फूर्ये श्रेढी: गणितामध्ये श्रेढींचा [⟶ श्रेढी] हा एक महत्त्वाच्या वर्ग असून झां बातीस्त झोझेफ फूर्ये यांनी भौतिकीतील उष्णता संवहनाच्या संदर्भात अनुभवजन्य प्रदत्ताचे (माहितीचे) विश्लेषण करण्यासाठी या श्रेढींची संकल्पना मांडली व त्यासंबंधीचा सिद्धांतही विकसित केला. फूर्ये श्रेढींची बैठक तसे पाहता साधी आहे. सामान्यतः सरल असणारे कोणतेही आवर्त फलन [⟶ फलन] घेतले, तर त्या फलनाचा विस्तार शुद्ध हरात्मकांच्या [⟶ हरात्मक विश्लेषण] बेरजेने दाखविता येतो, असे फूर्ये यांनी दाखवून दिले. फूर्ये श्रेढी आंदोलनात्मक नैसर्गिक घटनांच्या संदर्भात फार उपयोगी पडतात. भौतिकीमध्ये अशा घटनांची उदाहरणे म्हणजे तरंग (उदा., प्रकाशतरंग, ध्वनितरंग वगैरे), यांत्रिक कंपने (उदा., ताणलेल्या दोरीची कंपने) इत्यादी. फूर्ये श्रेढींचा गणितामधील इतर शाखांमध्ये महत्त्वाचा उपयोग होतो. संभाव्यताशास्त्र, आंशिक अवकल समीकरणे [⟶ अवकल समीकरणे], समाकल समीकरणे [⟶ समाकल समीकरणे व रूपांतरे] व वैश्लेषिक फलने [⟶ फलन] यांच्या विवेचनात फूर्ये श्रेढी वापरल्या जातात.
फ (क्ष) या आवर्त फलनाची फूर्ये श्रेढी खालीलप्रमाणे मांडण्यात येते.
फ (क्ष) = अ० + (अ१ कोज्या क्ष + ब१ ज्या क्ष)
+ (अ२ कोज्या २क्ष + ब२ ज्या २क्ष)+ ……..
|
= अ० + |
∞ |
(अन कोज्या नक्ष + बन ज्या न क्ष) |
|
Σ |
||
|
न = १ |
… (१)
येथे अ०, अन, बन (न = १, ……., ∞) हे स्थिरांक आहेत. फलन फ (क्ष) ची फूर्ये श्रेढी वर दिलेल्या श्रेढीहून खालीलप्रमाणे काहीशी वेगळ्या तऱ्हेने मांडण्याचा प्रघातही प्रचलित आहे.
|
फ (क्ष) = १/२ अ० + |
∞ |
(अन कोज्या नक्ष + बन ज्या न क्ष) |
|
Σ |
||
|
न = १ |
… … (१’)
या दोन प्रकारांमध्ये भिन्नता केवळ पहिल्या स्थिरांकांसंबंधी आहे. ती का आहे याचे विवेचन पुढे येईलच.
आवर्त फलनाचा सर्वात साधा प्रकार म्हणजे शुद्ध हरात्मक,
फ (ट) = अन कोज्या न व ट + बन ज्या न व ट.
|
येथे न हा कोणताही पूर्णांक आहे आणि व = |
२ π |
मूलभूत आवर्तता |
|
क |
(वा कंप्रता म्हणजे एक एकक कालात होणारी आवर्तनांची संख्या) असून क हा आवर्तनांक ( म्हणजे एका आवर्तनास लागणारा अवधी) आहे. अनेक नैसर्गिक घटनांमध्ये काही प्रमाणात आवर्तिता आढळते. कित्येक वेळा एखाद्या सकृत्‌ दर्शनी नियमरहित भासणाऱ्या घटनेचा अर्थ तीतील अनुस्यूत पण न दिसणाऱ्या आवर्तांचा अन्वय लावल्याने स्पष्ट होतो. [⟶ हरात्मक विश्लेषण].
