फलनक विश्लेषण : नवनवीन फलदायी संकल्पनांचा शोध घेण हा गणितशास्त्रातील संशोधनाचा एक सह आविष्कार आहे. तथापि अभिजात अशा एकदम नवीन संकल्पना क्वचितच मांडल्या जातात. बहुधा एखादी अगोदर माहीत असलेली संकल्पनाच अधिक व्यापक स्वरूपात मांडली जाते. अशा प्रय त्‍नां तूनच, बऱ्याचदा, निरनिराळ्या क्षेत्रांतील, ज्यांचा परस्परांशी कसलाही संबध नसावा असे सकृद्दर्शनी वाटावे अशा अनेक संकल्पना एकाच सूत्रात गोवता येतात असे आढळून येते. फलनक विश्लेषण हे अशाच प्रक्रियेचे एक उत्कृष्ट उदाहरण आहे.
कोणत्याही दोन संचांतील परस्पर संबंधावर आधारित अशी ⇨ फलन ही संकल्पना गणितशास्त्रात मूलभूत मानली जाते . नेहमीच्या वापरातील फलनासाठी प्रांत आणि कक्षा हे दोन्ही संच , सामान्यपणे संख्या संच असतात पण फलनाची व्याख्या अधिक व्यापक असून हे दोन्ही संख्या संचच असावे असे नाही. उदा., सर्व फलनांचा संच हा प्रांत आणि संख्या संच ही कक्षा , असे एखादे फलन घेता येईल. इटालियन गणितज्ञ व्हीतो व्होल्तेरो (१८६०-१९४७) यांनी अशा प्रकारच्या ‘ फलनांचे फलन ’ याचा प्रथम अभ्यास केला . फ्रेंच गणितज्ञ जे .एस्. हादामार्द (१८६५-१९६३) यांनी अशा फलनांच्या संख्या मूल्यास ‘ फलनक ’ ( Functional) असे नाव दिले. त्यावरूनच या शाखेस ‘ फलनक विश्लेषण ’ हे नाव मिळाले.
गणितीय विश्लेषणाच्या मीमांसेतील ⇨ चलनकलन , समाकल समीकरणे [→ समाकल समीकरणे व रूपांतरे ] आणि तत्सम शाखांत ज्या प्रकारची फलने अभ्यासली जातात त्यांची संरचना बैजिक आणि मानीय पद्धतीची असते , तसेच त्यांचे गुणधर्म सांतमितीय यूक्लिडीय अवकाशाप्रमाणे [→ भूमिती] असतात. फलनक विश्लेषणाला सध्याचे जे स्वरूप प्राप्त झाले आहे त्याचे हे एक महत्त्वाचे कारण मानता येईल. यूक्लिडीय अवकाशाच्या धर्तीवरील अनंतमितीय हिल्बर्ट अवकाश [डाव्हीट हिल्बर्ट या गणितज्ञांच्या नावावरून ओळखण्यात येणारे सदिश अवकाश → सदिश अवकाश ] ही फलनक विश्लेषणातील एक महत्त्वाची संकल्पना असून तिची थोडक्यात ओळख करून घेणे लाभदायक ठरेल.
हिल्बर्ट अवकाश : त्रिमितीय सहनिर्देशक भूमितीय क्ष (क्ष१, क्ष२, क्ष३) आणि य (य१, य२, य३) या दोन बिंदूंमधील अंतर √((क्ष१-य१)२ + (क्ष२-य२)२ + (क्ष३-य३)२ इतके असते. हे सूत्र पायथॅगोरस यांच्या प्रमेयावरून मिळते. तिनांपेक्षा जास्त प -मितीय अवकाशाची कल्पना घेतल्यास , त्यातील क्ष (क्ष१, क्ष२, ….. , क्षप) आणि य (य१, य२, ……, यप) या दोन बिंदूंतील अंतर √ ((क्ष१-य१)२+(क्ष२-य२)२ + . . . . . . . . + (क्षप-यप)२ असे मानायला हरकत नाही. याच्याही पुढे जाऊन आपणाला अनंतमितीय अवकाशाची संकल्पना मांडता येईल. अशा अवकाशातील बिंदू क (क१, क२, ……) अशा अनंत श्रेणीने दर्शविता येईल. तसेच या अवकाशातील ख (ख१, ख२, ……) हा दुसरा बिंदू असेल , तर या दोन बिंदूंमधील अंतर
|
√ |
∞ |
|
∑ (कम – खम)२ |
|
|
म =१ |
असे म्हणता येईल , अर्थात ही श्रेढी अभिसारी असली पाहिजे [→ श्रेढी]. थोडक्यात, अनंतमितीय (हिल्बर्ट) अवकाश म्हणजे (क्ष१, क्ष२, …..) अशा अनंत श्रेणींचा संच होय मात्र 
अभिसारी [→ श्रेढी] असणे आवश्यक आहे . याही पुढे जाऊन असे म्हणता येईल की , क्ष १ , क्ष २ , ….. अशी कोणतीही श्रेणी म्हणजे घन पूर्णांकांचा संच ज्याचा प्रांत आहे असे फलनच होय . म्हणजेच अनंतमितीय अवकाशातील कोणताही बिंदू अशा फलनाने निश्चित केला जातो . या कल्पनेचा आणखी विस्तार करून , प्रांत म्हणून एखादा सोयीस्कर संच निवडून , त्यावरील सर्व फलनांचा संच हा एक अवकाश मानता येईल् . यातील प्रत्येक फलन म्हणजे या अवकाशातील एक बिंदू असेल . समजा क्ष (ट) या य (ट) असे कोणतेही दोन बिंदू घेतले , तर त्यांमधील अंतर [क्ष (ट) – य (ट)] २ या आलेखाच्या क्षेत्रफळाचे वर्गमूळ असे मांडता येईल . अशा सर्व अनंतमितीय अवकाशांचा अभ्यास फलनक विश्लेषणामध्ये केला जातो .
