निर्धारक

निर्धारक : (डिटरमिनंट). गणितीय पदावलीतील घटक गणितीय कृत्यांच्या दृष्टीने सोयीस्कर अशा विशिष्ट रीतीने मांडण्याची एक पद्धती. कोणतेही म X म घटक, म पंक्ती (आडव्या ओळी) आणि म स्तंभ (उभ्या ओळी) असलेल्या चौरसाकारात मांडले असता म-क्रमी निर्धारक मिळतो (म हा कोणताही पूर्णाक आहे). चौरसाच्या दोन्ही बाजूंस निर्धारक निदर्शक उभे दंड काढतात. काही विशिष्ट नियमान्वये निर्धारकाचा विस्तार, त्यातील घटकांनी बनलेल्या पदावलीच्या रूपात करता येतो. सर्व घटक जर संख्यात्मक असतील, तर या पदावलीचे संख्यात्मक मूल्य काढता येते व तेच निर्धारकाचे मूल्य असते.

विवेचनाच्या सोयीसाठी अ निर्धारकाचा प व्या पंक्तीतील आणि स व्या स्तंभातील घटक अ_पस असा लिहितात. जसे,

निर्धारक त्याच्या प्रमुख कर्णाच्या म्हणजे पहिल्या पंक्तीतील पहिला घटक, दुसऱ्या पंक्तीतील दुसरा  घटक, ……, म व्या पंक्तीतील म वा घटक अशा प्रकारेही निर्देशित केला जातो. म्हणजेच

अ = (अ_११ अ_२२ … अ_मम).

तसेच प व्या पंक्तीतील व स च्या स्तंभातील घटक अ_पस असा असणारा निर्धारक | अ_पस | असाही निर्देशित केला जातो.

लघुक, सहअवयव : म-क्रमी निर्धारक अ मधील कोणताही (समजा) अ_पस हा घटक असलेली प वी पंक्ती आणि स वा स्तंभ काढून टाकला, तर जो (म – १) – क्रमी निर्धारक उरेल त्यास अ_पस चा लघुक म्हणतात आणि तो ल_पस असा दर्शवितात. जर अ_पस = (-१) ^प+स ल_पस असेल, तर अ_पस हा अ_पस चा सहअवयव (किंवा कृतलघुक) होय. अशा प्रकारे प्रत्येक घटकाचा लघुक आणि सहअवयव निश्चित करता येईल.

निर्धारकाचा विस्तार आणि मूल्य : कोणत्याही एक-क्रमी निर्धारकाचे मूल्य त्याच्या घटकाएवढेच असते. म्हणजेच | अ_११ | = अ_११. अनेक-क्रमी निर्धारकांच्या विस्तारासाठी पुढील समीकरण आहे. अ हा दिलेला म – क्रमी निर्धारक असल्यास (म &gt १) आणि प ही कोणतीही पंक्ती असल्यास(१ ≤ प ≤ म),

अ = अ_प१ . अ_प१ + अ_प२ · + अ_प२ +…….. + अ_पम . अ_पम

तसेच, स हा कोणताही स्तंभ असल्यास, (१ ≤ स ≤ म )

अ = अ_१स . अ_१स + अ_२स .+अ_२स +…….. +अ_मस . अ_मस

वरील समीकरणावरून असे दिसून येईल की, निर्धारक अ ची विस्तार पदावली त्याच्या सहअवयवांवर अवलंबून आहे पण हे सहअवयव (म – १) – क्रमी निर्धारक असून याच प्रकारच्या समीकरणाने त्यांची विस्तार पदावली (म – २) – क्रमी निर्धारकांवर अवलंबून आहे. अशा तऱ्हेने शेवटी आपण एक-क्रमी निर्धारकांवर येऊन पोहोचू पण त्यांचे मूल्य त्याच्या घटकांएवढेच असते. म्हणजेच मूळ म-क्रमी अ ची विस्तार पदावली आपल्यास मिळेल व त्यावरून त्याचे मूल्यही काढता येईल. खाली उदाहरणार्थ दिलेल्या द्वि-क्रमी आणि त्रि-क्रमी निर्धारकांच्या विस्तार पदावलीवरून हे अधिक स्पष्ट होईल.

