यामिकी : भौतिकीय पदार्थांच्या गती आणि या गती निर्माण करणाऱ्या व त्यांचे नियमन करणाऱ्या प्रेरणा यांच्या अभ्यासाचे हे शास्त्र आहे. प्रेरणांच्या पदार्थांवर होणाऱ्या परिणामांचा विचार करून या शास्त्राचे पुढील तीन प्रमुख विभाग केले जातात : (१) स्थितिकी, (२) शुद्ध गतिकी किंवा केवल गतिकी व (३) गतिकी. पदार्थावर क्रिया करणाऱ्या प्रेरणा त्या पदार्थात गती निर्माण करू शकल्या नाहीत, तर अशा स्थितींचा अभ्यास ‘स्थितिकी’ या विभागात होतो. पदार्थाच्या गतीचाच फक्त स्वतंत्र विचार ज्यामध्ये केला जातो अशा विभागास ‘शुद्ध गतिकी’ असे म्हणतात. शुद्ध गतिकीमध्ये गती ज्यामुळे निर्माण होते त्या विशिष्ट प्रेरणांचा विचार केला जात नाही. याउलट यामिकीच्या ज्या विभागात पदार्थावरील प्रेरणांचा त्याच्या गतिविशेषाशी असलेला संबंध स्पष्ट केला जाऊन त्याचे विश्लेषण केले जाते त्या विभागास ‘गतिका’ असे म्हणतात. या सर्व विश्लेषणामध्ये पदार्थाचे कण व वस्तू हे दोन प्रकार विचारात घेतले जातात.

 

पदार्थ कणांच्या स्वरूपात असल्यास त्याच्या यामिकीय वर्तनाचे वर्णन ‘कण यामिकी’ मध्ये केले जाते. अनेक कण जेव्हा एकत्र येतात तेव्हा त्यांचा समूह बनून वस्तू साकार होते. यापुढील विवेचनात पदार्थ व वस्तू हे शब्द समानार्थी वापरले आहेत. पदार्थावर प्रेरणा लावली असता तिच्यामुळे त्याला नुसती गती मिळण्याकडे प्रवृत्ती होते असे नसून त्याच्या मूळ आकारात वा आकारमानात पण बदल घडू शकतो. यामुळे अंती पदार्थ विरूप होतो. अशा प्रकारे निर्माण होणाऱ्या विरूपतेचे परिमाण पदार्थाच्या स्वाभाविक गुणधर्मावर अवलंबून राहते. अशा प्रकारे येणारी विरूपता दृढ पदार्थांमध्ये इतकी कमी मूल्याची असते की, त्यामुळे उद्‌भवणारे परिणाम नगण्य मूल्याचे आहेत, असे समजता येते. याउलट विरूपतेचे परिमाण स्थितिस्थापक (विरूपण निर्माण करणारी प्रेरणा काढून घेतल्यावर मूळ अवस्थेत परत येणाऱ्या) पदार्थामध्ये नगण्य समजता येत नाही. यामुळे अशा पदार्थामध्ये ताण निर्माण होतात व याचमुळे त्यामध्ये आंतरिक विरोधी प्रेरणा पण अस्तित्वात येतात. पुढील विवेचनात दृढ पदार्थाचाच विचार केला आहे. स्थितिस्थापक पदार्थाच्या बाबतीतल्या गणितीय विश्लेषणात जे फेरबदल करावे लागतात त्याविषयीची माहिती ‘स्थितिस्थापकता’ या नोंदीत दिलेली आहे.

 

वर वर्णन केलेल्या सैद्धांतिक मीमांसा मुख्यत्वेकरून घन अवस्थेतील पदार्थासाठी दिल्या जातात. घन पदार्थाव्यतिरिक्त द्रव व वायुरूप अशा ज्या प्रवाही पदार्थ अवस्था आढळतात, त्यांचा संकलित अभ्यास ‘द्रायुयामिकी’ या भौतिकीय शाखेत केला जातो [⟶ द्रायुयामिकी]. केवळ द्रवरूप पदार्थांसाठी ‘द्रवगतिकी’ ही गणितीय मीमांसा उपलब्ध आहे, तर फक्त वायुरूप पदार्थाच्या गतिवैशिष्ट्यासाठी ‘वायुगतिकी’ ही गणितीय पद्धती वापरली जाते [⟶ वायुयामिकी]. ज्या वायुयानामध्ये इंधन वायूच्या दाबामुळे निर्माण झालेल्या प्रेरणेद्वारे किंवा झोताद्वारे प्रचालन होत असते, अशा सर्व प्रकारच्या वायुयानांचा अभ्यास या शाखेत केला जातो. बंदुकीमधून सोडलेली गोळी व तीसारख्या इतर प्रक्षेपण अस्त्रांच्या गतीचा विचार ‘प्राक्षेपिकी’ या शाखेत केला जातो [⟶ प्राक्षेपिकी]. अवकाशातील ग्रह, तारे यांसारख्या जड वस्तूंच्या गतीचे विश्लेषण खगोलीय यामिकी या शाखेमध्ये केले जाते [⟶ खगोलीय यामिकी].

 

वर नमूद केलेले बहुतेक सर्व शास्त्रविभाग न्यूटनप्रणीत गतिनियमांवर आधारित असल्यामुळे या सर्वांचा उल्लेख ‘रूढ यामिकी’ या सामूहिक संज्ञेने केला जातो.

 

सूक्ष्मस्तरावरील भौतिकीय घटना किंवा विक्रिया यांसाठी रूढ यामिकीचे नियम यथार्थ ठरत नाहीत. अणू किंवा रेणू यांसारख्या सूक्ष्म द्रव्यमानाच्या पदार्थकणांमधील घटक मूलकणांतील परस्परक्रिया, अणू वा रेणू यांच्याशी संबंधित असलेल्या इतर विक्रिया यांसाठी पुंजयामिकीचा उपयोग करावा लागतो [⟶ पुंजयामिकी].

 

परस्परक्रिया करणाऱ्या पदार्था-पदार्थांमधील (उदा., अवकाशातील तारे, तारासमूह) अंतरे मोठ्या मूल्याची असतील किंवा त्यांच्या गतीचा वेग प्रकाशवेगाच्या तुलनेत उच्च प्रतीचा असेल, तर त्यांच्या गतीचे यथार्थ वर्णन करण्याकरिता → सापेक्षता सिद्धांताचा उपयोग करावा लागतो. या बाबतीतही रूढ यामिकीचा उपयोग केल्यास चुकीची उत्तरे मिळतात.

 

विद्युत्‌ भारित कण, विद्युत्‌ चुंबकीय क्षेत्र व फोटॉन हा क्षेत्र कण यांमधील परस्परक्रियांचे वर्णन करण्यासाठी विद्युत्‌ क्षेत्र अवकाशाला संवेग (द्रव्यमान X वेग या गुणाकाराने दर्शविली जाणारी राशी), ऊर्जा इ. कणाची गुणवैशिष्ट्ये आहेत, असे मानावे लागते. याविषयीचे विवेचन ‘विद्युत्‌ यामिकी’ या नोंदीत केले आहे. विद्युत्‌ चुंबकीय प्रारणाच्या (तरंगरूपी ऊर्जेच्या) प्रसारण क्रियेचे सैद्धांतिक वर्णन याच नोंदीत केलेले आहे.

 

समुद्राच्या लाटा, ध्वनितरंग, प्रकाश, क्ष-किरण हे सर्व तरंग गतीचे विविध प्रकार आहेत. तरंग गती हा भौतिकीतील एक महत्त्वाचा आविष्कार असून त्यासंबंधीचे विवेचन ‘तरंग गति’ या नोंदीत केलेले आहे.

