अविभाज्य संख्या : ज्या संख्येला १ किंवा ती स्वतः यांखेरीज दुसऱ्या कोणत्याही संख्येने भाग जात नाही, तिला ‘अविभाज्य संख्या’ म्हणतात. उदा., २, ३, ५, ७, ११, १३ इ. आणि १ वगळता बाकीच्या संख्यांना ‘संयुक्त संख्या’ म्हणतात. उदा., ४, ६, ८, ९,…इ.
१, २, ३,… इ. धन पूर्णांकांना ‘स्वाभाविक संख्या’ म्हणतात. प्रस्तुत लेखात सर्वत्र ‘संख्या’ म्हणजे ‘स्वाभाविक संख्या’ असे समजावे.
संख्यांचे एकूण तीन गट पडतात : (१) ह्या गटात १ ही फक्त एकच संख्या आहे, (२) ज्या संख्यांना १ किंवा ती स्वतः ह्यांच्याशिवाय दुसऱ्या कोणत्याही संख्येने भाग जात नाही, अशा संख्या, (३) याव्यतिरिक्त उरलेल्या सर्व स्वाभाविक संख्या.
सर्व स्वाभाविक संख्यांच्या संचाचा, अविभाज्य संख्यांचा संच हा युक्त (मूळ संचातील सर्व घटकांचा समावेश नसलेला) उपसंच आहे, हे उघड आहे. हा संच अनंत आहे हे यूक्लिड यांनी अप्रत्यक्ष सिद्धतापद्धतीने सिद्ध केले. समजा, प१, प२, …, पक इतक्यात अविभाज्य संख्या आहेत. आता ल ही संख्या अशी घ्या की,
ल= प१प२ …पक+१
ही संख्या १ नसल्याने दोनच पर्याय संभवतात : (अ) ल ही अविभाज्य असले किंवा (आ) ती संयुक्त असेल. जर ल ही अविभाज्य असेल, तर ही संख्या आरंभीच्या प१, प२, …, पक ह्या सर्व अविभाज्य संख्यांहून मोठी असल्याने ‘इतक्याच अविभाज्य संख्या आहेत’ हे आरंभीचे गृहीत चूक होईल म्हणजेच अविभाज्य संख्या अनंत आहेत, हे सिद्ध होते. जर ल ही संख्या संयुक्त आहे असे मानले, तर तिला प१, प२, …, पक यांपैकी कोणत्याच अविभाज्य संख्येने निःशेष भाग जात नसल्याने आणखी एका अविभाज्य संख्येने तिला भाग गेला पाहिजे. म्हणजे पुन्हा ‘इतक्याच अविभाज्य संख्या आहेत’ हे गृहीत चूक ठरून मूळ विधान सिद्ध होते.
स या दिलेल्या संख्येपर्यंतच्या अविभाज्य संख्या मिळविण्याची एक पद्धत एराटॉस्थीनीझ (इ. स. पू. २७६ ?-१९५ ?) यांनी दिली आहे. २ पासून स पर्यंतच्या संख्या क्रमाने लिहाव्यात. नंतर २ सोडून २ च्या पाढ्यातील सर्व संख्या म्हणजे ४, ६, ८,… ह्या खोडाव्यात. मग २ नंतरची ३ ही अविभाज्य संख्या न खोडलेली अशी दिसेल. त्यानंतर ३ सोडून ३ च्या पाढ्यातील सर्व संख्या खोडाव्यात. मग ५ ही अविभाज्य संख्या मिळेल. इत्यादी. ह्या पद्धतीला ‘एराटॉस्थीनीझ चाळणी’ असे अन्वर्थक नाव आहे.
दिलेल्या कोणत्याही संख्येची अविभाज्य संख्यांच्या अवयवांत विघटन करता येते आणि अवयवांचा क्रम सोडला तर हे विघटन एकाच प्रकारे करता येते, हा एक महत्त्वाचा सिद्धांत असून त्याला ‘अनन्य अवयवीकरण-प्रमेय’ असे म्हणतात.
अविभाज्य संख्या मिळविण्याकरिता सूत्र मांडण्याच्या अनेक गणितज्ञांनी प्रयत्न केला. परंतु अविभाज्य संख्यांना सूत्रात बसविण्याचे सर्व पर्यत्न असफल झालेले आहेत. पुढील सूत्रे ह्या दृष्टीने मांडण्यात आली होती.
