गणित : गणित या शब्दावरून गणनक्रिया कशी करावयाची हे ज्या शास्त्रात शिकविले जाते त्या शास्त्रास हे नाव पडले आहे, हे उघड आहे. मानवी मनाचा परमोच्च आविष्कार म्हणजे गणित अशीही गणिताची व्याख्या केली जाते. त्याचबरोबर गणिताच्या व्यावहारिक उपयोगामुळे– विशेषतः यामिकी (प्रेरणांची वस्तूवर होणारी क्रिया व त्यामुळे निर्माण होणारी गती यांचा अभ्यास करणारे शास्त्र) व अभियांत्रिकी या विषयांत– गणिताचे ज्ञान मूलभूत समजले गेल्यामुळे गणितशास्त्राला फार महत्त्वाचे स्थान प्राप्त झाले आहे. ज्योतिषशास्त्र, भौतिकी, सांख्यिकी (संख्याशास्त्र) इ. विज्ञानाच्या सर्व मूलभूत शाखांत गणिताचा उपयोग होतो, इतकेच नव्हे तर मानव्य शाखांत आणि कलेच्या क्षेत्रातदेखील गणिताचे महत्त्व मान्यता पावत आहे.
स्थूलमानाने गणिताचे शुद्ध गणित व अनुप्रयुक्त (व्यावहारिक प्रश्न सोडविण्यास उपयुक्त असणारे) गणित असे दोन भाग मानण्यात येतात. तसेच बीजगणित, विश्लेषण, भूमिती इ. शाखांतही गणितशास्त्राची विभागणी करण्यात येते. तथापि आधुनिक गणितातील काही शाखा (उदा., गट सिद्धांत) विचारात घेतल्यास ही विभागणी तितकीशी काटेकोर मानता येणे शक्य नाही. मराठी विश्वकोशात गणितातील विविध शाखांची विविध नोंदींत कशी विभागणी केलेली आहे, यासंबंधीची थोडक्यात माहिती खाली दिलेली आहे. विस्तृत माहितीसाठी सूची पहावी.
प्राथमिक स्वरूपाच्या गणितात ⇨ अंक, ⇨अंकगणित, ⇨ महत्त्वमापन या शाखांचा समावेश होतो. ⇨संख्या व ⇨संख्या सिद्धांत या नोंदींत संख्यांचे प्रकार व त्यांचे गुणधर्म यांसंबंधी विवेचन केलेले आहे. आधुनिक गणितातील विविध शाखांना पायाभूत समजण्यात येणाऱ्या संच या संकल्पनेसंबंधी ⇨संच सिद्धांत या नोंदीत विवरण दिले आहे.
⇨ बीजगणिताशी संबंधित असलेल्या शाखा म्हणजे ⇨ समीकरण सिद्धांत, ⇨ प्रदिश व ⇨ आव्यूह सिद्धांत या होत. आधुनिक बीजगणितासंबंधी ⇨ बीजगणित, अमूर्त ⇨गट सिद्धांत इ. नोंदीत विवरण केलेले आहे.
⇨ भूमिती या नोंदीत यूक्लिडीय, अयूक्लिडीय, प्रक्षेप, वैश्लेषिक इ. भूमितीच्या विविध उपशाखांचे वर्णन केले असून ⇨ शंकुच्छेद ⇨ वक्र ⇨ प्रस्थ, सामान्य (सामान्य घनाकृती) ⇨ संस्थिति विज्ञान या भूमितीशी संबंधित असलेल्या इतर उपशाखांवरही स्वतंत्र नोंदी आहेत. ⇨ त्रिकोणमिती या नोंदीत कोनांची त्रिकोणमितीय गुणोत्तरे व त्यांतील परस्पर संबंध यांविषयी विवेचन केले आहे.
गणितीय विश्लेषणाच्या ⇨ कलन या शाखेतील ⇨ अवकलन व समाकलन, ⇨ सांत अंतर कलन, ⇨ चलनकलन तसेच ⇨ अवकल समीकरणे, ⇨ समाकल समीकरणे व रूपांतरे, ⇨ माप व समाकलन, ⇨ फलन या उपशाखांवर स्वतंत्र नोंदी आहेत. या उपशाखांशी संबंधित असलेल्या ⇨ श्रेढी, ⇨ फूर्ये श्रेढी, ⇨ अंतर्वेशन व बहिर्वेशन या विषयांवरही वेगळे विवेचन दिलेले आहे. ⇨ गणितीय विश्लेषण या व्यापक विषयावरील सर्वसाधारण विवेचन वेगळ्या नोदींत दिलेले असून ⇨ प्रदिश व ⇨ सदिश या त्याच्या विशेष शाखांवर वेगळ्या नोंदी आहेत.
गणिताच्या सांख्यिकीतील अनुप्रयोगांसंबंधी ⇨ संभाव्यता सिद्धांत, ⇨ सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र, ⇨ सांख्यिकी इ. नोंदी पहाव्यात.
गणिताच्या तात्त्विक स्वरूपासंबंधीच्या निरनिराळ्या मतप्रणाली तसेच गणित व तर्कशास्त्र यांतील संबंध यांचे विवरण ⇨ गणिताचा तात्त्विक पाया आणि ⇨ तर्कशास्त्र या नोंदींत केलेले आहे.
गणितीय प्रश्न सोडविण्यास व समजण्यास सुलभ होण्यासाठी उपयुक्त असलेल्या ⇨ संगणक (गणक यंत्र) व ⇨ गणकपट्टी या उपकरणांसंबंधी स्वतंत्र नोंदींत तसेच अवकल समीकरणे, समाकलन, हरात्मक संश्लेषण इ. गणितीय प्रश्न सोडविण्यासाठी उपयोगी पडणाऱ्या उपकरणांसंबंधी ⇨ गणितीय उपकरणे या नोंदीत वर्णन दिलेले आहे. गणितीय प्रश्न दृश्य स्वरूपात समजण्याच्या दृष्टीने वापरण्यात येणाऱ्या प्रतिरूपांची माहिती ⇨ गणितीय प्रतिरूपे या लेखात दिलेली आहे. याशिवाय गणितीय प्रश्न सोडविण्यास उपयुक्त असलेल्या ⇨ लॉगरिथम, ⇨ आलेख, ⇨ नियमालेखन व ⇨ गणितीय कोष्टके या तंत्रांसंबंधी स्वतंत्र नोंदी आहेत.
अनुप्रयुक्त गणितातील ⇨ यामिकी, ⇨ द्रायुयामिकी, ⇨ गोलीय हरात्मके, ⇨ हरात्मक विश्लेषण, ⇨ तरंग गती, ⇨ ऊष्मागतिकी, ⇨ पुंजयामिकी, ⇨ वायुयामिकी, ⇨ स्थितिस्थापकता, ⇨ परिमाणात्मक विश्लेषण, ⇨ खगोलीय यामिकी इ. विषय भौतिकी, अभियांत्रिकी व इतर व्यावहारिक विषयांशी विशेष संबंधित आहेत. या नोंदींत या विषयांच्या गणितीय स्वरूपासंबंधी विवेचन केलेले आहे.
गणिताच्या विकासात ज्या गणितज्ञांचे स्थान महत्त्वाचे आहे त्यांच्यासंबंधी स्वतंत्र चरित्रपर नोंदी दिलेल्या आहेत. डायोफँटस, आर्किमिडीज, यूक्लिड, पायथॅगोरस इ. प्राचीन गणितज्ञ न्यूटन, गौस, कोशी, फूर्ये, ऑयलर, बेर्नुली कुटुंब, लाप्लास, लझांद्र, देकार्त इ. एकोणिसाव्या शतकापूर्वीचे गणितज्ञ आधुनिक काळातील कँटर, बोल्यॉई, गाल्वा, लबेग, डेडेकिंट, नॉयमान, रीमान इ. गणितज्ञ तसेच आर्यभट, भास्कराचार्य, रामानुजन, महालनोबीस इ. भारतीय गणितज्ञ यांचा यांत समावेश करण्यात आलेला आहे. गणितातील विविध शाखांमध्ये संशोधन करणाऱ्या व संशोधकांनी केलेले कार्य प्रसिद्ध करणाऱ्या संस्थांची व नियतकालिकांची माहिती ⇨ गणितीय संस्था व नियतकालिके या नोंदीत दिली आहे.
गणिताच्या प्रत्येक शाखेच्या इतिहासासंबंधी त्या त्या शाखेवरील नोंदीत थोडक्यात विवेचन केलेले आहे. प्रस्तुत नोंदीच्या उरलेल्या भागात गणितशास्त्राच्या सर्वसाधारण इतिहासाचा आणि विकासाचा आढावा घेतलेला आहे.