 

इतिहास व विकास : येथे फक्त रूढ यामिकीच्या स्थितिकी व गतिकी या विभागांच्या इतिहासाचे व विकासाचे विवरण केलेले असून यामिकीच्या वर उल्लेखिलेल्या इतर संबंधित शाखांच्या इतिहासाचे व विकासाचे विवेचन त्या त्या नोंदीत दिलेले आहे.

 

बॅबिलोनिया आणि ईजिप्त येथील प्राचीन लोकांना या विषयाचे थोडेसे ज्ञान होते असे मानले, तरी खऱ्या अर्थाने स्थितिकीचा पाया इ. स. पू. तिसऱ्या शतकात आर्किमिडीज या ग्रीक गणितज्ञांनी घातला. त्यांनी साध्या तरफा व → गुरुत्वमध्य यांच्या समतोलाची सूत्रे शोधून काढली. ही सूत्रे समांतर प्रेरणांवर आधारलेली होती. प्रेरणा ही सदिश राशी (महत्ता व दिशा ही दोन्ही असलेली राशी) म्हणून गणली जाईपर्यंत व तिचे वर्णन दिशायुक्त रेषाखंडाने (बाणाने) करीपर्यंत समांतर नसलेल्या प्रेरणांचे विवरण करणे अवघड झाले होते. आर्किमिडीज यांच्या मृत्यूनंतर सु. २,००० वर्षांनी सोळाव्या शतकात सायमन स्टेव्हाइन या डच गणितज्ञांनी असमांतर प्रेरणा विचारात घेणारा तरफांचा प्रश्न सोडविला. हा प्रश्न त्यांनी दुहेरी उतरणीवरील (उतरत्या प्रतलावरील) वस्तूंच्या समतोलाचे केवळ निरीक्षण करून सोडविला. प्रेरणा सदिशांची बेरीज त्या प्रेरणा दर्शविणाऱ्या लगतच्या बाजू असलेल्या समांतरभुज चौकोनाची रचना करून कशी करता येते, हे त्यांनी दाखविले. साध्या यंत्रात (उदा., तरफ) प्रेरणेच्या दृष्टीने जो लाभ होतो तो अंतराच्या बाबतीत गमावला जातो, हे त्यांनी ओळखले होते [⟶ साधी यंत्रे] आणि त्यावरून त्यांना आभासी कार्याचे तत्त्व (याचे विवरण पुढे केलेले आहे) समजले होते, असे दिसून येते. हे तत्त्व पुढे स्विस गणितज्ञ योहान बेर्नुली (१६६७ – १७४८) यांनी योग्य स्वरूपात मांडले. स्टेव्हाइन यांच्या कार्याने स्थितिकीच्या अभ्यासास नव्याने चालना मिळाली.


ग्रीक विद्वानांनी, विशेषतः ॲरिस्टॉटल यांनी, गतिमान वस्तूंच्या वर्तनाचे स्पष्टीकरण मांडण्याचे प्रयत्न केले पण ते अयशस्वी ठरले. याला दोन कारणे होती. पहिले म्हणजे त्या काळी अंतर वा काळ मोजण्याची साधने उपलब्ध नसल्याने सूत्रांचा प्रायोगिक पडताळा पाहणे त्यांना शक्य झाले नाही आणि दुसरे म्हणजे वस्तूची गती चालू ठेवण्यासाठी प्रेरणेची आवश्यकता आहे असे चुकीचे गृहीत त्यांनी धरले होते. प्रत्यक्षात गतीची दिशा वा महत्ता बदलण्यासाठी प्रेरणेची आवश्यकता असते. सतराव्या शतकात गॅलिलिओ (१५६४-१६४२) या इटालियन शास्त्रज्ञांनी वैश्लेषिक व प्रायोगिक पद्धतीच्या संयोगाने गतिकी या विभागाचा पाया घातला. वजनाने जड असलेल्या वस्तू हलक्या वस्तूंपेक्षा अधिक वेगाने खाली पडतात हा ॲरिस्टॉटल यांचा सिद्धांत चुकीचा असल्याचे गॅलिलिओ यांनी प्रयोगाद्वारे दाखवून दिले. प्रक्षेपित वस्तूच्या गतीचे समीकरणही त्यांनी विकसित केले. हवेचा रोध नगण्य मानल्यास या गतीचा वक्रमार्ग दोन स्वतंत्र गतींच्या (एक स्थिर चालीने होणारी क्षितिजसमांतर दिशेतील गती व दुसरी बदलत्या चालीने होणारी उभ्या दिशेतील गती यांच्या) संयोजनाने निषन्न होतो, असे त्यांनी दाखविले. याकरिता त्यांनी स्टेव्हाइन यांनी मांडलेला प्रेरणा सदिशांच्या संयोजनाचा समांतरभुज चौकोनाचा नियम वापरला. बाह्य प्रेरणांच्या प्रभावापासून मुक्त असलेली गतिमान वस्तू स्थिर चालीने सरळ रेषेत जात राहील, असे त्यांनी प्रतिपादन केले होते. न्यूटन यांनी नंतर मांडलेल्या निरूढीच्या (वस्तूच्या मूळची स्थिर वा गतिमान अवस्था न बदलण्याच्या प्रवृत्तीच्या) तत्त्वाची गॅलिलिओ यांना अटकळ होती, असे यावरून दिसते. याखेरीज बाह्य प्रेरणेमुळे वेग (दिशायुक्त चाल) वा स्थान यांच्याऐवजी प्रवेगाचे (वेगाच्या त्वरेचे) निर्धारण होते, हे त्यांनीच प्रथम जाणले होते.

 

सतराव्या शतकातच क्रिस्तीआन हायगेन्झ (१६२९-९५) या डच भौतिकीविज्ञांनी ⇨ लंबकाच्या गतीचे समीकरण विकसित केले व लंबकाच्या घड्याळाचा शोध लावला. त्यांनी प्रथमच लंबकाच्या निरीक्षणांवरून गुरुत्वीय प्रवेग काढला. आयझॅक न्यूटन (१६४२ – १७२७) यांनी वैश्विक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम [⟶ गुरुत्वाकर्षण] व ⇨ कलनशास्त्र हे महत्त्वाचे शोध तर लावलेच पण त्याचबरोबर त्यांनी प्रेरणा व द्रव्यमान यांच्या संकल्पना आणि गॅलिलिओ यांनी मांडलेल्या तत्त्वांचा विस्तार, स्पष्टीकरण व सारांश देणारे गतिविषयक तीन महत्त्वपूर्ण नियम मांडले. यामिकीच्या संदर्भात न्यूटनीय व रूढ (क्लासिकल) या संज्ञा समानार्थी म्हणून वापरतात, त्यावरून त्यांच्या कार्याच्या महत्तेची कल्पना येते.

