गणितीय कोष्टके

गणितीय कोष्टके : गणित, सांख्यिकी (संख्याशास्त्र), ज्योतिषशास्त्र, भौतिकी, अभियांत्रिकी व इतर अनुप्रयुक्त (व्यवहारोपयोगी) विज्ञानांतील संगणनाच्या कामाचा त्रास कमी करण्याच्या दृष्टीने कोष्टकरूपाने मांडलेल्या मूल्यांच्या संचाला गणितीय कोष्टक म्हणतात. पावकी, निमकी, अडीचकी इ. कोष्टके निरनिराळ्या संख्यांच्या निरनिराळ्या पटी चटकन मिळविण्यास उपयोगी पडतात. सामान्यतः लॉगरिथम, त्रिकोणमितीय व इतर गणितीय फलनांची (संबंधांची) मूल्ये देणारी कोष्टके आणि अविभाज्य संख्या, संख्यांचे घात, गणितीय स्थिरांक इ. विशेष महत्वाच्या राशींची कोष्टके यांना गणितीय कोष्टके असे संबोधण्यात येते. विमाविषयक कोष्टके, ज्योतिषशास्त्रीय कोष्टके, भौतिक राशीच्या मूल्यांची यादी इ. प्रयोगसिद्ध पद्धतीने तयार केलेल्या कोष्टकांनाही स्थूल अर्थाने गणितीय कोष्टके म्हणतात.

कोष्टक वापरून संगणनात प्रत्यक्ष किती वेळ वाचला यावरून त्या कोष्टकाच्या खऱ्या उपयुक्ततेचे अनुमान करता येते.उदा., दहा दशांश स्थळांपर्यंतचे वर्गमूळाचे कोष्टक हे वर्गांच्या कोष्टकापेक्षा अधिक उपयुक्त असते, कारण एखाद्या संख्येचा वर्ग काढण्यापेक्षा वर्गमूळ काढण्याकरिता अधिक वेळ लागतो. एखादे कोष्टक तयार करण्यास किती परिश्रम द्यावे लागतात यावर त्याची उपयुक्तता अवलंबून नसते कारण एकदा कोष्टक तयार केले की ते कायम स्वरूपाचे होते. कोष्टक वापरल्यामुळे वेळ व श्रम वाचण्याबरोबरच अचूकतेचीही खात्री राहते.

मूलभूत संकल्पना : बहुतेक गणितीय कोष्टकांत क्ष या स्वयंचलाच्या काही मूल्यांनुसार एखाद्या विशिष्ट फलनाची, फ (क्ष) ची, संख्यात्मक मूल्ये दिलेली असतात. उदा., लॉगरिथम कोष्टकात क्ष या स्वयंचलाच्या १ ते १०,००० या व्याप्तीतील मूल्यांनुसार लॉग क्ष या फलनाची मूल्ये दिलेली असतात. कोष्टकात दिलेल्या मूल्यांना (म्हणजे फलन मूल्यांना) नोंदी म्हणतात आणि ज्या मूल्यांवर (म्हणजे क्ष च्या मूल्यांवर) कोष्टक आधारलेले असते. त्यांना नियंता मूल्ये म्हणतात. अशा कोष्टकाला एक-नोंद कोष्टक म्हणतात. काही कोष्टकांत दोनचलांच्या नियंता मूल्यावर अवलंबून असलेल्या फलनाची मूल्ये दिलेली असतात. उदा., गुणाकाराचे कोष्टक. अशा कोष्टकाला द्वि-नोंद कोष्टक म्हणतात.