इतिहास : फूर्ये यांच्या काळी फलन हे सामान्यतः एकाच पदावलीद्वारे अथवा सूत्ररूपाने घात अथवा त्रिकोणमितीय श्रेढीने व्यक्त होते, अशी कल्पना होती. अनेक रेषांच्या समूहाच्या आलेखाचे अनुषंगी फलन हे फलनच नव्हे असे मानीत. त्यामुळे अशा तऱ्हेच्या आलेखांचे अनुषंगी फलन त्रिकोणमितीय श्रेढींच्या द्वारे साध्य होते, ही फूर्ये यांची कल्पना क्रांतिकारी ठरली पण फलन अशा प्रकारे मांडण्याची कल्पना फूर्ये यांनी प्रथमच शोधून काढली असे मात्र नाही. पूर्वीच्या गणितज्ञांच्या निदर्शनास ती कल्पना आली होती. फ (क्ष) फलनाचा विस्तार क्ष च्या गुणितांच्या ज्या व कोज्या यांच्या श्रेढीमुळे होण्याची शक्यता अठराव्या शतकामध्ये माहीत झालेली होती. उदा., दान्येल बेर्नुली या गणितज्ञांनी दोरीच्या आंदोलनासंबंधीचे समीकरण
|
∂2य |
= क२ |
∂2य |
पुढील त्रिकोणमितीय श्रेढीत मांडून दाखविले. |
|
∂ट२ |
∂क्ष२ |
य = ब१ ज्या क्ष·कोज्या क ट + ब२ ज्या २क्ष·कोज्या २ कट + …
अशा प्रकारचा विस्तार मांडणे योग्य आहे की नाही याची चर्चा लेनर्ड ऑयलर, जे. एल्. लाग्रांझ, जे. एल्. आर्. द ॲलांबेर, ए. सी. क्लेरो वगैरे समकालीन यूरोपीय गणितज्ञांमध्ये झाली होती. त्रिकोणमितीय श्रेढींची उपपत्ती स्थिर पायावर उभारण्यात फूर्ये यांचा मोठा वाटा आहे. त्यांनी वापरलेल्या पद्धती व हाताळलेले प्रश्न त्यांच्या उष्णता संवहनावरील Theorie analytique de la Cheleur(१८२२) या प्रसिद्ध ग्रंथात पाहावयास मिळतात. या संदर्भात मिळतात. या संदर्भात पी. जी. एल्. डीरिक्ले यांचे कामही महत्त्वाचे आहे. १८३७ मध्ये फूर्ये श्रेढी व तिचे अनुषंगी फलन यांच्या अन्योन्य संबंधांविषयी आज प्रचलित असलेली सिद्धता त्यांनी प्रथम शोधून काढली. फूर्ये यांचे स्वतःचे यासंबंधीचे विश्लेषण काहीसे वरवरचे व औपचारिक आहे.
फूर्ये यांच्या संशोधनाचे महत्त्व फलनाचा त्रिकोणमितीय श्रेढीमध्ये विस्तार करण्यापुरतेच मर्यादित नाही. फूर्ये श्रेढीचे व्यापक रूप म्हणजे जात्य श्रेढी. या श्रेढींमुळे गणितशास्त्राच्या चर्चेमध्ये अनेक नव्या कल्पनांची भर पडली व गणितशास्त्रातील निरनिराळ्या सिद्धांतांमध्ये –उदा., अवकल व समाकल समीकरणे, वैश्लेषिक फलने वगैरेंमध्ये-एकसूत्रता आणणे शक्य झाले. फूर्ये यांच्या संशोधनाचा विस्तार म्हणून डीरिक्ले हे फलनाची समाधानकारक व्याख्या देऊ शकले.
फूर्ये श्रेढीतील सहगुणकांची मूल्ये समाकलांनी व्यक्त केली जातात. या तत्त्वांचा विस्तार करून जी. एफ्‌. बी. रीमान यांनी समाकलाची, त्यांच्या नावाने प्रसिद्ध असलेली व्याख्या १८५४ मध्ये दिली [⟶ अवकलन व समाकलन]. या कल्पनांच्या आधाराने गेओर्क कँटर यांनी त्रिकोणमितीय श्रेढीने दर्शविलेले फलन अनन्य (एकमेव) कसे असते हे दाखविले. त्यानंतरचा महत्त्वाचा टप्पा म्हणजे एमील वॉरेल व एच्. एल्. लबेग यांचे समाकलाविषयीचे सिद्धांत [⟶ माप व समाकलन]. ए. दाँजॉय यांनी लबेग-समाकल सिद्धांतापेक्षा अधिक समावेशक सिद्धांताचा उपयोग करून सर्वत्र अभिसारी असलेली कोणतीही त्रिकोणमितीय श्रेढी त्या श्रेढीच्या बेरजेची फूर्ये श्रेढी असते, हे सिद्ध केले. या काही गणितज्ञांच्या नावांच्या आधारे दर्शविलेल्या गणितशास्त्राच्या प्रगतीत फूर्ये श्रेढीचा शोध कसा विशेष महत्त्वाचा होता, हे स्पष्ट होईल.