 

अठराव्या शतकात स्विस गणितज्ञ लेनर्ड ऑयलर (१७०७ – ८३) यांनी यामिकीवर पाठ्यपुस्तके लिहिली आणि त्यांत गतीची → अवकल समीकरणे सोडविण्यासाठी कलनशास्त्राच्या वैश्लेषिक पद्धतींचा उपयोग केला. द्रव्यमान असलेल्या पण नगण्य परिमाणे असलेल्या वस्तूंना (म्हणजे कणांना) लागू पडणाऱ्या न्यूटन यांच्या दुसऱ्या नियमाचा ऑयलर यांनी दृढ वस्तूंसाठी विस्तार केला. दृढ वस्तूच्या कोणत्याही गतीचे सरळ गतीत व नंतर एखाद्या निवडलेल्या बिंदूभोवतील परिभ्रमण गतीत विभाजन करता येते, असेही त्यांनी दाखविले. याच शतकात फ्रेंच गणितज्ञ झां ल राँ द ॲलांबेर (१७१७ – ८३) यांनी यामिकीवरील आपला सुप्रसिद्ध ग्रंथ प्रसिद्ध केला व त्यांच्या नावाने ओळखण्यात येणारे ‘ॲलाबेर तत्त्वही’ मांडले. स्थितिकीच्या तत्त्वांचा उपयोग करून गतिकीतील प्रश्न सोडविण्याची ही पद्धत अभिनव व अपूर्व होती. न्यूटन यांच्या मृत्यूनंतरच्या १०० वर्षांत यामिकीतील प्रगती ही तिच्या वाढत्या गणितीकरणाच्या स्वरूपात झाली. १७८८ मध्ये फ्रेंच गणितज्ञ जे. एल्‌. लाग्रांझ Mechanique analytique हा सुप्रसिद्ध ग्रंथ लिहिला आणि त्यात यामिकी ही गणिताची एक शाखा या दृष्टीने तिचे विवरण केले. काही थोडी स्वयंसिद्ध तत्त्वे व पूर्णपणे वैश्लेषिक गणितीय तंत्रे वापरून त्यांनी हे विवरण केले. यामिकी ही गणिताची एक शाखा म्हणून पुढे प्रगत होत गेली पण त्याचबरोबर एकोणिसाव्या शतकात ती भौतिकीतील आपल्या मूलाधाराकडे वळली. लाग्रांझ यांनी उपयुक्ततेच्या दृष्टीने अधिक व्यापक व काही विशिष्ट प्रश्नांबाबत न्यूटन यांच्या समीकरणापेक्षा अधिक सुलभतेने वापरता येणारी गतीची समीकरणे काढण्याचे एक सूत्र विकसित केले. लाग्रांझ सूत्र हे अवकल समीकरणांच्या रूपात असून ते प्रेरणा व प्रवेग यांच्यापेक्षा ऊर्जा व वेग यांच्याशी संबंधित आहे. त्यापासून मिळणारी समीकरणे न्यूटन यांच्या दुसऱ्या नियमापासून मिळणाऱ्या समीकरणांप्रमाणेच आहेत. अशाच स्वरूपाची समीकरणे आयरीश गणितज्ञ डब्ल्यू. आर्‌. हॅमिल्टन (१८०५ – ६५) यांनी मांडली. लाग्रांझ व हॅमिल्टन यांची समीकरणे गतिकीचे अधिक प्रगत व सैद्धांतिक विवरण करण्यासाठी अमूल्य ठरलेली आहेत.

 

निसर्गाचे मूलभूत स्तरावरील ज्ञान मिळविण्यासाठी भौतिकीविज्ञांना पुंजयामिकीचा बहुमोल उपयोग झालेला आहे परंतु ती सामान्य सुजाण लोकांच्या आकलनाच्या आवाक्याच्या फार पलीकडे गेलेली आहे. व्यवहारात नवीन मोटागाड्यांचा वा विमानांचा अभिकल्प (आराखडा) तयार करण्यापासून ते प्रक्षेपणास्त्रांच्या वा कृत्रिम उपग्रहांच्या मार्गनिर्देशनापर्यंतच्या विविध कार्यांसाठी न्यूटनीय यामिकीची उपयुक्तता अद्यापही कायम आहे.

 

पुढील विवेचन मुख्यतः रूढ गतिकी नियमांवर आधारित आहे. विवेचनात अदिश, ⇨ सदिश व ⇨ प्रदिश अशा तीन भिन्न पण विशिष्ट गुणधर्म असणाऱ्या गणितीय राशींचा उपयोग केला आहे. यांपैकी अदिश राशींचे संपूर्ण निर्देशन तिच्या मूल्यावरून करता येते (उदा., द्रव्यमान). या राशींना दिशा नसते. अंकगणितीय नियमांद्वारे त्यांची बेरीज केली जाते. याउलट सदिश राशीचे वर्णन तिचे मूल्य व दिशा या दोन गोष्टी दिल्याशिवाय पूर्ण होत नाही (उदा., वेग, प्रेरणा). दोन सदिश राशींची बेरीज करण्याकरिता अथवा त्यांपासून मिळणारे परिणामी मूल्य काढण्यासाठी समांतरभुज चौकोन पद्धतीचा उपयोग केला जातो. गणितीय समीकरणे सदिश स्वरूपात मांडण्यात एक महत्त्वाचा फायदा असतो.

 

कोणत्याही ⇨ संदर्भ-व्यूहाचा वापर केला किंवा त्यामध्ये स्थानांतरणीय अथवा परिभ्रमणीय किंवा इतर अन्य प्रकारची रूपांतरणे केली, तरी सदिश स्वरूपात निर्देशित केलेल्या भौतिकीय राशींमधील संबंधात, समीकरणात किंवा सूत्रात काहीही फरक पडत नाही. त्याचे रूप अचल राहते. सदिश समीकरणांद्वारा निर्देशित केलेली प्रतिपादने अथवा तत्त्वे ही सर्व प्रकारच्या संदर्भ-व्यूहांसाठी एकस्वरूपीच राहतात, हा मुद्दा महत्त्वाचा आहे.

 

निरनिराळ्या सहनिर्देशक पद्धतींमध्ये [⟶ भूमिती] काही भौतिकीय तत्त्वे वा नियम किंवा राशी निश्चल राहताना आढळतात. सैद्धांतिक दृष्ट्या विचार करता भौतिकीमधील सत्य विधाने ही वापरलेल्या संदर्भ-व्यूहाच्या स्वरूपावर अवलंबून राहू नयेत, ही संकल्पना समजण्यासारखी आहे. अशा नियमाचे किंवा राशीचे वर्णन करण्यासाठी प्रदिश पद्धत उपयुक्त ठरते, कारण कोणत्याही संदर्भ-व्यूहाकरिता किंवा कोणत्याही प्रकारच्या रूपांतरण क्रियेकरिता या वर्णनात बदल वा फरक होत नाही.

 

मूलभूत संकल्पना : कण : यामिकीमध्ये अंतर्भूत असलेली ‘कण’ ही संकल्पना पूर्णपणे गणितीय असून यामिकीतील कणाची व्याख्या भूमितीतील बिंदूच्या व्याख्येप्रमाणेच करतात. ज्या वस्तूला अथवा पदार्थाला स्थान आहे, परंतु व्याप्ती नाही अशा वस्तूस अगर पदार्थास कण म्हटले जाते. कण या संकल्पनेमुळे यामिकीतील भौतिक प्रक्रियांचे विश्लेषण सोप्या पद्धतीने करता येणे शक्य होते.

 

दृढ वस्तू : ज्या कणसमूहातील प्रत्येक दोन कणांमधील अंतरे अचल अथवा न बदलणारी असतात, त्यास दृढ वस्तू म्हणून संबोधले जाते.


प्रेरणा व द्रव्यमान : पुढील विवेचनात प्रेरणा व द्रव्यमान या संकल्पनांचा उपयोग केलेला असल्याने त्यांविषयीचा खुलासा प्रथम केला आहे. कोणत्याही वस्तूची गती चालू ठेवण्यासाठी, तिच्या मूळ स्थानात बदल करून तिचे स्थानांतरण करण्यासाठी, तिच्या आकारात बदल घडूवन आणण्यासाठी कारक म्हणून प्रेरणा वापरावी लागते. या वर्णनावरून प्रेरणा म्हणजे काय याविषयीची कल्पना करता येते.