ज्या फलनाचे कोष्टक तयार करावयाचे असेल त्या फलनाचे स्वरूप, नोंदीच्या मूल्याच्या आसन्नतेची (अंदाजाची) कोटी व कोष्टक वापरण्याचा उद्देश यांवर कोष्टकाची लांबी व आकारमान अवलंबून असते. उदा., क्ष ची मूल्ये, अंश, मिनिटे व सेकंद या परिमाणांत दिलेली असतील, तर ज्या  क्ष चे किंवा कोज्या  क्ष चे कोष्टक तयार करण्यासाठी क्ष ची मूल्ये ०^० ते ९०^० या व्याप्तीत योग्य त्या अंतरालात घेतल्यास पुरेशी होतात कारण या फलनांची तीच मूल्ये पुन्हा इतर चतुर्थात येतात. परंतु जर क्ष अरीयमानात [→ कोन] दिलेला असेल तर π चे मूल्य अपरिमेय (दोन पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या स्वरूपात मांडता न येणारे) असल्यामुळे पूर्ण कोष्टक तयार करण्यासाठी क्ष ची मूल्ये ० ते ∞ अशी घ्यावी लागतील. नियंता मूल्ये ज्या एकूण अंतरालातील घेतलेली असतील त्याला कोष्टकाची व्याप्ती म्हणतात. दोन लागोपाठच्या नियंता मूल्यांमधील अंतरालास कोष्टकीय अंतराल म्हणतात. उदा., ज्या  क्ष च्या कोष्टकात ०^० ते ९०^० ही कोष्टकाची व्याप्ती व दोन लागोपाठच्या क्ष च्या मूल्यांतील १० मिनिटे हा फरक म्हणजे कोष्टकीय अंतराल होय. कोष्टकातील नोंदी जितक्या दशांश स्थळांपर्यत काढलेल्या असतात त्याला कोष्टकाचे स्थानमूल्य म्हणतात. उदा., पाच दशांश स्थळांपर्यंत लॉगरिथम मूल्ये देणाऱ्या कोष्टकाला पाच स्थानमूल्याचे कोष्टक म्हणतात. काही वेळा नोंदीतील दशांश स्थळांपेक्षा त्यातील सार्थ अंक लक्षात घेणे जास्त महत्त्वाचे असते. कोष्टकाचे आकारमान हे त्याची व्याप्ती, कोष्टकीय अंतराल आणि स्थानमूल्य यांवर अवलंबून असते. बहुतेक व्यावहारिक कामास चार किंवा पाच दशांश स्थळांपर्यंत तयार केलेली कोष्टके पुरेशी असतात. तथापि काही फलनांसाठी यापेक्षा अधिक दशांश स्थळांची कोष्टके आवश्यक असतात. उदा., ५, ७, १० आणि २० अंकी लॉगरिथम कोष्टके उपलब्ध आहेत. कोष्टकाची व्याप्ती, कोष्टकीय अंतराल व स्थानमूल्य दर्शविण्यासाठी पुढील पद्धत रूढ आहे. उदा., १५ दशांश स्थळापर्यंत तयार केलेल्या ज्या  क्ष फलनाच्या कोष्टकात ०^० ते ९०^० या व्याप्तीत १० अंतरालाने नोंदी दिलेल्या असतील, तर अशा कोष्टकाचे निर्देशन ‘ज्या  क्ष ची मूल्ये क्ष =[०^० (१०”) ९०^० १५ द] या मूल्यांकरिता दिलेली आहेतʼ असे करतात. याचप्रमाणे ‘e^क्ष या फलनाची मूल्ये क्ष = [१ (·०००१) २·५ (·००१) ५  १५ द] या मूल्यांकरिता दिलेली आहेतʼ याचा अर्थ e^क्ष या फलनाची क्ष = १ ते क्ष = २·५या व्याप्तीत ०·०००१ अंतरालाने आणि क्ष = २·५ ते क्ष = ५ या व्याप्तीत ०·००१ अंतरालाने १५ दशांश स्थळांपर्यंत मूल्ये दिलेली आहेत. कोष्टक तयार करताना दशांश स्थळांऐवजी सार्थ अंक लक्षात घेतले असतील तर ‘दʼ ऐवजी ‘साʼ लिहितात. उदा., ‘e^क्ष या फलनाची मूल्ये क्ष =[ -१०० (१) १०० १९ सा] या मूल्यांकरिता दिलेली आहेतʼ.