गणिताचा इतिहास
प्रास्ताविक : अंकगणित हाच गणितशास्त्राचा पाया होय, अंकगणिताची सुरूवात अंकज्ञानापासून होते. मोजण्याचे तंत्र आज साधे वाटत असले तरी आदिमानवाला ते शोधून काढण्यास किती परिश्रम पडलेले आहेत याची यथार्थ कल्पना जुन्या भाषांच्या किंवा आदिमानवाच्या अभ्यासकासच येईल. स्वतःच्या– मालकी हक्काच्या– वस्तूंची मोजदाद करावयास आदिमानव कसा स्वाभाविकपणे शिकला असेल, त्याने अंकांकरिता प्रतिके वापरण्याची प्रथा केव्हा पाडली, ती लिहिण्याची कला केव्हा हस्तगत केली हे निश्चितपणे सांगणे कठीण आहे. पण ती शोधून किंवा ठरवून ती अापापल्या भागात प्रस्तुत करण्याचे कार्य त्याने केले हे मात्र निश्चित. यात प्रामुख्याने भारत, चीन, ईजिप्त, बॅबिलोनिया, ग्रीस आणि रोम येथील संस्कृतींनी विशेष उल्लेखिण्यासारखी कामगिरी केलेली आढळते. अंक आणि संख्या दर्शविण्यासाठी निरनिराळ्या देशांत निरनिराळ्या पद्धती होत्या. काही देशांत विशिष्ट चिन्हे होती, तर काही देशांत लिपीतील अक्षरांनी अंक व संख्या दर्शवीत. पण संख्या अगणित असल्याकारणाने त्या दर्शविण्यास एवढी असंख्य चिन्हे कोणत्याही लिपीत मिळणे शक्य नव्हते. त्यामुळे पुढील प्रगती झपाट्याने होऊ शकली नाही. पण भारतात शून्याचा शोध लागला व नऊ प्रतीकात्मक अंक ठरविल्यावर व स्थानिक मूल्याची कल्पना निघाल्यावर पुढील संख्या दर्शविणे शक्य झाले आणि दशमान पद्धती जगाला मिळाली. मात्र हे ज्ञान सर्व जगाला होण्यापूर्वी पंधरा शतकांचा कालावधी गेला. संख्या दर्शविण्याच्या दृष्टीने शून्याचा शोध अत्यंत महत्त्वाचा ठरलेला आहे व त्यामुळे संख्या मांडण्याची कला मानवाला मिळाली आणि गणिताच्या प्रगतीचा अडलेला प्रवाह सुरू झाला.
संख्या मांडण्याची ही दशमान पद्धती अरब लोक हिंदूंकडून शिकले व बगदादमधून बाहेर पडलेल्या हिब्रू विद्वानांनी स्पेनमध्ये तिचा प्रसार केला. स्पेनमधून या पद्धतीचा इटलीमध्ये प्रवेश झाला आणि लेओनार्दो फीबोनात्ची नावाच्या इटालिअन गणितज्ञांनी तिचा यूरोपभर प्रसार केला व त्यामुळे पुढील संशोधनाचा मार्ग सुकर झाला [→ अंक].
मानवी संस्कृतीच्या प्रारंभीच्या काळात आणखी दुसरी शाखा प्रगत झाली. ती म्हणजे भूमिती. भूमितीचा पाया वेदकाळात घातला गेला पण तिचे क्षेत्र मापनापुरतेच मर्यादित होते. भूमिती जरी भारतामध्ये प्रगत झाली तरी खऱ्या अर्थाने भूमितीतील मुख्य प्रगती प्राचीन ग्रीक लोकांनी केली, यात शंका नाही. काटकोन त्रिकोणात कर्णावरील चौरसाचे क्षेत्रफळ काटकोन करणाऱ्या दोन बाजूंवरील चौरसांच्या क्षेत्रफळांच्या बेरजेइतके असते, हे पायथॅगोरस यांच्या नावाने ओळखले जाणारे प्रमेय शुल्बसूत्रात प्रथम मांडले गेले. तसेच ज्यांस सध्या पायथॅगोरस संख्या म्हणतात, त्यांस वेदकाली ‘सूपलविध संख्या’ असे संबोधित असत. भूमितिमध्य कसा काढावयाचा आणि निरनिराळ्या आकारांच्या वेदी कशा बांधावयाच्या या संबंधात समाद्विभुज त्रिकोण, काटकोन त्रिकोण, चौरस, आयत, अणिमत् (समद्विभुज समलंब चौकोन) यांचे गुणधर्म शुल्बसूत्रात सांगितले आहेत. पण भारतात त्या काळात प्रगत झालेली भूमिती क्षेत्रमापात्मक होती. ग्रीक गणितज्ञांनी दिलेली तर्ककठोर पद्धती हिंदू भूमितीत सापडत नाही. स्वयंसिद्धके (स्वतःच सिद्ध असलेली व सामान्यतः ग्राह्य मानण्यात येणारी तत्त्वे), गृहीत कृत्ये, प्रमेये, प्रतिज्ञा, साध्य, रचना, सिद्धता अशा रीतीची तर्कशुद्ध मांडणी ग्रीक भूमितीकारांनी जगाला दिली. ज्योतिषशास्त्र ही आणखी एक गणिताची शाखा. ही देखील वेदकाली प्रथम जन्माला आली. या शास्त्रात प्रगती करत असतानाच आर्यावर्तात त्रिकोणमिती जन्माला आली [→ त्रिकोणमिती].
गणिताच्या सर्व शाखोपशाखांची खरी वाढ सतराव्या शतकानंतर झपाट्याने झाली. याला मुख्य कारणे म्हणजे मानवाला अवगत झालेली मुद्रणकला, गॅलिलीओ यांनी लावलेला दूरदर्शकाचा (दुर्बिणीचा) शोध आणि भौतिकी व अभियांत्रिकी या दोन विषयांत मानवाने केलेली प्रगती ही होत. दशमान पद्धतीचा सगळीकडे झालेला प्रसार प्रगतीला चालना देणारा होता. या सर्वांचा प्रभाव गणितशास्त्रावर पडला व गणितशास्त्र प्रगतिपथावर झपाट्याने वाटचाल करू लागले. तसेच या काळात गणिताच्या अत्यंत महत्त्वाच्या कलनशास्त्राच्या शाखेचा जन्म झाला. या शास्त्राचे मूळ संशोधक लायप्निट्स व न्यूटन हे सतराव्या शतकाच्या उत्तरार्धात होऊन गेले. कलनशास्त्राच्या शोधामुळे गणितशास्त्राच्या कक्षा विस्तृत झाल्या व गेल्या तीनशे वर्षांत गणितशास्त्राच्या अभ्यासाला एवढी चालना मिळाली आहे की, भौतिकीसारख्या मूलभूत विज्ञानापासून ते रसायनशास्त्र, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकीच्या विविध शाखा यांतील विविध समस्या सोडविण्यासाठी गणिताचे साहाय्य अपरिहार्य ठरले आहे.
गणितशास्त्राचे इतिहासाच्या दृष्टीने स्थूलमानाने सतराव्या शतकापूर्वीचे गणित आणि सतराव्या शतकानंतरचे गणित असे दोन कालखंड करणे इष्ट ठरते. या दोन्ही कालखंडांना सांधणाऱ्या मध्यंतरीच्या काळात होऊन गेलेल्या गणितज्ञांचा आणि त्यांच्या कार्यांचा उल्लेख करावा लागेल. तसेच सध्या आपण गणितात, विशेषतः बीजगणितात, वापरतो ती चिन्हे कशी आली, केव्हा रूढ झाली व ती वापरल्यामुळे गणितीय प्रश्न मांडण्याचे काम सोपे कसे झाले व त्यामुळे मुख्य गोष्टींकडे विचार केंद्रीत करणे कसे सुलभ झाले याचाही इतिहास ओघाने जाणून घेणे इष्ट ठरेल. या सर्व प्रगतीनंतरच आधुनिक गणिताचा मार्ग सुलभ झाला. प्रथमतः भारत, बॅबिलोनिया, ईजिप्त, ग्रीस, इटली, चीन वगैरे देशांत सतराव्या शतकापर्यंत जे जे मुख्य कार्य झाले त्यांचा आढावा घेणे योग्य ठरेल. कारण या देशांतच या विषयाची मूळ बीजे पेरली गेली. सतराव्या शतकानंतर हा विषय जागतिक स्वरूपाचा झाला व त्याची आजतागायतीची प्रगती जगड्व्याळ झाली आहे.
भारत : भारतात गणित हा विषय यज्ञ संस्थेतून जन्माला आला. अग्नीला आहुती देताना मानवाने पहिल्या अंकाची स्थापना केली असणार. जसजशा आहुती जास्त द्यावयास सुरूवात झाली तसतशा संख्या मोठ्या होऊ लागल्या. तैत्तिरीय संहिता ७·२·११ मध्ये असे आढळून येते की सम संख्येस युग्म व विषम संख्येस अयुग्म अशा संज्ञा आहेत आणि ४, ५, १०, २० या संख्यांचे पाढे दिले आहेत.वाजसनेयी संहिता १७·२ मध्ये दहाच्या पटी देताना १०१२ पर्यंतच्या संख्यांची नामाभिधाने आहेत व तैत्तिरीय संहितेत तर १०१९ पर्यंतच्या संख्यांची नामाभिधाने दिली आहेत.
वेदांग ज्योतिषात अंकगणितात येणारी कृत्ये म्हणजे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि तद्विषयक परिकर्माष्टकांचा उपयोग सर्रास केलेला असावा, त्याशिवाय त्यात मिळविलेले निष्कर्ष बरोबर कसे आले याचे स्पष्टीकरण देता येत नाही. त्रैराशिकाचाही उपयोग केलेला आहे. वेदांग ज्योतिषातील कालमापक एकके व त्यामधील कोष्टकात दिलेल्या संख्या, वेदकाली अंकगणितात भारताची चांगलीच प्रगती होती हे दर्शवितात.
शुल्बसूत्रात भूमितीची बीजे आढळतात हे वर सांगितले आहेच. पण क्षेत्रमापनविषयक भूमितीचीच प्रगती झाली होती. दोन चौकोनांची बेरीज अगर वजाबाकी करून येणाऱ्या भूमीचे क्षेत्रफळ देणारा चौरस कसा काढावयाचा या संबंधातच शुल्बप्रमेय म्हणजे ज्याला पायथॅगोरस प्रमेय म्हणतात ते– दिलेले आहे. याच संबंधात करणी म्हणजेच अपरिमेय संख्यांचा बराच उल्लेख आहे. परिमेय संख्या दोन पूर्णांकांच्या गुणोत्तराने दर्शविता येतात. हे गुणोत्तर, दशांश स्थळात काढल्यास दशांश स्थळे संपतात किंवा त्यातील काही भाग आवर्त (पुनःपुन्हा येणारा) असतो.
