हरात्मक विश्लेषण : कंप पावणारी तार व दोलने करणारा साधा लंबक यांच्या गती पुनरावृत्त होत असतात. अशा गतींमध्ये केंद्रस्थानाकडे खेचणारी प्रेरणा दोलकावर कार्य करीत असते व त्या प्रेरणेचे मूल्य दोलकाने केंद्रस्थानापासून केलेल्या विस्थापनाच्या समप्रमाणात असते. मूलभूत स्वरूपात ती ⇨ सरल हरात्मक गती असते आणि ती नेहमी दोलनात्मक व पुनरावृत्त होत असते. सरल हरात्मक गतीचे गणितीय समीकरण मांडणे व त्यातून निष्कर्ष काढणे सोपे आहे.
निसर्गात असलेल्या दोलनात्मक गती अधिक जटिल स्वरूपाच्या असतात. हरात्मक विश्लेषण ही अशा जटिल स्वरूपाच्या पुनरावृत्तहोत असणाऱ्या गतींचे विश्लेषण करण्याची गणितीय पद्धत आहे. अशा गतींशी निगडित असलेले आलेखही फार गुंतागुंतीचे असतात. हरात्मक विश्लेषणाच्या पद्धतीमध्ये अशा गुंतागुंतीच्या आलेखांचे तुलनेने खूप साध्या असलेल्या अनेक सरल हरात्मक गतींच्या आलेखांमध्ये पृथक्करण केले जाते आणि त्यांच्या एकत्रीकरणातून मूळचा जटिल आलेख मिळतो. म्हणजेच हरात्मक विश्लेषण दाखविते की, जटिल दोलनात्मक गती ही अनेक सरल हरात्मक गतींच्या एकत्रित परिणामातून बनलेली असते.त्यामुळे या पद्धतीने अशा जटिल आणि पुनरावृत्त होणाऱ्या गतींचे सुद्धा गणित मांडता येते व निष्कर्ष काढता येतात.
ध्वनितरंग, प्रत्यावर्ती विद्युत् प्रवाह, समुद्रातील लाटा व अवजड यंत्रात निर्माण होणारी कंपने अशा अनेक घटना पुनरावृत्त होणाऱ्या जटिल गतीच्या स्वरूपात असतात. समजा, या गतींमध्ये होणारे विस्थापन वेगवेगळ्या वेळी मोजले व त्याचा आलेख काढला, तर विस्थापन हे कालाबरोबर कसे बदलत राहते हे तो आलेख दाखवेल. म्हणजेच तो आलेख विस्थापनाच्या कालाबरोबरचे फलन दाखवेल. विस्थापन Y- अक्षावर आणि काल X- अक्षावर असतील, तर वक्रावरील कोणत्याही बिंदूचा सहनिर्देशक y = f (x) या गणितीय समीकरणात मांडता येईल. परंतु यातील f (x) या फलनाचे स्वरूप खूप गुंतागुंतीचे आणि बहुधा अज्ञात असते.
निसर्गात ज्या घटना घडतात, त्यांच्यासाठी फलन f (x) हे ज्या (sine) व कोज्या (cosine) यांच्या अनेक पदांच्या बेरजेच्या रूपात मांडता येते. ⇨ बाराँ झां बातीस्त झोझेफ फूर्ये या गणितज्ञाने १८२२ मध्ये असे सुचविले की, कोणतीही आवर्ती गती जर y = f (x) या समीकरणाने दाखविली (x = 0 आणि x = २ π या मऱ्यादेत), तर f (x) या फलनाचे स्वरूप खालीलप्रमाणे असेल :
यालाच फूर्ये श्रेढी असे म्हणतात. (सरल हरात्मक गतीमध्ये ‘ज्या’ अथवा ‘कोज्या’ याचे फ क्त एकच पद असते, म्हणून ते फलन सर्वांत सोपे असते.)