व्यापकीकरणाचा पुढचा टप्पा म्हणजे अमूर्त हिल्बर्ट अवकाशाची संकल्पना . समजा ह हे एक फ या (सत् किंवा सदसत् ) संख्यांच्या क्षेत्रावरील [⟶ संख्या] सदिश अवकाश आहे . यातील कोणतेही क आणि ख असे दोन ह या अवकाशाचे घटक असतील , तर या घटकयुग्माशी फ मधील एक संख्या (जिचा निर्देश सोयीसाठी < क, ख > असा करू ) संलग्न केली . अशा संख्या जर पुढील अटींची पूर्तता करीत असतील , तर ह या अवकाशाला अमूर्त हिल्बर्ट अवकाश म्हणतात . त्या अटी अशा :
(१) < क, ख > = < ख, क> ∀ क , ख € ह
(२) < त क , ख > = त < क, ख > ∀ त € फ ∀ क , ख € ह
(३) < त क +ट ख , ग > = त < क, ग >+ ट < ख, ग > ∀ त , ट € फ ∀ क , ख , ग € ह
हिल्बर्ट अवकाश हा अशा व्यापकीकृत अवकाशाचा एक प्रकार झाला . पोलिश गणितज्ञ स्टेफान बनाख ( १८९३ -१९४५ ) यांनी यापेक्षाही जास्त व्यापक अशा अवकाशांची संकल्पना मांडून त्यासंबंधी संशोधन केले . अशा सर्व बनाख अवकाशांचा अभ्यासही फलनक विश्लेषणातच मोडतो .
उपयोजन : अवकाश या संकल्पनेचे वरील व्यापकीकरण भौतिकी आणि अभियांत्रिकी या विषयांत विशेष प्रकारे उपयोगी पडते. अवकाशांच्या वरील चर्चेत दोन महत्त्वाची मूलतत्त्वे दिसून येतात. पहिले म्हणजे द्विमितीय किंवा त्रिमितीय अवकाशातील एखादे भूमितीय विधान मूलतः इतके व्यापक असते की, त्याचा विकास प – मितीय अवकाशात व फलन अवकाशात सहजपणे होऊ शकतो आणि त्यामुळे त्याचा फलनांच्या व फलने अंतर्भूत असणाऱ्या समीकरणांच्या अभ्यासात उपयोग होऊ शकतो. दुसरे मूलतत्त् व उपयोजनाच दृष्टीने अधिक महत्त्वाचे आहे, ते पुढीलप्रमाणे मांडता येईल : भूमितीमध्ये आपण एखाद्या बिंदूचा स्वतंत्रपणे खास अभ्यास करीत नसतो, तर प्रत्येक बिंदू हा कोणत्या तरी संचाचा एक घटक ( रेषा, पृष्ठ इ.) म्हणून तो अभ्यासला जातो. म्हणजेच त्या संचाच्या संदर्भात एक प्रकारच्या समष्टीचा हा अभ्यास असतो. प्रकाशकीमध्ये प्रकाशकिरण वेगवेगळ्या माध्यमांतून जात असताना सर्व शक्य त्या मार्गांपैकी सुरुवातीच्या बिंदूपासून शेवटच्या बिंदूपर्यंत कमीत कमी वेळात जाता येईल असाच मार्ग निवडला जातो. विद्युत् चुंबकीय सिद्धांतामध्ये विद्युत् संवाहकावरील विद्युत् वितरण प्रत्यक्षात कसे उचित ऊर्जावितरण असते, याचा अभ्यास करावा लागतो. एखाद्या तारेच्या चौकटीवर साबणाच्या फेसाचे पटल प्रत्यक्षात तयार होते तेव्हा त्याचा आकार पटलाचे क्षेत्रफळ कमीत कमी असेल अशा प्रकारेच असतो. यासारखी सर्व उदाहरणे फलनक विश्लेषणामध्ये एकत्र गुंफली जातात आणि ती फलन अवकाशाच्या योग्य भाषेत मांडून त्यांचा एकत्रित अभ्यास केला जातो.