पण अपरिमेय संख्यांच्या बाबतीत ही दशांश स्थळे संपतही नाहीत आणि ती आवर्तही नसतात हे डेडेकिंट नावाच्या जर्मन गणितज्ञांनी १८७२ साली दाखवून करणी संख्या एक चढती श्रेणी व दुसरी उतरती श्रेणी अशा दोन श्रेणींमध्ये पडते असे सिद्ध केले. करणी संख्येचा अभ्यास वेदकाळापासून सुरू झाला असे म्हणावयास हरकत नाही. कारण 
चे आसन्न (जवळजवळ, अंदाजे) मूल्य
असे शुल्बसूत्रात दिले आहे. त्यास सविशेष असे संबोधित व सविशेष या शब्दातच ती काढली असावी हे गर्भित आहे. ही पद्धती म्हणजे
यात १, १६/९, २८९/१४४, ह्या संख्या विशेष पूर्णवर्ग आहेत व त्या त्या वेळी अनुक्रमे १, २/९, – १/१४४ ह्या शेष संख्या आहेत. या सविशेषावरून देखील वेदकाली अंकगणितातील प्रगती कोणत्या दर्जाची होती याची कल्पना येते. शिवाय करणी संख्येच्या अभ्यासाचा उगम किती जुना आहे हे लक्षात येते. वेदी कशा बांधावयाच्या या ओघात 
इत्यादींचा उल्लेखही शुल्बसूत्रात आहे. शल्बसूत्रात π चे मूल्य दिलेले आहे ते दशांश स्थळात मांडल्यास ३·०८८ इतके येते. अर्थात हे मूल्य बरोबर नाही. ते अचूक मूल्यापेक्षा पाच टक्क्यांनी कमी आहे.
वेदकाळानंतर भारतात झालेला गणितशास्त्रावरील ग्रंथ म्हणजे बक्षाली हस्तलिखित होय. हा भूर्जपत्रावर लिहिलेला असून तो इ. स. पू. २०० ते इ.स. २०० च्या सुमारास झालेल्या ग्रंथाची प्रत असावी हे मान्य झाले आहे. यात बीजगणितातील द्विघात समीकरणे सोडविलेली आहेत. तसेच वर्गमूळ काढताना वर दिलेली सविशेष पद्धती वापरलेली आहे. हे हस्तलिखित गाथा या बोलीभाषेत असून लिपी शारदा आहे. ही बोलीभाषा मथुरेला कुशाण वंशातील राजे (कनिष्क, हुविष्क इ.) राज्य करीत असताना प्रचारात होती. यावरूनच बक्षाली हस्तलिखित या ग्रंथाचा काळ निश्चित करण्यात आला. त्या पुष्ट्यर्थ परिस्थितिजन्यही पुरावा मिळतो. या हस्तलिखिताच्या नवव्या पानावर व सत्तावन्नाव्या पानावर द्विघात समीकरण सोडविलेले आहे. तसेच वर्गमूळ काढताना वर दिलेली सविशेष पद्धती वापरलेली आहे. या हस्तलिखितात एकाच गणित श्रेढीचे सर्वधन (बेरीज) देणाऱ्या सूत्रावरून पदसंख्या न चे मूल्य देणाऱ्या सूत्राचा उपयोग केलेला आढळतो. आदिपद अ असून दोन पदांमधील अंतर उ आणि पदसंख्या न असल्यास श्रेढीचे सर्वधन (स) देणारे सूत्र :
असे आहे. यावरून न चे मूल्य काढले आहे ते असे :
हस्तलिखितात पासष्ट पानावर सोडविलेल्या उदाहरणात वर्गमूळ काढावयाची संख्या ४८१ आहे. यात
असे स्पष्ट लिहिले आहे.
यावरून गणितश्रेढीचा शोध, बीजगणितात द्विघात समीकरणे सोडविण्याची रीती व सविशेष पद्धतीचा उपयोग निदान एवढा भाग भारतीयांना अवगत होता, हे उघड आहे. यात न चे मूल्य अपूर्णांक येते पण गणितश्रेढीत न अपूर्णांक असणे शक्य नाही. कारण यात अ = उ = १ घेऊन स = ६० घेतले आहे. पण केवळ आकडेमोड करावयाचा सराव म्हणूनही हे उदाहरण दिलेले असण्याची शक्यता आहे. त्यामुळे न हा पूर्णांक यावा हे बंधन लक्षात घेतलेले दिसत नाही.
यानंतर ⇨ आर्यभट नावाचे गणिती पाचव्या शतकात झाले. त्यांचा आर्यभटीय नावाचा ग्रंथ प्रसिद्ध आहे. यात अंकगणित, बीजगणित, ज्योतिषशास्त्र असे विषय केवळ एकशे आठ आर्याबद्ध कवितेत दिलेले आहेत. आर्यभटांनी п = ६२८३२/२०००० असे मूल्य दिले आहे. हे मूल्य चार दशांश स्थळांपर्यंत बरोबर आहे. हे मूल्य आसन्न आहे, परिशुद्ध नव्हे. या त्यांच्या विधानावरून ह्या मूल्यात आणखी शुद्धता आणणे शक्य आहे याची त्यांना जाणीव होती, हे उघड आहे.
सौरवर्षाचे सावन दिवस ३६६ व चांद्रवर्षाचे ३५४ यांची सरासरी ३६० येत असल्याकारणाने पूर्ण भ्रमण किंवा एक प्रदक्षिणा म्हणजे ३६०० घेण्यात आले. या प्रत्येक भागास अंश ही संज्ञा आहे. दिवसाचे साठ भाग करून प्रत्येक भागास मुहूर्त ही संज्ञा दिली आहे. अंशाचे साठ भाग करून आलेला भाग एक पळ दर्शवीत आणि एका पळाचे साठ भाग केल्यांवर प्रत्येक भागाला विपळ असे संबोधीत. त्रिज्येच्या लांबीचा परिघखंड घेतल्यास त्यात ३,४३७·७ पळे येतात. यावरून व्यासार्धाची लांबी ३,४३८ घेण्याचा प्रघात पडला असावा. नव्वद अंशाचे चोवीस भाग केल्यास प्रत्येक भाग ३·७५० येतो. ३·७५० व त्याच्या पटीच्या कोनांची ‘ज्या’ फलने आर्यभटांनी दिली आहेत. २२५, ४४९, ६७०, ८९० इ. संख्यांतील प्रत्येक संख्येस ३,४३८ ने भागल्यास या सर्व कोनांची ‘ज्या’ फलने आधुनिक ‘ज्या’ सारणीमध्ये दिलेली आहेत तशीच मिळतात. यावरून ‘ज्या’ फलने प्रथम आर्यभटांनी दिली हे गणित इतिहासकार राऊझ बॉल यांचे म्हणणे योग्य वाटते.
आर्यभटांनंतर भारतात बरेच गणिती होऊन गेले. पण गणिताच्या प्रगतीच्या दृष्टीने भरीव कामगिरी करणारे मुख्य गणिती बाराव्या शतकात होऊन गेलेले ⇨भास्कराचार्य हे होत. द्विघात समीकरणास दोन बीजे असतात व ती ऋणही असू शकतात. ह्या पूर्वी ऋण बीज लक्षात घेतले जात नव्हते. धन अगर ऋण संख्या घेऊन तिचा वर्ग केल्यास उत्तर धन येते हा दण्डक भास्कराचार्यांनी प्रथम शोधून काढला व ऋण संख्येचे मूळ अस्तित्वात नसते असेही त्यांनी प्रतिपादिले होते. मिश्र करणी संख्यांचा गुणाकार कसा करावयाचा याचे सूत्र तसेच मिश्र करणी संख्येचे वर्गमूळ कसे काढावयाचे याचे
हे सूत्र प्रथम भास्कराचार्यांनी दिले.
पण भास्कराचार्यांची सर्वांत मोठी कामगिरी म्हणजे अनिश्चित समीकरणे सोडविण्याच्या रीतीचा शोध. अनिश्चित समीकरणे सोडविण्याचा प्रयत्न बक्षाली हस्तलिखितातही आहे, आर्यभटादी गणितज्ञांनीही हे प्रश्न सोडविले आहेत. पण भास्कराचार्यांची पद्धत व्यापक स्वरूपाची आहे आणि त्यांनी सोडविलेले प्रश्नही विविध प्रकारचे आहेत.एकघाती अनिश्चित समीकरण, 
य, सोडविण्याकरिता त्यांनी चार पद्धती दिल्या आहेत. तसेच द्विघात अनिश्चित समीकरण, कक्ष२ + ख = य२, सोडविण्याकरिता तीन पद्धती दिल्या असून त्यांनी दिलेली चौथी पद्धती ‘चक्रवाल’ म्हणून ओळखली जाते. याशिवाय विशिष्ट रूपाची अनिश्चित समीकरणे सोडविण्याच्या आणखीही रीती भास्कराचार्यांनी दिल्या आहेत. हे कूट प्रश्न सोडविताना त्यांनी दिलेले विश्लेषण आधुनिक पद्धतींशी तुलना करता येईल इतके तर्ककठोर आहे. त्यांची चक्रवाल पद्धती म्हणजे सतराव्या व अठराव्या शतकांत होऊन गेलेले पाश्चात्त्य गणिती लाग्रांझ, ऑयलर इत्यादींनी दिलेल्या चक्रीय पद्धतीचा व्यत्यास आहे. संख्या सिद्धांतात हा शोध मोठ्या मोलाचा समजला जातो. ह्याच पद्धतींनी गाल्वा, लाग्रांझ, ऑयलर इत्यादींनी ही समीकरणे सतराव्या-अठराव्या शतकांत सोडवून दाखविली.