श्रेढी : त्रिकोणमितीय श्रेढी (१) फूर्ये श्रेढी असल्यास तीमधील सहगुणक पुढील समीकरणांनी व्यक्त करता येतात.
.png)
मांडता येईल. यामुळे अ० चे मूल्य स्वतंत्र समाकलाने देण्याचे कारण उरत नाही. अन मध्ये न = ० घेतले म्हणजे काम भागते. यामुळे तिन्ही समाकलांमध्ये एकरूपता येते, हा फायदा आहेच. या सर्व समाकलांकरिता अंतराल ( – π, + π) वापरले आहे. याऐवजी बऱ्याच वेळ (०, २ π) या अंतरालाचाही उपयोग केला जातो. त्यामुळे वरील समीकरणांत बदल होत नाही परंतु (-π, +π) यास पूर्ण फूर्ये अंतराल असे म्हणतात. या पद्धतीने फूर्ये श्रेढीतील सहगुणकांची मूल्ये निश्चित करण्यापूर्वी फलन फ (क्ष) ने काही अटी पूर्ण करणे आवश्यक असते. श्रेढी (३) ला फ (क्ष) ची आनुषंगिक श्रेढी म्हणतात. मग ती श्रेढी अभिसारी वा अपसारी असो किंवा श्रेढी अभिसारी असल्यास तिच्या बेरजेबरोबर फचे मूल्य असो वा नसो. श्रेढी (३) अभिसारी असली, तरी तिची बेरीज फ(क्ष) च्या मूल्याबरोबर येईल, असे समजण्याचे कारण नाही. तरीही अनेक वेळा फलनाचे मूल्य व आनुषंगिक श्रेढीची बेरीज या एकमेकांबरोबर असतात. किंबहुना (-π, +π) या अंतरालाच्या अंतर्गत लहान अंतरालात निरनिराळ्या तऱ्हांनी फलन फ दिलेले असले, तरीही फलनाची त्याच्या मूल्याइतकी फूर्ये श्रेढी मांडता येते, हे फूर्ये यांनी दाखविले. त्यामुळे अवकल समीकरणांच्या निर्वाहामध्ये (उत्तरामध्ये) फूर्ये श्रेढींचा वापर करणे विशेष सोयीचे होते. श्रेढी (३) ही फलन फची आनुषंगिक श्रेढी आहे व दोन्ही बाजूंची मूल्ये एकामेकांबरोबर नाहीत, हे दर्शविण्याकरिता बरोबरीच्या (=) चिन्हाऐवजी ~, ≏ , ≐वगैरे चिन्हे वापरण्यात प्रघात आहे. ही चिन्हे ‘स्थूलमानाने बरोबरी’ दाखवितात व त्यामुळे फलनाची फूर्ये श्रेढी ही त्याची आनुषंगिक श्रेढी आहे हे समजते. सामान्य व्यवहारातील घटनांच्या विश्लेषणामधील फूर्ये श्रेढीसुद्धा अपसारी असू शकतात. विशेषतः⇨ ब्राउनीय गती, रेडिओतील आवाज शुद्ध करण्याकरिता वापरण्यात येणारे विद्युत्‌ छानक [⟶ छानक, विद्युत्‌], रडारकडे जमिनीवर परत येणारे तरंग वगैरेंच्या उपपत्तीत फूर्ये श्रेढी अपसारी असते. अशी श्रेढी अपसारी असली, तरी मूळ फलनांची मुख्य लक्षणे तिच्यामुळे स्पष्ट होतात.