 

प्रेरणा अनेक तऱ्हेच्या असतात. वस्तूला ढकलत नेण्यासाठी वा ओढण्याकरिता लागणाऱ्या प्रेरणा, वायूच्या दाबामुळे निर्माण होणाऱ्या प्रेरणा, घर्षणामुळे निर्माण होणारी प्रतिक्रियात्मक प्रेरणा इ. या सर्व संपर्क प्रेरणा असतात. वस्तूमधील एका कार्यबिंदूवर या प्रेरणा कार्य करीत असतात. चुंबकीय, विद्युत्‌ आकर्षण व प्रतिसारण करणाऱ्या प्रेरणा, गुरुत्वाकर्षण प्रेरणा, अणुकेंद्रीय प्रेरणा इ. प्रेरणा संपर्कविरहित असतात [⟶ पुंज क्षेत्र सिद्धांत प्रेरणा-२]. पुढील विवेचनात मुख्यत्वेकरून संपर्क प्रेरणांचाच विचार केला आहे.

 

अशा प्रेरणेचे अचूक वर्णन करण्यासाठी (१) तिचा कार्यबिंदू, (२) कार्य दिशा व (३) मूल्य या गोष्टी निर्देशित कराव्या लागतात. प्रेरणा ही एका सदिशाद्वारे म्हणजे एका रेषेद्वारे निर्देशित केली जाते. या रेषेची लांबी प्रेरणेचे मूल्य दाखविते, तर रेषेची दिशा प्रेरणेची दिशा दाखविते. तिची अभिदिशा (दिशेचा बोध) बाण काढून दर्शविली जाते.

 

प्रेरणा वस्तूच्या एका ठराविक कार्यबिंदूवर कार्य करीत असते ही कल्पना तितकी यथार्थ नाही व वास्तवाशी सुसंगत पण नाही. कोणतीही प्रेरणा वस्तूच्या काही ठराविक क्षेत्रफळावर (मग हे क्षेत्रफळ कितीही अल्पमूल्याचे असो) प्रत्यक्षात कार्य करताना आढळते. प्रेरणा एका कार्यबिंदूवर कार्य करीत असते, असे गृहीत स्वीकारणे गणितीय दृष्ट्या सोईचे असते व त्यामुळे अंतिम गणितीय निष्कर्षात विशेष महत्त्वाचा असा बदल होत नाही.

 

रूढ यामिकीनुसार द्रव्यमान हा वस्तूचा एक स्वयंसिद्ध असा गुणधर्म असतो. या दृष्टीने पाहता वस्तूचे द्रव्यमान कोणत्याही बाह्य परिस्थितीमुळे बदलत नाही. दोन वस्तू एकमेकींजवळ आल्या असता त्यांच्यामध्ये या गुणधर्मामुळे एक गुरुत्वाकर्षण प्रेरणा निर्माण होते. ही प्रेरणा प्रत्यक्ष प्रयोगाने मोजता येते. द्रव्यमानाच्या अस्तित्वाचा हा एक पुरावा होतो. द्रव्यमान या वस्तुवैशिष्ट्याचे मूल्य अवकाशातील वस्तूच्या स्थानावर अवलंबून राहत नाही, असे वरील व्याख्येनुसार स्पष्ट दिसते. तथापि आधुनिक भौतिकीचा द्रव्यमानाबद्दल थोडा वेगळा दृष्टिकोण आहे. [⟶ द्रव्यमान].

 

निर्बंधित गती : एखाद्या वस्तूची मुक्त गती विशिष्ट अटी (वा शर्ती) वापरून जेव्हा निर्बंधित केली जाते, तेव्हा त्या गतीस ‘निर्बंधित गती’ म्हटले जाते. त्याप्रमाणे गती निर्बंधित करण्यासाठी विशिष्ट अटींच्या स्वरूपात घातलेल्या बंधनांना ‘गतिज निर्बंध’ म्हणतात. गतिज निर्बंधांत येणाऱ्या अटींची त्या वस्तूशी संबंधित असणाऱ्या सहनिर्देशकांनी परिपूर्णता करता येणे शक्य असले पाहिजे.

 

यामिकीमधील प्रमुख पद्धती : यामिकीमध्ये आलेखीय व विश्लेषणात्मक अशा दोन प्रमुख पद्धती वापरल्या जातात. (१) आलेखीय पद्धत: हीमध्ये पदार्थ व त्यावर कार्य करणाऱ्या प्रेरणा या आकृत्यांनी दाखविल्या जातात. सदिशांचा वापर करून त्यांचे विश्लेषण करून निष्कर्ष मिळविला जातो. (२) विश्लेषणात्मक पद्धती: हीमध्ये पदार्थावरील प्रेरणांचा परिणाम गणितीय सूत्राद्वारे व्यक्त करून त्यापासून गणितीय कृत्याने निष्कर्ष मिळविला जातो. कधी कधी या दोन्ही पद्धतींचा उपयोग एकाच वेळी केला जातो.

 

उत्पादक यंत्राच्या सर्व कार्याचे विश्लेषण करण्यासाठी यामिकी उपयोगी पडते. या संदर्भातल्या तिच्या वापराला ‘यांत्रिकी’ असे नाव पण दिले जाते.

 

खाली यामिकीच्या स्थितिकी, शुद्ध गतिकी व गतिकी या प्रमुख विभागांचे विवेचन केलेले आहे.

 

स्थितिकी

 

हिच्या कक्षेत येणाऱ्या पदार्थावर प्रेरणा कार्य करीत असतात, पण त्या सर्व एकमेकींशी अशा प्रकारे संबंधित असतात की, त्यामुळे पदार्थाला इतर भोवतालच्या पदार्थांच्या सापेक्ष गती मिळत नाही. अनेक प्रेरणा एकाच वेळी कार्य करीत असतानासुद्धा पदार्थ गतिहीन अवस्थेत स्थिर राहतो. या अवस्थेला ‘समतोल अवस्था’ असे म्हणतात. स्थितिकीमध्ये प्रेरणांना महत्त्वाचे स्थान असते.

 

पदार्थावर कार्य करून परिणामी ज्या प्रकारची गती प्रेरणा निर्माण करू शकतात त्यांनुसार त्यांचे वर्गीकरण केले जाते. एका प्रकारच्या प्रेरणांमुळे पदार्थाला सरळ दिशेत गती देण्याकडे प्रवृत्ती असते (उदा., बंदुकीच्या गोळीवर कार्य करणारी प्रेरणा). दुसऱ्या प्रकारच्या प्रेरणांमुळे पदार्थाला परिभ्रमण गती दिली जाते (उदा., फिरणारा पंखा). प्रेरणांमुळे वस्तूवर होणाऱ्या परिणामांचे वर्णन करण्यासाठी काही सामान्य सिद्धांत व तत्त्वे गृहीत धरली जातात. ही तत्त्वे व त्यांचे स्वरूप यांविषयीचे विवेचन प्रथम केले आहे.

 

प्रेरणा प्रेषण तत्त्व : सरळ रेषेत गती निर्माण करणाऱ्या प्रेरणांच्या संबंधात प्रेरणा प्रेषण तत्त्व महत्त्वाचे असते. पदार्थाच्या ज्या प्रत्यक्ष कार्यबिंदूवर प्रेरणा कार्य करीत असते त्याऐवजी ही प्रेरणा तिच्याच कार्यरेषेवरील इतर कोणत्याही इष्ट बिंदूवर कार्य करीत असते, असे सोईकरिता मानता येते पण हा नवा बिंदू पदार्थाबाहेर असून चालत नाही. या तत्त्वाला प्रेरणा प्रेषण तत्त्व असे म्हणतात.