भास्कराचार्यांनंतर पुष्कळ गणिती भारतात झाले. पण त्यांनी म्हणावी तशी गणिती ज्ञानात भर घातली नाही. तथापि सोळाव्या शतकातील नीलकंठ या गणितज्ञांचा उल्लेख करणे प्राप्त आहे. हे गणिती सोळाव्या शतकाच्या शेवटी होऊन गेले. यांनी ऑयलर यांची श्रेढी
दिली असून
हीही श्रेढी
दिली आहे. या दोन्ही श्रेढी म्हणजे
ह्या ग्रेगोरी श्रेढीचीच रूपे होत. या श्रेढीत क्ष = १ आणि क्ष =
घातल्यास वरील दोन्ही श्रेढी मिळतात.
बॅबिलोनिया व ईजिप्त : बॅबिलोनियामध्ये आकड्यांकरिता वापरलेली चिन्हे बहुधा इ. स. पू. २००० ते इ. स. पू २०० या कालावधीतील असावीत असा पाश्चात्त्य पंडितांचा अंदाज आहे [→ अंक].
बॅबिलोनियन लोकांनी वापरलेली संख्या दर्शविण्याची पद्धती सदोष होती तसेच त्यात एकसूत्रता नव्हती हेही स्पष्ट आहे. या पद्धतीत लहान वर्तुळाचा उपयोग करून कधीकधी दहा दर्शविलेले आढळतात पण शून्याकरिता वर्तुळ वापरलेले नसावे, कारण शून्याचे ज्ञान त्यावेळेस नव्हते.
सध्याच्या दशमान पद्धतीशी साम्य असलेली आणि प्रत्येक आकड्याचे स्थानवैशिष्ट्य सांगणारी कल्पना बॅबिलोनियन लोकांनी वापरली होती. तिला षष्टिकमान पद्धती म्हणतात. पण तीत साठापर्यंत संख्या दाखविणारी साठ चिन्हे नाहीत. पुराणवस्तुसंशोधनात मिळालेल्या बगदाद येथील दोन तक्त्यांमध्ये एकापासून साठापर्यंतच्या आकड्यांचे वर्ग दिलेले आहेत आणि आठानंतरच्या आकड्यांचे वर्ग खाली दर्शविलेल्या पद्धतीने दाखविलेले आढळतात.
८२ = १ + ४, ९२ = १ + २१, १०२ = १ + ४० इत्यादी. यात उजव्या बाजूचा एक म्हणजे साठ धरावयाचे. या पद्धतीत ६०, ३६००, १/६०, १/३६०० यांकरिता विशिष्ट चिन्हे दिली आहेत. यावरून ‘एक’ च्या प्रतिकापुढे एक लिहिल्यास ६१ ही संख्या मिळणार. ५६३ ही संख्या दशमान पद्धतीसारखी लिहावयाची झाल्यास येणाऱ्या खालील निरनिराळ्या संख्या मिळतात.
५ × ६०२ + ६ × ६०१ + ३ = १८,३६३
५ × ६०१ + ६ × ६०० + ३ × ६०-१ = ३६०१/२०
५ × ६०० + ६ × ६०-१ + ३ × ६०-२ = १२१/१२००
यातील कोणते उत्तर घ्यावयाचे ? यावरून या पद्धतीत सुसूत्रता नव्हती हे उघड आहे.
पुराणवस्तुसंशोधक हेन्री यांना ईजिप्तमध्ये १८५८ मध्ये ५·४ मी. लांब, ०·३३ मी. रुंद असलेल्या आणि एक प्रकारच्या बोरूपासून(सायपेरस पपायरस) तयार केलेल्या तक्त्यावर लिहिलेले हस्तलिखित सापडले. या तक्त्याला ऱ्हिंड पपायरस म्हणतात. हा साधारणपणे इ. स. पू. १८०० ते इ. स. पू. १६०० च्या काळातील असावा असे यूरोपीय विद्वान मानतात. आमेस नावाच्या गणितज्ञांनी जुन्या गणितग्रंथावरून उतरवून काढलेले हे हस्तलिखित आहे. तथापि हा तक्ता कोणाकरिता तयार केलेला होता हे सांगता येत नाही. यात २/२९ व २/९७ हे अपूर्णांक अनुक्रमे १/२४ + १/५८ + १/१०४ + १/१३२ आणि १/५६ + १/६७९ + १/७७६ असे दाखविले आहेत ते बरोबर आहे. तसेच त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाविषयीचे सूत्र त्यांनी बरोबर दिले आहे. यात दिलेल्या सूत्रावरून п= ३·१६०५ येते. हे मूल्य हिंदूंनी वेदकाली काढलेल्या मूल्यापेक्षा पुष्कळच बरोबर आहे असे दिसते. हा तक्ता लिहिण्याचे काम केल्याबद्दल आमेस यांना आद्यगणितकार म्हणून पाश्चात्त्य लोकांनी गणले आहे. ईजिप्तमधील पिरॅमिडांवर पाट खणण्याविषयाचे गणित, त्याकरिता लागणारी मजुरांची संख्या, लागणारा काळ वगैरे उल्लेख आहेत. यावरून काळ, काम, वेग यांविषयीची उदाहरणे त्याकाळी येथे सोडविली गेली होती, असे म्हणता येते. पिरॅमिडांची क्षैत्रिज परिमाणे सारख्या लांबीचा आहेत, सर्व तिरप्या बाजू जमिनीशी विशिष्ट कोन करतात, काटकोन बरोबर ओळंब्यात आहेत. तथापि केवळ यावरून त्याकाळी ईजिप्तमधील गणितविषयक ज्ञान फार उच्च पातळीचे असले पाहिजे, असा कयास बांधणे धाष्ट्‌र्याचे होय.
ग्रीस : ईजिप्शियन लोकांकडून ग्रीकांनी गणितज्ञान मिळविले. पण आकडे दर्शविण्यास त्यांनी ईजिप्शियन चिन्हे वापरली नाहीत. त्याकरिता ग्रीकांनी ग्रीक लिपीतील अक्षरांचा उपयोग केला. पण त्यांत प्राचीन लिपीतील आणखी चार अक्षरेही घेतली. परंतु यामुळे एकूण सव्वीस प्रतिकांनी मोठमोठ्या संख्या दर्शविणे कठीण होऊन विषयाची प्रगती होऊ शकली नाही. दशमान पद्धतीत बेरीज, वजाबाकी, गुणाकारादी कृत्ये करताना हातचे म्हणून जे आकडे आपण घेतो, त्याची ग्रीकांच्या पद्धतीत सोय नाही. त्यामुळे बेरीज, वजाबाकीसारखी सामान्य वाटणारी कृत्ये करण्यातही वेळेचा अतिशय अपव्यय होई.
ग्रीकांनी भूमितिशास्त्रात केलेली प्रगती मात्र चिरस्मरणीय आहे, यात शंका नाही. प्रत्येक प्रमेयाची तर्कशुद्ध मीमांसा करण्याची पद्धती मानवाला मिळाली ती ग्रीकांपासूनच. यूक्लिड यांनी ग्रंथित केलेली भूमितिविषयक तेरा पुस्तके त्या दृष्टीने अतिशय महत्त्वाची ठरली आहेत. हे भूमितीचे ज्ञान परिणतावस्थेत पोहोचले किंवा पूर्णत्व पावले अशा ग्रहामुळे जरी पुढील प्रगती काही काळ खुंटल्यासारखी वाटली, तरी चिकित्सक मनाला सतराव्या शतकापासून या ज्ञानाने आव्हान दिले आणि त्यामुळेच इतर भूमितींचा जन्म झाला, हे लक्षात घेण्यासारखे आहे. शंकूचे छेद घेऊन येणारे वक्र म्हणजे शांकव. यांचे गुणधर्म ॲपोलोनियस या ग्रीक गणितज्ञांनी प्रथम अभ्यासले व ते गुणधर्म शुद्ध भूमितीच्या साहाय्याने सिद्ध केले.
ग्रीसमध्येच अनुप्रयुक्त गणिताचा पाया घातला गेला. हा पाया घालणारे गणिती म्हणजेच आर्किमिडीज हे होत. भौतिकीशास्त्राचा पायाही त्यांनीच घातला. न्यूटन व गौस या त्या मानाने अलीकडच्या काळातील गणितज्ञांच्या इतकाच आर्किमिडीज यांची योग्यता होती, असे मानण्यात येते. भूमिती श्रेढीचे पहिले पद अ असून प्रत्येक पद तत्पूर्वीच्या पदाच्या १/४ अ असल्यास त्या श्रेढीचा बेरीज ४/३ अ येते असे दाखवून ⇨अन्वस्त (पॅराबोला) खंडाचे क्षेत्रफळ त्यांनी काढले. त्यांच्याच नावाने ओळखला जाणारा आर्किमिडीज स्क्रू तसेच क्षेपणयंत्र, यारी, कप्पी वगैरे यंत्रांचा त्यांनी शोध लावला. एवढा असामान्य बुद्धीचा गणिती लाभूनही ग्रीक लोकांची गणितशास्त्रातील प्रगती पुढे खुंटली. ग्रीक गणिताचा काळ इ. स. पू. ६०० ते इ. स. पू. २०० या कालखंडात पडतो.
चीन : ख्रिस्तपूर्व दुसऱ्या शतकात चांगत्सांग नावाच्या गणितज्ञांनी चीनमधील प्राचीन गणित ग्रंथ संपादित केला. त्या ग्रंथाचे नाव केवच-आंग-स-आन-शूह असे आहे. याचा अर्थ अंकगणितातील नऊ भागाचे नियम असा आहे. पण या पुस्तकातील विषय फारच प्राथमिक स्वरूपाचा आहे आणि याच पुस्तकाच्या आवृत्त्या इ. स. १५०० पर्यंत पुनःपुन्हा निघाल्या यावरून चीनमध्ये गणितशास्त्राची फारशी प्रगती झाली नाही हे उघड आहे.
