समचयात्मक विश्लेषण

समचयात्मक विश्लेषण : वस्तूंची अथवा पदांची निवड, वर्गीकरण आणि रचना  यांसंबंधीचा अभ्यास समचयात्मक विश्लेषणामध्ये करण्यात येतो. गणिताच्या अनेक  शाखांमध्ये या गोष्टींना महत्त्व प्राप्त होते. विशेषत: संख्या सिद्धांत, संभाव्यता, परिमित भूमिती, संच सिद्धांत, संस्थितिविज्ञान, गट सिद्धांत, संकेत व संदेशवहन, विभाजन सिद्धांत, सममित फलने या शाखांमध्ये समचयात्मक विश्लेषणाला अनन्यसाधारण  महत्त्व आहे. जादूचे चौरस, लॅटिन चौरस [⟶ मनोरंजक चौरस], नकाशातील  रंगसंख्या, पत्त्यांच्या डावाविषयीचे प्रश्न यांचा आणि इतर मनोरंजक व महत्त्वाच्या  कूट प्रश्नांचा याच शाखेत अंतर्भाव होतो.

समचयात्मक विश्लेषणामध्ये दोन नियम आधारभूत आहेत ते पुढीलप्रमाणे : (१) क हे पद म प्रकारे निवडता येत असेल आणि ख हे पद न प्रकारे निवडता येत असेल, तर “क अथवा ख” ही निवड म + न प्रकारे करता येईल. (२) क ची निवड म प्रकारे  व त्यानंतर ख ची निवड न प्रकारे करता येत असेल, तर “क आणि ख” ही निवड  म.न प्रकारे करता येईल.

क्रमचय आणि समचय : क्रमचय म्हणजे घटकांची क्रमबद्घ निवड आणि समचय म्हणजे  क्रमरहित निवड. उदा., क, ख, ग, घ या संचामधून दोन घटकांची क्रमरहित  निवड पुढीलप्रमाणे करता येईल, (क, ख), (क, ग), (क, घ), (ख, ग),  (ख, घ), (ग, घ). म्हणजे समचयांची संख्या सहा झाली. आता (क, ख) या  जोडीपासून क्रमबद्ध निवड (क, ख) आणि (ख, क) अशी दोन प्रकारे करता  येईल. म्हणजेच चार घटकांच्या संचामधून दोन भिन्न घटकांची क्रमबद्ध निवड (६x २) बारा प्रकारे करता येईल. म्हणजेच क्रमचयांची संख्या बारा झाली. वरील  निवडीमध्ये अक्षराची पुनरावृत्ती झाली नव्हती. पुनरावृत्ती मान्य असल्यास समचयांची  संख्या दहा व क्रमचयांची संख्या सोळा होईल. न वस्तूमधून र वस्तूंची क्रमबद्घ  निवड केल्यास निवडींची संख्या नकर या चिन्हाने दर्शवितात. आता ही निवड  पुढीलप्रमाणे करता येईल. पहिल्या वस्तूची निवड न प्रकारे, त्यानंतर दुसऱ्या  वस्तूची निवड (न–१) प्रकारे, तिसरीची (न-२) प्रकारे वगैरे. अशा तऱ्हेने एकूण  निवड न (न – १) …(न–र+१) प्रकारे करता येईल. म्हणजेच नकर = न (न–१)… (न–र+१). अर्थात _नक्र _न = न (न–१) …३.२.१. यामधील  न(न–१) … ३·२·१·ही संख्या न ! अशी लिहितात व त्याला  न-क्रमगुणित असे म्हणतात. हे क्रमगुणित चिन्ह वापरून

सुसंगतीकरिता ०! = १ मानण्याचा संकेत आहे. समाकलनातील न या गॅमा फलनाचा  क्रमगुणिताशी संबंध आहे. तो असा : न = (न-१) ! अर्थात

उपयोगी पडते. १०! याचे खरे मूल्य व स्टर्लिंग सूत्राने मिळणारे मूल्य यामध्ये  खऱ्या मूल्याच्या ०००१ टक्क्याहून अधिक फरक पडत नाही, इतके हे सूत्र प्रभावी  आहे. न वस्तूमधून र वस्तूंच्या पुनरावृत्तिरहित समचयांच्या संख्येला _नस_र हे चिन्ह  वापरतात. कोणत्याही एका र-पदी समचयापासून र! क्रमचय तयार होतात. म्हणून _नस_र = र ! x _नस_र म्हणजेच

अर्थात _नस_न = १ हे उघड आहे.

आवर्तन सूत्रे : फ_न हे धन पूर्णांकाच्या संचावरील फलन असेल आणि फ_न+प =  क_१.फ_न+प–_१ + क_२ फ_न+प–_२ + + क_प.फ_न (क_१,क_२, , क_प स्थिरांक) हा  संबंध दिलेला असेल तर त्या संबंधाला आवर्तन सूत्र म्हणतात. फ_०, फ_१, , फ_प–_१ यांची मूल्ये माहीत असतील, तर वरील सूत्राने फ_न चे मूल्य न च्या सर्व मूल्यांना मिळविता येते. समचय व क्रमचय यांच्याकरिता पुढील दोन आवर्तन सूत्रे महत्त्वाची  आहेत.