 

 

झालेल्या परिभ्रमण गतीचे परिमाण मोजण्याचे साधन होय, हे कळते. सामान्यतः घड्याळाच्या काट्यांच्या गतीप्रमाणे गतिप्रवृत्ती निर्माण करू पाहणाऱ्या परिबलात ऋण चिन्ह व त्याउलट गतिप्रवृत्ती निर्माण करू पाहणाऱ्या परिबलास धन चिन्ह देण्याचा प्रघात आहे. या परिबलास अनुक्रमे सव्य व अपसव्य असे पण संबोधिले जाते. परिबल ही पण सदिश राशी आहे. ज्या प्रतलात परिभ्रमण घडत असते त्या प्रतलाच्या लंब दिशेत कार्यबिंदूपासून काढलेल्या सरळ रेषेने ती निर्देशित केली जाते. या रेषेची लांबी परिबलाचे मूल्य दर्शविते व रेषेच्या दिशेवरून परिबल सव्य की अपसव्य आहे ते कळते. आ. ६ मध्ये Q दोन वा अधिक प्रेरणांच्या त्याच प्रतलातील कोणत्याही बिंदूभोवतील परिबलांची बेरीज ही त्यांच्या निष्पन्न प्रेरणेच्या त्याच बिंदूभोवतीच्या परिबलाएवढी असते. यांस प्येअर व्हेरिग्नॉन या फ्रेंच गणितज्ञांच्या नावावरून व्हेरिग्नॉन सूत्र म्हणतात.

 

प्रेरणेचे रेषेभोवतीचे परिबल : आ. ७ मध्ये AB या रेषेभोवती F या प्रेरणेचे परिबल काढण्यासाठी F राशीच्या कार्यरेषेतील O या बिंदूपासून OA ही AB ला समांतर असणारी रेषा काढली जाते. OA (किंवा AB) आणि F यांमधील कोन ० असेल तर,

इष्ट परिबल = F sin 0. OB = Fp sin 0 …. (८)

(OB = AB व OA या रेषांमधील लंबांतर = P).

 

हे परिबल क्षेत्रफळाच्या स्वरूपाचे असून ते प्रत्यक्षात अदिश आहे, असे दाखविता येते.

 

प्रेरणा लावल्यामुळे पदार्थाला मिळणाऱ्या दोन प्रकारच्या गती : सर्वसामान्य परिस्थितीमध्ये प्रेरणा लावली असता पदार्थाला दोन प्रकारच्या गती मिळू शकतात. एका सरळ रेषेत तो काही वेगाने एका स्थानापासून दुसऱ्या स्थानापर्यंत अंतर काटीत जाऊ शकतो. त्याचा काही प्रमाणात परिभ्रमण गतीपण मिळू शकते. उदा., फुटबॉल पायाने ठोकरला असता त्याला रेषीय गती मिळते पण त्याबरोबरच तो स्वतःशी काही प्रमाणात परिभ्रमण पण करताना आढळतो. पदार्थावर योग्य निर्बंध घालून यांपैकी एक गती येऊ शकणार नाही अशी व्यवस्था करता येते. उदा., त्याला एक मोठे भोक पाडून त्यामधून सहज जाणारा खिळा ठोकला व यावर आता प्रेरणा लावली, तर पदार्थाला फक्त परिभ्रमण गतीच घेणे शक्य होते.

 

प्रेरणायुग्म : शुद्ध परिभ्रमण गती देण्यासाठी प्रेरणायुग्म योजना विशेष करून वापरली जाते. आ. ८ मध्ये दाखविल्याप्रमाणे या पद्धतीत सारख्या मूल्याच्या, एकाच रेषेत कार्य न करणाऱ्या समांतर पण विरुद्ध दिशा असणाऱ्या दोन प्रेरणा वापरल्या जातात. या योजनेमध्ये दोन्ही प्रेरणांची मूल्ये समान परंतु दिशा विरुद्ध असल्याने, कोणत्याही दिशेतील त्यांच्या घटकांची बेरीज शून्य असते म्हणजेच त्यांची सरळ गती निर्माण करू शकणारी निष्पन्न प्रेरणा शून्य मूल्याची असते पण त्यांचे निष्पन्न परिबल शून्य होत नसल्याने पदार्थात त्या परिभ्रमण गती निर्माण करू शकतात. आ. ८ मध्ये पदार्थाला O बिंदूतून जाणाऱ्या आणि प्रेरणांना लंब असणाऱ्या रेषेभोवती परिभ्रमण करण्याची मोकळीक आहे असे मानले, तर

⟶          

F या प्रेरणांची O भोवतालची परिबले अनुक्रमे F.OA आणि -F.OB अशी मिळतात.

 

म्हणून त्यामुळे निर्माण होणारे निष्पन्न परिबल – F.AB एवढे होते. यास प्रेरणायुग्माचे परिबल म्हणतात. प्रेरणायुग्माला परिमाण व दिशा (त्याने निर्माण केलेल्या गतीची) असल्याने सदिश स्वरूपात त्याचे निर्देशन करता येते. या सदिशाचे मूल्य प्रेरणायुग्माच्या परिबलाएवढे असून त्याची दिशा प्रेरणायुग्म ज्या प्रतलात असते त्याच्या लंब दिशेत असते. एकाच किंवा समांतर प्रतलांतील समान परिबलांची प्रेरणायुग्मे समतुल्य असतात म्हणून प्रेरणायुग्म त्याच्या परिबल-सदिशाने संपूर्णतया निर्देशित होते.

 

समतोल : पदार्थावर एकाच वेळी अनेक प्रेरणा कार्य करीत असल्या, तरी त्यांमुळे निर्माण होणारी निष्पन्न प्रेरणा व परिबल जर शून्य होत असेल, तर त्यामुळे पदार्थाला कोणत्याच प्रकारची गती मिळू शकत नाही. पदार्थाच्या अशा अवस्थेला समतोल अवस्था असे म्हणतात.

 

समतोल अवस्था सिद्ध होण्यासाठी काही अटींची पूर्तता व्हावी लागते. कण बिंदूमात्र आहेत व त्यांना आकारमान नाही असे समजले, तर त्यांच्या बाबतीत प्रेरणांमुळे निर्माण होणाऱ्या रेषीय गतीचाच विचार करणे आवश्यक होते. याउलट वस्तूला आकारमान असल्यामुळे तीमध्ये प्रेरणा परिबलामुळे निर्माण होणाऱ्या परिभ्रमण गतीची शक्यता पण लक्षात घ्यावी लागते. म्हणून वस्तूच्या बाबतीत समतोल सिद्ध करण्याकरिता आवश्यक अशा अटींच्या संख्येत वाढ होते. कणाच्या समतोलाचा विचार करणे अधिक सोपे असल्यामुळे त्याचे विवेचन प्रथम केले आहे.

 

प्रतलाच्या कोणत्याही दोन परस्पर लंब दिशांतील या प्रेरणांच्या घटकांच्या बैजिक बेरजा प्रत्येकी शून्य मूल्याच्या असाव्या लागतात आणि त्या प्रेरणांच्या पदार्थातील कोणत्याही बिंदूभोवती असलेल्या परिबलांची बैजिक बेरीज पण शून्यच असणे आवश्यक असते.

 

असमतल प्रेरणा : असमतल प्रेरणांचे वियोजन X व Y या दोन लंब दिशांतच न करता त्याकरिता X, Y, Z या अक्षांवर प्रत्येकी तीन घटक मिळवितात. वरीलप्रमाणेच कृती केली असता समतोलासाठी खालील अटी मिळविता येतात :

Fx = F1x + F2x + F3x +…… = 0

Fy = F1y + F2y + F3y +…… = 0…… (१३)

Fz = F1z + F2z + F3z +…… = 0

आणि ∑ P = 0

 

समध्रुवीय प्रेरणा पद्धती : ज्या दोन प्रेरणा पद्धतींमध्ये एकीची एकूण प्रेरणा ती दुसऱ्या प्रेरणा पद्धतीच्या एकूण प्रेरणेबरोबर असते आणि त्याचप्रमाणे कोणत्याही रेषेभोवती त्यांचे घेतलेले अदिश परिबल सारखे असते तेव्हा त्या दोन प्रेरणा पद्धतींना समध्रुवीय प्रेरणा पद्धती असे म्हटले जाते.

