गुरुत्वाकर्षण

गुरुत्वाकर्षण : वर फेकलेले किंवा आधार नसलेले पदार्थ नेहमी खाली जमिनीवरच पडतात, हा आदिमानवापासून आजतागायत पहाण्यात येत असलेला आविष्कार आहे. कारण अशा पदार्थांना पृथ्वी आकर्षित करीत असते किंबहुना विश्वातील प्रत्येक वस्तुकण दुसऱ्या वस्तुकणाला आकर्षित करीत असतो, हा विचार १६८७ सालच्या सुमारास गणिती भाषेत प्रथमतः न्यूटन यांनीच पुढे मांडला. दोन पदार्थांतील आकर्षण म्हणजेच गुरुत्वाकर्षण त्यांच्या वस्तुमानांच्या गुणाकाराच्या सम प्रमाणात व त्यांच्या दरम्यान असलेल्या अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात असते. उदा., म_१ व म_२ वस्तुमान असलेल्या व एकमेकांपासून र अंतर असलेल्या दोन बिंदुमात्र पदार्थांतील ही गुरुत्वाकर्षण प्रेरणा न्यूटन यांच्या खालील समीकरणाने काढता येते.

ह्या ठिकाणी जी (G) हा वैश्विक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक आहे. या समीकरणाला व्यस्तवर्ग-नियमही म्हणतात.

सैद्धांतिक विवेचन : न्यूटन यांच्या थोड्या अगोदर होऊन गेलेल्या केप्लर व गॅलिलीओ या ज्योतिर्विदांच्या अनुक्रमे ग्रहगतिविषयक व पदार्थाच्या गतिविषयक संशोधनाचा पूर्ण खुलासा वरील गुरुत्वाकर्षणाच्या सिद्धांताने करता येतो. तथापि कोणतेही दोन पदार्थ कोणत्याही तऱ्हेची दृश्यबंधने नसताना एकमेकांस तत्काल कसे आणि कोणत्या यंत्रणेनुसार आकर्षित करतात हे न्यूटन यांनाही ठाऊक नव्हते व आजही ते संपूर्णपणे आणि निःसंशयपणे अवगत झाले आहे, असे म्हणता येत नाही. वस्तुमानाच्या अस्तित्वामुळेच गुरुत्वाकर्षण होते व याचा अवकाशावर अथवा कालावर काहीही परिणाम होत नाही असा न्यूटन यांचा समज होता. पदार्थ स्थूल व गोलाकार असल्यास त्याच्या बाहेर कोठेही असलेल्या अंतरातील एकक वस्तुमानावरील आकर्षण जणू काही त्या पदार्थाच्या ⇨गुरुत्वमध्यातून होत असते हाही उपसिद्धांत न्यूटन यांनीच मांडला आहे.