गुणधर्म : (१) पंक्ती आणि स्तंभ यांची अदलाबदल केली, तरी निर्धारकाच्या मूल्यात फरक पडत नाही. म्हणजेच

(२) दोन पंक्तींची (अथवा स्तंभांची) आपसात अदलाबदल केल्यास निर्धारकाच्या मूल्याचे चिन्ह बदलते. म्हणजेच

(३) कोणत्याही दोन पंक्ती (किंवा स्तंभ) समान असल्यास निर्धारकाचे मूल्य शून्य असते. म्हणजेच

(४) निर्धारकाच्या कोणत्याही पंक्तीतील (किंवा स्तंभातील ) घटकांची व दुसऱ्या कोणत्याही पंक्तीतील (वा स्तंभातील) त्याच क्रमाने घेतलेल्या घटकांच्या सहअवयवांच्या गुणाकारांची बेरीज शून्य असते. हेच सूत्ररूपाने असे लिहिता येईल.

अ_प१ . अ_य१ + अ_प२ . _अय२ + …………… +अ_पम. अ_यम = ०,  प ≠ य.

(५) कोणत्याही पंक्तीतील (वा स्तंभातील) सर्व घटकांचा साधारण अवयव हा निर्धारकाच्या मूल्याचाही अवयव असतो. जसे,

(६) एखाद्या पंक्तीतील (वा स्तंभातील) घटक जर दोन दोन घटकांच्या बेरजा असतील, तर तो निर्धारक दोन विभक्त निर्धारकांच्या बेरीजेच्या रूपात मांडता येतो. जसे,

(७) एखाद्या पंक्तीच्या (वा स्तंभाच्या) घटकांमध्ये त्याच क्रमाने दुसऱ्या पंक्तीचे (वा स्तंभाचे) घटक (किंवा त्यांना स्थिरांकाने गुणून येणाऱ्या संख्या) मिळविले, तरी निर्धारकाचे मूल्य बदलत नाही.

वर दिलेल्या गुणधर्मांचा उपयोग करून मोठाल्या संख्यांचे निर्धारक सुलभतेने सोडविता येतात.

आव्यूह आणि निर्धारक : समजा अ हा एक चौरस आव्यूह आहे. या आव्यूहाच्या सर्व पंक्ती आणि स्तंभ जसेच्या तसे ठेवून जो निर्धारक मिळतो त्यास त्या आव्यूहाचा संबद्ध निर्धारक म्हणतात व तो | अ | असा लिहितात. प्रत्येक चौरस आव्यूहाला त्याचा स्वतःचा संबद्ध निर्धारक असतो,  हे उघड आहे. आव्यूह अ चा व्यस्त अ^–१ अस्तित्वात असण्यासाठी | अ | ≠ ० ही आवश्यक आणि पुरेशी अट आहे [⟶ आव्यूह सिद्धांत].

दोन निर्धारकांचा गुणाकार : जर अ आणि क हे म – क्रमी चौरस आव्यूह असतील, तर त्यांचा गुणाकार अ क शक्य असून तोही म – क्रमी आव्यूहच असतो [⟶ आव्यूह सिद्धांत]. यावरून lअ X क l= l अ l X l क l असे दाखविता येते. म्हणजेच दोन म – क्रमी निर्धारकांचा गुणाकार, म – क्रमी निर्धारकाच्या रूपात लिहिता येतो. आव्यूहातील नियमांचाच वापर करून,

l अ क l _पस = अ_प१ क_१स + अ_प२ क_२स + …….+ अ_पम क_मस असे l अ l X l क l या गुणाकार निर्धारकाचा प व्या पंक्तीतील स व्या स्तंभातील घटक देणारे सूत्र मिळते.

याकोबी सिद्धांत : अ आणि क हे दोन सम-क्रमी निर्धारक असे असतील की, क_पस = अ_पस (म्हणजेच क चा क_पस घटक हा अ मधील अ_पस चा सहअवयव असेल), तर क ला अ चा सहखंडज निर्धारक म्हणतात. क च्या पंक्ती व स्तंभ यांची अदलाबदल केली असता पक्षांतरित निर्धारक क^′ मिळतो. के. जी. जे. याकोबी यांचा सिद्धांत पुढीलप्रमाणे आहे.

अ हा म – क्रमी निर्धारक असून क त्याचा सहखंडज निर्धारक असेल, तर अ X क^′ = अ^म

सममित आणि विषममित निर्धारक : जर अ_पस = अ_सप असेल, तर अ ला सममित निर्धारक म्हणतात. तसेच जर अ_पस = –अ_सप असेल, तर अ ला विषममित निर्धारक म्हणतात. अशा विषममित निर्धारकांचे सर्व कर्णघटक शून्य असतात. अशा विषममित निर्धारकाचा क्रम विषम असेल, तर त्याचे मूल्य शून्य असते आणि जर त्याचा क्रम सम असेल, तर त्याचे मूल्य पूर्ण वर्ग असते.

