प्रतिक्षावलि सिद्धांत :दैनंदिन व्यवहारत वाहतूक, दुकाने, बँक व तत्सम कार्यालये इ. ठिकाणी प्रतिक्षावलीशी (क्यू-रांग- बनविण्याशी) वारंवार संबंध येतो, तसेच उत्पादन व औद्योगिक क्षेत्रात (उदा., देखभाल, यंत्रजुळणी इ.) प्रतीक्षा करण्याची समस्या निर्माण होते. म्हणून विसाव्या शतकात, विशेषतः १९५० सालानंतर प्रतीक्षावलीसंबंधी विशेष अभ्यास केला गेला आणि तिच्यामागील गणितीय सिद्धांत व गणितीय प्रतिकृतीवरून विविध पर्याय उपलब्ध करण्याचे तंत्र विकसित केले गेले.
इतिहास व काही उदाहरणे : दूरध्वनी विनिमय केंद्रात जर मानवचलित व्यवस्था असेल, तर दोन दूरध्वनी ग्राहकांना एकमेकांना जोडून देण्यास वेळ लागण्याचा संभव असतो. एक तर कर्मचाऱ्यांची संख्या कमी असते व दोन ग्राहक जोडण्याची यंत्रणा मर्यादित असते. सर्व कर्माचारी कामात व्यग्र असतील वा यंत्रणा व्यग्र असल्यास नवीन ग्राहकाला पाहिजे असलेला दूरध्वनी क्रमांक मिळविण्याकरिता वाट पहावी लागेल. दूरध्वनी विनिमय केंद्रातील यंत्रणा स्वयंचलित असल्यासही यंत्रणेच्या मर्यादित कार्यक्षमतेमुळे प्रतीक्षावलीची समस्या निर्माण होते. १९०८ सालामध्ये डेन्मार्कमधील कोपनहेगन येथील दूरध्वनी विनिमय केंद्राची व्यग्रता खूपच असल्यामुळे ग्राहकाचा प्रतीक्षाकाल फारच मोठा असे. या समस्येचा अभ्यास करताना ए. के. एर्लांग या अभियंत्यांनी प्रतीक्षावलीसंबंधी गणितीय सिद्धांत मांडले व गणितीय प्रतिकृतीवरून या समस्येवर उपाय सुचविले (एर्लांग यांच्या या महत्त्वपूर्ण कार्याबद्दल संदेशवहन परिवाहावरील कार्यभाराच्या एककाला ‘एर्लांग’ असे नाव आता देण्यात आले आहे) परंतु त्यांच्या या पद्धतीची औद्योगिक क्षेत्रात फारशी दखल घेतली गेली नाही. दुसऱ्या महायुद्धानंतर मात्र या विषयाला चालना मिळाली.
दुसऱ्या महायुद्धानंतर सामान्य लोकांना विविध प्रसंगी प्रतीक्षावलीची सवय झाली आहे परंतु औद्योगिक क्षेत्रातील प्रतीक्षावली पुष्कळ वेळा अव्यक्त असते. या दोन्ही परिस्थितींतील प्रतीक्षावलीचे सिद्धांत मात्र सारखेच असतात. मोठ्या विमानतळावर विमान उतरण्याच्या धावपट्ट्यांची संख्या मर्यादित असते. एकाच वेळी धावपट्ट्यांच्या संख्येपेक्षा जास्त विमानांना जमिनीवर उतरता येत नाही काही विमानांना हवेत फेऱ्या मारत रहावे लागते म्हणजेच वाट पाहावी लागते. एखाद्या मोठ्या विभागीय वस्तुभांडारात उपलब्ध असलेल्या विक्रेत्यांच्या संख्येपेक्षा जास्त संख्येने ग्राहक आल्यास काहींना वाट पहावी लागते. मोठ्या कार्यालयात वेगळा टंकलेखन विभाग असतो. टेकलेखनाकरिता विविध विभागांतून काम येत असते. सर्व टंकलेखक व्यग्र असतील, तर काही काम थांबून राहील. कारखान्यात यंत्रे नादुरुस्त होत असतात व दुरुस्त करणाऱ्या कर्मचाऱ्यांची संख्या मर्यादित असते. त्यामुळे काही यंत्रांना दुरुस्त होण्याची वाट पहावी लागते. मोठ्या बंदरात धक्क्यांची संख्या मर्यादित असल्यामुळे काही जहाजांना बंदराबाहेर वाट पाहत उभे रहावे लागते. कच्चा माल किंवा सुटे भाग नाहीत म्हणून कारखान्यात उत्पादन थांबवावे लागते म्हणजे उत्पादनाला वाट पहावी लागते. एकामागून एक करण्यात येणाऱ्या दोन प्रक्रियांची उत्पादनक्षमता विभिन्न असल्यास व दुसऱ्या प्रक्रियेची कार्यक्षमता कमी असल्यास पहिल्या प्रक्रियेद्वारे तयार होणारा माल साठवून ठेवावा लागेल. स्वयंचलित संदेशवहन यंत्रणेतही अशी प्रतीक्षावली निर्माण होते. अशा समस्यांचा विचार गणितीय प्रतिकृतीच्या स्वरूपात करुन विविध परिस्थितींत निरनिराळे पर्याय उपलब्ध होतात व त्यावरून योग्य निर्णय घेता येतो.