न्यूटन यांनी प्रस्थापित केलेल्या भौतिकीत अवकाश, काल व वस्तुमान ह्या तीन प्रमुख आणि मूलभूत राशी आहेत व आजही त्या तशाच मानल्या गेल्या आहेत. परंतु न्यूटन यांनी त्या राशी परस्परांपासून अगदी भिन्न, स्वतंत्र व अविनाशी मानल्या आहेत. विशेषतः कालराशीसंबंधी त्यांचे म्हणणे असे की, ती अखंडित व सर्वत्र एकाच ठराविक प्रमाणाने वाहत असते म्हणजे पृथ्वीवरील कोणत्याही ठिकाणचा चालू ‘आता’ हा क्षण विश्वात कोठेही तोच ‘आता’ क्षण म्हणून गणला जातो. एकोणिसाव्या शतकाच्या अखेरीपर्यंत झालेल्या भौतिकीच्या प्रचंड संशोधनात कालाचा हाच गुणधर्म असतो असे समजले जात होते. पण विसाव्या शतकाच्या सुरुवातीस आइन्स्टाइन यांनी निरनिराळ्या पण परस्परसापेक्ष स्थिर वेगाने जाणाऱ्या व्यूहांत एकाच घटनेचे अवकाश-सहनिर्देशक (एखाद्या संदर्भाच्या सापेक्ष स्थान निश्चित करणारे अंक) जसे भिन्न येतात तसे काल-सहनिर्देशकही भिन्न येतात, हे मर्यादित ⇨सापेक्षता सिद्धांताच्या आधारे सिद्ध केले. या सिद्धांताच्या आधारावर मिंकोव्हस्की यांनी अवकाश-कालाची जोडणी करून चतुर्मित पण सपाट अशी अवकाश-काल भूमिती निर्माण केली [ → अवकाश-काल]. काही वर्षांनी आइनस्टाइन यांनी त्यांच्या व्यापक सापेक्षता सिद्धांताच्या आधारे गुरुत्वाकर्षणासंबंधी नवीनच विचारसरणी मिंकोव्हस्की यांच्या अवकाश-काल भूमितीच्या साहाय्याने पुढे मांडली. वस्तुमान तसेच ऊर्जा यांच्या अस्तित्वामुळे अवकाश-काल भूमितीला वक्रता प्राप्त होते व वक्रतेच्या परिणामामुळे गुरुत्वाकर्षण घडून येते. रीमान यांच्या चतुर्मित वक्र-अवकाश भूमितीच्या आधारे आइन्स्टाइन यांनी गुरुत्वाकर्षणाची क्षेत्र-समीकरणे प्रदिश [संख्यांचा गट दर्शविणारे गणितीय फलन यांच्या व्याख्येनुसार भौतिकीय राशी दर्शविल्या जातात, → प्रदिश] गणितात मांडली व त्यातूनच न्यूटन यांचे गुरुत्वाकर्षण समीकरण कसे काढता येते हे दाखविले, परंतु हे सर्व प्रदिश गणित अत्यंत क्लिष्ट आहे. यामुळे बर्‌कॉफ या अमेरिकन गणितज्ञांनी चतुर्मित सपाट अवकाश-काल भूमितीपासून (अनेकमित भूमिती सपाट असण्याच्या रीमान यांनी सिद्ध केलेल्या अटीनुसार) सुरुवात करून त्यात सूक्ष्मरेषा समीकरणाचा आधार घेऊन गुरुत्वाकर्षणाची आइनस्टाइन यांच्यापेक्षाही सोप्या पद्धतीने व न्यूटन यांच्या पद्धतीशी जुळणारी अशी नवीन समीकरणे मांडली. बर्‌कॉफ यांनी वापरलेल्या भूमितीत सर्वत्र मर्यादित सापेक्षता सिद्धांत लागू पडत असल्यामुळे व्यूहपरिवर्तन लोरेन्ट्स यांच्या सूत्रानेच होते. वस्तुमानाचा व भूमितीचा परस्परांवर परिणाम होत नाही असेच गृहीत धरल्यामुळे गुरुत्वाकर्षणाचा आणि भूमितीचा संबंधच उरत नाही. आइनस्टाइन यांच्या व्यापक सापेक्षता सिद्धांताच्या दृष्टीने गुरुत्वाकर्षणाचे झालेले विवरण व बर्‌कॉफ यांच्या दृष्टीने झालेले विवरण हे परस्परांपासून भिन्न आहे. बर्‌कॉफ यांचे विवरण अधिक सोपे आहे. त्या विवरणातून गुरुत्वाकर्षण तरंगमय असून त्या तरंगाचा वेग सर्वत्र प्रकाशतरंगाएवढा असतो हे सैद्धातिक दृष्ट्या सिद्ध करता येते. प्रत्यक्षात असे गुरुत्वाकर्षण गुरुत्वाकर्षणीय तरंग आहेत किंवा असल्यास ते कोणत्या तऱ्हेचे असावेत यासंबंधी संशोधन चालू आहे व याविषयीचे संशोधनात्मक लेखही प्रसिद्ध झाले आहेत. आइनस्टाइन यांच्या विवरणात गुरुत्वाकर्षणाची तरंगनिश्चिती करणे स्वेच्छ चलराशीमुळे कठीण झाले आहे.