लाप्लास निर्धारक विस्तार पद्धत : समजा, अ हा म – क्रमी निर्धारक आहे. त्याच्या कोणत्याही र पंक्ती आणि र स्तंभ  वगळल्यास जो (म – र) – क्रमाचा निर्धारक उरेल त्यास अ चा लघुक म्हणतात समजा, क हा दिलेल्या अ चा, एक  प -क्रमाचा लघुक आहे. क च्या घटकातून जाणाऱ्या अच्या पंक्ती व स्तंभ वगळल्यावर जो (म–प ) क्रमाचा लघुक ख राहील त्यास क चा पूरक लघुक म्हणतात. पूर्वी दिलेली निर्धारकचा विस्तार करण्याची पद्धत ही कोणत्याही पंक्तीतील (वा स्तंभातील) घटकांच्या लघुकांवर अधिष्ठित अशी होती. पी. एस्. लाप्लास यांच्या पद्धतीप्रमाणे निर्धारकाचा विस्तार त्याचे लघुक व त्यांचे पूरक लघुक यांच्या साहाय्याने करता येतो. ही पद्धत पुढीलप्रमाणे : प पंक्तीची निवड करून, त्यांच्या घटकातून जितके लघुक शक्य असतील (म स्तंभापैकी एका वेळी प स्तंभ घेऊन लघुक तयार होत  असल्याने, एकूण ^{म !} / _{प ! (म – प) !} इतके लघुक शक्य आहेत) ते सर्व लघुक घेऊन त्यांना त्यांच्या पूरक लघुकाने गुणून, त्या सर्व गुणाकारांची (योग्य चिन्हांसह) बेरीज म्हणजे अ चा विस्तार होय [लघुकाच्या पंक्तीच्या आणि स्तंभांच्या क्रमांकांची बेरीज सम किंवा विषम असेल त्यानुसार गुणाकाराला अनुक्रमे धन (+) अथवा ऋण (-)  चिन्ह द्यावयाचे].

निर्धारक-विस्तार करण्याची जी. डब्ल्यू. लायप्निट्‌स यांची पद्धत खाली दिल्याप्रमाणे आहे. अ हा म – क्रमी निर्धारक असेल, तर त्यात असलेल्या एकूण म^२ घटकांपैकी  एका वेळी असे म घटक घ्यावयाचे की, त्यांतील कोणतेही दोन एकाच पंक्तीतील किंवा एकाच स्तंभातील नसावेत. समजा, अ_१र, अ_२ल, अ_३व, ….. असे हे घटक घेतले. त्यांतील पंक्तिदर्शक पादांक १, २, ३, …… या स्वाभाविक अंकक्रमात लिहिले आहेत. अशा वेळी त्यांचे स्तंभदर्शक पादांक र, ल, व, ……. हे १, २, ३, ….. या स्वाभाविक  अंकक्रमात आणण्यासाठी जितक्या अदलाबदली कराव्या लागतील त्यांची संख्या सम किंवा विषम असेल, त्यानुसार  धन (+) किंवा ऋण (-) चिन्ह देऊन त्या घटकांचा गुणाकार घ्यावयाचा. अशा तऱ्हेने शक्य असलेल्या सर्व (एकूण  म ! ) गुणाकारांची योग्य त्या चिन्हांसह बेरीज केली असता निर्धारकाचा विस्तार मिळतो. ही पद्धत लायप्निट्‌स यांनी १६९३ साली दिली होती. पुढे १७५० मध्ये क्रामर यांनी निर्धारकाविषयी संशोधन केले. उभे दंड वापरावयास आर्थर केली यांनी १८४१ मध्ये सुरुवात केली. त्यानंतर पी. एस्. लाप्लास, ए.  टी. व्हांदेरमाँद, जे. एल्. लाग्रांझ इ. गणितज्ञांनी निर्धारकांविषयीच्या ज्ञानात भर टाकली. के. एफ्. गौस, ए. एल्. कोशी, के. जी. जे. याकोबी, एफ्. ब्रिऑस्की, सी. हेर्मिट, आर्थर केली, एफ्. योआकिमश्टाल इ. गणितज्ञांनी या  विषयाला जास्त प्रगत स्थितीप्रत नेले.

संदर्भ : 1. Aitken, A. C. Determinants and Matrices, New York, 1956.

2. Bowman, F. An Introduction to Determinants and Matrices, Princeton, 1962.

3. Ferrar, W. L. Algebra : A Textbook of Determinants Matrices and Quadratic  Forms, London, 1960.

4. Muir, T. Theory of Determinants in the Historical Order of Its Development, 4 Vols., London, 1906-23.

सरदेसाई, शि. वा.; आगाशे, क. म.