                                                                                 →

आभासी कार्य तत्त्व : एखाद्या पदार्थावर क्रिया करणाऱ्या   F या प्रेरणने त्या पदार्थाचे प्रेरणेच्या दिशेत d इतक्या अंतरातून विस्थापन झाले, तर त्या प्रेरणेने W = F.d इतके कार्य केले, अशी ‘कार्य’ या संज्ञेची यामिकीत व्याख्या करण्यात येते. F व d यांच्या दिशांत θ इतका कोन असेल, तर F चा d च्या दिशेतील घटक F.cos θ होतो व त्यामुळे W = Fcosθ .d असे कार्याचे सूत्र मिळते. एखादा पदार्थ स्थितिक समतोल अवस्थेत असून त्याचे या अवस्थेपासून अत्यल्प प्रमाणात विस्थापन करण्यात आले, तर त्यामुळे त्यावर लावलेल्या प्रेरणांद्वारे होणाऱ्या संकलित कार्याचे मूल्य शून्य असते. याचा उपयोग आभासी कार्य तत्त्वावर केला जातो. प्रत्यक्षात विस्थापन घडवून आणण्याची आवश्यकता नसते. ते झाले आहे, अशी कल्पना करून त्यापासून गणितीय विश्लेषणाद्वारे निष्कर्ष मिळविता येतात म्हणून या तत्त्वास आभासी कार्य तत्त्व असे म्हणतात. पदार्थावर जर काही निर्बंध असतील, तर या कार्यान्वित करणाऱ्या प्रेरणांसाठी काही कार्य करावे लागत नाही, असे गृहीत या पद्धतीमध्ये धरले जाते. विस्थापन अत्यल्प प्रमाणाचे असते त्यामुळे पदार्थाचा मूळ आकार, विन्यास इ. गोष्टींमध्ये बदल होत नाही, असे पण गृहीत धरावे लागते. त्यामुळे शेवटी समतोलासाठी ∑∆W = 0 ही अट पूर्ण व्हावी लागते (येथे W = कार्य व ते अत्यल्प आहे हे दर्शविण्यासाठी ∆ हे चिन्ह वापरले आहे), या सामान्य तत्त्वाचा उपयोग करून निरनिराळ्या पदार्थप्रणालीकरिता समतोल अटी तपशीलवार मिळविता येतात. तरफेसारख्या [→ तरफ] साध्या यंत्राकरिता या तत्त्वाचा उपयोग करून यांत्रिक लाभ इ. राशींची मूल्ये निश्चित करता येतात.

 

द्रव्यमानमध्य व गुरुत्वमध्य : गणितीय विश्लेषण सोपे करण्यासाठी निरनिराळ्या आकारांच्या पदार्थांऐवजी त्यांना समतुल्य असणाऱ्या कणाच्या  कल्पनेचा वापर केला जातो. या कार्याकरिता द्रव्यमानमध्य व गुरुत्वमध्य या संकल्पना उपयुक्त ठरतात.

 

कोणत्याही दृढ पदार्थांसाठी द्रव्यमानमध्य हा एक विशिष्ट स्थानबिंदू असतो. या ठिकाणी पदार्थाचे द्रव्यमान बिंदुमात्र स्वरूपात केंद्रित झाले आहे, असे मानता येते. या बिंदूवर जर बाह्य प्रेरणा लावली, तर त्यामुळे पदार्थाला फक्त स्थानांतरण गती मिळते पण त्याचे परिभ्रमण होत नाही.

 

गतिमान व संमिश्र पदार्थप्रणालीकरिताही द्रव्यमानमध्य ही संकल्पना उपयुक्त ठरते. उदा., पृथ्वी आणि चंद्र या दोघांची प्रणाली सूर्याभोवती प्रदक्षिणा घालीत असते. या गतीचे वर्णन करण्यासाठी पृथ्वी व चंद यांच्या संयुक्त द्रव्यमानाएवढे द्रव्यमान पृथ्वीच्या मध्यापासून सु. ४,८०० किमी. अंतरावर असलेल्या बिंदूवर केंद्रित झालेले आहे, असे गणितीय रीत्या मानता येते.

 

पदार्थाच्या गुरुत्वमध्याची व्याख्या याप्रमाणेच केली जाते. कोणत्याही मोठ्या आकारमानाच्या पदार्थाचे वर्णन ज्यामध्ये निरनिराळ्या ठिकाणी अनेक कणांचे समूह आहेत, असे करता येते. प्रत्येक कणावर पृथ्वीमुळे निर्माण होणारी गुरुत्वाकर्षणी प्रेरणा कार्य करीत असते. या सर्व प्रेरणांद्वारे निर्माण होणारी निष्पन्न प्रेरणा ज्या एकमात्र बिंदूवर कार्य करते असे मानता येते, त्यास पदार्थाचा गुरुत्वमध्य असे म्हणतात. अवकाशात पदार्थ कसाही धरला म्हणजे त्याचा दिक्‌विन्यास कसाही केला, तरी त्याच्या गुरुत्वमध्याचे स्थान बदलत नाही. गुरुत्वमध्यावर टेकू देऊन पदार्थ उभा केला, तर तो नैसर्गिकपणे समतोलात राहतो.

 

या बिंदूवर अगर त्याच्यातून जाणाऱ्या उदग्र दिशेतील रेषेवरील कोणत्याही बिंदूवर वस्तू टांगली असता त्यामध्ये परिभ्रमण गती पण मिळत नाही. कारण या बिंदूभोवतालचे प्रेरणांचे निष्पन्न परिबल शून्य असते.

 

कोणत्याही m द्रव्यमानाच्या पदार्थावर पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे mg या मूल्याची प्रेरणा कार्य करीत असते (येथे g = गुरुत्वीय प्रवेग), तसे पाहिले असता g या स्थिरांकाचे मूल्य सर्वत्र सारखे नसते. त्यामुळे यात होणाऱ्या बदलाचा विचार केल्यास गुरुत्वमध्य व द्रव्यमानमध्य हे सामान्यपणे दोन निरनिराळे बिंदू असावेत, असा निष्कर्ष मिळतो. गतिकीमध्ये विचारात घेतलेल्या पदार्थाचे आकारमान मोठे नसते. त्यामुळे पदार्थाच्या विविध भागांकरिता g या स्थिरांकाला एकच मूल्य आहे, असे मानण्यात मोठी चूक होत नाही. अशा परिस्थितीत गुरुत्वमध्य व द्रव्यमानमध्य हे दोन्ही बिंदू एकच असतात, असे मानणे पुरेसे बरोबर ठरते.

 

काही पदार्थांकरिता गुरुत्वमध्य बिंदू पदार्थाच्या बाहेर पण असू शकतो. उदा., वलय. वलयाचा गुरुत्वमध्य त्याच्या मध्यस्थानी असतो.

 

पदार्थाच्या आकारात जर सममिती (निरनिराळ्या भागांचे आकार व रचना यांतील सारखेपणा) असेल, तर त्याच्या गुरुत्वमध्याचे स्थान गणितीय कृत्य केल्याशिवाय निर्देशित करता येते. उदा., (१) पातळ आकाराच्या दंडाचा गुरुत्वमध्य तिच्या मध्यस्थानी असतो. (२) वर्तुळाकार तबकडीचा गुरुत्वमध्य तिच्या मध्यस्थानी असतो. (३)चौकोनी पत्र्याचा गुरुत्वमध्य त्याच्या कर्णांच्या छेदबिंदूपाशी असतो. इतर आकारांच्या बाबतीत गुरुत्वमध्याचे स्थान वर दिलेल्या निष्कर्षाचा उपयोग करून काढता येते. हे कार्य गणितीय गणनाने किंवा प्रयोगाने पण करता येते. [⟶ गुरुत्वमध्य].