(१) फेर्मा संख्या : २२प + १, [प=०, १, २,…] या संख्यांना फेर्मा संख्या म्हणतात. या संख्या अविभाज्य असाव्यात अशी फेर्मा (१६०१-६५) या फ्रेंच गणितज्ञांची कल्पना होती. प= ०, १, २, ३, ४ घेतल्यास मिळणाऱ्या संख्या ३, ५, १७, २५७, ६५,५३७ या अविभाज्य आहेत. पण प=५ घेतल्यास मिळणारी संख्या ४,२९,४९,६७,२९७ = ६४१ X ६७,००,४१७ ही संयुक्त आहे. इतकेच नव्हे, तर इतरही पुष्कळ फेर्मा संख्या संयुक्त आहेत, असे आढळून आले.
(२) प२-प+४१ किंवा प२-७९प+१६०१, [प=०, १, २,…]या सूत्रांमुळे काही
अविभाज्य संख्यांच्या मालिका मिळतात. पण त्यांवरून मिळणाऱ्या सर्वच संख्या अविभाज्य नाहीत.
अविभाज्य संख्या-सिद्धांत : प या घन संख्येपर्यंतच्या अविभाज्य संख्यांची संख्या ﾵ (प) या चिन्हाने दर्शविल्यास ﾵ(प)/प या गुणोत्तराविषयी काय म्हणता येईल? तसेच प-वी अविभाज्य संख्या अप ने दर्शविल्यास अप आणि प यांचे संबंध काय असतील? ह्याविषयी लझांद्र (१७५२-१८३३) व गौस (१७७७-१८५५) यांनी पुढील प्रमेय मांडले. प अनंतोपगामी असता (प चे मूल्य अनंताप्रत होत असताना) ﾵ (प)/(प/लॉग प) आणि अप/(प लॉग प) यांच्या सीमा १ असतात. [ → अ‍वकलन व समाकलन]. (येथे लॉगरिथमांचा आधारांक e आहे, → लॉगरिथम). या प्रमेयाची सिद्धता १८९६ मध्ये द ला वाले पूसँ आणि हादामार्द यांनी दिली. ﾵ (प) चे आसन्न (स्थूल) मूल्य प/लॉग प या सूत्राने मिळते परंतु यापेक्षा अधिक अचून आसन्न मूल्य
प
∫ (लॉग क्ष)-१ क्ष ह्या सूत्राने मिळते.
२
अविभाज्य संख्यांसंबंधीचे पुढील प्रश्न अजूनही अनिर्णित आहेत :
(१) गोल्डबाख प्रमेय : २ या संख्येव्यतिरिक्त इतर प्रत्येक सम संख्या ही दोन अविभाज्य संख्यांच्या बेरजेच्या रूपात व्यक्त करता येते. उदा., ४ = २+२, ६ = ३+३, ८ = ५+३, १० = ७+३ इत्यादी. अनेक सम संख्याच्या बाबतीत या विधानाची सत्यता पडताळून पाहता येते. १९३१ मध्ये रशियन गणितज्ञ श्निरेलमान यांनी असे सिद्ध केले की, कोणतीही धन संख्या अविभाज्य संख्यांच्या बेरजेच्या रूपात व्यक्त करण्याकरिता ३००,००० हून अधिक अविभाज्य संख्या लागत नाहीत. हार्डी, लिट्लवुड व विख्यात भारतीय गणितज्ञ रामानुजन यांच्या पद्धतींचा उपयोग करून व्हेयनग्राडॉव्ह या रशियन गणितज्ञांनी ही संख्या ३ लक्षांवरून ४ अविभाज्य संख्यांवर आणली.
(२) प, प+२ या दोन्ही संख्या अविभाज्य असतील अशा अनेक जोड्या ज्ञात आहेत. ३, ५ ५, ७ ११, १३ १७, १९ २९, ३१ इत्यादी. पण अशा जोड्यांची संख्या अनंत आहे, हे अजून सिद्ध झालेले नाही.
पहा : संख्या संख्या सिद्धांत.
संदर्भ : Courant, R. Robbins, H. What Is Mathematics?, London, 1961.
इनामदार, चिं. शं.