आइन्स्टाइन यांनी चार स्वेच्छ चलराशींचा सर्रास उपयोग केल्यामुळे प्रदिश गणितात जी क्लिष्टता आली ती घालविण्यासाठी बर्‌कॉफ यांनी जसे प्रयत्न केले व गुरुत्वाकर्षणाची समीकरणे मांडली त्याचप्रमाणे मिल्न या इंग्लिश शास्त्रज्ञांनीही प्रयत्न केले. बर्‌कॉफ यांच्याप्रमाणेच त्यांनी लोरेन्ट्स यांच्या चलराशी वापरल्या खऱ्या पण त्यांची गृहिते भिन्न होती. ती पुढीलप्रमाणे दिली आहेत : (१) निरनिराळ्या व्यूहांतील निरीक्षक आपापसात प्रकाशाने संदेश धाडतात व ग्रहण करतात (२) प्रकाशवेग कोणत्याही व्यूहात स्थिर असतो (३) ‘कण समुदाय’ सर्व निरीक्षकांना त्याच स्वरूपात दिसतो. या गृहितांधारे व निरीक्षकावर काही अटी घातल्यास दीर्घिका (अनेक ताऱ्यांचे प्रचंड समूह) एकमेकांपासून दूर जातात हे सिद्ध होते तसेच निरीक्षक परस्परांस स्थिर आहेत असे मानू लागले, तर त्यांना अपास्तीय (ज्या वक्र अवकाशाची वक्रता ऋण असते अशी) भूमिती वापरणे व निराळाच कालक्रम धरणे आवश्यक होते. एखादा वस्तुकण दुसऱ्या कणापासून किती अंतरावर आहे यावरच अवलंबून असलेल्या प्रेरणेमुळे गतिमान झाला असेल, तर त्या प्रेरणेचे मूल्य काढता येते. पुन्हा सर्व निरीक्षकांना मान्य होईल असे वरील प्रेरणेचे वर्णन करावयाचे झाल्यास ते वर्णन काही अटींनुसार न्यूटन यांच्या गुरुत्वाकर्षणासारखे होते. मिल्न यांच्या विचारसरणीनुसार दोन प्रकारचे कालक्रम मिळतात. त्यांपैकी एकास त्यांनी ‘केवलगतिक काल’ व दुसऱ्यास ‘गतिक काल’ अशी नावे दिली असून परस्परांचा संबंधही गणित-समीकरणाने दाखवला आहे. निरीक्षकाने निवडलेल्या कालक्रमानुसार त्याची भूमिती निश्चित होते. केवलगतिक कालानुसार भूतकाल निश्चित मर्यादेचा असतो, तर गतिक कालानुसार भूतकाल अनंत असतो व म्हणून तो न्यूटन यांच्या कालकल्पनेप्रमाणे असतो. पण अवकाश-भूमिती मात्र यूक्लीड यांची न राहता अपास्तीय होते व दीर्घिका एकमेकींपासून दूर जात नाहीत.

‘जी’ चे मूल्य काढण्याचे विविध प्रयोग : न्यूटनप्रणीत गुरुत्वाकर्षणाच्या व्यस्त-वर्गनियमाप्रमाणे कोणत्याही दोन वस्तुमानांमधील आकर्षणाची प्रेरणा ज्या समीकरणाने वर्णन केली आहे, त्यात जी हा विश्वस्थिरांक आहे. ह्या स्थिरांकाचे मूल्य प्रयोगाने काढण्याचा कित्येक शास्त्रज्ञांनी यशस्वी प्रयत्न केला आहे. प्रथम केलेल्या प्रयोगांत मोठमोठ्या पर्वतांच्या वस्तुमानांमुळे निर्माण होणारी प्रेरणा मोजण्यात आली. १७४० साली बूगेअर यांनी सु. ६·५ किमी. उंचीचा पर्वत निवडला, पण पर्वताचे वस्तुमान बिनचूक न समजल्याने जी च्या मूल्यात थोडी चूक झाली. १७७४ साली मास्केलाइन यांनी एका उंच पर्वताच्या वस्तुमानाचे मोजमाप जास्त बरोबर काढल्यामुळे जी चे मूल्य जास्त बरोबर आले. एअरी यांनी १८५४ साली पर्वताऐवजी पृथ्वीच्या पोटात खोलवर जाऊन केलेल्या मोजमापांच्या साहाय्याने जी चे मूल्य काढण्यात यश मिळवले. याकरिता त्यांनी एक कोळशाची खाण निवडली. सरल लंबकाला खाणीच्या पृष्ठभागावर लागलेला आवर्तकाल (एक आंदोलन पूर्ण होण्यास लागणारा काळ) व खाणीत लागलेला आवर्तकाल यांची तुलना करून त्यांनी जी चे मूल्य काढले.