जर कोष्टकीय अंतराल अशा प्रकारे निवडले असेल की, कोष्टकात न दिलेल्या नियंता मूल्यांकरिता फलनाचे मूल्य असल्यास ते रैखिक (एकघाती) अंतर्वेशनाने [→ अंतर्वेशन व बहिर्वेशन] कोष्टकाच्या निर्देशित स्थानमूल्यापर्यंत काढता येईल, तर त्या कोष्टकाला रैखिक कोष्टक म्हणतात. उदा., लॉग ज्या  क्ष या फलनाच्या पाच स्थानमूल्यांच्या कोष्टकाचे कोष्टकीय अंतराल जर एक मिनिट असेल तर ०^० जवळच्या मूल्यांखेरीज बाकी सर्व नियंता मूल्यांकरिता हे कोष्टक रैखिक असते. रैखिक कोष्टकांच्या बाबतीत कोष्टकांकित फलनाबरोबरच त्याच्या व्यस्त फलनाची मूल्येही त्याच कोष्टकावरून मिळू शकतात. उदा., लॉगरिथमांच्या रैखिक कोष्टकावरून प्रतिलॉगरिथमची मूल्ये, ज्या  क्ष च्या रैखिक कोष्टकावरून ज्या  ^-१ क्ष ची मूल्ये तसेच वर्गांच्या रैखिक कोष्टकावरून वर्गमूळेही काढता येतात.

जेव्हा दीर्घ व्याप्तीतील फलनमूल्ये आवश्यक असतील तेव्हा कोष्टकाचे आकारमान बरेच मोठे करावे लागते. आकारमान मोठे न करता रैखिक अंतर्वेशनासाठी पुरेसे लहान कोष्टकीय अंतराल निवडणे बऱ्याच वेळा अशक्य असते. याकरिता द्वितीय व अधिक उच्च कोटींची अंतरे कोष्टकात दिलेली असतात. जुन्या कोष्टकांत न्यूटन-ग्रेगोरी अंतर्वेशन सूत्रात उपयोगी पडणारी Δ,Δ^२ इत्यादी अंतरे दिलेली आढळतात. अलीकडच्या कोष्टकांत एव्हरेट अंतर्वेशन सूत्र वापरण्यात येत असल्यामुळे δ^२, δ^४ इत्यादी मध्य अंतरे दिलेली असतात. काही कोष्टकांत अंतराच्या ऐवजी फलनांचे अवकलज [→ अवकलन व समाकलन] दिलेले असतात व तेथे पुढील अंतर्वेशन सूत्र वापरण्यात येते.  

फ (क्ष + अ ह ) = फ (क्ष) + अ ह फ´ (क्ष)  + १/२ अ ^२ ह ^२ फ ” (क्ष) + …

येथे ह हे कोष्टकीय अंतराल, क्ष हे कोणतेही नियंता मूल्य, अ हा अपूर्णांक व फ´(क्ष), फ” (क्ष) इत्यादी फ(क्ष) चे अवकलज आहेत.

ज्या कोष्टकांत अंतर्वेशनासाठी द्वितीय व उच्च कोटीची अंतरे लागतात त्या कोष्टकांच्या बाबतीत व्यस्त अंतर्वेशन करणे बऱ्याच वेळा अवघड असते. त्यामुळे अशी कोष्टके व्यस्त फलनाची मूल्ये काढण्यासाठी उपयोगी पडत नाहीत. यामुळे जर कोष्टकीय अंतराल पुरेसे लहान निवडले, तर फलन मूल्ये व त्यांची व्यस्त फलन मूल्ये मिळविण्यासाठी दोन निरनिराळी कोष्टके आवश्यक असतात. अशा प्रकारची लॉगरिथम व प्रतिलॉगरिथम यांची कोष्टके, ज्या  आणिज्या ^-१ यांची कोष्टके इ. दिलेली असतात.

बऱ्याचशा कोष्टकांत अंतर्वेशन सुलभतेने आणि जलद करता यावे ह्याकरिता प्रमाणित भाग, माध्य अंतरे, कोष्टकीय अंतरे इ. दिलेली असतात [→ अंतर्वेशन व बहिर्वेशन].

गॅमा फलनाचे दशमाधार लॉगरिथम आणि प्रसामान्य वंटनाचे वारंवारता फलन [ → वंटन सिद्धांत] यांच्या कोष्टकांचे थोडे भाग उदाहरणादाखल खाली दिले आहेत.

Γ (प) = _0 ∫^∞ _क्ष प – १ _e -क्ष d क्ष = _0 ∫^१ [ लॉग _e(१/क्ष) ] ^१/प d क्ष.

प्रसामान्य वंटनाचे वारंवारता फलन य = १/√२π e-१/२ क्ष^२  प्रथम व द्वितीय अंतरासह. 