मानांकित अवकाश : काही विशिष्ट प्रकारच्या संस्थिती विश्लेषणात्मक [ → संस्थितिविज्ञान ] बैजिक स्वरूपाच्या संरचनांचा अभ्यास आणि त्याचा विश्लेषणात्मक समस्यांची उकल करण्यासाठी उपयोग करून घेण्याच्या पद्धती असे स्थूलमानाने फलनक विश्लेषण या गणित शाखेचे सांप्रतचे रूप आहे , असे म्हणता येईल . अमूर्त आणि मूर्त यांतील घनिष्ठ परस्परसंबंध हा या विषयातील नुसताच उपयुक्त नाही , तर गणितज्ञाचे मन आकृष्ट करणारा भाग होय . पुष्कळ समस्या अशा असतात की , त्यांची उकल करताना एखादे फलन किंवा एखादा कारक [ सत् किंवा सदसत् मूल्य असलेल्या एका फलनाचे दुसऱ्या फलनात रूपांतर करणारा नियम → कारक सिद्धांत ] यापेक्षा अशांच्या समष्टीचा एकत्र विचार इष्ट ठरते . असे संच बहुधा ⇨ सदिश अवकाश असतात असे दिसून येते . तशातच पुन्हा , अशा प्रकारच्या विश्लेषणात्मक समस्यांमध्ये , सीमा [ → अवकलन व समाकलन ] या संकल्पनेचा फार मोठा भाग असतो . त्यामुळे साहजिकच हे सदिश अवकाश , ज्यामध्ये त्यातील घटकांमधील अंतराची कल्पना मानांकाच्या तत्सम व्याख्येनुसार , स्पष्ट करण्यात आली आहे असेच असावे लागतात . अशा सदिश अवकाशांना मानांकित सदिश अवकाश म्हणतात . अवकाशाच्या मानांकाची व्याख्या कशी करावी हे अर्थातच त्या समस्येच्या आणि अवकाशाच्या प्रकारावर अवलंबून राहील . मात्र या मानांकांनी खालील अटी पूर्ण कराव्या लागतात . समजा स हा सदिश अवकाश असेल आणि त्यातील प्रत्येक क्ष या घटकाशी संलग्न असा ।। क्ष ।। हा मानांक ( संख्या ) काही एका नियमानुसार ठरविला , तर
( १ ) ।। क्ष + य ।। ≤ ।। क्ष + ।। य ।। ∀ क्ष , य € स .
( २ ) ।। त क्ष ।। = । त । · ।। क्ष ।। क्ष € स , त अदिश .
( ३ ) ।। क्ष ।।≥ o.
( ४ ) क्ष = o, तर आणि तरच ।। क्ष ।। = o.
हिल्बर्ट अवकाश हा यूक्लिडीय अवकाशाला जवळचा असा मानांकित सदिश अवकाश आहे . बनाख अवकाश हाही मानांकित असा अवकाश असून तो पूर्ण अवकाश आहे . [त्यातील कोणतीही कोशी श्रेणी -ए.एल्. कोशी या गणितज्ञांच्या नावाने ओळखण्यात येणारी श्रेणी -अभिसारी असते . → श्रेढी] माही त असलेल्या फलन अवकाशांपैकी बरेचसे बनाख अवकाश आहेत . उदा., बंद अंतराला वरील संतत फलनांचा अवकाश , अवकलनीय फलनांचा अवकाश , सदसत् प्रतलातील खुल्या संचावरील वैश्लेषिक फलनांचा अवकाश इत्यादी . [ → फलन ].