तेराव्या शतकात चूशीकी नावाच्या गणितज्ञांनी द्विपदीचे अष्टम घातापर्यंतचे सहगुणक काढले.त्यांनी चतुर्थ घाताचे एक विशिष्ट उदाहरणही सोडविले. याच सुमारास दुसरे एक चिनी गणिती लिचेह यांनी तृतीय घाताचे एक विशिष्ट उदाहरण सोडविले, पण व्यापक स्वरूपाचा कोणताही गणितीय प्रश्न चीनमध्ये सोडविला गेलेला नाही. चीनमध्ये п चे मूल्य मात्र पुष्कळच बरोबर काढलेले आढळते. п = २२/७ किंवा ३५५/११३ ही मूल्ये घ्यावीत असे निःसंदिग्धपणे सांगितले आहे.
इराण : खलिफा अल् मन्सूर यांच्या वेळेपासून, आठव्या शतकाच्या सुरूवातीपासून, बगदाद हे शिक्षणाचे केंद्र समजले जाऊ लागले व तेथे विद्वानांना आश्रय मिळू लागला. गणित आणि ज्योतिषशास्त्रात प्रगती व्हावी म्हणून खलिफांनी हिंदुस्थानातील पंडितांना पाचारण केले. त्यांतील कंक या पंडितांनी गणित व ज्योतिष या विषयांवरील भारतीय ग्रंथांचा मुस्लिम विद्वानांना परिचय करून दिला.
नवव्या शतकाच्या सुमारास अल् ख्वारिज्मी नावाचे गणिती इराणमध्ये होऊन गेले. त्यांनी अल् फजारी यांच्या सिंद-हिंद या नावाच्या ग्रंथाचे संक्षिप्तिकरण केले. हा ग्रंथ म्हणजे ब्रह्मसिद्धांताचे भाषांतर होय. सिद्धांत आणि तोही हिंदूंपासून शिकल्यामुळे या ग्रंथाचे नाव वास्तविक सिद्धहिंद असावयास पाहिजे. पण त्याचे अपभ्रंशित रूप ‘सिंद-हिंद’ असे झालेले दिसते. याच पुस्तकाची सुधारून काढलेली आवृत्ती काही काळाने प्रकाशित करण्यात आली. हे पुस्तक यूरोपीय ज्योतिषी पुढे जवळ जवळ आठशे वर्षे वापरीत होते. यात दिलेल्या त्रिकोणमितीय कोष्टकाचे ॲथेलहार्ड ऑफ बाथ या विद्वानांनी ११२६ मध्ये लॅटिनमध्ये भाषांतर केले. अल् ख्वारिज्मी यांनी किताब अल्-जाब्र वाल मुकाबला नावाचा बीजगणितावरील ग्रंथ लिहिला.यावरूनच बीजगणिताला यूरोपीयांनी आल्‌जिब्रा असे नाव दिले.
इराणमधील दुसरे एक प्रसिद्ध गणिती म्हणजे रूबायत या नावाच्या नामांकित काव्याचे कर्ते उमर खय्याम हे होत. त्यांनी ॲपोलोनियस यांनी काढलेल्या शांकवांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केला. शांकवाचा उपयोग करून तृतीय घाताचे समीकरण त्यांनी सोडविले. अशा रीतीने बीजगणिताचा प्रश्न भूमितीच्या साहाय्याने सोडविणारे हे पहिले गणिती असे म्हटले पाहिजे. भूमिती व बीजगणित या एकाच शास्त्राच्या दोन शाखा एकमेकींच्या प्रगतीला साहाय्यभूत ठरू शकतात, हे यामुळे पुढील गणितज्ञांना प्रथम समजले.
स्पेन व इटली : काही काळानंतर बगदादमध्ये विद्वानांना आश्रय मिळेनासा झाला. तेव्हा अरबी विद्वान स्पेनमध्ये आश्रयाला गेले. त्यांत रबी बेन इझ्रा या नावाचे हिब्रू विद्वान होऊन गेले. त्यांनी संख्या सिद्धांत सांगणारा सिफ्र-हा-मिस्पर या नावाचा ग्रंथ लिहिला. हा ग्रंथ अंकगणितावर असून त्यात हिंदूंचे अंकगणित विशद करण्याचा प्रयत्न केलेला आहे. त्यांनी या ग्रंथात हिंदू आकड्यांच्या ऐवजी हिब्रू अक्षरे वापरली, पण हिंदू वापरीत असलेले शून्य तसेच ठेवले. सिफ्र याचा अपभ्रंश सायफर म्हणजे शून्य असा शब्द नंतर प्रचारात आलेला दिसतो. अशा रीतीने यूरोपीय लोकांना शून्याची ओळख करून देणारे हे पहिले गणिती होत. तसेच सॅम्युएल बेन अब्बास या नावाच्या दुसऱ्या एका ज्यू विद्वानांनी अल् तब्सीरा व अल्किवामी हे ग्रंथ लिहिले. यांतील दुसऱ्या ग्रंथात हिंदूंचे आकडे व त्याचा विस्तार हा विषय आलेला आहे. अशा रीतीने प्रथम स्पेनमध्ये हिंदूंच्या दशमान पद्धतीचा प्रसार झाला.
हिंदूंच्या दशमान पद्धतीचा प्रसार करण्यास कारणीभूत झालेले लेओनार्दो फीबोनात्ची हे आणखी एक विद्वान इटलीत होऊन गेले (इ. स. १२२०). त्यांनी अंकगणितावर Liber Abaci या नावाचा ग्रंथ लिहिला. त्यात पहिल्या प्रकरणात हिंदू पद्धतीने संख्या कशा वाचावयाच्या, याचे विवेचन केलेले आहे. या ग्रंथात त्रैराशिकाविषयी एक प्रकरण आहे. हिंदू दशमान पद्धतीचा वापर फायदेशीर आहे हे समजूनही ती पद्धती पूर्णपणे अवलंबण्यास जवळ जवळ दोन ते तीन शतकांचा काळ उलटला. दहा अंक लिहिण्याची पद्धती बक्षाली हस्तलिखितामध्ये सापडते. पण या हस्तखिलिताचा काळ सर्व पाश्चात्त्य पंडितांना जुना– म्हणजे इ. स. पू.२०० ते इ. स. २००– आहे, असे वाटत नाही. बक्षाली हस्तलिखित लक्षात न घेता इतर पुरावा जरी लक्षात घेतला, तरी अंक लिहिण्याची पद्धती आणि दशमान पद्धती भारतात निदान आठव्या शतकात होत्या, हे सर्व विद्वानांना मान्य आहे [→ अंक].
तेराव्या ते सतराव्या शतकांतील प्रगती : संख्या मांडण्याची पद्धती व शून्याचा शोध या दोन गोष्टी हिंदू लोकांनी जगाला दिल्या. इ. स. १४५० पर्यंत संख्या लिहिण्याची दशमान पद्धती जगभर पसरली. यावेळेपर्यंत प्रगत झालेल्या गणित शाखा म्हणजे अंकगणित, बीजगणित, भूमिती, त्रिकोणमिती व ज्योतिषशास्त्र यांविषयीची मूलतत्त्वे मुख्यतः भारत व ग्रीस या दोन देशांतील विद्वानांच्या कार्यामुळे जगाला लाभली, असे विधान करावयास हरकत नाही. काही काही ठिकाणी काही निष्कर्ष स्वतंत्रपणे काढले गेले असतील यात शंका नाही. पण या प्रगतीचा गाभा जगाला देण्यात ग्रीस व भारत या दोन देशांतील लोकांचे परिश्रम कारणीभूत आहेत. मात्र अरबांनी हे सर्व ज्ञानभांडार आत्मसात करून जिवंत ठेवले व त्यामुळे यूपोपीय लोकांना त्याचा फायदा घेणे सुलभ झाले.
लिओनार्दो यांनी स्वतंत्रपणे सोडविलेला भूमितीतील एक प्रश्न येथे सांगणे जरूर आहे. दिलेल्या रेषेचे दोन भाग असे करावयाचे की, एका भागावरील वर्गाबरोबर राहिलेला भाग गुणिले त्या रेषेची लांबी होईल. या प्रश्नातील रेषेच्या छेदनबिंदूस सुवर्णमध्य म्हणतात. चित्रकला, शिल्पकला, सौंदर्यचिकित्सा वगैरे विषयांत सुवर्णमध्यछेद फार महत्त्वाचा गणला जातो. या छेदाविषयी लिओनार्दो यांनी एक श्रेणी दिली आहे. ती अशी : ०, १, १२, ३, ५, ८, १३,…. या श्रेणातील पदांत अप = अप-१ + अप-२ हा नियम असून 
येते. प्रश्नात भूमिती आणि बीजगणित यांची सांगड घातली आहे.