कोष्टकाचे संगणन : कोष्टके तयार करण्यासाठी विविध गणितीय प्रयुक्त्या वापरण्यात आलेल्या आहेत. याकरिता फलन सिध्दांत आणि ⇨सांत अंतर कलन  या विषयांची चांगली माहिती असणे आवश्यक असते.

कोष्टक तयार करण्यासाठी प्रथम कोष्टकाची व्याप्ती, नोंदीची आसन्नता आणि कोष्टकीय अंतराल ही निश्चित करणे आवश्यक आहेत. कोष्टक ज्या कामासाठी वापरावयाचे आहे, त्यावर त्याची व्याप्ती व आसन्नता मुख्यत: अवलंबून असतात आणि कोणत्या प्रकारचे अंतर्वेशन वापरावयाचे आहे यावर कोष्टकीय अंतराल अवलंबून असते. जर रैखिक अंतर्वेशन वापरावयाचे असेल तर कोष्टकीय अंतराल आसन्नतेच्या कोटीवर अवलंबून असते. बहुतेक वेळा कोष्टकीय अंतराल ।Δ^२ फ (क्ष) । = ह ^२ । D^२ फ (क्ष) । या सूत्रावरून काढता येते. यात ह = कोष्टकीय अंतराल, ।Δ^२ फ (क्ष) । म्हणजे क्ष या नियंता मूल्यापाशी फ (क्ष) च्या द्वितीय अंतराचे केवल मूल्य आणि । D ² फ (क्ष) । = फ (क्ष) च्या द्वितीय अवकलजाचे केवल मूल्य.

कोष्टकीय अंतराल निश्चित केल्यानंतर निवडलेल्या व्याप्तीतील निरनिराळ्या नियंता मूल्यांकरिता फलन मूल्ये काढावी लागतात. पूर्वी याकरिता फार किचकट पद्धती वापराव्या लागत, पण आता गणितीय विश्लेषणातील अनेक प्रभावी पध्दती उपलब्ध झालेल्या असून अनेक प्रकारचे फलनांचे उपयोगी पडतात. उदा., ज्या  क्ष या फलनाचे कोष्टक तयार करण्यासाठी 

ज्या  क्ष = क्ष – क्ष^३/३! + क्ष^५/५! …   …   …   …   …

ही घात श्रेढी वापरता येते. या श्रेढीवरून दहा किंवा अधिक दशांश स्थळांपर्यंतची आसन्नता सहज मिळू शकते. घात श्रेढींखेरीज अनंतवर्ती श्रेढी, परंपरित अपूर्णांक (एक संख्या अधिक एक अपूर्णांक, या अपूर्णांकाचा पुन्हा छेद एक संख्या अधिक एक अपूर्णांक इ.), उपसादन प्रक्रिया (क्रमाक्रमाने अधिकाधिक आसन्न असणारी मूल्ये काढण्याची एक प्रक्रिया), जात्य फलनांच्या रूपातील विस्तार, व्यस्त क्रमगुणित श्रेढी आणि इतर प्रकारच्या श्रेढी कोष्टके तयार करण्यासाठी उपयोगी पडतात. श्रेढींच्या अभिसारितेची (श्रेढीच्या पहिल्या प पदांची बेरीज, प अमर्यादपणे वाढताना, एखाद्या सीमेप्रत जाण्याची) त्वरा वाढविण्यासाठी काही गणितीय प्रयुक्त्याही उपलब्ध आहेत. अंतर्वेशन, संख्यात्मक समाकलन, अवकलन इ. क्रियांसाठी सांत अंतर कलनातील विविध सूत्रे वापरता येतात [→ सांत अंतर कलन]. 

कोष्टक तयार करताना निवडलेल्या व्याप्तीतील काही आधार नियंता मूल्यांसाठी फलन मूल्ये प्रथम काढतात. ही मूल्ये अंतिम कोष्टकात ठेवावयाच्या दशांश स्थळांपेक्षा अधिक दशांश स्थळांपर्यंत काढण्यात येतात. नंतर या आधार मूल्यांच्या मध्यंतरीच्या मूल्यांकरिता साध्या अंतर्वेशनाने फलन मूल्ये मिळविता येतात. पण जेव्हा मध्यंतराची अनेक मूल्ये मिळविणे आवश्यक असते, तेव्हा कोष्टकीय अंतरालकरिता फलन मूल्यांतील अंतरे मिळविण्यासाठी आधार मूल्यांतील अंतरांचा उपयोग करता येतो आणि नंतर त्यावरून कोष्टकीय मूल्ये काढता येतात.

