गणितीय विगमन

गणितीय विगमन : गणितीय विगमन या संज्ञेतील विगमन हा शब्द जरी रूढ झालेला असला, तरी तो तर्कशास्त्रातील अर्थाने येथे वापरलेला नाही. गणितीय विगमन हे इतर शास्त्रांतील विगमनाहून वेगळे आहे. इतर शास्त्रांत काही भागाच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करून त्यावरून संपूर्णाच्या गुणधर्माचे विगमन केले जाते. पण ते संपूर्णत: सत्य म्हणून स्वीकारणे धोक्याचे असते. त्या गुणधर्मांविरुद्ध आढळलेली एखादी घटनासुद्धा निष्कर्ष खोटा ठरवू शकते. याउलट विवेचन पद्धती निर्दोष असेल, तर गणितीय विगमनाने काढलेला निष्कर्ष संपूर्णत: बरोबर असतो.

थोडक्यात, गणितीय विगमन हा तर्कशास्त्रीय विगमन पद्धतीचाच एक भाग असून तो स्वयंसिद्धक (स्वत: सिद्ध असणारा व सामान्यत: ग्राह्य मानण्यात येणारा) वा गृहीतकच आहे व गणिताच्या इतर शाखांप्रमाणेच गणितीय विगमनाने दिलेली सिद्धता ही विगमनीयच असते.

एखादे गणितीय विधान सर्व स्वाभाविक संख्यांसाठी (धन पूर्णांकांसाठी) सत्य आहे हे सिद्ध करण्याकरिता उपयुक्त असलेली गणितीय विगमन ही एक महत्त्वाची पद्धत आहे. स्वाभाविक संख्यांचे सामान्यपणे दोन अर्थ प्रचलित असून काही गणितज्ञ ही श्रेणी ०, १, २, ३, … म्हणजे शून्यापासून सुरू होते असे मानतात आणि इतर काही गणितज्ञ ही श्रेणी १, २, ३, … अशी म्हणजे एकपासून सुरू होते असे मानतात. अर्थात गणितीय विगमनाच्या विवरणासाठी यांपैकी कोणतीही व्याख्या स्वीकारता येते व सैद्धांतिक दृष्ट्या हा भेद फारसा महत्त्वाचा नाही.

विगमन तत्त्व : या तत्त्वाचे दोन भाग आहेत : (१) जर एखादे गणितीय विधान प या कोणत्याही स्वाभाविक संख्येबाबत सत्य असेल, तर क्रमाने त्यानंतर येणाऱ्या प + १ संख्येबाबतही ते सत्य असते व (२) ते विधान शून्य (अथवा एक) या संख्येबाबत सत्य असते. असे असेल तर दिलेले विधान सर्व स्वाभाविक संख्यांबाबत सत्य आहे असे सिद्ध होते. हे वरवर पाहता अगदी साधे व सोपे असणारे तत्त्व गणितशास्त्रात फार महत्वाचे मानले जाते. एखादे गणितीय विधान वा सूत्र कोणत्याही पूर्णांकासाठी सत्य आहे असे म्हटले तरी त्याची सत्यता प्रत्येक पूर्णांकासाठी (ते अनंत असल्यामुळे) पडताळून पाहणे केवळ अशक्यच आहे. साधारणपणे अशी प्रवृत्ती होते की पहिल्या पाच-पन्नास पूर्णांकांकरिता पहावे म्हणजे झाले. पण पुढे ते सूत्र कशावरून अग्राह्य ठरणार नाही ? याकरिता शास्त्रोक्त सिद्धता देण्याचा मार्ग म्हणजे गणितीय विगमन तत्त्व. खालील उदाहरणावरून हे तत्त्व अधिक स्पष्ट होईल.