सतराव्या शतकास सुरूवात होण्यापूर्वी मध्यंतरीच्या काळात झालेले प्रमुख गणिती म्हणजे व्ह्येता, बाँबिली, स्टेव्हाइन, केप्लर, ब्रिग्झ, देझार्ग आणि गॅलिलीओ हे होत. नेपिअर यांनी १६१४ साली लॉगरिथमांची कोष्टके तयार केली. त्रिकोणमिती व ज्योतिषशास्त्र यांतील गणनक्रिया लॉगरिथमांच्या साहाय्याने सुलभ होतात हे ब्रिग्झ यांनी केल्पर यांना पटवून दिले. त्यामुळे जर्मनीमध्ये लॉगरिथमाचा प्रसार झाला. टार्टाल्या (१५००–५७) ह्या इटालियन गणितज्ञांनी तृतीय घाताचे समीकरण सोडविण्याची रीत शोधली. त्यांनी आपला शोध कार्डन (१५०१–७६) या दुसऱ्या गणितज्ञांना कळविला व त्यांनी तो शोध स्वतःच्या नावावर प्रसिद्ध केला. या निर्वाहास कार्डन निर्वाह म्हणून म्हणण्याचा चुकीचा प्रघात पडला आहे. बाँबिली व व्ह्येता या उभयतांनी बीजगणितात संक्षिप्त प्रतिके वापरण्याचा प्रयत्न केला (याचा उल्लेख पुढे येईलच). देझार्ग (१५९३–१६६२) हे प्रथम अभियंते व शिल्पज्ञ होते. पण नंतर गणिताच्या अभ्यासाकडे त्यांचे लक्ष वेधले. शांकवांविषयीचा त्यांचा अभ्यास सखोल होता. त्यांच्या मूळ ग्रंथाची प्रत १८४५ साली उजेडात आली. यथादर्शनशास्त्रातील त्यांची कामगिरी वाखाणण्यासारखी आहे. शुद्ध भूमितीतील त्यांनी सांगितलेली तत्त्वे पुढील संशोधनाच्या दृष्टीने महत्त्वाची ठरली आहेत : (१) रेषेचा आदी आणि अंत एकच आहेत. (२) समांतर रेषा एकमेकींस अनंताच्या ठायी छेदतात. (३) समांतर प्रतले एकमेकांस ज्या रेषेत छेदतात, ती रेषा पूर्णपणे अनंतस्थ असते. (४) सरळ रेषा म्हणजे ज्या वर्तुळाचा मध्य अनंतस्थ असतो असे वर्तुळ. (५) चार एकसंपाती (एका बिंदूत मिळणाऱ्या) रेषांना एखाद्या छेदिकेने छेदल्यास मिळणारे द्विगुणोत्तर अचल असते. याचप्रमाणे ध्रुवीय रेषेची उपपत्ती देऊन स्पर्शिका म्हणजे छेदिकेची सीमावस्था होय, हा सिद्धांत त्यांनी मांडला. हा सिद्धांत कलनशास्त्रातील मूलभूत तत्त्वविवेचक असल्यामुळे त्याला फार महत्त्व आहे.
अनुप्रयुक्त गणिताचे आद्यजनक आर्किमिडिज हे होत. आर्किमिडिज यांच्यानंतर या शाखेकडे कोणीच फारसे लक्ष दिले नव्हते. हिपार्कस आणि टॉलेमी या प्राचीन ग्रीक ज्योतिर्विदांनी पृथ्वीभोवती ग्रह फिरतात असे तत्त्व मांडले होते. परंतु सूर्य हा सूर्यमालेचा केंद्र आहे असे सांगणारे शास्त्रज्ञ कोपर्निकस होत. भारतीय ज्योतिर्विदांत आर्यभटांनी आपल्या गोलपादात पृथ्वीच आपल्या आसाभोवती फिरते व तिला दैनंदिन गती आहे हे तत्त्व मांडले आहे, पण त्याकडे भारतीय ज्योतिषांनी लक्ष दिले नाही. तसे कोपर्निकस यांच्या बाबतीत झाले नाही. या शोधामुळे गणितात बरीच प्रगती झाली. केप्लर यांनी सूर्याभोवती ग्रह विवृत्त (लंबवर्तुळाकार) कक्षेत फिरतात व सूर्य त्या विवृत्ताच्या एका नाभिस्थानी असतो हे तत्त्व मांडले व या तत्त्वाच्या जोरावर न्यूटन यांनी गुरूत्वाकर्षण व्यस्तवर्गाचा नियम (गुरूत्वाकर्षण अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात असते हा नियम) पाळते, हे सिद्ध केले. निसर्गावर मात करावयाची झाल्यास निसर्गाची सेवा करावयास पाहिजे, असे तत्त्व तत्त्ववेत्ते बेकन यांनी मांडले होते. यामुळे कलाकार, तंत्रज्ञ, शिल्पकार व अभियंते यांनी केलेल्या प्रयोगांचा उपयोग गणितात करता येईल की काय, इकडे गणितज्ञांचे लक्ष वेधले व निसर्गातील सत्ये समजून घेण्यास गॅलिलीओ हे इटालियन शास्त्रज्ञ प्रवृत्त झाले. गॅलिलीओ (१५६४–१६४२) यांनी ऊर्ध्व (उभ्या) दिशेने फेकलेले पदार्थ त्याच रेषेत परत पृथ्वीवर येतात असे प्रतिपादून, पडणाऱ्या पदार्थाविषयीचे नियम शोधून काढले. संघात (दोन वस्तू एकमेंकीवर आपटण्यासंबंधीची) उपपत्ती हे त्यांचे प्रमुख कार्य होय. त्यांनी लंबकासंबंधी प्रयोग केले व घड्याळांचे प्रमाणीकरण करावयाची क्रीया विशद केली. अशा रीतीने भौतिकीचा विकास गणितशास्त्राच्या प्रगतीस उपकारक आहे, हे दाखविले व याच क्षेत्रात न्यूटन वगैरे गणितज्ञांकरिता प्राथमिक स्वरूपाची तयारी करून ठेवली असे म्हणावयास हरकत नाही.
गणितीय चिन्हांचा इतिहास : या संक्रमण कालात दुसरे मोठे कार्य झाले ते म्हणजे गणितात प्रतीकांचे वापर करण्यास सुरूवात झाली. गणितातील पदावली आपण आता सहज लिहू शकतो व ती थोडक्यात म्हणजे संक्षिप्त प्रतीक पद्धतीने लिहितो. ही पद्धती कसकशी उत्क्रांत झाली हेही गणिताच्या इतिहासाच्या दृष्टीने जाणून घेणे इष्ट आहे. या लेखनपद्धतीमुळे केवळ बीजगणिताचीच काय पण सर्व गणितशास्त्राची प्रगती झपाट्याने झाली.
अज्ञात संख्येत हिंदू गणिती, यावत् तावत् ह्या शब्दांतील या हे अक्षर वापरीत असत. कधीकधी रंगदर्शक शब्दांतील पहिली अक्षरेही वापरीत असत. उदा., हरित-ह, श्वेत-श्वे, नील-नी इत्यादी. यावत् तावत् वरून अरबांनी शाछाई (गोष्ट अगर कोणताही पदार्थ) ह्यातील शा वापरला आहे. मध्ययुगात यूरोपात रेस (Res) म्हणजे कोणताही पदार्थ असा शब्द वापरला आहे. पण देकार्त यांनी अज्ञात पदाकरिता x, y, z इ. अक्षरे वापरावीत असे दंडक घातला.
बेरीज दाखविण्यास दोन संख्या समोरासमोर मांडून दाखविण्याची भारतीय पद्धती होती. कधीकधी या दोन संख्यांमध्ये युत या शब्दातील यु लिहून बेरीज लिहीत. बैजिक पदात संख्या मिळवायची झाल्यास रूप मधील रू वापरीत. पण रूप याचा अर्थ ज्ञात संख्या होय.
टार्टाल्या यांनी बेरीज दर्शविण्यास f हे अक्षर वापरले आहे. इटालियन बीजगणित, plus या शब्दातील पहिले अक्षर वापरीत व ते P, p, p¯ यांतील कोणत्याही पद्धतीने लिहीत. ह्या सर्व पद्धती विचारात घेऊन जर्मन व आंग्ल गणितज्ञांनी ते + असे स्वीकारले आणि १६३० पर्यंत ते रूढही झाले.
उणे चिन्हाकरिता बक्षाली हस्तलिखितात + हे चिन्ह आढळते. हे चिन्ह शारदा लिपीतील क्ष अक्षराशी सदृश आहे. आर्यभटादी गणिती वजा करावयाच्या संख्येच्या डोक्यावर टिंब देत असत. इटालियन बीजगणितज्ञ बीजगणिताचा अभ्यास सुरू केल्यापासून minus या शब्दातील पहिले अक्षर m किंवा M वापरीत. जर्मन व आंग्ल गणितज्ञांनीच वजाबाकीकरिता सध्याचे – हे चिन्ह प्रचारात आणले. हेच चिन्ह टार्टाल्या व पाचोली (इ.स.१४९४) या दोन गणितज्ञांनी भागाकार दर्शविण्यास वापरले होते. हे चिन्ह यूरोपीय व्यापारी वापरीत पण १६३० पासून ते प्रत्यक्ष प्रचारात आले.
गुणाकारकरिता शेवटचे उत्तर लिहिण्यापूर्वी आकडेमोड करताना नवा आकडा आला की पूर्वीच्या आकड्यावर काट मारीत. कारण नंतर ती चूक ठरे. चुकीकरिता × हे चिन्हही पूर्वी भारतात वापरीत. यावरून हे चिन्ह आलेले असावे. हॅरिअट (१६३१) यांनी दोन संख्येत टिंब देऊन गुणाकार दर्शविला आहे. देकार्त यांनी पदे जवळ जवळ लिहून गुणाकार दर्शविण्याची पद्धती पाडली. लायप्निट्स यांनी १६८६ सालीगुणाकाराकरिता Ç हे चिन्ह वापरले आहे. पण अठराव्या शतकाच्या सुरूवातीस × हे चिन्ह गुणाकाराकरिता रूढ झाले. बीजगणितात रूढ असलेल्या क × ख, क · ख अगर कख ह्या रीतींनी गुणाकार दर्शवितात. सदिश संख्या प्रचारात आल्यावर फुली व टिंब यांना आणखी विशिष्ट अर्थ आला आहे [→ सदिश].