विस्तृत कोष्टके तयार करताना फलनांच्या काही मूलभूत गुणधर्माचा उपयोग करणे इष्ट ठरते. उदा., क्ष = १ व क्ष = २ यांतील मूल्यांसाठी गॅमा फलन Γ (क्ष) च्या मूल्यांचे कोष्टक तयार केलेले असेल तर क्ष = २ ते क्ष = ३ यांतील मूल्यांकरिता कोष्टकाचा विस्तार करण्यासाठी Γ (क्ष + १) = क्ष  Γ(क्ष) या गॅमा फलनाच्या गुणधर्माचा उपयोग करता येतो. उदा., Γ(२·३५) चे मूल्य Γ(१·३५) ला १·३५ ने गुणून मिळविता येते. याचप्रमाणे पुढील विस्तारासाठीही या गुणधर्माचा उपयोग करता येईल. असे सोईस्कर गुणधर्म उपलब्ध नसल्यास फ (क्ष + ह) = फ (क्ष) + ह फ´(क्ष) + १/२ ह ^२ फ “(क्ष) + … या श्रेढीचा योग्य प्रकारे उपयोग केल्यास विस्तृत व्याप्तीतील फलन मूल्ये काढता येतात. समजा, एखादे फलन मूल्य क्ष या नियंता मूल्याकरिता काढलेले आहे आणि फ´(क्ष), फ” (क्ष) इत्यादी अवकलजांची क्ष पाशील मूल्ये काढली आहेत. यावरून क्ष + १ या मूल्याकरिता फलन मूल्य काढण्यासाठी ह चे मूल्य ० ते १ घेऊन वरील श्रेढी वापरता येईल. त्यापुढील फलन मूल्यांकरिता क्ष + १, क्ष + २ इत्यादी. मूल्यांसाठी ही श्रेढी वापरून कोष्टकाचा विस्तार करता येईल. J ₀ (क्ष) आणि J _१(क्ष) या बेसेल फलनांची मोठ्या व्याप्तीकरिता कोष्टके तयार करण्यासाठी याच पद्धतीचा उपयोग करण्यात आला.

उपसादन पद्धतीचे उदाहरण घ्यावयाचे झाल्यास वर्गमूळाचे कोष्टक तयार करण्यासाठी हीअरो यांचे सूत्र वापरता येते. जर प या संख्येचे वर्गमूळ काढावयाचे असेल आणि क्ष_१ हे त्याच्या वर्गमूळाचे एखादे आसन्न मूल्ये असेल तर,  क्ष_२ = १/२ (प/क्ष_१ + क्ष१) हे हीअरो यांचे सूत्र वापरून क्ष_२ हे अधिक चांगले आसन्न मूल्य मिळू शकते. याच सूत्राचा पुन:पुन्हा उपयोग करून अधिकाधिक चांगली आसन्न मूल्ये काढता येतात.

कोष्टक तयार करण्यातील या पुढील पायरी म्हणजे तयार केलेल्या कोष्टकाची अचूकता तपासून पाहणे. कोष्टक तपासण्यासाठी तेच कोष्टक मूळ पद्धतीऐवजी दुसऱ्या एखाद्या पद्धतीने तयार करतात. पण बहुधा मूळ कोष्टांकित मूल्यांचीच अंतरे काढून अचूकता तपासण्यात येते. बऱ्याचशा कोष्टकांत आसन्न मूल्यातील शेवटच्या दशांश स्थळात सामान्यत: चूक आढळते, कारण संगणित मूल्यातील शेवटच्या अंकाचे स्थूलांकन केलेले असते. या स्थूलांकनात बऱ्याच वेळा चूक होण्याचा संभव असतो. उदा., पाच स्थळांचे लॉगरिथम कोष्टक सात स्थळांच्या कोष्टकावरून पूर्णपणे अचूकतेने करता येणार नाही. कारण या कोष्टकातही सातव्या स्थळातील अंकाचेही स्थूलांकन केलेले असल्यामुळे ते कशा प्रकारे केलेले आहे हे कळल्याशिवाय अचुकतेची खात्री देता येणार नाही.