सहगुणक : फूर्ये श्रेढीमधील सहगुणक अन, बन घात श्रेढींच्या सहगुणकांप्रमाणे असतात. फरक एवढाच की, एखाद्या फलनाचा विस्तार घात श्रेढीत [ब्रुक टेलर यांनी मांडलेल्या श्रेढीत⟶ अवकलन व समाकलन] करणे शक्य असेलच असे नाही. कारण टेलर श्रेढी तयार करण्याकरिता आवश्यक असे सर्व क्रमांचे अवकलन ते फलन देईलच असे नाही.
फूर्ये सहगुणकांची मूल्ये वर समी. (२) मध्ये दिलेली आहेत. फलन फ जरूर त्या अटी पाळील असे समजून ही मूल्ये दिलेल्या स्वरूपात काढणे अतिशय सोपे आहे. समजा की, समी. (१) मधील श्रेढी एकविधाभिसारी आहे म्हणजे पदानुक्रमे समाकलनीय आहे. शिवाय डावीकडील फ ची मूल्ये (-π, +π) या अंतरालात माहीत आहेत आणि ती अशी आहेत की, या अंतरालात फ समाकलनीय आहे. आता ज्या व कोज्या समाकलांत असलेली खालील समीकरणे वापरू,
.png)
जेव्हा न = म असेल व ज्या चा ज्या शी व कोज्याचा कोज्याशी गुणाकार असेल तेव्हा (४) मधील समाकलाचे मूल्य π होते. समी. (१) मधील दोन्ही बाजूंच्या अनुक्रमे १, कोज्या न क्ष, ज्या न क्ष ने गुणून त्यांचे (-π, +π) या अंतरालावर समाकल घेतले की, समी. (४) मुळे अ०, अन, बन यांची मूल्ये काढता येतात. अशा प्रकारे श्रेढी (१) व (३) यांची बरोबरी दाखविण्यात येते व फलन फ माहीत असल्यानंतर त्याची आनुषंगिक श्रेढी कशी मिळवावी, याचीही सिद्धता होते. सामान्यतः अन व बन यांच्या मूल्यांसंबंधी पुढील ठोकळ अंदाज करता येईल : अन , बन ~ १/न पण फचा अवकलज फ’ (क्ष) बंधित असेल आणि फ व फ’ पुढे ‘अभिसरण-अपसरण’ या उपशीर्षकाखाली दिलेल्या डीरिक्ले यांनी प्रतिपादित केलेल्या अटी पाळीत असतील, तर अन, बन ~ १ / न२
विशेष रूपे : वरील विवेचनामध्ये फूर्ये ‘श्रेढी’ ज्या अंतरालात सिद्ध केल्या ते अंतराल (-π, +π) अथवा (०, २ π) असे घेतले होते. या अंतरालात सहगुणकांची मूल्ये सोपी होतात म्हणून त्याची निवड केली होती. या अंतरालाऐवजी दुसऱ्या कोणत्याही अंतरालामध्ये [उदा., (-अ, +अ) किंवा (अ, ब)] फलनाची फूर्ये श्रेढी मांडता येईल.
फूर्ये श्रेढी (३) मध्ये म्हणजेच
|
या श्रेढीमध्ये |
क्ष = |
π |
क्ष’ |
आणि |
ट = |
π |
ट’ |
असा आदेश |
|
अ |
अ |
करून [यात क्ष आणि ट चे (-π, +π) हे अंतराल क्ष’, ट’ करिता (-अ, +अ) होईल] पुढील श्रेढी मिळेल.
|
फ |
( |
π |
क्ष’ |
) |
ऐवजी ग (क्ष’) असे नवे नामाभिधान आपण |
|
अ |
सोयीकरिता करू शकतो. क्ष’ व ट’ यांतील वरील रेषांची (‘) जरूरी नाही. त्यामुळे समी. (५) हे (-अ, +अ) या अंतरालात पुढीलप्रमाणे मांडता येईल.
त्याचप्रमाणे (अ, ब) या अंतरालाकरिता पुढील फूर्ये श्रेढी मांडता येईल :
ज्या श्रेढी किंवा कोज्या श्रेढी : जर फ (क्ष) या एखाद्या फलनाच्या बाबतीत प्रत्येक क्ष करिता फ (क्ष) = फ (-क्ष) असेल, तर त्याला सम फलन म्हणतात आणि जर फ (-क्ष) =-फ (क्ष) असेल, तर विषम फलन म्हणतात. फूर्ये श्रेढीतील सहगुणकांची मूल्ये पुढील समीकरणांनी मांडणे शक्य आहे, हे सहज सिद्ध करता येते.