कॅव्हेंडिश या शास्त्रज्ञांनी १७९८ साली जी चे मूल्य प्रयोगशाळेतील साधनांनी काढले. या प्रयोगामध्ये आकर्षण निर्माण करणारे वस्तुमान पर्वताच्या मानाने अतिशय लहान असते पण त्यांचे वस्तुमान बिनचूक माहीत असते व अधिक संवेदनशील शास्त्रीय साधने वापरता येतात. यामुळे जी चे मूल्य बिनचूक काढणे शक्य आहे. पण कॅव्हेंडिश यांनी केलेल्या प्रयोगाने जी चे मूल्य बिनचूक काढता आले नाही. कारण त्यांच्या प्रयोगात मोठी खोली वापरावी लागत होती आणि त्या मोठ्या खोलीत हवेच्या तापमानामुळे होणारे संनयन (उष्णतेमुळे तापलेल्या हवेच्या कणांचे प्रवाह) टाळता येणे अशक्य होते. शिवाय मोजमापासाठी संवेदनशील शास्त्रीय साधने कॅव्हेडिश तयार करू शकले नाहीत. त्यांच्या प्रयोगाचे महत्त्व एवढेच की, त्यांनी प्रयोगशाळेत जी चे मूल्य काढले. १८९५ साली कॅव्हेंडिश यांच्या प्रयोगातील सर्व दोष नाहीसे करून व अधिक संवेदनशील सुधारित रचना वापरून त्याच तत्त्वावर आधारित बॉईज यांनी जी चे मूल्य बिनचूक काढले. त्यांनी वापरलेले उपकरण आकृतीमध्ये दाखविले आहे. स हा एक लहान सपाट आरसा एका क्वॉर्ट्‌झच्या तंतूच्या साहाय्याने र पासून टांगून ठेवतात. क्वॉर्ट्‌झचा तंतू अतिलवचिक असल्यामुळे ०·०१२५ मिमी. इतक्या व्यासाचा तंतू वापरला. आरसा जवळजवळ २·४ सेंमी. लांबीचा असून तो ज्या नलिकेत टांगलेला होता त्या नलिकेचा व्यास ४ सेंमी. होता. आरशाच्या दोन्ही टोकांपासून क्वॉर्ट्‌झच्या तंतूच्या साहाय्याने दोन सोन्याचे लहान गोळे अ आणि ब वेगवेगळ्या उंचीवर टांगलेले होते. या सोन्याच्या गोळ्यांचे व्यास प्रत्येकी ०·५ सेंमी. आणि त्यांचे वस्तुमान प्रत्येकी सु. २·६० ग्रॅ. होते. दोघांच्या उंचीतील अंतर १५ सेंमी. होते. आतील लहान नलिकेच्या बाहेर मोठी नलिका होती व ही नलिका सर या अक्षाभोवती गोलाकार फिरवता येईल अशी होती. या मोठ्या नलिकेत दोन मोठे शिशाचे गोळे क आणि ड हे टांगलेले असून त्यांचे वस्तुमान प्रत्येकी सु. ७·४ किग्रॅ. होते. अ आणि क तसेच ब आणि ड ह्या जोडगोळ्यांचे मध्य एकाच क्षितिजसमांतर पातळीत होते आणि त्यांमधील अंतर पण सारखेच होते. ह्या प्रयोगात आकर्षण प्रेरणेमुळे होणारे विचलन (कोनीय स्थानबदल) दिवा व मोजपट्टी योजनेने (आरशावरून परावर्तित होणारे दिव्याचे प्रतिबिंब एका मोजपट्टीवर पाडून त्यावरून आरशाचे विचलन मोजण्याच्या योजनेने) मोजले. ज्या मोजपट्टीवर विचलन मोजतात ती पट्टी आरशापासून ७ मी. लांब ठेवलेली होती. बाहेरची नलिका फिरवून क आणि ड हे दोन मोठे गोळे लहान दोन गोळ्यांच्या विरुद्ध बाजूंस (अर्थात आरशाच्या सपाटीत नव्हे) असल्यामुळे लहान आणि मोठ्या गोळ्यांमध्ये आकर्षण प्रेरणा निर्माण होते व आरशाचे मूळ स्थितीपासून विचलन होते. हे विचलन मोजले असता जी चे मूल्य काढता येते. बॉईज यांचे उपकरण लहान पण अधिक संवेदनशील असल्याने जी चे बरेच बिनचूक मूल्य काढले गेले.