प्रतिक्षावली प्रणाली : कोणत्याही प्रतीक्षावली प्रणालीचे खालील घटक असतात : ग्राहक आगमन – प्रतीक्षावली- सेवापूर्ती- ग्राहक निर्गमन.
या ठिकाणी ‘ग्राहक’ हा शब्द व्यापक अर्थाने वापरला आहे. ज्या व्यक्तीला किंवा वस्तूला प्रतीक्षावलीत समाविष्ट व्हावे लागते अशांना ग्राहक हा शब्द वापरला आहे उदा., यंत्र, जहाज, टंकलेखनाकरिता काम, वस्तुभांडारात येणारे लोक, विमान इ. ग्राहक प्रतीक्षावलीत आल्यानंतर त्याचा प्रतीक्षाकाल तो आल्यापासून ते सेवापूर्ती होईपर्यंत असा मोजतात. सेवापूर्तीकरिता सेवा स्थाने विविध प्रकारची असू शकतील उदा., विमानाची धावपट्टी, टंकलेखन, यंत्र दुरुस्त करणारा कर्मचारी, वस्तुभांडारातील टेबल, बंदरातील धक्का, तिकिटविक्रीची खिडकी इत्यादी. पाठोपाठ येणाऱ्या ग्राहकांच्या येण्याच्या वेळेपेक्षा सेवाकाल (सेवा पूर्ण होण्यास लागणारा वेळ) जास्त असल्यास प्रतीक्षावली निर्माण होईल. सेवापूर्तीनंतर ग्राहक निर्गमन करतो म्हणजे सेवास्थान सोडतो.
ग्राहक आगमनाचे वारंवरता वंटन : ग्राहक आगमन हे नियमित कालावधीने घडतेच असे नाही. व्यवहारात प्रत्यक्ष परिस्थितीमध्ये असे दिसून आले आहे की, आगमन यदृच्छ असते आणि म्हणून ⇨ संभाव्यता सिद्धांताचा उपयोग करावा लागतो. ग्राहक संख्या पूर्णाक असल्यामुळे पृथक् यदृच्छ चलांचा (पृथक-म्हणजे अलग व सुव्यक्त-यदृच्छ मूल्ये धारण करणाऱ्या राशींचा) विचार करावा लागतो. याकरिता व्यवस्थापक उपलब्ध माहितीच्या आधारे ग्राहक आगमनाचा वारंवरता वंटन आलेख [⟶ वंटन सिद्धांत] तयार करतो. अशा आलेखात काही आगंतुक चढउतार असण्याची शक्यता असते. सदृशीकरण किंवा माँटी कार्लो पद्धतीने वरील आलेखाचे सफाईदार वक्रात रूपांतर करता येते. [⟶ सदृशीकरण माँटी कार्लो पद्धति] परंतु चढउतार जर विशिष्ट कारणाने येत असल्यास त्यांचा विचार करावा लागतो उदा., एखादा कारखाना सुटल्यानंतर नेहमीच होणारी वाहतुकीतील वाढ. परिस्थितीनुसार काही आगमन प्रक्रिया प्रमाण गणितीय (वंटन) फलनाप्रमाणे असतात उदा., प्वासाँ, द्विपद, घातीय, प्रसामान्य इ. वंटन फलने [→ वंटन सिद्धांत]. प्रत्यक्ष माहितीवर आधारीत असलेला वारंवारता वंटन आलेख व प्रमाण फलनांचे आलेख यांची तुलना करून गणितीय फलन निश्चित करणे सोयीचे असते.