कोष्टकाची छपाई अतिशय काळजीपूर्वक करणे आवश्यक असते, कारण छपाईमध्ये होणाऱ्या चुकांमुळेही चांगले संगणन केलेल्या कोष्टकाची किंमत कमी होण्याचा संभव असतो.

इतिहास : ईजिप्तमध्ये इ. स. पू.१७०० च्या पूर्वी लिहिलेल्या ऱ्हिंड पपायरसमध्ये (एक प्रकारच्या बोरूपासून तयार केलेल्या तक्त्यामध्ये) एक हा अंश असलेल्या अपूर्णाकांच्या संयोगसंबंधीची काही संख्यात्मक मूल्ये दिलेली आढळतात. बॅबिलोनियन लोकांनी तयार केलेली गुणाकार व भागाकाराची कोष्टके, वर्ग व वर्गमूळ तसेच व्यस्तांकांची कोष्टके अधिक विस्तृत असून ती इ. स. पू.२००० च्या सुमारास केलेली असावीत असा अंदाज आहे.

ग्रीक गणितज्ञ टॉलेमी यांच्या अलमाजेस्ट  या ग्रंथात आढळणारे वर्तुळाच्या जीवांचे कोष्टक हे प्रचलित अर्थाने पहिले गणितीय कोष्टक म्हणता येईल. हे कोष्टक इ.स.सु. दुसऱ्या शतकातील असून त्यात वर्तुळाच्या जीवांची अर्ध्या अंशाच्या अंतराने सहा दशांश स्थळांइतक्या आसन्नतेची मूल्ये दिलेली आहेत. या कोष्टकात प्रथम नियंता मूल्ये, त्यानंतर कोष्टकीय नोंदी आणि शेवटी अंतरांचे कोष्टक दिले आहे. यात षष्टिकमान पद्धती [दहा ऐवजी साठ मूलांक वापरलेली पद्धती → अंक] वापरलेली होती. हे कोष्टक हिपार्कस (सु. इ. स. पू.१५०) यांनी तयार केलेल्या कोष्टकावरून कदाचित तयार केलेले असावे असा तर्क आहे.

आर्यभटांनी (इ. स. पाचवे शतक) पहिल्या चतुर्थ भागातील कोनांच्या ज्या  क्ष चे कोष्टक तयार केलेले होते. त्यात ३ ^३/_४ अंशांच्या पटीत कोनांच्या ज्या  ची मूल्ये दिलेली आहेत. हे कोष्टक तयार करण्याकरिता वापरलेली पद्धत चुकीची होती पण त्या काळी ज्या निरीक्षणांकरिता ते कोष्टक वापरण्यात आले त्याकरिता ते पुरेसे अचूक होते. आबुल वेफा (अबुलझानी, इ. स. ९४०-९८) या अरबी गणितज्ञांनी स्पर्शक व कोस्पर्शक या त्रिकोणमितीय फलनांची कोष्टके तयार केलेली होती. या कोष्टकांव्यतिरिक्त आणखीही काही कोष्टके अरबी व हिंदू गणितज्ञांनी तयार केलेली होती. पण खऱ्या अर्थाने आधुनिक गणितीय कोष्टकांचा विकास होण्यास पंधराव्या शतकात सुरुवात झाली. गेओर्ख पूरबाख (१४२३–६१) या ऑस्ट्रियन गणितज्ञांच्या मार्गदर्शनाखाली स्वाभाविक त्रिकोणमितीय कोष्टके तयार करण्याचे काम चालू झाले. त्यांनी तयार केलेले स्वाभाविक ज्या  फलनाचे कोष्टक १५४१ मध्ये प्रसिद्ध झाले. निकोलेअस कोपर्निकस (१४५३–१५४३) या प्रसिद्ध ज्योतिषशास्त्रज्ञांनी पाच दशांश स्थळांचे ज्या  फलनाचे कोष्टक तयार केले. स्पर्शक फलनाचे पहिले कोष्टक एरॅस्मेस राइनहोल्ट यांनी १५५३ मध्ये आणि छेदिका फलनाचे पहिले कोष्टक फ्रान्सिस्कस मॉरोलिकस (१४९४–१५७५) यांनी प्रसिद्ध केले. त्यानंतर गेओर्ख योआखिम फोन लाऊखेन (रेटिकुस १५१४–७६) यांनी तयार केलेले १५ दशांश स्थळांचे ज्या  फलनाचे कोष्टक, व्हालेनटाइन ओथो (सु. १५५०–१६०५) यांनी तयार केलेली स्पर्शक आणि छेदिका या फलनांची १० दशांश स्थळांची कोष्टके आणि बार्थोलोम्यू पिटिसकस (१५६१–१६१३) यांनी तयार केलेले १५ दशांश स्थळांचे ज्या  फलनाचे कोष्टक ही प्रसिद्ध झाली. ही कोष्टके आधुनिक कोष्टके तयार करण्यास आधारभूत ठरली आहेत.