समजा, १ + २ + ४ +   …   + २^प = २ ^प + १ – १ हे सूत्र प या कोणत्याही धन पूर्णांकाकरिता सिद्ध करावयाचे असेल, तर विगमन तत्त्वानुसार ही सिद्धता दोन भागांत करावी लागेल. प्रथम हे सूत्र प साठी सत्य मानून प + १ या मूल्यासाठी त्याची सत्यता सिद्ध करावी लागेल. म्हणजेच १ + २ + ४ +  …  + २^{प + १} = २^{प + २} – १ असे सिद्ध करावे लागेल. दुसऱ्या भागात प = ० (अथवा १) धरून सूत्र सत्य आहे असे दाखवावे लागेल. यांपैकी पहिल्या भागाची सिद्धता दिलेल्या सूत्राच्या दोन्ही बाजूंस २^{प + १} ही संख्या मिळवून करता येईल. जसे,  

१ + २ + ४ +  …  + २^प + २ ^{प + १} = २ ^{प + १} – १ + २ ^{प + १} 

                                               = २ x २ ^{प + १} – १ 

                                               = २ ^{प + २} – १ 

दुसऱ्या भागात प = ० मानले असता १ = २ – १ हे सिद्ध होते. यावरून दिलेले सूत्र प च्या कोणत्याही धन पूर्णांकी मूल्याबाबत सत्य आहे असे सिद्ध होते. अशा प्रकारे केलेल्या सिद्धतेला विगमन तत्त्वाने केलेली सिद्धता म्हणतात.

स्वाभाविक संख्या या शून्यापासून केवळ अनुक्रम तत्त्वाच्या वापराने उत्पन्न होत असल्याने आणि दिलेले विधान शून्याबाबत खरे असल्यास आणि कोणत्याही एका पूर्णांकाबाबत सत्य असता त्याच्या नंतरच्या पूर्णांकाकरिताही सत्य असल्यास शून्यापासूनच्या सर्व संख्यांबाबत ते सत्य असणारच असे या पद्धतीचे सहज पटणारे समर्थन करता येते.

तर्कशास्त्रीय दृष्टिकोन :तर्कशास्त्रातील विगमन पद्धती आणि गणितातील विगमन पद्धती यांमध्ये बराच फरक आहे. वास्तविक गणितीय विगमन हा तर्कशास्त्रातील निगमन पद्धतीचाच एक भाग आहे. तर्कशास्त्र दृष्ट्या या पद्धतीचे महत्त्व आणि गणितशास्त्रातील तिचे स्थान हा वादाचा विषय आहे. पेआनो यांनी केलेल्या अंकगणिताच्या सैद्धांतिक विवरणानुसार स्वाभाविक संख्या, शून्य व अनुक्रम नियम या तीन मूलभूत संकल्पना मानलेल्या आहेत आणि या विवरणात गणितीय विगमन एक प्रारंभिक स्वयंसिद्धकच होते. प्वँकारे यांनी कांट यांच्या तत्त्वज्ञानानुसार विगमन तत्त्वाचे तर्कशास्त्रीय सिद्धांतावरून समर्थन करणे अशक्य असून हे तत्त्व स्वयंसिद्ध असून अनुभवजन्यही आहे असे मत व्यक्त केले. त्यांच्या मते हे तत्त्व गणितशास्त्राचे पायाभूत तत्त्व आहे. फ्रेग व रसेल यांनी यांच्या बरोबर विरुद्ध दृष्टिकोन स्वीकारला असून त्यांनी अंकगणिताच्या मूलतत्त्वांविषयी केलेल्या तार्किक विवरणात संचांक (संचातील घटकांची संख्या), शून्य आणि अनुक्रम नियम या तार्किक संकल्पना मानून त्यांच्या आधारे विगमन सिद्धांत सिद्ध करून दाखविला आहे.