जे.एच्. पॉयटिंग यांनी १८९१ साली बर्मिंगहॅम विद्यापीठाच्या इमारतीच्या तळघरात प्रयोग करून तराजूच्या साहाय्याने जी चे मूल्य काढले. १९३० साली पी. आर्. हेल ह्या शास्त्रज्ञांनी परिपीडन तुलेच्या (पीळ घालणाऱ्या अल्प प्रेरणांनी बारीक तारेला वा तंतूला दिलेला पीळ मोजून, त्या प्रेरणा मोजणाऱ्या उपकरणाच्या) साहाय्याने काढलेले जी चे मूल्य अतिबिनचूक मानतात. हेल यांनी तयार केलेले उपकरण अशा खोलीत बंद करून ठेवले होते की, जेथे हवेचा दाब फारच कमी म्हणजे फक्त २ मिमी. पाऱ्याच्या उंचीइतका होता. अर्थात त्या खोलीत हवाच कमी असल्यामुळे संनयन अजिबातच नव्हते. आकर्षण निर्माण करणारे वस्तुमान वृत्तचितीच्या आकाराचे व प्रत्येकी ६६ किग्रॅ. वस्तुमानाचे होते. त्यांचे जवळ असणारे दोन लहान गोळे सोन्याचे आणि प्रत्येकी २·४४ ग्रॅ. वस्तुमानाचे होते. परिपीडन दंड ॲल्युमिनियमाचा व २८·६ सेंमी. लांब असून टंगस्टनाच्या तारेने तो टांगलेला होता.

या दंडाच्या शेवटच्या दोन टोकांपासून सोन्याचे गोळे टांगलेले होते. प्रथम मोठ्या व लहान वस्तुमानांचे मध्य एकाच क्षितिजसमांतर सरळ रेषेत पण एकमेकांजवळ ठेवून परिपीडन दंडाला थोडी दोलनगती देऊन तिचा आवर्तकाल मोजला. नंतर दोन मोठे गोळे ९०^० कोनातून फिरवून अशी रचना केली की, मोठ्या गोळ्यांचे मध्य जोडणारी रेषा लहान गोळ्यांचे मध्य जोडणाऱ्या रेषेला आणि परिपीडन दंडाला लंब राहील. अशा अवस्थेत पुन्हा दंडाला दोलनगती देऊन आवर्तकाल मोजला. असे मोजलेले दोन आवर्तकाल वेगळे आले व त्यांचा सूत्रात उपयोग करून हेल यांनी जी चे मूल्य काढले.

