बूलीयन बीजगणित

तर्कशास्त्र व बूलीयन बीजगणित : तर्कशास्त्रसामध्ये सरल विधाने (उदा., ७ जून १९८१ या दिवशी निवडणूक झाली) व संयुक्त विधाने (दोन सरल विधाने ‘आणि’, ‘अथवा’ अशा अव्ययांनी जोडलेली उदा., रात्री पाऊस पडला आणि आज मी वाचनालयात गेलो होतो) यांचा विचार करण्यात येतो. या विधानांचा सत्यता संच तयार करण्यात येतो. अशा संचांचे बीजगणित हे बूलीयन बीजगणित असते हे कोष्टक क्र५ वरून दिसून येईल.

कोष्टक क्र ४ संचांचे बीजगणित व बूलीयन बीजगणित यांतील साधर्म्य 

 कोष्टक क्र ५ तर्कशास्त्राचे बीजगणित व बूलीयन बीजगणित यांतील साधर्म्य. 

संख्या संचावरील बीजगणित व बूलीयन बीजगणित :  सर्वांना परिचित असलेले संख्या संचावरील ⇨बीजगणित व बूलीयन बीजगणित यांमधील फरक विशेष लक्षणीय आहे.

(१) नेहमीच्या परिचित बीजगणितात + या कृत्याचे × या कृत्यावर वितरण होत नाही., तर बूलीयन बीजगणितात ⊕ या कृत्याचे ⊙या कृत्यावर व ⊙या कृत्याचे ⊕ या कृत्यावर वितरण होते.

(2) नेहमीच्या बीजगणितात कृत्य निष्फलता नियम असतो.

(३) तसेच बूलीयन बीजगणितातील गुणधर्मांच्या कोष्टकांमधील (कोष्टक क्र.१ मधील) ६ (आ.) ७, ८, ९ यांतील गुणधर्मांशी सदृश गुणधर्म नेहमीच्या बीजगणितात आढळत नाहीत.

(४) संख्या संचावरील बीजगणित हे संपूर्ण क्रमित असते परंतु बूलीयन बीजगणितात हा गुणधर्म आढळत नाही म्हणजेच सत्‌ संख्या संचामध्ये [→संख्या] क आणि ख या दोन संख्या असल्यास (अ) क &lt ख किंवा (आ) क = ख किंवा (इ) क&gt ख. अशा तऱ्हेचा गुणधर्म बूलीयन बीजगणितात आढळत नाही.

बूलीयन बीजगणित हे आंशिक क्रमित आहे. तसेच ते परिचित गणितापेक्षा गुणधर्मांच्या बाबतीत जास्त सममित आहे. उदा., बूलीयन बीजगणितातील एखादे विधान खरे असेल, तर एकाच वेळी (अ) ⊕व⊙या कृत्याची अदलाबदल आणि (आ) विश्वव्यापी घटक I व रि क्त घटक O यांची अदलाबदल केली, तर निष्पन्न होणारे विधानही खरे असते. यालाच ⇨ द्वित्व तत्त्व म्हणतात. द्वित्व तत्वाची काही उदाहरणे पुढीलप्रमाणे:

(१)          क ⊕O = क Û क ⊙ I = क 

(२)          क⊕I = I Ûक ⊙ 0 = 0

(३)          क⊕क‘ = I Ûक ⊙क‘ = 0

दोन घटक असलेल्या संचाचे बीजगणित : समजा स = {०, १} हा एक दोन घटकांचा संच आहे. येथे ० व १ या अंकगणितातील संख्या नाहीत ती फक्त दोन घटकांकरिता चिन्हे आहेत. आता या संचावर कोष्टक क्र.६ व ७ मध्ये दिल्याप्रमाणे दोन कृत्यांची ( + व .) व्याख्या केलेली आहे,

या कोष्टकात दिलेल्या व्याख्या वापरून खालील गुणधर्म सहज पडताळून पाहता येतील.

(१) संवृतता : दोन्ही कृत्यांकरिता संच संवृत्त आहे.

(२) + व . ही दोन्ही कृत्ये क्रमनिरपेक्ष आहेत.

