सिद्घि-उपपत्ती : (प्रूफ थिअरी). सिद्घी-उपपत्ती किंवा सिद्घता उपपत्ती ही गणिती तर्कशास्त्राची शाखा आहे. ⇨ डाव्हीट हिल्बर्ट (१८६२— १९४३) या गणितज्ञाने १९२० मध्ये ही शाखा स्थापन केली. अंकगणिताचे आधार शोधण्याचा, किंबहुना संपूर्ण गणिताची मेयवादी (फिनिटिस्ट) आकारिक प्रणालीच्या स्वरुपात मांडणी करण्याचा हिल्बर्टचा जो कार्यक्रम होता (ज्याला हिल्बर्टचा कार्यक्रम— हिल्बर्ट्‌स प्रोग्रॅम— असेच म्हटले जाते), त्या कार्यक्रमाचा पाठपुरावा करत असताना, त्याचाच एक भाग म्हणून गणिती तर्कशास्त्राची ही शाखा त्याने सुरु केली.
एखादी गणिती प्रणाली किंवा तार्किक प्रणाली सुसंगत (कन्सिस्टन्ट) आहे, तसेच ती परिपूर्ण (कंप्लीट) आहे असे सिद्घ करता येते का, याचा विचार सिद्घता उपपत्तीत केला जातो. सुसंगतता ही संकल्पना तर्कशास्त्रात दोन प्रकारे वापरली जाऊ शकते. आशयनिष्ठ (सिमँटिकल) दृष्टिकोनातून किंवा पदनिष्ठ (सिन्टॅक्टिकल) दृष्टिकोनातून. ⇨ ॲरिस्टॉटलने त्याच्या तर्कशास्त्रात सुसंगतता ही संकल्पना आशयनिष्ठ दृष्टिकोनातून मांडली होती. तीनुसार कोणतीही दोन विधाने परस्परसुसंगत असतात, जी एका विशिष्ट अर्थविवरणानुसार एकाच वेळी सत्य असतील. म्हणजे येथे सुसंगतता ही आपण विधानांचा काय अर्थ करतो, यावर अवलंबून झाली. आधुनिक तर्कशास्त्रात सुसंगततेची पदनिष्ठ(म्हणजे अर्थनिर्णय-निरपेक्ष) व्याख्या केली गेली. त्यानुसार एखाद्या तार्किक कलनानुसार एखादा विधानसमूह परस्परसुसंगत असेल, जर विधान-समूहापासून ‘प आणि प नाही’ अशा आकाराचे विधान (म्हणजे व्याघातीविधान) निष्पन्न करता येत नसेल. आता या ज्या सुसंगततेच्या दोन प्रकारच्या व्याख्या आहेत (अर्थनिष्ठ आणि पदनिष्ठ), त्या एखाद्या तार्किक प्रणालीत सममूल्य असतील, तर ती तार्किक प्रणाली परिपूर्ण आहे, असे म्हणता येईल.
विविध तार्किक प्रणालींच्या बाबतींत अशी परिपूर्णता सिद्घ करणाऱ्या सिद्घता पॉल बार्नेस (१९१८), एमिल पोस्ट (१९२१) व ⇨ कूर्ट गोडेल (१९३०) यांनी दिल्या पण तार्किक प्रणालींची पूर्णता सिद्घ करण्याच्या या कार्यक्रमाला कुर्ट गोडेलने जरी सुरुवातीला पुष्टी दिली, तरी पुढे त्यानेच अनेक ‘अपूर्णता प्रमेये’ (इनकंप्लीटनेस थिअरम्स) मांडून हिल्बर्टचा कार्यक्रम कसा सयुक्तिक ठरत नाही हे दाखविले.
याच सुमारास जॉन ल्युकेझिवित्स याने १९२६ मध्ये असे दाखविले, की हिल्बर्टच्या प्रणालींमध्ये सुधारणा करुन त्याच्या आधारे तर्कशास्त्राची मूलसूत्रानुसार मांडणी करता येईल. यावर प्रतिक्रिया म्हणून स्टॅनिस्लॉ यास्कोव्हस्की (१९२९) आणि गरहार्ड गेंटझेन (१९३४) यांनी नैसर्गिक निगमन कलनाच्या (कॅल्क्युली ऑफ नॅचरल डिडक्शन) प्रणाली विकसित केल्या. पाठोपाठ गेंटझेनने क्रमवर्ती कलनाची (सिक्वेंट कॅल्क्युलसची) कल्पना मांडली. क्रमवर्ती कलनामुळे अंतःप्रज्ञावादी तर्कशास्त्राला आकारिक स्वरुप देण्यात मूलभूत सुधारणा झाल्या. नैसर्गिक निगमन यांच्या मांडणीतून विश्लेषक सिद्घता (ॲनॅलिटिक प्रूफ) ही कल्पना पुढे आली. सिद्घी-उपपत्तीचाच हा पुढील विकासक्रम होता.
सिद्घी-उपपत्तीने आपल्या उद्दिष्टपूर्तीच्या संदर्भात संयुक्त यश मिळविले असे म्हणता येईल. हिल्बर्टचे मूळ उद्दिष्ट होते, की प्रणालीची सुसंगतता मेयवादी चौकटीत सिद्घ करुन पायाभूत समस्यांचा पूर्ण उलगडा करणे परंतु हे उद्दिष्ट साध्य होऊ शकले नाही. हिल्बर्टच्या उद्दिष्टाला गेंटझेनने आणखी एका उद्दिष्टाची जोड दिली. ते उद्दिष्ट म्हणजे गणिती सिद्घांतांची संरचना समजून घेणे. शुद्घ तर्कशास्त्र आणि अंकगणिताच्या संदर्भात हे उद्दिष्ट पूर्णपणे सफल झाले. विशेषतः क्रमवर्ती कलनाच्या पद्घतीने सिद्घांतांचे विश्लेषण करणे शक्य झाले. विश्लेषणाच्या सुसंगततेची सिद्घता हे सिद्घी -उपपत्तीमागील एक मोठे उद्दिष्ट होते. त्याचा पाठपुरावा होऊ शकलेला नाही परंतु ते टाकून दिले गेलेले नाही.
कोणाही गणितज्ञाला सिद्घीची संकल्पना समजून घेणे अगत्याचे असते. गणिती निष्कर्षांचे संप्रेषण करण्यासाठी तरी ते जरुरीचे असते. त्यातून एखादी सिद्घता बरोबर आहे की नाही, ते तपासणे सरसकट शक्य व्हावे अशी अपेक्षा असते पण सिद्घता उपपत्ती हे अद्याप गणितज्ञांच्या हातातील व्यावहारिक हत्यार बनू शकलेले नाही. अलीकडे सिद्घि-संपादक (प्रूफ एडिटर्स) नामक संगणकीय प्रणालीच्या साहाय्याने गणिती सिद्घांतांचे आकारिकीकरण करण्याबाबत संशोधन झाले आहे. या संशोधनामुळे हे चित्र बदलू शकेल.
सिद्घी-उपपत्तीने संगणक विज्ञानाच्या संदर्भात काही नव्या उद्दिष्टांना जन्म दिला आहे. संगणकीय कार्यक्रम तपासणे, हा विषय सिद्घी-उपपत्तीचाच पुढील विकास आहे.
पहा : गणिताचा तात्त्विक पाया.
गोखले, प्रदीप