जी च्या मूल्याचा उपयोग करून पृथ्वीच्या घनतेचे मूल्य काढता येते. पृथ्वी संपूर्ण गोल व एकजिनसी आहे असे मानले, तर

येथे त्रि = पृथ्वीची त्रिज्या आणि घ = पृथ्वीची सरासरी घनता. पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर असणाऱ्या व या वस्तुमानावरची आकर्षण प्रेरणा प्रे म्हणजे

या ठिकाणी ग = गुरुत्वीय प्रवेग (पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील). (२) या समीकरणात पृथ्वीच्या वस्तुमानाचे (१) या समीकरणाने दिलेले मूल्य घालून ते समीकरण जर घ करता सोडवले, तर

(३) या समीकरणात ग, त्रि, आणि जी यांची मूल्ये घालून घ चे मूल्य काढता येते. बॉईज यांच्या प्रयोगाने आलेले जी चे मूल्य वापरले असता घ चे मूल्य

घ = ५·५२७० ग्रॅ. / घ.सेंमी.

असे येते. पृथ्वीच्या पृष्ठभागाच्या थराची घनता २·७ ग्रॅ./घ.सेंमी. आहे. म्हणून पृथ्वीच्या पोटातील वस्तुमान घनता ५·५२ पेक्षा जास्तच असली पाहिजे.

आश्चर्य असे की, न्यूटन यांनी केवळ तर्काच्या आधारे पृथ्वीची सरासरी घनता ५ आणि ६ यांच्या मध्येच असली पाहिजे असे नमूद करून ठेवले आहे व हा त्यांचा तर्क कमालीचा खरा ठरला आहे.

गुरुत्वीय प्रवेग : एखाद्या वस्तूचा वेग दर सेकंदास बदलत असेल तर त्या वस्तूला प्रवेग आहे असे म्हणतात. जर एखादा दगड उंचीवरून पृथ्वीवर खाली सोडून दिला, तर तो दगड खाली पडत असताना त्याचा वेग एकसारखा वाढत असतो. गॅलिलीओ या शास्त्रज्ञांनी पिसा येथील झुकत्या मनोऱ्यावर केलेल्या सुप्रसिद्ध प्रयोगाच्या साहाय्याने असे दाखवले आह की, एकाच उंचीवरून सोडून दिलेल्या निरनिराळ्या वजनांच्या वस्तू एकाच वेळी जमिनीवर येतात. भौतिकीतील हा महत्त्वाचा प्रयोग होय. ह्या प्रयोगाच्या पूर्वी असा समज होता की, भिन्न वस्तुमानांच्या वस्तूंना एकाच उंचीवरून जमिनीवर येण्यासाठी भिन्न वेळ लागतो. गॅलिलीओ यांनी केलेल्या प्रयोगाने हा वेळ सारखाच असतो असे दाखवले. अर्थात ह्या प्रयोगात वस्तूवर इतर कोणतीही प्रेरणा (उदा., हवेचा रोध) कार्य करीत नाही असे मानलेले असते. म्हणजे गॅलिलीओ यांच्या या प्रयोगाने असे दाखवून दिले की, सर्व भिन्न वस्तुमानांच्या वस्तूंचा पृथ्वीकडे पडण्याचा प्रवेग एका विशिष्ट स्थळासाठी तोच असतो. या प्रवेगास ‘गुरुत्वीय प्रवेग’ असे म्हणतात. गुरुत्वीय प्रवेगाचे मूल्य पृथ्वीवरील निरनिराळ्या ठिकाणी भिन्न असते. पृथ्वीच्या दक्षिण व उत्तर ध्रुवांवर गुरुत्वीय प्रवेगाचे मूल्य सर्वांत जास्त असते, तर विषुववृत्तावर ते किंचित कमी असते. या प्रवेगाचे मेट्रिक पद्धतीत सरासरी मूल्य ९·८१ मी./से^२. आहे.