आर्थिक परिणाम : मागे दिल्याप्रमाणे प्रतीक्षावलीत थांबावे लागल्यास औद्योगिक क्षेत्रात होणारे आर्थिक परिणाम काढणे अवघड असते. एखादा ग्राहक एका भांडाराच्या प्रतीक्षावलीत थांबण्यापेक्षा त्यावेळेपुरता जवळच्या दुसऱ्या भांडारात जातो किंवा वारंवार थांबावे लागत असल्यास कायमचाच दुसऱ्या भांडारात जाईल. अशा वेळी ग्राहक दुसरीकडे जाण्यामुळे बुडणारा धंदा हा आर्थिक परिणाम होईल. यंत्रे नादुरुस्त राहिल्यामुळे बुडणाऱ्या उत्पादनापासून होणारा तोटा, विमान किंवा इतर वहाने यांना थांबावे लागल्यामुळे होणारा इंधनाचा खर्च, सुट्या भागांचा साठा नसल्यामुळे आयत्यावेळी जास्त दराने सुटे भाग घेऊन उत्पादन चालू ठेवल्यास द्यावी लागणारी जादा किंमत इ. आर्थिक परिणाम म्हणून दाखविता येतील. मोठ्या उद्योगधंद्यामध्ये अशा खर्चाचे प्रमाण काळजीपूर्वक तपासावे लागते.
सेवाकाल वा प्रतीक्षाकाल : सेवास्थानावर सेवापूर्तीकरिता लागणारा सेवाकाल ग्राहक आगमनाप्रमाणेच यदृच्छ असतो. काही ग्राहकांना कमी वेळ, तर काही ग्राहकांना जास्त वेळ लागतो. यंत्राची नादुरुस्ती ज्या प्रकारची असेल त्याप्रमाणे दुरुस्तीचा कालावधी बदलतो. आगमन वारंवारता वंटन आलेखाप्रमाणेच सेवाकाल वारंवारता वंटन आलेख तयार करतात. प्रमाण गणितीय फलने पूर्वीप्रमाणेच असतात. सेवास्थानावरील खर्च सेवास्थानाच्या प्रकारावर अवलंबून असतो. हा खर्च टंकलेखन विभाग किंवा यंत्रदुरुस्ती यासारख्या ठिकाणी कर्मचाऱ्यावर होणारा खर्च, विमानतळावरील धावपट्टी किंवा बंदराचा धक्का यांवर होणारा खर्च, दूरध्वनी केंद्रात केबल व उपकरणे यांवर होणारा खर्च इ. स्वरूपाचा असू शकतो. ज्या वेळी गणितीय प्रतिकृतीतून एखाद्या समस्येवर उपाय म्हणून नवीन सेवास्थान किंवा सेवास्थाने सुचविली जातात त्या वेळी नवीन सेवास्थानावर होणारा खर्च व प्रतीक्षाकाल कमी झाल्यामुळे होणारी बचत यांचा मेळ घालावा लागतो.
प्रतीक्षावली शिस्त हे व्यवस्थापनाचे धोरण असते व त्याप्रमाणे सेवापूर्तीला अग्रहक्क दिला जातो. प्रतीक्षावली शिस्तीमध्ये पुढील काही प्रकार येतात : (१) आगमन अनुक्रमानुसार, (२) कमीत कमी सेवाकाल लागणाऱ्या ग्राहकाला अग्रक्रम, (३) ग्राहकांच्या महत्त्वानुसार अग्रक्रम. सर्वसाधारणपणे आगमन अनुक्रमानुसार सेवा ही पद्धत बऱ्याच ठिकाणी उपयोगात आणतात. विशेषतः ज्या ठिकाणी ग्राहक नाखूष होण्याची शक्यता असते उदा., डाक कार्यालय, तिकिट विक्री स्थाने, वस्तुभांडारे इत्यादी. परंतु यंत्रे दुरुस्त करण्याबाबतीत सर्वांत कमी वेळ लागणारे यंत्र प्रथम दुरुस्त करणे श्रेयस्कर असते. कारण त्यावरील उत्पादन लवकर चालू होते. अशा वेळी दुसरा प्रकार अवलंबिला जातो. अर्थात हातात असलेली सेवा पूर्ण झाल्यावर प्रतीक्षावलीतील ग्राहकांना हा निकष लावला जातो. या पद्धतीत जास्त वेळ लागणाऱ्या ग्राहकाला जास्त वेळ लागतो परंतु सरासरी प्रतीक्षाकाल कमी होतो. आंतरदेशीय मार्गावरील विमानांना देशांतर्गत मार्गावरील विमानांपेक्षा विमानतळावर उतरण्यास किंवा बंदरात लहान जहाजापेक्षा मोठ्या जहाजाला विशेषतः ज्या वेळी प्रतीक्षा खर्च जास्त असतो त्या वेळी अग्रक्रम देणे श्रेयस्कर असते.