बक्षालीमध्ये भाज्य व भाजक एका खाली एक लिहित, त्यामध्ये आडवी रेघ नसे. पुढे त्या दोन्हींमध्ये आडवी रेघ घालण्यासाठी पद्धती पडली. अरब लोकांनी ती हिंदूंपासूनच घेतली. अरबी लोक गुणोत्तर दाखवितात क-ख, क/ख किंवा क/ख असे दर्शवितात. ऑट्रिड यांनी १६३१ साली गुणोत्तर दाखविताना दोन टिंबांचा वापर केला. क : ख यावरून क/ख अगर क : ख असे लिहिण्याचा प्रघात पडला व दोन्ही संयोगाने ÷ हे चिन्ह वापरात आले असावे. लायप्निट्स यांनी १६८६ मध्ये भागाकाराकरिता ÷ चिन्ह वापरले आहे. न्यूटन यांचे गुरू बॅरो यांनी ׃׃ हे चिन्ह पारंपरिक गुणोत्तर दर्शविण्यासाठी वापरले आहे.
तुल्यता दाखविणारे समीकरणातील बरोबर (=) चिन्ह प्रथम रॉबर्ट रेकार्ड नावाच्या गणितज्ञांनी १५५७ साली प्रथम वापरले. क्स्यूलांडर यांनी १५७५ साली उभ्या दोन रेषांनी तुल्यता दर्शविली, पण १६०० सालापर्यंत सध्या अनंताकरिता वापरात असलेले चिन्ह ∞ हे बरोबरी दर्शविण्यासाठी वापरीत. गुणोत्तरांची तुल्यता दर्शविणारे चार टिंबाचे चिन्ह ऑट्रेड यांनी १६३१ साली वापरले व त्याचा वापर १६८६ सालापासून वॉलिस यांनी सर्रास केला. या चार टिंबांचे रूपांतर = या चिन्हात झाले असावे. अठराव्या शतकाच्या सुरूवातीस ह्याचा वापर सर्वमान्य झाला.
गुरूतर चिन्ह > आणि लघुतर चिन्ह < ही हॅरिअट यांनी १६३१ साली वापरली. याच सुमारास ऑट्रेड यांनी गुरूतर व लघुतर यांकरिता वापरलेली चिन्हे अनुक्रमे 
अशी होती.
तुल्यता नाही हे दर्शविणारे चिन्ह ≠ तसेच गुरूतर नाही ≯ आणि लघुतर नाही ≮ ही चिन्हे प्रथम कोणी शोधिली हे सांगणे जरी कठीण असले तरी ऑयलर (१७०७–८३) यांनी ही चिन्हे वापरली होती हे निश्चित. गुरूतर तुल्य याकरिता ≥ आणि लघुतर वा तुल्य ही ≤ चिन्हे पी. बूगेअर १७३४ साली उपयोगात आणली.
वर्गमुळाकरिता वापरण्यात येणारे चिन्ह 
प्रथम भास्कराचार्यांनी वापरले व हेच चिन्ह यूरोपीय गणिती रूडॉल्फ यांनी १५२६ साली वापरले.
बाँबिली (१५७२) यांनी अज्ञाताकरिता चंद्रकोरीसारखे चिन्ह वापरल्यामुळे वर्ग, घन इ. लिहिण्यास त्यांनी 
इ. अशी पद्धत वापरली. श्टीफेल (१४८६–१५६७) यांनी १ क्ष, क्ष क्ष, क्ष क्ष क्ष इ. असी पद्धत प्रथम, द्वितीय, तृतीय इ. घात दर्शविण्यासाठी वापरली. या दोन्ही पद्धतींवरून हॅरिअट यांनी १६३१ साली क्ष२, क्ष३ अशी घात लिहिण्याची पद्धती अमलात आणली. पण ही पद्धती फक्त धन घातांक दर्शविण्यासाठी त्यांनी वापरली. वॉलिस (१६१६–१७०७) यांनी ही पद्धत ऋण तसेच अपूर्णांकी घात दाखविण्यास १६५९ सालापासून वापरण्यास सुरूवात केली. न्यूटन यांनी क्षप असे घात वापरण्याची व्यापक पद्धती उपयोगात आणली असावी.
वॉलिस यांनी अनंताकरिता ∞ हे चिन्ह १६५५ साली जरी वापरले तरी १७१३ पासून जेम्स बेर्नुली यांनी ते रूढ केले. रोमन लोक दहा हजार ही संख्या दर्शविण्यासाठी हे चिन्ह वापरीत. मोठी संख्या दर्शविणारे हे चिन्ह असल्याकारणाने अनंताकरिता हे चिन्ह रूढ झाले.
त्रिकोणमितीत येणाऱ्या सहा गुणोत्तरांतील ‘ज्या’ फलनाकरिता येणारे sine म्हणजेच sin हे चिन्ह अरब लोकांकडून यूरोपींयानी घेतले आणि त्याचे त्या अर्थाचे यूरोपीय रूपांतर केले. या फलनाचा शोध आर्यभटांनी लावला. सिकँट (छेदक) आणि टँजंट (स्पर्शक) ही फलने टॉमस फिक या डेन्मार्कमधील गणितज्ञांनी १५८३ मध्ये शोधून काढली. कोसिकँट (कोच्छेदक) हे रेटिकुस (गेओर्ख योआखिम फोन लाऊखेन) यांनी १५९६ साली आणि कोटँजंट (कोस्पर्शक) १६२० साली गंटर यांनी शोधून काढले. sin, sec, tan ह्या संक्षिप्त रूपांचा वापर जीरार्ड (१५९५–१६३२) यांनी सुचविला आणि cos, cot ही रूपे ऑयलर यांनी १७४८ मध्ये वापरली.
अशा रीतीने संक्षिप्त प्रतीक पद्धती गणितशास्त्रात रूढ झाली आणि अठराव्या शतकानंतर गणिताची प्रगती अत्यंत झपाट्याने होऊ लागली. आता आपण एखादी पदावली किंवा एखादा निष्कर्ष वरील चिन्हांचा वापर करून चटकन दर्शवू शकतो. ही चिन्हे अस्तित्वात नसती, तर गणितज्ञानात भर घालण्यास मानवाला अतिशय त्रास पडला असता. या संक्षिप्त प्रतिकांच्या पद्धतीमुळे संशोधकांचा मार्ग बराचसा सुकर झाला आहे.
सतरावे शतक: जॉन नेपिअर यांनी लॉगारिथमावरील आपले संशोधन पूर्ण करून लॉगरिथमीय कोष्टके तयार केली. याच सुमारास योहानेस केप्लर यांनी ग्रहांच्या गतीच्या कक्षांसंबंधीचे तीन नियम प्रसिद्ध केले. रने देकार्त यांनी १६३७ साली महत्त्वपूर्ण असा बीजभूमितीचा शोध लावला. सहनिर्देशक, बैजिक पद्धत, फलनाचे आलेखीय निदर्शन आणि भूमितीचे प्रश्न वैश्लेषिक पद्धतीने सोडविणे हे सर्व त्यावेळी नवीन नव्हते, पण देकार्त यांनी ह्या सर्वांना मूलभूत तत्त्व लावून प्रत्येक द्विवर्ण समीकरण प्रतल वक्र देते आणि विलोमतः प्रत्येक प्रतल वक्राचे स्वरूप द्विवर्ण समाकरणात बंदिस्त करता येते, हा महत्त्वाचा शोध लावला. यामुळे जुन्या संश्लेषिक अथवा शुद्ध भूमितीस वैश्लेषिक भूमितीसारखा जणू काय प्रतिस्पर्धीच निर्माण झाला. देझार्ग आणि पास्काल (१६२३–६२) यांचे प्रक्षेप भूमितीवरील संशोधन वगळल्यास शुद्ध भूमितीमध्ये त्यांच्यानंतर जवळ जवळ दीड शतक कोणतेही कार्य़ झाले नाही. शुद्ध भूमितीत आकृती काढून तिच्यावर लक्ष केंद्रित करून, रचना करून, प्रमेये वापरून प्रश्न सोडविणे या पद्धतीऐवजी त्या आकृतीच्या बैजिक समीकरणावरून गणितकृत्य करणे आणि प्रश्न सोडविणे या पद्धतीचे नाविन्य वाटू लागले. त्यामुळे शुद्ध भूमितीकडे दुर्लक्ष होऊ लागले. बीजभूमिती हे प्रभावी शस्त्र म्हणून वापरण्यात येऊ लागले. त्यामुळे नवनव्या वक्राचा शोध पुढील संशोधनास फारच तारक ठरला. उदा., जुन्या भूमितीमध्ये वक्राला काढलेली स्पर्शिका म्हणजे वक्राला एका बिंदूपाशी स्पर्श करणारी रेषा अशी व्याख्या देत. पण अनेक वक्रांच्या विवेचनाच्या ओघात स्पर्शिका ही छेदिकेची सीमावस्था होय ही कल्पना उदयास आली. स्पर्शिका म्हणजे वक्राला दोन तादात्म्य बिंदूत छेदणारी रेषा असा अर्थ घेऊन फेर्मा (१६०१–६५) यांनी एका वक्रावरील प आणि फ हे दोन बिंदू घेऊन पफ चा उतार काढला आणि मग फ हळूहळू सरकवत प शी तादात्म्य पावत असताना त्या रेषेचा उतार कसकसा बदलत जातो, हा प्रश्न हाताळला. यामुळे कलनशास्त्राच्या संशोधनाची बीजे पेरली गेली. फेर्मा यांनी संभाव्यताशास्त्र (पास्काल यांच्या बरोबर) तसेच ⇨गणितीय विगमन पद्धतीने वक्राचे क्षेत्रफळ काढणे, अर्धत्रिघातीय (य२ = कक्ष३ असे समीकरण असलेल्या) अन्वस्ताची लांबी काढणे इ. अनेक मूलभूत क्षेत्रांत संशोधन केले. पास्काल आणि जॉन वॉलिस या दोघांनीही चक्रजाचा (सरळ रेषेवर फिरत पुढे जाणाऱ्या वर्तुळाच्या परिघावरील बिंदूच्या मार्गामुळे तयार होणाऱ्या वक्राचा) अभ्यास करून त्या वक्राचे लक्षवेधक गुणधर्म प्रस्थापित केले. हायगेन्झ (१६२९–९५) या डच गणितज्ञांनीही या वक्राचा अभ्यास करून त्याचा उद्दलित वक्र [→ वक्र] मूळ चक्रजाएवढीच आकृती देतो, हे सिद्ध केले. वक्राच्या या गुणधर्मावरून ‘वक्रता’ ही संकल्पना उदयास आली आणि यामुळे लंबकाची घड्याळे तयार करण्यास लागणारे ज्ञान मानवास उपलब्ध झाले. हायगेन्झ यांनी चक्रजाकृती लंबकाची रचना केली होती.