रेषीय फलनक व रेषीय कारक : फलनक विश्लेषणामध्ये रेषीय फलनक आणि रेषीय कारक या महत्त्वाच्या अशा संकल्पना आहेत . क्ष आणि य हे दोन एकाच अदिश क्षेत्रावरील सदिश अवकाश असून फ : क्ष → य हे चित्रण जर फ ( त क्ष१ + ट क्ष२ ) = त फ ( क्ष१ ) + ट फ ( क्ष२ ) त , ट हे अदिश , ∀ क्ष१ क्ष२ € क्ष ह्या अटीची पूर्तता करणारे असेल , तर अशा चित्रणाला रेषीय चित्रण म्हणतात . क्ष या अवकाशाच्या अदिश क्षेत्रातील चित्रणांना रेषीय फलनके म्हणतात . रेषीय चित्रणांना रेषीय कारक असे नाव दिले जाते . क्ष , य हे मानांकित अवकाश असतील , तर संतत रेषीय फलनकांची ( कारकांची ) संकल्पनाही मांडता येईल .
हान – बनाख प्रमेय : ( ओ . हान व बनाख या गणितज्ञांच्या नावाने ओळखण्यात येणारे प्रमेय ). मानांकित अवकाशाच्या उपअवकाशातील रेषीय फलनकाचा विस्तार त्या अवकाशातील रेषीय फलनकामध्ये करता येतो . या प्रमेयामुळे बरीचशी रेषीय फलनके सहजपणे मिळविणे शक्य झाले आहे . या प्रमेयाचे बऱ्याच ठिकाणी उपयोग आहेत उदा ., फूर्ये विश्लेषणातील अभ्यासात [ जे . बी . जे . फूर्ये या गणितज्ञांच्या नावाने ओळखण्यात येणाऱ्या श्रेढीच्या अभिसारितेविषयीच्या अभ्यासात → फूर्ये श्रेढी ] नोरबर्ट वीनर यांचे फूर्ये श्रेढीच्या व्युत्क्रमी रूपाविषयीचे प्रमेय सिद्ध करताना हान – बनाख प्रमेय उपयोगी पडते . बनाख सीमांच्या आणि त्यांच्या साहाय्याने व्युत्क्रांती सिद्धांताच्या अभ्यासात [ माप – परिरक्षक रूपांतरणांविषयीच्या अभ्यासात , → माप व समाकलन ] हान – बनाख प्रमेय वापरले जाते .
काही उल्लेखनीय प्रमेये : फलनक विश्लेषणातील आणखी काही पायाभूत महत्त्वाच्या प्रमेयांचा उल्लेख करणे इष्ट ठरेल . कारकांच्या एकविध बंधित असण्याबद्दलचे बनाख व एच् . स्टाइनहाऊस यांचे प्रमेय , खुले चित्रण प्रमेय , चरम बिंदूंविषयीचे एफ् . क्लाइन व डी . मिल्मन अवकलन व समाकलन यांचे प्रमेय , विशिष्ट बनाख अवकाशांची संरचना निश्चित करण्यासाठी उपयुक्त असणारे ए . ओ. गेलफाँड यांचे प्रमेय वगैरे .
स्थिर बिंदू प्रमेये : या प्रमेयांचे विश्लेषणामध्ये एक महत्त्वाचे स्थान आहे . प्रतलातील एखाद्या चकतीचेस्वतः मध्येच चित्रण केले म्हणजेच चकतीचा प्रत्येक बिंदू एखाद्या सूत्रान्वये चकतीच्या दुसऱ्या एखाद्या बिंदूच्या जागी हलवला , तर एल् . ई.जे. ब्रौवर यांच्या स्थिर बिंदू प्रमेयानुसार , हे चित्रण जर संतत असेल (म्हणजेच नजीकचे बिंदू चित्रणानंतर नजीकच राहतील ), तर कमीत कमी एक तरी बिंदू स्वस्थानीच राहिला पाहिजे . उदा., ती चकती जर केंद्राभोवती फिरली , तर केंद्रबिंदू स्थिर राहून , इतर सर्व बिंदू स्थानांतर करतील . स्थिर बिंदू प्रमेय घनगोलकरिताही सत्य आहे . एखाद्या पेल्यातील द्रव ढवळला असता काही काळाने तो पुन्हा स्थिर झाल्यावर एक तरी द्रव बिंदू मूळच्या जागी असलाच पाहिजे . स्थिर बिंदू प्रमेयाचा आधार घेऊन असे विधान करता येईल की , पृथ्वीतलावर सर्वच ठिकाणी एकाच वेळी वारा वाहत असणार नाही . एक तरी ठिकाण संपूर्ण स्तब्ध , बिनवाऱ्याचे वातावरणे असलेले असलेच पाहिजे . हिल्बर्ट अवकाशासाठीही स्थिर बिंदू प्रमेय लागू पडते असे सिद्ध झाले आहे आणि द्रायुयामिकीमध्ये (स्थिर वा गतिमान स्थितीतील द्रव व वायू यांच्या गुणधर्मांविषयीच्या अभ्यासामध्ये ) तसेच स्थितिस्थापकतेच्या (प्रेरणांच्या क्रियेमुळे आकार व आकारमान यांत फरक पडणे आणि प्रेरणा काढून घेतल्यावर मूळ आकार व आकारमान पुन्हा प्राप्त होणे या घन पदार्थाच्या गुणधर्मांविषयीच्या ) सिद्धांतामध्येही उपयोगी पडते . या प्रमेयाचा वापर प्रवेगकाच्या (वेगवर्धकाच्या) संदर्भातील कणांच्या आवर्ती गतीचा अभ्यास करण्यासाठी होतो .