सुक्रमण तत्त्व व सांतातीत विगमन : स्वाभाविक संख्यांचा एक विशेष गुण असा की, त्यांतील दिलेल्या कोणत्याही दोन संंख्यांमध्ये लहानमोठी असा क्रम लावता येतो यालाच अनुक्रम तत्त्व म्हणतात. म्हणजेच स्वाभाविक संख्यांचा संच क्रमित असून शून्य ही त्यातील सर्वांत लहान संख्या आहे. स्वाभाविक संख्यांच्या संचाच्या कोणत्याही अरिक्त उपसंचात एक संख्या सर्वांत लहान असते व याच गुणविशेषास सुक्रमण तत्त्व म्हणतात. विगमन तत्त्व या सुक्रमण तत्त्वाच्या आधारेच प्राप्त होते. समजा, वि हे एक विगमन तत्त्वानुसारी विधान आहे. जर काही स्वाभाविक संख्यांच्या बाबतीत हे विधान असत्य असेल, तर प + १ ही त्या संचातील सर्वांत लहान संख्या मानू. आता शून्याच्या बाबतीत वि सत्य आहे व त्याचप्रमाणे प (प + १ पेक्षा लहान असल्यामुळे) बाबतही सत्य आहे. पण वि हे विगमन तत्त्वानुसारी असल्याने प + १ बाबतीत सत्य असले पाहिजे. म्हणजेच या ठिकाणी विरोध उत्पन्न झाला आणि म्हणून कोणत्याही स्वाभाविक संख्येकरिता हे विधान असत्य असणार नाही. यामुळे विगमन तत्त्वानुसार एखाद्या विधानाची सिद्धता करताना ते विधान प हून लहान असणाऱ्या प्रत्येक संख्येकरिता सत्य आहे, तेव्हा ते प करिताही सत्य आहे असे दाखविल्यास सिद्धता पूर्ण होते. स्वाभाविक संख्यांचा संच सुक्रमित असल्यानेच हे शक्य होते. ही पद्धती स्वाभाविक संख्यांसंबंधीच्या विधानांबाबत पूर्वी दर्शविलेल्या पद्धतीपेक्षा वेगळी नसली, तरी सांतातीत विगमन या नावाने सांतातीत संख्यांसंबंधीच्या [→  संख्या] विधानांच्या सिद्धतेकरिता वापरता येते. त्याचप्रमाणे एखाद्या संचाच्या प्रत्येक अरिक्त उपसंचातील घटकांचा जर क्रम निश्चित करता येत असेल (म्हणजे ज्याला ‘प्रथम’ म्हणता येईल असा घटक त्यात असेल), तर त्यामधील घटकांच्या संबंधीच्या विधानांची सिद्धताही या तत्त्वानुसार करता येते. या तत्त्वाला सांतातीत विगमन तत्त्व म्हणतात. गणितीय विगमन हे सांतातीत विगमनाचा विशेष प्रकार समजता येईल. या तत्त्वाचे स्वरूप पुढीलप्रमाणे आहे :

स हा एक संच आणि &lt हा त्यातील एक द्विमान संबंध (संचातील दोन घटकांमध्ये असणारा संबंध) घेऊ. (स, &lt )हा सुक्रमित असणे म्हणजेच (१) क्ष &lt क्ष  हे स मधील कोणत्याही क्ष  करिता अशक्य. (२) क्ष &lt य, य &lt झ  असल्यास क्ष &lt झ असते. (३) स च्या प्रत्येक अरिक्त उपसंचात &lt ह्या संबंधांच्या दृष्टीने ‘प्रथम’ घटक असतो.

सांतातीत विगमन तत्त्व : जर (१) एखादे विधान स च्या अ  ह्या प्रथम घटकाकरिता सत्य असेल आणि (२) स मधील क करिता सत्य असता क च्या अनुक्रमजाकरिताही (क्रमाने लगेच असणाऱ्या घटकाकरिताही) (क &lt ख असेल अशा ख घटकांच्या उपसंचाचा प्रथम घटक असल्यास) सत्य असेल तर ते विधान स च्या सर्व घटकांकरिता सत्य असते.

