इ(e)

इ (e) : गणितातील एक महत्त्वाची संख्या. ऑयलर (१७०७–८३) या गणितज्ञांनी e ही संख्या शोधून काढली. लॉगरिथमाचा आधारांक [→ गरिथम] म्हणून e चा उपयोग करणे सोयीचे ठरेल असे त्यांनी प्रतिपादिले. एखाद्या अभिसारी श्रेणीच्या [→ श्रेढी]साहाय्याने एका नवीनच संख्येची व्याख्या करता येते याचे e हे उत्तम उदाहरण होय. हरमाईट यांनी e ही संख्या, परिमेय (पूर्णांकाच्या गुणोत्तराच्या स्वरुपात मांडता येतात अशा संख्या)सहगुणक (समीकरणातील बदलत्या राशींचे म्हणजे चलांचे गुणक)असलेल्या कोणत्याही बैजिक समीकरणाचा निर्वाह (समीकरण सोडवून काढलेले उत्तर) असू शकत नाही, म्हणजेच e ही बीजातीत संख्या आहे हे सिद्ध केले. जर क_१, क_२, … ही अशी श्रेणी घेतली की, जिचे प वे पद

तर कोणत्याही प साठी क_प < क_प+१  आणि २ < क_प < ३ असे दाखविता येते. म्हणजेच ही श्रेणी एकदिक् वर्धिष्णू (कधीच कमी होत न जाणारी) आणि ऊर्ध्वबंधित (वरच्या बाजूस मर्यादा असलेली) आहे. गणितीय विश्लेषणातील एका प्रमेयानुसार अशी श्रेणी अभिसारी असते. म्हणजेच

ती २ व ३ यांच्या दरम्यान असली पाहिजे. या सीमेसच e म्हणतात. यावरुन e चे मूल्य पाहिजे तितक्या काटेकोरपणे, इच्छित दशांश स्थळापर्यंत काढता येते. पण अगदी पूर्ण बरोबर असे e चे मूल्य काढणेही शक्य नाही (e = २·७१८२८…).

e ही परिमेय संख्या नाही हे पुढीलप्रमाणे सिद्ध करता येते.

यामध्ये डावीकडे पूर्णांक असून उजवीकडे मात्र पहिला भाग पूर्णांक, तर दुसरा भाग अपूर्णांक आहे. हे अशक्य आहे, म्हणजेच e परिमेय असू शकणार नाही.

ऑयलर यांनी परंपरित अपूर्णांकाच्या (ज्याचे स्वरुप एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक, या अपूर्णांकाच्या छेदात परत एक पूर्णांक अधिक एक अपूर्णांक व असेच पुढे चालू असते) स्वरूपात e चे मूल्य सिद्ध केले, ते मूल्य असे: 

यांची e ही संख्याच स्वाभाविक लॉगरिथमाचा आधारांक होय.

ऑयलर यांनी e^iथ = कोज्या थ + i ज्या थ, (i = √ – १), हे सूत्र सिद्ध केले. त्यावरून ज्या थ, कोज्या थ इत्यादींची मूल्ये थ च्या घातश्रेढीच्या स्वरूपात प्रस्थापित करता येतात [ ⟶ त्रिकोणमिती ]. तसेच वरील सूत्रात थ = π असा आदेश करून (मूल्य घालून) e^iπ = – १ हा e आणि π या दोन बीजातीत संख्यांमधील संबंध प्रस्थापित होतो.

आगाशे, क. म.