यावरून सम फलनाकरिता बन = ० व विषम फलनाकरिता अन = ० हे सहज दिसून येईल. म्हणून सम फलनांचा विस्तार केवळ कोज्या श्रेढीमध्ये व विषम फलनांचा विस्तार केवळ ज्या श्रेढीमध्ये करता येईल. सामान्यतः एखाद्या अंतरालात कोणत्याही फलनाचा ज्या किंवा कोज्या यांच्या साहाय्याने विस्तार करता येईल. अर्थातच फलनाने आवश्यक त्या अटी पूर्ण करावयास हव्यात. समजा फ (क्ष) ची मूल्ये (०, π) या अंतरालामध्ये दिलेली आहेत. आता (-π, ०) या नव्या अंतरालामध्ये फ (क्ष) ची मूल्ये सोईस्कर घेऊन आपणास सम किंवा विषम फलन मिळविता येईल. जर ती मूल्ये अशी घेतली की फ (- क्ष) = फ (क्ष), तर (-π, +π) या अंतरालात फलन सम होईल [म्हणजेच फ (क्ष) हे फलन क्ष = ० या बिंदूभोवती सममित होईल] व ती अशी घेतली की फ (- क्ष) = – फ (क्ष), तर (-π, +π) या अंतरालात फलन विषम होईल [म्हणजेच फ (क्ष) हे फलन क्ष = ० या बिंदूभोवती असममित होईल]. जर सम फलन तयार केले, तर बन = ० व फूर्ये श्रेढीमध्ये फक्त कोज्या पदे असतील व ती पुढीलप्रमाणे होईल.
.png)
तसेच विषम फलन तयार केले, तर अ० व अन हे सहगुणक शून्य होऊन फूर्ये श्रेढीमध्ये फक्त ज्या पदे असतील व ती पुढीलप्रमाणे होईल.
अभिसरण-अपसरण : आतापर्यंत फूर्ये श्रेढीचे केवळ औपचारिक वर्णन केलेले आहे. वरील विवेचनात फलनाचा फूर्ये श्रेढीमध्ये विस्तार, फूर्ये सहगुणकांची मूल्ये, फूर्ये श्रेढींची विशिष्ट रूपे वगैरे गोष्टींची चर्चा केवळ उपपत्ती दाखविण्यापुरती केलेली आहे. कोणत्या फलनांकरिता आनुषंगिक फूर्ये श्रेढी काढता येतात, या फलनांनी कोणत्या अटी पूर्ण कराव्या लागतात, या अटी पुरेशा व आवश्यक आहेत का, मिळालेली फूर्ये श्रेढी कोणत्या परिस्थितीत अभिसारी असते, अभिसारी असल्यास तिची बेरीज फलनाच्या मूल्याबरोबर असते का, वगैरे प्रश्न गणितीय विश्लेषणाच्या दृष्टीने महत्त्वाचे आहेत. यांतील काहींचा विचार येथे केला आहे. फूर्ये श्रेढीचे अभिसरण या विश्लेषणास आधारभूत आहे. श्रेढी (३) च्या पहिल्या न पदांची बेरीज खालीलप्रमाणे मांडता येते.
सीमा सन (क्ष) सांत वा अनंत असेल त्यानुसार फूर्ये श्रेढी अभिसारी वा अपसारी ठरेल. डीरिक्ले यांनी या प्रश्नांची उत्तरे १८३० मध्ये दिली. त्यांनी अनुसरलेल्या पद्धतीत पुढील दोन समाकलांच्या सीमारूपांचा (म ⟶ ∞ ) विचार प्रामुख्याने आहे.