 

गुरुत्वमध्याचे स्थान गणिताने निश्चित करण्यासाठी पदार्थ अखंड आहे आणि त्यामध्ये घनता सर्वत्र सारखी आहे, अशी दोन गृहिते स्वीकारावी लागतात. पदार्थामध्ये जर dv = घनफळ मूलघटक, m = पदार्थाचे संपूर्ण द्रव्यमान व p = घनता असेल, तर m = ∫ p dv आणि गुरुत्वमध्याचे स्थान सहनिर्देशक पुढील सूत्रांनी दिले जातात.

तीन प्रकारचे स्थितिक समतोल : पदार्थ समतोल अवस्थेत असला व त्याला कोणत्याही प्रकारची गती नसली, तरी स्थैर्याच्या दृष्टीने पाहता या अवस्थेचे स्थिर, अस्थिर व तटस्थ समतोल असे तीन वर्ग केले जातात. अशा समतोल अवस्थेत असणाऱ्या पदार्थावर बाह्य विक्षोभी प्रेरणा लावून त्याचे अल्प प्रमाणात विस्थापन करता येते. असे केले, तर या तीन समतोल अवस्थांमधील पदार्थाची प्रतिक्रिया भिन्न तऱ्हेची होताना आढळते. प्रतिक्रियेच्या स्वरूपावरून समतोल अवस्थेची ओळखपूर्ती करून घेता येते.

 

पुढील विवेचन गुरुत्वाकर्षण प्रेरणेखाली समतोल साधणाऱ्या पदार्थांच्या संदर्भात केले आहे. या उदाहरणातील परिस्थितीचा अनुभव सुपरिचित असून त्याचे गणितीय विश्लेषण करणे पण अधिक सोपे असते. m द्रव्यमाप असणाऱ्या पदार्थावर असणारी गुरुत्वाकर्षण प्रेरणा F = mg या सूत्राने मिळते. g चे मूल्य सामान्यपणे पदार्थाच्या गुरुत्वमध्याच्या x, y, z या सहनिर्देशकांबरोबर चलन (फेरबदल) दाखविते.

 

गुरुत्वाकर्षण व त्यासारख्या इतर काही विशिष्ट प्रकारच्या प्रेरणांसाठी एक स्थितिज ऊर्जा फलन (स्थितीमुळे प्राप्त होणाऱ्या ऊर्जेचे गणितीय रूप निर्देशित करणारा) नियम U (x, y, z) असे निर्देशित करता येते. गुरुत्वाकर्षण प्रेरणेचे घटक व स्थितिज ऊर्जा फलन यांमधील संबंध पुढील सूत्रांनुसार मिळतो :

पदार्थ जर स्थिर समतोल अवस्थेत असेल, तर त्यामध्ये अल्प प्रमाणात विस्थापन घडवून आणण्यासाठी त्यावर बाह्य प्रेरणा लावावी लागते. यासाठी बाह्य कारकाला स्वतःची कार्यशक्ती खर्च करावी लागते. अशा प्रकारे विस्थापन झाले, तर त्यामुळे पदार्थावरील समतोलाचा भंग होतो व त्यामुळे त्यामध्ये अतिरिक्त प्रेरणा कार्यान्वित होतात.

या प्रेरणांमुळे पदार्थामध्ये आपल्या मूळ अवस्थेकडे परत जाण्याची प्रवृत्ती निर्माण होते. आ. १२ (अ) मध्ये स्थिर समतोल अवस्थेत असलेला ठोकळा दाखविला आहे.

 

ठोकळ्यावर F प्रेरणा लावून तो काहीसा विस्थापित केला व त्यानंतर त्यावरील प्रेरणा काढून घेतली, तर ठोकळा परत आपल्या पूर्व स्थितिकडे जाताना आढळतो. आकृतीमध्ये ठोकळ्याची मूळ स्थिती अखंड रेषांनी दाखविली आहे. त्याची विस्थापित स्थिती तुटक रेषांनी दाखविली आहे. आकृतीच्या मध्यभागी तुटक रेषा टिंबांनी पदार्थाच्या स्थितिज ऊर्जेत (म्हणजे गुरुत्वमध्याच्या स्थानात) विस्थापनानुसार होणारा बदल दाखविला आहे. या आलेखावरून स्थिर समतोल अवस्थेत पदार्थाची स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम असते, हे स्पष्ट होते. पदार्थाच्या अवस्थेत त्यामुळे कोणत्याही प्रकारचा बदल केला असता या ऊर्जेत वाढच होत असते. हा बदल करण्यासाठी बाहेरची ऊर्जा का खर्च करावी लागते, याचा खुलासा या स्पष्टीकरणावरून होतो.

 

कोणतीही प्रणाली ज्या अवस्थेत तिची स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम असते अशा अवस्थेत जाण्याकडे नेहमी प्रयत्नशील असते. त्यामुळे या समतोल अवस्थेला विशेष स्थैर्य का असते याचा खुलासा मिळतो.

 

आ. १२ (आ) मध्ये निर्देशित केलेल्या ठोकळ्याच्या अवस्थेत त्याची स्थितिज ऊर्जा महत्तम असते. त्यामुळे पदार्थामध्ये विस्थापन घडवून आणण्यासाठी कार्यशक्ती वापरावी लागत नाही. या विस्थापनामुळे ज्या प्रेरणा कार्यान्वित होत असतात, त्यांमुळे या विस्थापनाची व्याप्ती वाढविण्याकडे प्रवृत्ती राहते. हे निष्कर्ष आकृतीवरून व तिच्या मध्यभागी दिलेल्या स्थितिज ऊर्जा चलनाच्या आलेखावरून अधिक स्पष्ट होतात.

 

आ. १२ (इ) मधील दाखविलेला गोल (वा दंडगोल) तटस्थ समतोल अवस्थेत आहे. बाह्य प्रेरणा लावून त्यामध्ये विस्थापन घडवून आणण्याकरिता कार्यशक्ती लागत नाही. विस्थापनामुळे त्याच्या समतोलाचा भंग पण होत नाही. यामुळे त्यामध्ये पुन:स्थापन प्रवृत्तीच्या कोणत्याही प्रेरणा निर्माण होत नाहीत. विस्थापनामुळे गोलाच्या स्थितिज ऊर्जेत बदल होत नाही. या सर्व गोष्टी आकृतीचा नीट अभ्यास केल्यास स्पष्टपणे कळतात.

 

वर दिलेल्या U या स्थितिज ऊर्जा फलनाचे मूल्य किमान असेल, तर पदार्थ स्थिर समतोल अवस्थेत असतो जर U चे मूल्य महत्तम असेल, तर पदार्थ अस्थिर समतोल अवस्थेत असतो आणि जर U चे मूल्य अचल असेल, तर पदार्थ तटस्थ समतोल अवस्थेत असतो, असे दाखविता येते. एका सहनिर्देशकाच्या सापेक्ष स्थिर समतोल अवस्थेत असलेला पदार्थ बाकीच्या सहनिर्देशकांच्या सापेक्ष स्थिर समतोल अवस्थेत असेलच असे नाही, उदा., गुरुत्वाकर्षण प्रेरणेमुळे खाली पडणारा पदार्थ. याखेरीज पदार्थ एका सहनिर्देशकाच्या सापेक्ष स्थिर समतोलात, तर अन्य सहनिर्देशकांच्या सापेक्ष अस्थिर समतोलात असणेही शक्य असते.