सेवास्थाने अनेक असल्यास व निरनिराळ्या सेवास्थानांवर निरनिराळी सेवा मिळण्याची व्यवस्था केल्यास प्रत्येक सेवास्थानावर विशिष्ट सेवा मिळण्याची व्यवस्था करता येते. अनेक सेवास्थाने एकाच प्रकारच्या सेवेकरिता असतील व जसजसे ग्राहक येतील त्याप्रमाणे प्रत्येक सेवास्थानावर यदृच्छ प्रतीक्षावली बनविल्यास व प्रतीक्षावली बदलण्याची संधी न दिल्यास अनेक सेवास्थाने निर्माण करण्यापासून फायदा होत नाही कारण प्रत्येक सेवास्थानावर संपूर्ण नियोजित कार्यभार येत नाही परंतु ग्राहकांची एकच प्रतीक्षावली केल्यास ज्याप्रमाणे सेवास्थाने उपलब्ध होतील त्याप्रमाणे आगमन अनुक्रमानुसार सेवास्थाने निवडण्याची संधी दिल्यास अनेक सेवास्थाने प्रस्थापित करण्याच्या योजनेतून सरासरी प्रतीक्षाकाल कमी होतो. कारण प्रत्येक सेवास्थान जास्त कार्यक्षमतेने वापरले जाते.
सिद्धांत : खाली दिलेल्या अटींचे पालन होते असे गृहीत धरुन सर्वांत साध्या अशा प्वासाँ प्रक्रियेवर [⟶ यदृच्छ प्रक्रिया] आधारलेला प्रतीक्षावलीचा सिद्धांत मांडलेला आहे. (१) एकक कालावधीत येणाऱ्या ग्राहकांची सरासरी संख्या (λ) स्थिर आहे. ग्राहकांचे आगमन पूर्णपणे यदृच्छ आहे व त्यांची संख्या पूर्णांक आहे. (२) दोन परस्परव्यापी नसलेल्या कालावधींमध्ये येणाऱ्या ग्राहकांच्या संख्या स्वतंत्र आहेत. (३) अत्यल्प कालावधीत (dt) येणाऱ्या ग्राहकांच्या संख्येची संभाव्यता λdt आहे. म्हणजे जर अल्प कालावधी δt → 0 असेल, तर δt या कोणत्याही अल्प कालावधीत एक नवीन ग्राहक येण्याची संभाव्यता λδt + 0 (δt) असून एकापेक्षा जास्त ग्राहक येण्याची संभाव्यता 0 (δt) म्हणजे नगण्य आहे. [येथे 0 (δt) हे चिन्ह δt पेक्षा कमी कोटीची महत्ता असलेली राशी दर्शविते].
वरील अटी पूर्ण करणाऱ्या संभाव्यता वंटन फलनांपैकी येथे प्वासाँ फलन हे e-λt घेतले आहे. तसेच सेवाकाल संभाव्यता वंटन फलन घातीय e-µt हे घेतले आहे. µ ही एकक कलावधीत सेवापूर्ती होणाऱ्या ग्राहकांची सरासरी संख्या आहे. (४) ग्राहक आगमन अनुक्रमाप्रमाणे सेवा दिली जाते.
प्रतीक्षावली प्रणालीच्या स्थिर अवस्थेतील संभाव्यतेची खालील समीकरणे होतात.