या समाकलांच्या आधारे असे दाखविता येते की, (-π, +π) या अंतरालामध्ये फ (क्ष) ज्या ठिकाणी संतत असेल तेथे फूर्ये श्रेढींची बेरीज, म्हणजेच सन (क्ष) ची सीमा फ (क्ष) बरोबर असते. जेथे फ(क्ष) खंडित असेल तेथे सन (क्ष) ची सीमा १/२ [फ (क्ष+०) + फ (क्ष-०)] बरोबर येते. याकरिता फ (क्ष) ने काही अटी पूर्ण करणे आवश्यक आहे. या अटींना डीरिक्ले अटी म्हणतात. त्या पुरेशा असतात पण त्या आवश्यक असतात असे नाही. आवश्यक व पुरेशा अटी अद्याप सिद्ध झालेल्या नाहीत. डीरिक्ले अटी सामान्यतः पुढीलप्रमाणे आहेत. (-π, +π) या अंतरालात फ (क्ष) संतत असण्याची जरूरी नाही. प्रसंगी ते खंडितही असेल पण ज्या बिंदूत फ (क्ष) खंडित आहे अशा सर्व बिंदूंची संख्या परिमित असली पाहिजे. त्याचप्रमाणे अंतरालात फ (क्ष) भागशः एकदिक्‌ असले पाहिजे. वरील अटी अधिक सोप्या भाषेत पुढीलप्रमाणे सांगता येतील. दिलेल्या अंतरालातील फ(क्ष) च्या आलेखात जर परिमित बिंदूतच फ(क्ष) ची कमाल व किमान मूल्ये असतील, तर संतत स्थानी फ (क्ष) च्या फूर्ये श्रेढीचे सीमावर्ती मूल्य फ (क्ष) बरोबर असते व खंडित स्थानी हे मूल्य १/२ [फ (क्ष+०)+फ (क्ष-०)] इतके असते.
हा समाकल अभिसारी असेल, तर फ (क्ष) च्या फूर्ये श्रेढीचे मूल्य फ (क्ष) बरोबर असते (डिनी यांची अट). ज्या ठिकाणी फ (क्ष) अवकलनीय असेल त्या त्या सर्व ठिकाणी ही अट पूर्ण होतेच.
फूर्ये श्रेढी अभिसारी असण्याकरिता फ (क्ष) ची संततता पुरेशी नाही, हे सिद्ध झालेले आहेच. पॉल ड्यू ब्वा-रेमाँ यांनी अशा तऱ्हेचे फलन उदाहरण म्हणून तयार केले आहे. या फलनाची फूर्ये श्रेढी अंतरालातील काही ठिकाणी अपसारी आहे. एखाद्या संतत फलनाची सर्वत्र अपसारी असणारी फूर्ये श्रेढी मांडता येईल किंवा नाही या प्रश्नाचे उत्तर अद्याप सापडलेले नाही परंतु लबेग-समाकल सिद्धांतानुसार काही समाकलनीय फलनांच्या फूर्ये श्रेढी सर्वत्र अपसारी असतात. हे ए. एन्. कॉल्मॉगॉरॉव्ह यांनी १९२६ मध्ये दाखविले आहे.
फूर्ये श्रेढीची बेरीज : वरील अटींच्या संदर्भात फूर्ये श्रेढींची बेरीज म्हणजे काय हा प्रश्न उद्‌भवतो. फूर्ये श्रेढी अभिसारी असण्याकरिता फलन संतत असणे पुरेसे नाही. अशा परिस्थितीत फूर्ये श्रेढीचा अर्थ काय? यातून एल्. फेयेर या गणितज्ञांनी १९०० मध्ये मार्ग सुचविला. त्यांनी सिद्ध केले की, फूर्ये श्रेढीची
|
गन (क्ष) |
= |
स०(क्ष) + स१(क्ष) + ….. + सन (क्ष) |
|
न +१ |
खालीलप्रमाणे सरासरी घेतली, तर (-π, +π) या अंतरालातील ज्या ठिकाणी फ (क्ष + ०) आणि फ (क्ष – ०) यांची मूल्ये काढता येतात, त्या ठिकाणी गन (क्ष) चे सीमारूप १/२ [फ (क्ष + ०) + फ (क्ष – ०)] असे येते म्हणजेच सीमा गन (क्ष) = १/२ [फ (क्ष + ०) + फ (क्ष – ०)].