 

अक्षय्यता तत्त्वे : वरील गणितीय विश्लेषणात काही अक्षय्यता तत्त्वांचा प्रत्यक्ष किंवा अप्रत्यक्षपणे उपयोग करण्यात आलेला आहे. भौतिकीमध्ये द्रव्यमान, ऊर्जा आणि रेषीय व कोनीय संवेग या राशी अक्षय्यता तत्त्वाचे पालन करतात, असे गृहीत धरले जाते. या तत्त्वांसंबंधीचे अधिक विवेचन ‘द्रव्य आणि ऊर्जा यांची अक्षय्यता व ‘संवेगाची अक्षय्यता’ या नोंदींत दिलेले आहे. सममिती निकषाचा उपयोग करून यांपैकी काही अक्षय्यता तत्त्वे कशी मिळविता येतात याबद्दल गणितीय विश्लेषण पण उपलब्ध आहे [⟶ पुंज क्षेत्र सिद्धांत]. या तत्त्वांचा प्रत्यक्ष उपयोगाची उदाहरणे पुढील भागात दिलेली आहेत.

 

शुद्ध गतिकी किंवा केवल गतिकी

 

पदार्थावर कार्य करणाऱ्या प्रेरणा लक्षात न घेता त्याच्या फक्त गतीचाच स्वतंत्रपणे अभ्यास शुद्ध गतिकीमध्ये केला जातो. स्थितिकीमध्ये ज्याप्रमाणे कण व दृढ पदार्थ अशा दोन प्रकारच्या वस्तूंच्या संदर्भात विचार केला, त्याप्रमाणे या विभागात याच प्रकारच्या दोन वस्तूंच्या गतिवैशिष्ट्यांचा विचार केला जातो. या विवेचनात स्थान सदिश, विस्थापन, चाल, वेग, प्रवेग (रेषीय, कोनीय) इ. राशी महत्त्वाच्या असतात व त्यांसंबंधीची माहिती प्रथम दिली आहे.

 

स्थान सदिश व गती : गती म्हणजे स्थानातील बदल होय. एखाद्या A या कणाच्या B या दुसऱ्या कणाच्या सापेक्ष होणाऱ्या गतीचे वर्णन करण्यासाठी B या कणावर एखादा संदर्भ-व्यूह व A कणाचे स्थान सांगण्यासाठी एखादे साधन प्रस्थापित करणे आवश्यक आहे. याकरिता जात्य संदर्भ-व्यूह सोयीचा होतो. त्रिमितीय (अवकाशीय) गतीसाठी तीन अक्ष, द्विमितीय (प्रतलीय) गतीसाठी दोन अक्ष व एकमितीय (रेषीय) गतीसाठी एक अक्ष आवश्यक असतात.

विस्थापन : कोणताही कण एका स्थानापासून दुसऱ्या स्थानापर्यंत गेल्यास त्याचे विस्थापन झाले असे म्हणतात. विस्थापन पूर्णपणे व्यक्त करण्यासाठी त्याच्या परिणामाबरोबरच त्याच्या दिशेचाही उल्लेख करणे आवश्यक असल्याने विस्थापन ही सदिश राशी आहे.

 

चाल : एका स्थानापासून दुसऱ्या स्थानापर्यंत जाण्यासाठी गतिमान कणाला काही विशिष्ट कालावधी लागतो. चालून गेलेले अंतर व त्यासाठी लागणारा एकूण कालावधी यांच्या गुणोत्तरास त्या कणाची सरासरी चाल म्हणतात. चाल=अंतर/काल म्हणजेच एकक कालावधीत कणाने आक्रमिलेल्या अंतरास त्या कणाची चाल म्हणतात. रेषीय चालीचे मूल्य आंतरराष्ट्रीय एकक (एस. आय.) पद्धतीत मीटर/सेकंद या एककात मोजतात. चाल मोजताना विस्थापनाची दिशा विचारात घेतली जात नसल्याने चाल ही अदिश राशी आहे. कण गतिमान असताना ∆t या सूक्ष्म कालावधीत जर ∆s इतके अंतर चालून जात असेल आणि ∆t हा कालावधी कितीही सूक्ष्म असला, तरी ∆s/∆tहे गुणोत्तर तेच राहत असेल, तर त्या कणाची चाल ही एकविध (एकसमान) चाल आहे असे म्हणतात.

 

म्हणजेच एकविध चालीत प्रत्येक सूक्ष्म व समान कालावधीत कण तेवढेच अंतर सातत्याने कापीत असतो. व्यवहारात एकविध चाल सहसा आढळत नाही. अशा वेळी कणाला चल (बदलती) चाल आहे असे म्हणतात. अशा चालीत कण समान कालावधीत असमान अंतर कापतो. अशा वेळी सरासरी चाल विचारात घेतली जाते.

 

वेग : गतीचे पूर्ण आकलन होण्यासाठी कणाच्या स्थानातील बदल व या बदलाची दिशा या दोहोंचे ज्ञान असणे आवश्यक असते. याकरिता वेग ही राशी विचारात घ्यावी लागते. कणाच्या स्थानामध्ये विशिष्ट दिशेने होणाऱ्या बदलाच्या कालसापेक्ष दरास त्या कणाचा वेग म्हणतात. तथापि ठराविक दिशेने होणाऱ्या कणाच्या स्थानातील बदल म्हणजेच विस्थापन असल्याने वेगाची व्याख्या पुढीलप्रमाणे करता येते : कणाच्या विस्थापनाचा कालसापेक्ष दर म्हणजे त्याचा वेग होय. कणाचे

प्रत्येक सूक्ष्म व समान कालावधीत कणाचे समान विस्थापन होत असेल, तर त्या कणाला एकविध वेग आहे असे म्हणतात. दैनंदिन व्यवहारात एकविध वेगाची उदाहरणे फारशी आढळत नाहीत. त्यामध्ये कालानुसार वेगात (परिमाणात अथवा दिशेत किंवा दोहोंत) बदल होत जातो अशी उदाहरणे प्रत्यक्षात जास्त प्रमाणात दिसून येतात. प्रत्येक समान कालावधीत कणाचे असमान विस्थापन होत असेल, तर त्याच्या वेगास चल वेग म्हणतात. अशा वेळी सरासरी वेग विचारात घेतात परंतु ज्या वेळी निव्वळ सरासरी वेगावरून कणाच्या गतीविषयी पूर्ण कल्पना येत नाही, त्या वेळी तत्क्षणिक वेगाचा उपयोग करतात. तत्क्षणिक वेग कणाच्या गतिमार्गावरील एका ठराविक स्थानबिंदूवर व एका ठराविक क्षणी असणाऱ्या त्या कणाच्या वेगाचे मूल्य दर्शवितो. t या क्षणी असलेला तत्क्षणिक वेग

 

याप्रमाणे तत्क्षणिक वेगाचे मूल्य दाखवितो. अशाच प्रकारे वक्राच्या कोणत्याही बिंदूपाशी स्पर्शिका काढून तिच्या उताराद्वारे त्या क्षणीचा वेग मिळविता येतो.

 

प्रवेग : जर कणाची गती चल वेगाने होत असेल, तर त्याच्या गतीत प्रवेग आहे असे म्हणतात. यावरून ‘वेगाच्या परिवर्तनाचा कालसापेक्ष दर अथवा एकक कालात होणारा वेगातील बदल म्हणजे प्रवेग’ अशी प्रवेगाची व्याख्या देता येते. प्रवेग हा वेगातील बदलाशी संबंधित असल्याने व वेग ही सदिश राशी असल्याने प्रवेग हीसुद्धा सदिश राशी आहे. यामुळे वेगाच्या परिमाणात अथवा दिशेत किंवा दोहोंमध्ये बदल झाल्यास प्रवेग निर्माण होतो.

 

वेगाप्रमाणेच सरासरी प्रवेग, तत्क्षणिक प्रवेग व एकविध प्रवेग यांच्या व्याख्या देता येतात. समजा, एक कण सरळ रेषेवरून प्रथम