) आघात घडल्यावर C व्यूहातील पाहणीप्रमाणे ते पुन्हा V/2 याच वेगाने एकमेकांपासून दूर जातील. एका अणूची आघातानंतरची दिशा मूळ दिशेपासून θ′या कोनातून व दुसऱ्याची (p-θ′)या कोनातून बदलली जाईल. दोन्ही अणू समान असल्यामुळे θ′किंवा(p-θ′) ही कोणत्या अणूची दिशा हे सांगणे अवघड आहे.

L व्यूहातील निरीक्षणाप्रमाणे पहिल्या अणूची दिशा θ अंशातून आणि दुसऱ्याची (p/2 – θ) इतकी बदलते, म्हणजे आघातानंतर ते दोघे एकमेकांशी काटकोन करणाऱ्या दिशांत फेकले जातात. त्यांचे वेग सुद्धा वेगवेगळे असतात. त्यांचे संबंध

v12 +  v22 =  v2 … … … … …(६)

आणि  θ  =  1/2θ′… … … … … (७)

या सूत्रांनी दर्शविले जातात. कोणत्याही अणूच्या, C व्यूहातून पाहिलेल्या गतीमध्ये, व्यूहाच्या स्वत:च्या गतीची सदिश राशीच्या नियमाप्रमाणे त्या अणूची L व्यूहातील गती मिळते. यावरून v1, v2, v,θ,θ′ यांचे वर दिलेले परस्परसंबंध मिळविता येतात.

वरील विवेचनात दोन अणूंचा एकमेकांसापेक्ष वेग हा प्रकाशवेगाच्या मानाने अत्यल्प आहे, असे समजले आहे. तसे नसल्यास (६) आणि (7) समीकरणांमध्ये काहीसा बदल होईल.

पहा : अवकाश-काल कोरिऑलिस परिणाम यामिकी सापेक्षता सिद्धांत.

संदर्भ : 1. Abell, G. O. Morrison, D. Wolff, S. C. Exploration of Universe, 1991.

            2. Einstein, A. The Meaning of Relativity, Princeton, 1956.

            3. Kittel, C. Knight, W. D. Ruderman, M. A. Mechanics, Vol. I, New York, 1973.

            4. Tayler, E. F. Wheelar, J. A. Space–Time Physics, San Francisco, 1966.

राजोपाध्ये, वि. य.