न ⟶ ∞
या सिद्धांतामुळे फूर्ये श्रेढीची बैठक स्थिरावण्यास बहुमोल मदत झाली. फूर्ये श्रेढीच्या सरासरी घेण्याच्या अन्य रीतीही मांडण्यात आल्या. यांपैकी एन्. एच्. आबेल यांच्या पद्धतीची उल्लेख करावयास हवा. आबेल पद्धतीमध्ये (१) मध्ये दिलेली फूर्ये श्रेढी हा १/२ अ० + (अ१ कोज्या क्ष + ब१ कोज्या क्ष) र + (अ२ कोज्या २ क्ष + ब२ ज्या २ क्ष) र२ + ………. या श्रेढीचे र ⟶१ – ० सीमावर्ती मूल्य मानण्यात येते. जर (१) मध्ये दिलेली फूर्ये श्रेढी फ (क्ष) या फलनाची असेल, तर वरील श्रेढीची बेरीज
या समाकलाने व्यक्त करता येते. या समाकलात फ (क्ष) चे प्वासाँ समाकल ( एस्. डी. प्वासाँ या गणितज्ञांच्या नावावरून) म्हणतात. जेव्हा र ⟶ १ तेव्हा, ज्या ठिकाणी फ (क्ष) संतत असते, त्या ठिकाणी समाकलाची सीमा फ (क्ष) बरोबर असते. फ (क्ष) समाकलनीय असेल, तर जवळजवळ सर्वत्र हे मूल्य फ(क्ष) बरोबर असते.
फूर्ये श्रेढी बऱ्याच वेळा एकविधाभिसारी असू शकते. असे होण्यास डीरिक्ले अटींखेरीज आणखी एक अट फ (क्ष) ने पूर्ण करणे आवश्यक असते. ती अट म्हणजे आवर्त अंतरालामध्ये फ (क्ष) बंधित असावयास पाहिजे. याबरोबरच फलन संतत असेल, तर फूर्ये श्रेढीचा समाकल शक्य आहे. सामान्यतः फूर्ये श्रेढी अवकलनीय नाही.
पार्झेव्हाल सूत्र : (एम्. पार्झेव्हाल या गणितज्ञांच्या नावावरून ओळखण्यात येणारे सूत्र). फलन फ (क्ष) ची फूर्ये श्रेढी काढणे शक्य असेल व फ२ (क्ष) समाकलनीय असेल, तर एक विशेष महत्त्वाचे सूत्र सिद्ध करता येते. फूर्ये श्रेढीच्या समीकरणाच्या
.png)
दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून (-π, +π) या अंतरालात समाकल घेतला म्हणजे पुढील समीकरण मिळते.
या समीकरणास पार्झेव्हाल सूत्र म्हणतात. यावरून काही महत्त्वाचे निष्कर्ष निघतात.
व्यत्यासही खरा आहे. लबेग यांच्या समाकल पद्धतीचा उपयोग करून एफ्‌. रीझ व ई. फिशर यांनी १९०७ मध्ये हा व्यत्यास सिद्ध केला. तो व्यत्यास पुढीलप्रमाणे मांडता येईल :
|
∞ |
( |
||
|
Σ |
अन२ + बन२) |
अभिसारी असेल, तर अन, बन ज्याचे |
|
|
न = १ |
|||
सहगुणक आहेत अशी फूर्ये श्रेढी ज्या फ (क्ष) बरोबर असते ते फलन काढता येते. हे फलन अनन्य असते व त्याचा वर्ग फ२ (क्ष) समाकलनीय असतो. समाकल सिद्धांतामध्ये रीझ-फिशर व पार्झेव्हाल यांचा हा सिद्धांत महत्त्वाचा आहे.
आसन्नीकरण : ( विशिष्ट हेतुनुसार खऱ्या मूल्याच्या पुरेसे जवळ असणारे मूल्य मिळविण्याची क्रिया). व्यवहारातील अनेक घटनांच्या विश्लेषणात फलनाचा विस्तार फूर्ये श्रेढीमध्ये मांडणे आवश्यक असते. अशा वेळी श्रेढी केवळ अभिसारी असून चालत नाही. ती वेगाने अभिसारी म्हणजे द्रुताभिसारी असेल, तरच जास्त सोयीची असते. याकरिता अभिसरणाचा वेग व श्रेढीचे आसन्न मूल्य काढण्यास किती पदांचा उपयोग करणे जरूर आहे याची माहिती असणे इष्ट आहे. अर्थात न मोठा घेतल्यास सन (क्ष) आणि फ (क्ष) यांची मूल्ये एकमेकांजवळ असतील, हे उघड आहे.