जनक फलन : ज्या फलनाच्या विस्तारातील सहगुणक एखादा विशिष्ट संख्या संच  दर्शवितात त्या फलनाला त्या संख्या संचाचे जनक फलन म्हणतात. उदा., (१ + क्ष)^न हे  _नस_र चे जनक फलन आहे.

परिगणनाच्या समस्यांमध्ये आवर्तन सूत्रे आणि जनक फलने यांचा फार उपयोग  होतो.

विभाजन : कोणताही पूर्णांक त्याहून लहान पूर्णांकाची बेरीज म्हणून मांडता  येतो. उदा., ५ हा पूर्णांक ४ + १ किंवा ३ + २ अशा तऱ्हेने मांडता येतो.  यामध्ये ४ व १ किंवा ३ व २ यांना भाग म्हणतात. दिलेल्या संख्येचे किती प्रकारे  विभाजन करता येते, हा एक मूलभूत प्रश्न होतो.

क्रमरहित विभाजनाची समस्या जास्त अवघड आहे. क्रमरहित विभाजनाचे भाग उतरत्या कमाने मांडून  ते प्रमाणित करता येते. न संख्येच्या क भागात केलेल्या विभाजनांची संख्या वि_क(न) या चिन्हाने दर्शवितात. विक (न) करिता आवर्तन सूत्र पुढीलप्रमाणे :

वि_क (न) = वि_क(न–क) + वि_क–_१(न–क) + …. + वि_१(न–क)

अर्थात विक(न) = ० जर न &lt क आणि वि_क(क) = १ यावरून  वरील सूत्राचा उपयोग करून वि_क(न) चे मूल्य निश्चित होते. वि_क(न) चे मूल्य न (मापी क !) याच्यावर अवलंबून आहे, हे दाखविता येते. विभाजनातील पुष्कळसे  निष्कर्ष फेरेर यांच्या आकृतीने मिळविता येतात. ही आकृती पुढीलप्रमाणे तयार करतात. विभाजनामधील सर्वांत मोठया संख्येएवढे समान  चौरस घेऊन ते एका रांगेत ठेवतात. त्याच्या खालोखाल असलेल्या संख्येएवढे  चौरस दुसऱ्या रांगेत काढतात. अशा तऱ्हेने कमाने निरनिराळ्या रांगा  काढतात. १२ = ५ + ४ + २ + १ या विभाजनाची फेरेर आकृती चित्रात दाखविली  आहे. ही आकृती कर्णाभोवती फिरविली तर संयुग्मी विभाजनाची आकृती मिळते.१२ च्या वरील विभाजनाचे संयुग्मी विभाजन पुढीलप्रमाणे : १२ = ४ + ३ + २ + २ + १.

फेरेर आकृतीवरून मिळणारे निष्कर्ष पुढीलप्रमाणे : (१) न च्या क भागात  केलेल्या विभाजनांची संख्या क सर्वांत मोठा भाग असलेल्या(२) न च्या स्वसंयुग्मी विभाजनांची संख्या ज्या विभाजनात सर्व  भाग असमान व विषम आहेत अशा विभाजनांच्या संख्येबरोबर असते. (३) असमान भागात  केलेल्या न च्या विभाजनांची संख्या त्याच्या विषम भागात केलेल्या विभाजनांच्या संख्येबरोबर असते. विभाजनाच्या अभ्यासात जनक फलनांचा उपयोग करता येतो. (अ)  फ_१(क्ष)=(१-क्ष)^–१.(१-क्ष^२)^–१ .(१-क्ष^३)  ^-१…. हे वि (न) चे जनक फलन होय. (आ) फ_२(क्ष) =(१+क्ष).(१+क्ष^२).(१+क्ष^३) …. हे न च्या असमान भागात केलेल्या  विभाजनाचे जनक फलन आहे. (इ) फ_३(क्ष) = (१-क्ष)^–१.(१-क्ष^३)^–१ .(१-क्ष^५)^–१ …. हे न च्या विषम भागात  केलेले विभाजनाचे जनक फलन आहे.

समावेश-असमावेश तत्त्व : समजा, न वस्तू आहेत व त्यांच्याशी संबंधित ग_१, ग_२, …. , ग_प हे प गुणधर्म आहेत. न (ग_१) या चिन्हाने ज्या वस्तूंना ग१ गुणधर्म आहे त्यांची  संख्या दर्शवितात. तसेच न (ग_१, ग_२) या चिन्हाने ग_१ आणि ग_२ हे गुणधर्म असणाऱ्या  वस्तूंची संख्या दर्शवितात.