कारक सिद्धांत व वर्णपटी प्रमेय : फलनक विश्लेषणाचा आणखी एक पैलू म्हणूनही कारक सिद्धांताकडे पाहता येईल . यामध्येमुख्यतः बनाख आणि हिल्बर्ट अवकाशातील कारकांचा अभ्यास केला जातो . याचा उपयोग ⇨ अवकल समीकरणां चे निर्वाह (उत्तरे) मिळविण्यास होतो . कारक सिद्धांतामध्ये वर्णपटी प्रयोगांना फार महत्त्वाचे स्थान आहे . यामध्ये रेषीय कारकांच्या संरचनेचा अभ्यास केला जातो .
समजा ट हा ह या हिल्बर्ट अवकाशावरील कारक आहे . क्ष हा सदिश असून
ट क्ष = द क्ष
(येथे द अदिश आहे ). हे समीकरण ( क्ष ≠ o) सत्य असेल , तर क्ष ला ट चा लाक्षणिक सदिश म्हणतात आणि द ला ट चे लाक्षणिक मूल्य म्हणतात . जर ह मध्ये अशून्य सदिशच नसेल , तर ट साठी लाक्षणिक मूल्येही नसतील हे उघड आहे . म्हणून ह ≠ (o) असेच मानून पुढे जाणे जरूर आहे . क, ख हे ह मधील दोन असे सदिश असतील की , < क , ख > = o, तर त्यांना जात्य म्हणतात . जर.
< ट क्ष , य > = < क्ष , ट य >, ∀ क्ष , य € ह
असेल , तर ट सममित आहे असे म्हणतात .
आता वर्णपटी प्रमेय सुलभ प्रकारे पुढीलप्रमाणे मांडता येईल : ट हा ह या प -मितीय सदसत् हिल्बर्ट अवकाशावरील सममित रेषीय कारक असेल , तर ( १ ) ट ची सर्व लाक्षणिक मूल्यू सत् संख्या असतात . ( २ ) क्ष आणि क्ष ’ हे लाक्षणिक सदिश त आणि त ’ या भिन्न लाक्षणिक मूल्यांशी संबंधित असतील , तर क्ष आणि क्ष ’ जात्य असतात . ( ३ ) प लाक्षणिक सदिश असे निवडता येतात की , ते एकमेकांशी जात्य असतील .
हे वर्णपटी प्रमेयांपैकी एक प्रमेय झाले . वर्णपटी प्रमेय सिद्ध करताना ट चा वापर करून अवकाशाचे त्याच्याच उपअवकाशांमध्ये विघटन करतात . ट च्या लाक्षणिक मूल्यांच्या संचाला ट चा वर्णपट म्हणता येईल आणि म्हणूनच या प्रमेयाला वर्णपटी प्रमेय असे नामाभिधान प्राप्त झाले आहे .
आतापर्यंत आपण विचार केला त्याला रेषीय फलनक विश्लेषण म्हणतात . कारण ते रेषीय अवकाशावर आधारलेले आहे . अलीकडील संशोधन अनंतमितीय वक्र अवकाशासंबंधी असल्याने त्याला नैकरेषीय फलनक विश्लेषण म्हणता येईल आणि ही शाखा गणित शास्त्रातील एक महत्त्वाचे स्थान घेईल असे म्हणावयास हरकत नाही .
पहा : कारक सिद्धांत फलन सदिश अवकाश .
संदर्भ : 1. Buck, R. C. Ed. Studies in Modern Analysis. Englewood Cliffs, N. J., 1962.
2. Davis, M.A. First Course in Functional Analysis, New York, 1967.
3. National Academy of Sciences, The Mathematical Sciences : A Collection of Essays, Cambridge, Mass, 1969
4. Simmmons, G. F. Introduction to Topology and Modern Analysis, New York, 1963.
रघुनाथन , टी. टी आगाशे, क. म.
“