λP0 = µP1 … … … … (१)
(λ + µ) Pj = µPj +1 + λPj-1 (j > 0) … (२)
येथे j हे अक्षर प्रतीक्षावली प्रणाली j ग्राहक असलेली अवस्था दर्शविते (त्यातील j-1 ग्राहक प्रतीक्षावलीत थांबणारे व एक सेवास्थानावर असतो). शून्य ह्या अवस्थेत प्रतीक्षावली प्रणाली रिकामी असते. संभाव्यता P या अक्षराने दर्शविली आहे. संभाव्यता जनक फलन
F(z) = P0(1 – pZ)–1 r= λµ-1 … … (३)
संभाव्यता मूल्ये ΣPn = 1 व Pn ≥ = 0 ह्या अटी पूर्ण करीत असल्यामुळे P0 चे मूल्य P0= (1 – p ) असे येते व उपयोगता गुणांक (1 – P0) = p असा येतो. p किंवा λµ-1 चे मूल्य एकापेक्षा कमी असल्यास प्रतीक्षावली प्रणाली थोड्या कालमर्यादेत स्थिर अवस्थेस येते. n ग्राहक प्रतीक्षावली प्रणालीत असण्याची संभव्यता Pn = (1 – p) pn अशी येते. प्रतीक्षावली प्रणालीत असणाऱ्या ग्राहकांची सरासरी संख्या L किंवा प्रतीक्षावलीची लांबी अपेक्षित मूल्यांवरून [⟶ वंटन सिद्धांत ] काढतात.
|
∞ |
∞ |
|||
|
L |
∑ |
nPn = |
∑ |
n (1 – p) pn = p (1-p)-1 |
|
n = 1 |
n = 1 |
= λ ( µ -λ) -1 … … … (४)
तसेच j ग्राहक प्रतीक्षावलीत असताना नवीन येणाऱ्या ग्राहकाला प्रतीक्षावलीत आल्यापासून सेवापूर्तीला लागणारा काल t पेक्षा जास्त लागण्याची संभाव्यता ही t या कालावधीत j किंवा कमी ग्राहकांची सेवापूर्ती होण्याच्या संभाव्यतेइतकी होईल.
संभाव्यता G ( t ) = e(λ -µ)t … … (५)
सरासरी प्रतीक्षाकाल = L /λ = 1 / µ -λ … … (६)
प्रतीक्षावली प्रणाली t पेक्षा जास्त काल रिकामी राहण्याची संभाव्यता e–λt इतकी असते.
एखाद्या वेळी एका ग्राहकाची सेवापूर्ती झाल्यावर सेवास्थान रिकामे राहण्याची शक्यता असते किंवा काही वेळा प्रतीक्षावलीतील सर्व ग्राहकांची सेवापूर्ती झाल्यावर सेवास्थान रिकामे होते. एका दिवसातील सेवास्थानाच्या व्यग्रता व रिकाम्या काळाची वाटणी कशी होते, हे पाहता येते. यंत्रांचा व्यग्रता व रिकामा काळ किंवा चालू असण्याचा व नादुरुस्त असण्याचा काळ यांचा अभ्यास उत्पादन क्षेत्रात महत्त्वाचा असतो. वर वर्णन केलेल्या प्वासाँ प्रक्रियेवर आधारलेल्या प्रतीक्षावली प्रणालीप्रमाणेच इतर विविध यदृच्छ प्रक्रियांवर आधारलेल्या प्रतीक्षावली प्रणालींचा अभ्यास करण्यात आलेला आहे. या अभ्यासावरून निरनिराळ्या परिस्थितींत (म्हणजेच यदृच्छ प्रक्रियांत) प्रतीक्षाकाल, ग्राहकांची सरासरी संख्या इं. राशींची मूल्ये काढता येतात.
विविध अभियांत्रिकी क्षेत्रांत प्रतीक्षावली सिद्धांताचा उपयोग करून उपलब्ध होणाऱ्या निरनिराळ्या पर्यायांचा खर्च व त्यांपासून होणारे उत्पन्न यांचा तपशील तयार केला जातो व उपलब्ध भांडवलातून ग्राहकांना जास्तीत जास्त चांगली सेवा देणे, हे ध्येय ठेवून निर्णय घेतले जातात.
पहा : पर्याप्तीकरण यदृच्छ प्रक्रिया संक्रियात्क अन्वेषण.
संदर्भ : 1. Benes, V. E. General Stochastic Processes in the Theory of Queues, Reading, Mass., 1963.
2. Morse, P. Queues, Inventories and Maintainance, New York, 1958.
3. Saaty, T. L. Elements of Queueing Theory, New York, 1961.
सप्रे, गो. वि.
“