जॉन नेपिअर (१५५०–१६१७) या स्कॉटिश गणितज्ञांनी आठ दशांश स्थळांपर्यंतचे लॉगरिथम कोष्टक १६१४ मध्ये प्रसिद्ध केले. नेपिअर यांनी केलेली लॉगरिथमाची व्याख्या सध्याच्या व्याख्येपेक्षा निराळी होती व सध्याच्या व्याख्येनुसार या कोष्टकाचा आधारांक १/e होता असे दिसते. त्याच सुमारास योस्त ब्यूर्गी (१५५२–६३२)या स्विस गणितज्ञांनीही स्वतंत्रपणे १६२० मध्ये प्रतिलॉगरिथमांचे एक कोष्टक प्रसिध्द केले. दहा हा आधारांक असलेल्या लॉगरिथमांचे १४ दशांश स्थळांचे कोष्टक हेन्‍री ब्रिग्झ (१५६१–१६३१) यांनी १६२४ मध्ये तयार केले, परंतु ते अपूर्ण होते. डी डेकर आणि व्ह्‌लाकयांनी १६२७ साली १० दशांश स्थळांचे १ ते १,००,००० या पूर्णांकांच्या लॉगरिथमांचे कोष्टक प्रसिद्ध करून ब्रिग्झ यांचे कार्य पूर्ण केले. त्यानंतर वोल्फ्रम या डच लष्करी अधिकाऱ्यांनी ४८ दशांश स्थळांचे कोष्टक तयार केले व ते १७९४ मध्ये प्रसिद्ध झाले. त्रिकोणमितीय फलनांच्या लॉगरिथमांची कोष्टके व्ह्‌लाक आणि ब्रिग्झ यांनी प्रसिद्ध केली. व्ह्‌लाक यांनी १० सेकंदाचे कोष्टकीय अंतराल घेऊन कोष्टके तयार केली व हीच पद्धत आता रूढ झाली आहे. फ्रेंच राज्यक्रांतीनंतर मेट्रिक पद्धतीनुसार त्रिकोणमितीय फलनांची कोष्टके तयार करण्याचे काम गास्पार रिशे (१७५५–१८३९) यांच्या मार्गदर्शनाखाली सुरू झाले. स्वाभाविक ज्या फलनासाठी २२ दशांश स्थळांचे कोष्टक व लॉग ज्या  आणि लॉग स्प  यांकरिता १४ दशांश स्थळांची कोष्टके तयार करण्याची योजना होती. या योजनेनुसार तयार करण्यात आलेली कोष्टके प्रसिध्द झाली नाहीत. तथापि त्यांवर आधारलेली कोष्टके नंतर तयार करण्यात आली.

नंतरच्या काळात विज्ञान आणि नौकानयन यांच्या प्रचंड विस्तारामुळे कोष्टकांची संख्या झपाट्याने वाढली. एकोणिसाव्या शतकाच्या सुरूवातीपासूनच विवृत्तीय फलने, विवृत्तीय समाकल, गॅमा फलन, संभाव्यता फलने, अपास्तीय फलने, बेसेल फलने इ. विविध फलनांची कोष्टके तयार करण्याच्या दृष्टीने प्रयत्‍न सुरू झाले होते. विसाव्या शतकात संगणनाच्या अनेक प्रयुक्त्या उपलब्ध झाल्यामुळे कोष्टकांची संख्या व त्यांची विविधता अनेक पटींनी वाढली आहे.