जात्य श्रेढी : फूर्ये श्रेढी या अधिक व्यापक अशा जात्य श्रेढींचा एक प्रकार आहे. समजा (अ, ब) या विशिष्ट अंतरालात कोणतेही न, म हे धन पूर्णांक घेतले असून प१ (क्ष), प२ (क्ष), …..अशी फलनांची एक अनंत श्रेणी आहे की,
म्हणतात. गणितशास्त्रात अनेक जात्य श्रेणी उपलब्ध आहेत. कारणानुरूप निरनिराळ्या जात्य श्रेणी उपयोजिल्या जातात. आतापर्यंतच्या विवेचनात वापरलेली (-π, +π) किंवा (०, २π) या अंतरालातील १, कोज्या क्ष, ज्या क्ष, कोज्या २ क्ष, ज्या २ क्ष, …… ही श्रेणी जात्य श्रेणीच आहे, हे सहज दिसून येईल. जात्य श्रेणीचा उपयोग करून कोणत्याही फलनाचा विस्तार पुढे दर्शविल्याप्रमाणे करणे शक्य असते. फ (क्ष) = र१ प१ (क्ष) + र२ प२ (क्ष) + …. …. …. ….
सहगुणक रन चे मूल्य काढण्याकरिता दोन्ही बाजूंस पन (क्ष) ने गुणावयाचे आणि दोन्ही बाजूंचा (अ, ब) अंतरालावर समाकल घ्यावयाचा, म्हणजे
फूर्ये समाकल : येथपर्यंत आपण प्रामुख्याने आवर्त फलनांचा विचार केला परंतु अनावर्त फलनांच्या अभ्यासात फूर्ये श्रेढीच्या द्वारा सूचित होणाऱ्या फूर्ये समाकलाचा वापर केला जातो [⟶ समाकल समीकरणे व रूपांतरे]. या समाकलाचा उपयोग कोणतेही फलन मुख्यतः अनंत अंतरालावर व्यक्त करण्यासाठी होतो.
.png)
या समाकलास फूर्ये समाकल म्हणतात. यामधील अ (ट) आणि ब (ट) यांची मूल्ये पुढील समाकलांनी व्यक्त करतात.
फूर्ये श्रेढी आणि फूर्ये समाकल यांमधील फरक केवळ प्रक्रियेचा आहे. अ (ट) व ब (ट) यांची मूल्ये व फूर्ये श्रेढीमधील सहगुणकांची मूल्ये यांमध्ये साधर्म्य आहे. सामान्यतः फूर्ये समाकल व फलन फ (क्ष) यांची समानता असते. यासंबंधीची सिद्धता श्रेढीसंबंधीच्या अशा प्रकारच्या सिद्धांताच्या सिद्धतेप्रमाणेच देता येते.
बहुचल फूर्ये श्रेढी : समजा प१ (क्ष) · प२ (क्ष), ….. ही श्रेणी अ ≤ क्ष ≤ ब या अंतरालात जात्य आहे आणि भ१ (य), भ२ (य), … ही श्रेणी क ≤ य ≤ ड या अंतरालात जात्य आहे. पम (क्ष)·भन (य) ही दुहेरी श्रेणी (म, न = १, २ … …) अ ≤ क्ष ≤ ब क ≤ य ≤ ड या आयतावर जात्य आहे, हे दाखविता येते. फ (क्ष, य) हे वरील आयतावर व्याख्यात फलन असल्यास त्याचा दुहेरी फूर्ये श्रेढीमध्ये विस्तार पुढीलप्रमाणे मांडता येईल.
याचप्रमाणे तीन किंवा जास्त चल असणाऱ्या फूर्ये श्रेढी मांडता येतील. बहुचल फूर्ये श्रेढीसंबंधीच्या समस्या साध्या फूर्ये श्रेढींच्या समस्यांपेक्षा बऱ्याच जटिल असतात.
संदर्भ : 1. Carslaw, H. S. Introduction to the Theory of Fourier Series and Integrals, New York, 1930.
2. Churchill, R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems, New York, 1963.
3. Davis, H. F. Fourier Series and Orthogonal Functions, Boston, 1963.
4. Tolstoy, G. P. Trans. And Ed. Silverman R. A. Fourier Series, Englewood Cliffis, N. J., 1962.
5. Zygmond, A. Trigonometrical Series, New York, 1955.
आपटे, अ. शं.
“