न (ग_१’, ग_२’, …. , ग_प’) या चिन्हाने ग_१, ग_२, …. , ग_प यांपैकी  कोणताही गुणधर्म नसलेल्या वस्तूंची संख्या दर्शविली, तर त्याकरिता पुढील सूत्र  वापरतात :

न (ग_१’, ग_२’, , ग _प’) = न- ∑ न (ग_१) +∑ न (ग_१, ग_२)

-∑ न (ग_१, ग_२, ग_३) + ….± न (ग_१, ग_२, …., ग _प).

यालाच ⇨जेम्स जोसेफ सिल्व्हेस्टर यांचे समावेश-असमावेश तत्त्व  म्हणतात. न वस्तूंच्या ज्या क्रमचयामध्ये कोणतीही वस्तू मूळ स्थानावर नसेल त्याला  विरचना म्हणतात. जसे ३,१,२ ही १, २, ३ या अंक संचाची विरचना आहे. न वस्तूंच्या  विरचनांच्या संख्येला व_न हे चिन्ह वापरले तर त्याच्याकरिता पुढील सूत्र वापरतात :

व_{न =} न ! – (न /१) (न -१) ! + …. + (-१)^न(न/ न) = न!/e

आसन्न रीतीने.

मण्यांची माळ आणि पोल्या प्रमेय : समजा, न मण्यांची माळ गुंफावयाची आहे व मणी  निरनिराळ्या प रंगांत उपलब्ध आहेत, तर अशा  तऱ्हेच्या भिन्न माळा किती प्रकारे करता येतील ? याचे उत्तर f (न) प^न/भा असे मिळते.  येथे f (न) हे ऑयलर फलन [⟶ संख्या सिद्धांत ], भा हे न च्या भाजकाची संख्या.  माळेची समस्या ज्या प्रसामान्य समस्येचे विशिष्ट उदाहरण आहे ती समस्या जॉर्ज पोल्या  यांनी १९३७ मधील एका प्रबंधामध्ये चर्चिली आहे. त्या  प्रबंधात त्यांनी गट, आलेख व रासायनिक बंध  यांमधील संबंध प्रस्थापित केले. प्रगणनातील ए. एफ्. मोबियस यांचे प्रसिद्ध  व्यस्तीकरण प्रमेय पुढीलप्रमाणे : फ_१ आणि फ_२ ही दोन पूर्णांक संख्यासंचावरील फलने अशी असतील की, फ_१ (क्ष) = ∑ _{भा /क्ष} फ_२(भा), तर फ_२ ही फ_१ च्या भाषेत अशाच तऱ्हेच्या संबंधाने मिळते. अलीकडे १९६४मध्ये जी. सी. रोटा या अमेरिकन गणितज्ञांनी वरील प्रमेयाचे प्रसामान्यीकरण करून  नवे प्रमेय सिद्ध केले व त्यामुळे प्रगणनाच्या चर्चेला एक सर्वंकष तत्त्व उपलब्ध झाले.

इतिहास : समचयात्मक विश्लेषणातील काही प्रश्नांची सुरुवात फार प्राचीन काळी झाली  असे आढळून येते. इ. स. पू. १००० च्या सुमारास लिहिलेल्या चिनी गणित ग्रंथात अशी आख्यायिका दिली आहे की, प्राचीन चिनी सम्राट यू (इ. स. पू. २०००) यांना  पीत नदीच्या तीरावर एका दैवी कासवाच्या पाठीवर आकृतीत दाखविलेला चौरस दिसला.

ग्रीक गणितातही अनेक मनोरंजक कूट प्रश्न आहेत. भास्कराचार्यांच्या ग्रंथात क्रमचय आणि समचय यांचे विवेचन आहे. बाराव्या शतकातील अरबी गणितज्ञांना  द्विपदी सहगुणक माहीत होते. आर्स कांबिनाटोरिया या ग्रंथाचा कर्ता ⇨गोटफीट व्हिल्लेल्म लायप्निट्स यांना समचयात्मक विश्लेषणाचा आधुनिक  काळातील प्रणेता समजतात. अठराव्या व एकोणिसाव्या  शतकांत दयूत विद्येतील प्रश्नांच्या निमित्ताने अनेक यूरोपीय गणितज्ञांनी या विषयात लक्ष घातले. डब्ल्यू. ए. व्हिटवर्थ व पी. ए. मकमाअन यांच्या  ग्रंथामुळे त्याला पद्धतशीर स्वरूप प्राप्त झाले आणि तंत्रविज्ञानातील प्रश्न सोडविण्यासाठी  उपयोग होत असल्यामुळे गेल्या काही दशकांत त्याला  अधिकच महत्त्व प्राप्त झाले आहे. भारतीय गणितज्ञांपैकी हंसराजगुप्ता, चावला, केरावाला आणि एस्. एस्. श्रीखंडे यांचे या विषयातील संशोधन उल्लेखनीय  आहे.