कोष्टकांचे वर्गीकरण व सूची : गणितीय कोष्टकांचे वर्गीकरण करण्याच्या दृष्टीने आर्थर केली (१८२१–९५) यांनी १८७३ मध्ये एक वर्गीकरण पद्धती प्रसिद्ध केली. परंतु नंतर हे वर्गीकरण अपुरे आहे असे आढळून आल्यावर १९४० मध्ये अमेरिकेच्या संयुक्त संस्थानांच्या नॅशनल रिसर्च कमिटीने आर्.सी. आर्चिबाल्ड यांच्या अध्यक्षतेखाली गणितीय कोष्टके व संगणनाला साहाय्य करणारी इतर साधने या विषयांसंबंधी एक समिती नेमली. या समितीने कोष्टकांचे पुढील वर्गीकरण मान्य केले आहे : (१) अंकगणितीय कोष्टके गणितीय स्थिरांक, (२) घात, (३) लॉगरिथम, (४) वर्तुळीय फलने, (५) विवृत्तीय व घातीय फलने, (६) संख्या सिध्दांत, (७) उच्च बीजगणित, (८) समीकरणांचे संख्यात्मक निर्वाह, (९) सांत अंतरे, (१०) श्रेढींची संयुती (बेरीज), (११) सांख्यिकी, (१२) उच्च गणितीय फलने, (१३) समाकल, (१४) व्याज व विनियोग, (१५) विमाविज्ञान, (१६) अभियांत्रिकी, (१७) ज्योतिषशास्त्र, (१८) भूगणित, (१९) भौतिकी, (२०) रसायनशास्त्र, (२१) नौकानयन, (२२) संगणन यंत्रे व यांत्रिक संगणन.

कोष्टकांची संख्या व त्यांची विविधता वाढू लागल्यामुळे कोष्टकांचे मूलस्थान, आकारमान आणि अचूकता यांसंबंधीची पद्धतशीर एकत्रित माहिती उपलब्ध असण्याची आवश्यकता एकोणिसाव्या शतकापासूनच वाटू लागली. या दृष्टीने ग्‍लेशर (१८४८–१९२८), डे मॉर्गन (१८०६–७१), ॲलांबेर (१७४९–१८२२) व हटन (१७३७–१८२३) यांनी तयार केलेले वृत्तांत महत्त्वाचे आहेत. १९४३ च्या सुमारास उपलब्ध कोष्टकांसंबंधीच्या एकत्रित माहितीची आवश्यकता इतकी वाढली की, अमेरिकेच्या संयुक्त संस्थानांच्या नॅशनल रिसर्च कौन्सिलने नेमलेल्या समितीतर्फे मॅथेमॅटिकल टेबल्स अँड अदर एडस् टू कॉम्प्यूटेशन  नावाचे त्रैमासिक आर्. सी. आर्चिबाल्ड यांच्या संपादकत्वाखाली सुरू करण्यात आले. या त्रैमासिकात अलीकडेच प्रसिद्ध झालेल्या कोष्टकांचे परीक्षण, मूळ स्वरूपातील कोष्टकांची यादी, प्रमाण कोष्टकांतील दुरुस्तीपत्रकांच्या याद्या, विशेष संशोधन क्षेत्रातील कोष्टकांची व विशिष्ट फलनांच्या कोष्टकांची सूची, संगणन यंत्रांचे वर्णन इ. विविध उपयुक्त माहिती प्रसिद्ध होते. या नियतकालिकाखेरीज ए. फ्लेचर, जे. सी. मिलर व एल्. रोझेनहेड यांनी प्रसिद्ध केलेल्या ॲन इंडेक्स ऑफ मॅथेमॅटिकल टेबल्स (दुसरी आवृत्ती, १९६२) या सूचीतही विविध कोष्टकांची व्यापक माहिती उपलब्ध आहे.

संदर्भ : 1. Comrie, L. J. Interpolation and Allied Tables, London, 1936.

            2. Davies, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions, 2 Vols., 1933 and 1935.

            3. Fisher, R. A., Yates, F. Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical  Research, London, 1963.

            4. Lebedev, A. V. Fedorova, R. M. Trans. Fry. D. G. A Guide to Mathematical Tables,  Oxford, 1960.

भद्रे, व. ग.

“