गुरुत्वीय प्रवेगाचे एखाद्या स्थळी असलेले मूल्य सोप्या प्रयोगाने काढता येते. एखाद्या ठराविक उंचीवरून जर दगड खाली सोडून तो किती वेळात जमिनीवर येतो तो काल जर मोजला, तर पुढील समीकरण मांडता येते :

उंची = ^१/_२ x ग x का^२

ह्या समीकरणात का म्हणजे वस्तूला खाली येण्यासाठी लागलेला काल आणि ग म्हणजे गुरुत्वीय प्रवेग. उंची व लागलेला काल मोजला, तर वरील समीकरणाच्या साहाय्याने ग चे मूल्य काढता येईल. पण ग चे मूल्य तसे जास्तच असल्यामुळे एका सामान्य उंचीसाठी लागणारा काल इतका कमी असतो की, तो बिनचूक मोजणे फार कठीण असते. म्हणून वरील प्रत्यक्ष प्रयोगाच्या साहाय्याने ग चे मूल्य काढणे कठीणच आहे. यामुळे ग चे मूल्य काढण्यासाठी इतर प्रायोगिक पद्धतींचा अवलंब करावा लागतो. या इतर प्रायोगिक पद्धतींमध्ये सर्वसाधारणतः आवर्ती (ठराविक कालांनी पुनःपुन्हा होणाऱ्या) गतीचाच उपयोग करतात.

आवर्ती गतीचे सोपे उदाहरण म्हणजे साधा (सरळ) लंबक. ह्या लंबकाला लागत असलेला आवर्तकाल मोजला व लंबकाची लांबी माहीत असेल, तर ग चे मूल्य पुढील सूत्राने काढता येते :

या सूत्रात का = आवर्तकाल, ल=लंबकाची लांबी, ग=गुरुत्वीय प्रवेग आणि π = ^२२/_७ (अंदाजे).

पण या साध्या लंबकात अनेक दोष असल्यामुळे स्थूल लंबकाचा वापर करतात. केटर या शास्त्रज्ञांनी १८१७ साली व्युत्क्रमी (उलट व सुलट करता येणारा) स्थूल लंबक बनवला. त्यांनी स्वीकारलेल्या पद्धतीने लंबकाचा आवर्तकाल मोजण्यात झालेली त्रुटी अतिशय कमी म्हणजे ०·०००८ टक्केच असू शकते व अर्थातच ग चे मूल्य त्या प्रमाणात बिनचूक येते. बेसेल या शास्त्रज्ञांनी ग चे मूल्य बिनचूक काढण्यासाठी दुसरी एक पद्धत गणिताच्या आधारे दाखवली. स्थूल लंबकात असणारे दोष काढून टाकण्यासाठी त्याच्या आवर्तकालाच्या सूत्रामध्ये गणिताचा उपयोग करून बदल करण्यात आला. बेसेल यांनी केटर स्थूल लंबकाचे दोष टाळण्यासाठी निरनिराळ्या पद्धती गणिताच्या आधाराने मांडल्या, पण त्या प्रयोगात वापरण्यापूर्वीच त्यांचे निधन झाले. १८५० साली रेपसॉल्ड या शास्त्रज्ञांनी बेसेल यांच्या परिकल्पनेवर आधारलेला व्युत्क्रमी लंबक बनविला व ग चे मूल्य बिनचूक मोजले. दुसऱ्या एका पद्धतीत सर्पिलाकार (मळसूत्राकार) स्प्रिंगच्या टोकाला एक वस्तू बांधली व जर ती वस्तू थोडी खाली ओढून सोडून दिली, तर त्या वस्तूला वर-खाली अशी सरल हरात्मक (वस्तू स्थिर स्थितीला आणणारी प्रेरणा स्थिर स्थितीपासूनच्या अंतराच्या समप्रमाणात असते अशी) गती प्राप्त होते. त्याचा आवर्तकाल मोजला असता सूत्राच्या साहाय्याने ग चे मूल्य काढता येते. त्याचप्रमाणे ॲटवूड यांच्या यंत्राच्या (दोन असमान वजनाच्या वस्तू दोरीच्या साहाय्याने एका कप्पीवरून टांगलेल्या असतात, अशा ॲटवूड या शास्त्रज्ञांनी गतीच्या नियमांचा अभ्यास करण्यासाठी तयार केलेल्या यंत्राच्या) साहाय्याने किंवा एखादी काजळीने काळी केलेली काच जमिनीकडे सोडून देऊन त्यावर आंदोलन करीत असलेल्या कंपन-द्विशूलाच्या (दर सेकंदाला ठराविक कंपन संख्या असणारे आणि चिमट्यासारख्या दोन शाखा व एक दांडा असलेल्या साधनाच्या) साहाय्याने काढण्यात आलेल्या तरंगांच्या मोजमापाने ग चे मूल्य काढता येते.