फूर्ये श्रेढीमधील विविध पदांचे गुणांक ठरविण्याची जी गणितीय पद्धत वापरली जाते, त्याला हरात्मक विश्लेषण म्हणतात. या श्रेढीतील प्रत्येक पद हे ‘ज्या’ अथवा ‘कोज्या’ च्या स्वरूपात असल्यामुळे ते पुनरावृत्त होत असते. एका सेकंदात पुनरावृत्त होण्याच्या संख्येला वारंवारता असे म्हणतात. श्रेढीतील प्रत्येक पदाची वारंवारता वेगवेगळी असते. यातील सर्वांत लहान वारंवारता (प) ही त्या दोलनाची मूलभूत वारंवारता होय. अन्य पदांशी संबंधित असलेल्या वारंवारता मूलभूत वारंवारतेच्या पूर्णांक गुणांकाइतक्या असतात. त्यांना दोलनाचे आवर्त म्हणतात. म्हणजे प ही जर मूलभूत वारंवारता असेल, तर २प, ३प, ४प, … असे त्या दोलनाचे आवर्त असतात. कोणतेही एखादे जटिल दोलन हे मूलभूत वारंवारता आणिआवर्त वारंवारता यांच्या विशिष्ट अशा मिश्रणातून निर्माण होते.
मूलभूत वारंवारतेच्या जोडीला जेवढ्या आवर्तांचा समावेश विश्लेषणात करतात, तेवढी पदे समीकरण (१) मध्ये असल्यास, त्या पदांच्या रज्ञ आणि लज्ञ या गुणकांची मूल्ये निश्चित करावी लागतात. याप्रमाणे समीकरण (१) ची मूल्ये निश्चित करून त्याचा आलेख काढला, तर तो प्रत्यक्षातील जटिल दोलनात्मक गतीच्या आलेखाच्या जवळ जातो. जेवढ्या आवर्तांच्या संख्या अधिक असतात तेवढे दोन आलेखांमधील साधर्म्य अधिक असते.
व्यापाराच्या वृद्धीसाठी यूरोपियन राष्ट्रातील दऱ्यावर्दी जेव्हा सागरी सफरी करू लागले, तेव्हा भरती-ओहोटी आणि सागरी लाटांच्या अभ्यासाची आवश्यकता निर्माण झाली. त्यातून फूर्ये श्रेढी आणि हरात्मक विश्लेषण या शाखांचा विस्तार झाला. यासाठी जटिल गतीचे नेमके समीकरण मांडण्यासाठी फूर्ये श्रेढीत जास्तीत जास्त आवर्त घटक अंतर्भूत करणे आवश्यक होते [→ फूर्ये श्रेढी]. त्या घटकांचे गुणक निश्चित करण्यासाठी यांत्रिकी उपकरणांचा वापर करण्याची क्लृप्ती वैज्ञानिकांच्या लक्षात आली. ब्रिटिश शास्त्रज्ञ ⇨ बॅरन विल्यम टॉमसन केल्व्हिन यांनी यासाठी १८७३ मध्ये असे पहिले उपकरण बनविले, त्यात ११ आवर्त घटकांचे एकत्रीकरण करण्यात येत असे. १८९८ मध्ये यापेक्षा मोठे यंत्र ⇨ आल्बेर्ट आब्राहम मायकेलसन आणि सॅम्युएल डब्ल्यू. स्ट्रॅटन या अमेरिकन संशोधकांनी बनविले, त्यात ८० आवर्त घटकांचे एकत्रीकरण होत असे. गणित आणि यांत्रिकी उपकरण यांची सांगड घालणाऱ्या या शाखेचा विस्तार होऊन त्यातूनच पुढे यांत्रिक गणनयंत्रे बनविली गेली.
सागराच्या लाटांखेरीज ध्वनितरंगांच्या अभ्यासासाठी आता ही पद्धत वापरतात. विद्युत् प्रवाह हे अत्यंत गुंतागुंतीचे प्रत्यावर्ती तरंग असल्याने त्यांचेही पृथक्करण या पद्धतीने केले जाते.
पानसे, सुधीर