एखादे विधान क, क + १, क + २, … या स्वाभाविक संख्यांबाबत असेल आणि जर (१) ते विधान म या मूल्याकरिता सत्य असेल तर म + १ याकरिता सत्य असते आणि (२) ते विधान क बाबत सत्य आहे, तर ते विधान या तत्त्वानुसार म च्या म ³ क या सर्व मूल्यांबाबत सत्य असते. मूळ विमगन तत्त्वात आणि या पद्धतीत फरक इतकाच की, ०, १, २, …या श्रेणीऐवजी क, क + १, … ही श्रेणी येते. उदा., प ³ २ करिता, अ ० असेल तर

(१ + अ)^प १ + प^अ

आता (१ + अ)^{प + १} = (१ + अ)^प (१ + अ)

&gt (१ + पअ) (१ + अ)

= १ + (प + १) अ + पअ^२

&gt १ + (प + १)अ

आणि (१अअ)^२ = १ + २अ + अ^२

&gt१ + 2अ

म्हणून प ³ २ या मूल्याकरिता वरील विधान सत्य आहे.

मर्यादा : गणितीय विमगनाच्या तत्त्वाचा विधानांच्या सिद्धतेसंबंधी वापर करीत असताना त्याच्या दोन्ही भागांत अनुस्यूत असणाऱ्या अटी दिलेल्या विधानाच्या संदर्भात पुऱ्या होतात याची खात्री करून घेणे आवश्यक आहे. यांपैकी एकाच अटीची पूर्तता होत असेल, तर सिद्धता अपूर्ण राहील व त्यामधून गणितीय विसंगती उद्‌‌भवेल.

गणितीय विगमन तत्त्वाचे दुसरे रूप : वरील तत्त्वाचे पुढे मांडलेले दुसरे रूपही महत्त्वाचे आहे. जर एखादे विधान (१) १ ह्या संख्येकरिता सत्य असेल आणि (२) १, २, …, प – १ या संख्यांकरिता सत्य असल्यास प करिताही सत्य असेल, तर ते विधान सर्व स्वाभाविक संख्यांकरिता सत्य असते.

तत्त्वत: पहिल्या आणि ह्या तत्त्वात फरक नाही, कारण कोणत्याही एकावरून दुसरे सिद्ध करता येते. परंतु जेथे पहिले उपयोगी पडेल तेथे दुसरे पडतेच, मात्र काही वेळा दुसरे उपयोगी पडले तरी पहिले पडेलच असे नाही. यामुळे काही लेखक पहिल्याला गणितीय विगमन तत्त्वाचे दुर्बल रूप आणि दुसऱ्याला सबल रूप म्हणतात. उदा., प्रत्येक धन पूर्णांकाचे अविभाज्य संख्यांमध्ये अवयवीकरण करता येते. (१) १ चे अवयवीकरण करण्याचा प्रश्न उद्‌भवत नाही, (२) आता न ही एक संख्या घेऊ व तिच्याहून लहान अशा सर्व पूर्णांकांचे इष्ट अवयवीकरण शक्य असल्याचे मानू. जर न ही संख्या स्वत:च अविभाज्य असेल तर प्रश्न नाही. नसेल तर न = क x ख असे लिहिता येईल आणि क &lt न आणि ख &lt न असेल. पण मग क आणि ख यांचे इष्ट अवयवीकरण शक्य आहे म्हणून न चे अवयवीकरण शक्य आहे. म्हणून सर्व धन अपूर्णांकांचे अवयवीकरण शक्य आहे, हे सिद्ध होते. हे प्रमेय पहिल्या तत्त्वाच्या साहाय्याने सिद्ध करता येणार नाही. 

संदर्भ : 1. Russel, B. Introduction to Mathematical Philosophy, London, 1920.

     2. Russel, B. The Principles of Mathematics, London, 1956.  

इनामदार, चिं. स. राईलकर, म. रा.

“