एका विशिष्ट (पृथ्वीवरील) जागी असलेले ग चे मूल्य त्या जागेचे अक्षांश, उंची व खोली यांवर अवलंबून असते. अक्षांश बदलताच ग चे मूल्य बदलते. हा होणारा फरक मुख्यतः दोन कारणांमुळे होतो पहिले म्हणजे पृथ्वीचे स्वतःभोवती होणारे भ्रमण. गुरुत्वीय प्रेरणेची दिशा पृथ्वीच्या मध्याकडेच असते, पण पृथ्वी स्वतःच्या अक्षाभोवती पश्चिमेकडून पूर्वेकडे परिभ्रमण करीत असल्यामुळे तिच्यावर असलेल्या सर्व वस्तूंवर अपमध्य (मध्यापासून दूर जाणारी) प्रेरणा कार्य करीत असते. ह्या प्रेरणेमुळे ग चे मूल्य थोडे कमी होते. विषुववृत्तावर हे मूल्य कमीत कमी तर ध्रुवांवर ते जास्तीत जास्त असते. अक्षांशामुळे होणाऱ्या फरकाचे दुसरे कारण असे की, पृथ्वी संपूर्ण गोलाकार नाही. विषुववृत्ताजवळची पृथ्वीची त्रिज्या ध्रुव-त्रिज्येपेक्षा जवळजवळ २१ किमी. जास्त आहे. अर्थात विषुववृत्ताजवळच्या सर्व वस्तू पृथ्वीच्या मध्यापासून थोड्या जास्त दूर असल्यामुळे, त्यावरील गुरुत्वीय प्रेरणा थोडी कमीच असते आणि ध्रुवांवरील वस्तूंवर ती जास्त असते. म्हणून ग च्या मूल्यात अक्षांशबदलाने फरक पडतो. एखाद्या ठिकाणी अक्षांश क असल्यास त्या जागी असलेले ग चे मूल्य खालील आंतरराष्ट्रीय समीकरणाने दिले असते :

ग = ९७८·०४९ [१ + ०·००५२८८४ ज्या^२ (क)

– ०·०००००५९ ज्या^२ (२क)] सेंमी./से.^२

बूगेअर या शास्त्रज्ञांनी असे दाखवले की, पृथ्वीच्या सपाटीपासून उंचीवर गेले असता ग चे मूल्य कमी होते. समुद्रसपाटीपासून क्ष इतक्या उंचीवर गेले असता ग चे मूल्य खालीलप्रमाणे येते.

या सूत्रात घ_१ = त्या ठिकाणची पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळची घनता घ_२ = पृथ्वीची सरासरी घनता ग_० = समुद्रसपाटीवरील गुरुत्वीय प्रवेग र = पृथ्वीची सरासरी त्रिज्या. वरील समीकरणात क्ष ही उंची जास्त असली पाहिजे, म्हणजेच उंचीच्या प्रमाणात पृथ्वीचा प्रदेश सपाट असे मानण्याइतकी उंची पाहिजे. पृथ्वीवरील एका उंच पर्वतशिखरावर गेले असता तेथे असणारे ग चे मूल्य त्या ठिकाणीच पर्वतपायथ्याशी असणाऱ्या मूल्यापेक्षा भिन्न असते.

संदर्भ : 1. Gamow, G. Gravity, New York, 1965.

2. Noaks, G. R. Textbook of General Physics, London, 1959.

3. Starling, S. G. Mechanical Properties of Matter, London, 1935.

4. Young, H. D. Fundamentals of Mechanics and Heat, New York, 1964.

लागू, बी. जी.

“