(३) दोन्ही कृत्यांना साहचर्य नियम लागू आहे.

(४) + या कृत्याचे . या कृत्यावर वितरण, तसेच . या कृत्याचे + या कृत्यावर वितरण शक्य आहे. 

(५) कृत्य निष्फलता नियम पाळला जातो.

(६) दोन्ही कृत्यांकरिता अविकारी घटक उपलब्ध आहे.

(७) प्रत्येक घटकाला पूरक घटक उपलब्ध आहे.

(८) द मॉर्गन यांचे नियमही पडताळून पाहता येतात.

(९) शोषण नियम अस्तित्वात आहे.

या गुणधर्मामुळे संच स = {०,१} आणि कृत्ये + व . यांनी एक बूलीयन बीजगणित तयार होते, हे सहज लक्षात येईल.

स्विचिंग मंडलांचे बीजगणित : समजा आ. १ मध्ये दाखविल्याप्रमाणे क व ख यांना जोडणारे आणि मध्ये एक स्विच असलेले  

एक मंडल आहे. स्विचाची अवस्था (बंद किंवा चालू) क्ष ने दर्शविली आहे. क्ष ला दोनच मूल्ये आहेत. चालू आणि बंद या अवस्था आपण१ व ० या चिन्हांनी दर्शवू. म्हणजेच क्ष = १ याचा अर्थ स्विच चालू. (म्हणजे विद्युत्‌ प्रवाह चालू) आणि क्ष = ० याचा अर्थ स्विच बंद (म्हणजे विद्युत्‌ प्रवाह बंद). आता ज्या मंडलामध्ये दोन स्विच आहेत अशा मंडलाचा विचार करू. यामध्ये दोनच शक्यता आहेत : (१) दोन्ही स्विच एकसरीत जोडलेले आहेत किंवा (२) अनेक सरीत जोडलेले आहेत. (आ. २).

या दोन स्विचांची असस्था क्ष आणि य या अक्षरांनी दर्शवू. क्ष आणि य हे दोन्ही चल ० व १ ही मूल्ये स्वतंत्र रीत्या धारण करू शकतात. आ. १ मध्ये दोन्ही स्विच चालू असताना विद्युत्‌ प्रवाह वाहतो. अशावेळी या दोन एकसरीतील स्विचाची अवस्था आपण क्ष.य किंवा क्षय अशी दर्शवू. म्हणजेच त्याचे कोष्टक कोष्टक क्र. ८ मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे होईल.

 किंवा

दोन स्विच अनेकसरीत जोडलेले असतील तेव्हा त्यांची अवस्था क्ष+य अशी दर्शवू. हे उघडच आहे की, दोन्ही स्विच चालू असताना किंवा दोहोंपैकी एक चालू असताना प्रवाह चालू राहील. हीच गोष्ट कोष्टक क्रं ९ वरून स्पष्ट होईल. 

 किंवा

म्हणजेच ज्याचे घटक बंद व चालू या दोन अवस्था दाखवितात. असा संच स = {०, १} आणि अनेक सरी किंवा एकसरी जोडणी +व . या कृत्यांनी दर्शविली जाते. हे एक बूलियन बीजगणित आहे, हे पडताळून पाहता येईल. स्विंचग मंडलाचे बीजगणित व बूलियन बीजगणित यांतील साम्य कोष्टक क्र १० वरून स्पष्ट होईल. 

कोष्टक क्र. १०. स्विचांचे बीजगणित व बूलीयन बीजगणित यांतील साम्य

पहा : इलेक्ट्रॉनिक स्विच मंडले बीजगणित, अमूर्त संच सिद्धांत 

संदर्भ 1. Arnold, B.H.Logic and Boolean Algebra, Englowood Cliffs, N.J., 1963.

          2. Goodstein, R.L. Boolean Algebra, Oxford, 1963.

          3. Hoerns, G. Heilweil, M.F. Introduction to Boolean Algebra and Logic Design, New York, 1964.

          4. Hohn, f.E. Applied Boolean Algebra, New York, 1966

          5.Neimstein, S.M. Keim, A.Fundamentals of Degltal Computers, new York, 1965.

ओक, स. ज.

“