इ(e) : गणितातील एक महत्त्वाची संख्या. ऑयलर (१७०७–८३) या गणितज्ञांनी e ही संख्या शोधून काढली. लॉगरिथमाचा आधारांक [→ गरिथम] म्हणून e चा उपयोग करणे सोयीचे ठरेल असे त्यांनी प्रतिपादिले. एखाद्या अभिसारी श्रेणीच्या [→ श्रेढी]साहाय्याने एका नवीनच संख्येची व्याख्या करता येते याचे e हे उत्तम उदाहरण होय. हरमाईट यांनी e ही संख्या, परिमेय (पूर्णांकाच्या गुणोत्तराच्या स्वरुपात मांडता येतात अशा संख्या)सहगुणक (समीकरणातील बदलत्या राशींचे म्हणजे चलांचे गुणक)असलेल्या कोणत्याही बैजिक समीकरणाचा निर्वाह (समीकरण सोडवून काढलेले उत्तर) असू शकत नाही, म्हणजेच e ही बीजातीत संख्या आहे हे सिद्ध केले. जर , , … ही अशी श्रेणी घेतली की, जिचे वे पद 

= १ +

+

+ … +

आहे, (प! = १.२.३… ),

१!

२!

प!

तर कोणत्याही साठी &lt + आणि २ &lt &lt ३ असे दाखविता येते. म्हणजेच ही श्रेणी एकदिक् वर्धिष्णू (कधीच कमी होत न जाणारी)आणि ऊर्ध्वबंधित (वरच्या बाजूस मर्यादा असलेली) आहे. गणितीय विश्लेषणातील एका प्रमेयानुसार अशी श्रेणी अभिसारी असते. म्हणजेच

सीमा 

प अस्तित्वात असून [→ अवकलन व समाकलन]ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेस [→ अवकलन व समाकलन]

प→∞ 

ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेसच e म्हणतात. यावरुन e चे मूल्य पाहिजे तितक्या काटेकोरपणे, इच्छित दशांश स्थळापर्यंत काढता येते. पण अगदी पूर्ण बरोबर असे e चे मूल्य काढणेही शक्य नाही (e = २·७१८२८…).

e ही परिमेय संख्या नाही हे पुढीलप्रमाणे सिद्ध करता येते.

समजा, तशी ती असून e =

असेल (ल, म पूर्णांक), तर

= १ +

+

+

+….+

+

+ …

१!

२!

३!

म!

( + १!)

(!)

=(!)

[ १+

+

+……+

] +

१!

२!

!

(!) [

+ ……]

( + १)!

यामध्ये डावीकडे पूर्णांक असून उजवीकडे मात्र पहिला भाग पूर्णांक, तर दुसरा भाग अपूर्णांक आहे. हे अशक्य आहे, म्हणजेच e परिमेय असू शकणार नाही.

ऑयलर यांनी परंपरित अपूर्णांकाच्या (ज्याचे स्वरुप एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक, या अपूर्णांकाच्या छेदात परत एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक व असेच पुढे चालू असते) स्वरूपात e चे मूल्य सिद्ध केले, ते मूल्य असे

e = २ + 

१ 

 

१+ 

२ 

 

२+ 

३ 

 

३+ 

४ 

 

४ … 

स्वाभाविक लॉगरिथमाची व्याख्या, लॉग क्ष =

 

ʃ

क्ष

dट

अशी करतात. क्षच्या ज्या मूल्यासाठी लॉग क्ष= १ असेल, त्याला e म्हटले,

 

तर लॉग e = १ होईल यावरूनe =

सीमा

(

१+

)

= १+

+

+ …. असे दाखविता येते. म्हणजेच ऑयलर

प→∞

१!

२!

                               

ऑयलर यांची e ही संख्याच स्वाभाविक लॉगरिथमाचा आधारांक होय 

ऑयलर यांनी eiथ = कोज्या थ + i ज्या , * **  हे सूत्र सिद्ध केले. त्यावरुन ज्या , कोज्या इत्यादींची मूल्ये च्या घातश्रेढीच्या स्वरूपात प्रस्थापित करता येतात [→ त्रिकोणमिती].तसेच वरील सूत्रात =  असा आदेश करून (मूल्य घालून) e i = -१ हा e आणि  या दोन बीजातीत संख्यांमधील संबंध प्रस्थापित होतो.

आगाशे, क. म.