या सर्व प्रगतीचा परिपाक म्हणजे कलनशास्त्राचा शोध होय. हा शोध याच शतकाच्या शेवटच्या तीस वर्षांत लागला. त्याचे श्रेय आंग्ल गणिती न्यूटन आणि जर्मन गणिती लायप्निट्स यांना दिले पाहिजे. या विषयाची पूर्वपीठिका आर्किमिडीजसारख्या प्राचीन गणितज्ञांनी आणि नंतर फेर्मा, वॉलिस, बॅरो व पास्काल यांनी तयार केली होती. न्यूटन व लायप्निट्स या दोघांनी कलनशास्त्रातील मूलभूत कल्पना मांडून समाकलन आणि अवकलन ही कृत्ये एकमेकांची व्यत्यास कृत्ये आहेत असे सिद्ध केले. अलकलनाची व्याख्या करताना न्यूटन यांनी केलेले स्पष्टीकरण व त्यांनी वापरलेली चिन्हे थोडी बोजड स्वरूपाची होती. पण अत्यल्प अवकलज दाखवताना लायप्निट्स यांनी वापरलेली चिन्हे वा संज्ञा जास्त सोयीच्या आणि प्रभावी असल्याकारणाने त्याच पुढे कलनशास्त्रात वापरल्या जाऊ लागल्या. कलनशास्त्राचे आद्यजनक न्यूटन यांना की लायप्निट्स यांना म्हणावयाचे या वादात आंग्ल गणितज्ञांनी आडमुठे धोरण स्वीकारून न्यूटन यांच्या संज्ञाच वापरावयाच्या असा आपला हट्ट चालविला. वास्तविक लायप्निट्स यांच्या संज्ञा आणि चिन्हे लिहिण्यास सोयीची आणि विषयाच्या पुढील प्रगतीच्या दृष्टीने उपयोग होत्या. पण त्या न अंगिकारल्यामुळे आंग्ल गणिती त्यानंतर जवळजवळ १०० वर्षांपर्यंत म्हणावे असे गणित संशोधन करू शकले नाहीत. याच काळात यूरोपातील इतर गणितज्ञांनी महत्त्वपूर्ण कार्य केले. लायप्निट्स यांच्या प्रतिकात्मक चिन्हांमुळे ⇨चिन्हांकित तर्कशास्त्र हा नवीन विषय उदयास आला. पुढे १८५४ साली बूल या आंग्ल गणितज्ञांनी लॉज ऑफ थॉट हे पुस्तक प्रसिद्ध करून लायप्निट्स यांची प्रतिके आणि संज्ञा स्वीकारण्यात कोणता फायदा आहे हे आंग्ल विद्वानांना पटवून दिले आणि इंग्लंडमध्ये परत गणितज्ञांची परंपरा सुरू झाली.
अठरावे शतक : झां बेर्नुली (१६६७–१७४८) या स्विस गणितज्ञांनी अवकलनशास्त्राचा सखोल अभ्यास केला व त्यांच्याच मार्गदर्शनाखाली ऑयलर (१७०७–८७) ह्या गणितज्ञांचा उदय झाला. ऑयलर यांनी गणितशास्त्रात अतिशय मोलाची भरीव कामगिरी केली. विविध गणितशाखांतील निरनिराळी समीकरणे, प्रमेये, फलने, फलिते यांची ऑयलर यांनी एवढी प्रचंढ निर्मिती केली की, अठराव्या शतकात गणितशास्त्राचा व्याप अतिशय विस्तृत झाला. बहुतेक गणित शाखांतील अनेक प्रमेयांशी, समीकरणांशी अगर निष्कर्षांशी ऑयलर यांचे नाव निगडीत झाले आहे. १७४८ मध्ये प्रसिद्ध झालेलाIntroductio in analysin infinitorum (दोन खंड) हा ऑयलर यांचा ग्रंथ आधुनिक काळातील गणितावरील आद्य पाठ्यपुस्तक म्हणून मानण्यात येतो. या ग्रंथात त्यांनी दिलेली फलनाविषयाची संकल्पना व अनंताविषयीच्या प्रक्रिया ह्या भूमिती, बीजगणित व गणितीय विश्लेषण या तिन्ही शाखांत महत्त्वाच्या ठरल्या आहेत. या ग्रंथातच त्यांनी लॉगरिथमाचा घात या दृष्टीने, तसेच त्रिकोणमितीय फलनांचा संख्यात्मक गुणोत्तरे या दृष्टीने विचार केलेला असून या ग्रंथाद्वारे त्यांनी प्रचलीय समीकरणे, ध्रुवीय निर्देशांक, प्राथमिक स्वरूपाच्या फलनांचे आलेखरूपी निदर्शन यांचा उपयोग करण्याच्या पद्धतींत एकसूत्रीपणा आणला. अवकलन आणि समाकलन या विषयांवरील त्यांचे ग्रंथ संशोधकांना स्फूर्तिदायक ठरलेले आहेत. चलनकलनशास्त्राचा पाया त्यांनीच घातला असे म्हणावयास हरकत नाही. अवकल भूमितीच्या आद्य प्रवर्तकांपैकी एक म्हणूनही त्यांची गणना होते.
अठराव्या शतकातील काही गणितज्ञांना विद्यापीठाचा किंवा एखाद्या राजाचा आश्रय मिळाल्याचे दिसून येते. ऑयलर हे काही काळ प्रशियन राजाच्या पदरी व नंतर सेंट पीटर्सबर्ग येथील राजाश्रयास होते. लाग्रांझ (१७३६–१८१३) ह्या फ्रेंच गणितज्ञांना ऑयलर यांच्या नंतर प्रशियन राजाश्रय मिळाला. लाग्रांझ व ऑयलर या दोघांनाही बीजगणित, विश्लेषण, संख्या सिद्धांत व यामिकी या विषयांची आवड होती तथापि त्यांचे दृष्टिकोन मात्र भिन्न होते. लाग्रांझ यांच्या Theorie des fonctions analytiques(१७९७) या फलन विश्लेषणासंबंधीच्या ग्रंथामुळे गणितशास्त्रातील तर्ककठोरतेची आवश्यकता प्रस्थापित झाली. यामिकीसंबंधीच्या Mechanique analytique (१७८८) या ग्रंथामुळे लाग्रांझ यांना दिगंत कीर्ती मिळाली व या ग्रंथामुळे यामिकी हा विषय गणितीय विश्लेषणाचा एक भाग गणला जाऊ लागला. या ग्रंथात त्यांनी अगदी थोड्या गृहितांचा आधार घेऊन यामिकीतील तत्त्वे फक्त निगमनात्मक तर्कशास्त्राचा उपयोग करून प्रस्थापित केलेली आहेत. लाग्रांझ यांचा हा ग्रंथ फ्रेंच राज्यक्रांतीच्या फक्त एक वर्ष अगोदर प्रसिद्ध झाला. या राज्यक्रांतीत राजकीय क्षेत्रातील क्रांतीबरोबरच ज्ञानाच्या क्षेत्रातही क्रांती झाली. प्रत्येक गोष्ट बुद्धीच्या निकषावर तपासणे इष्ट आहे हा ॲलांबेर (१७१७–८३) या सुप्रसिद्ध गणितज्ञांनी घातलेला दंडक शास्त्रीय जगतात मान्यता पावला व त्याचीच परिणती लाग्रांझ यांच्या वरील ग्रंथात झाली.
फ्रेंच राज्यक्रांतीच्या काळात १७९५ साली स्थापन झालेल्या एकोल पॉलिटेक्निक या अभियांत्रिकाचे शिक्षण देणाऱ्या महाविद्यालयात लाग्रांझ, लाप्लास (१७४९–१८२७), माँझ (१७४६–१८१८) इ. विख्यात फ्रेंच गणितज्ञ अध्यापनाचे कार्य करीत होते. त्यामुळे गणिताच्या इतिहासात या संस्थेला महत्त्वाचे स्थान प्राप्त झाले आहे. लाप्लास यांच्याMechanique celeste(५ खंड, १७९९–१८२५) ग्रंथामुळे खगोलीय यामिकी हा विषय गणितीय विश्लेषणाची शाखा म्हणून प्रस्थापित झाला. या ग्रंथातील मुख्य निष्कर्ष व त्यात विवरण करण्यात येणाऱ्या विषयांची माहिती देणारा एक ग्रंथ १७९६ सालीच लाप्लास यांनी प्रसिद्ध केला होता. याच ग्रंथात सूर्यमालेच्या स्थैर्यासंबंधीच्या विवरणात त्यांनी ‘अभ्रिय’ परिकल्पना ही विश्वोत्पत्तिशास्त्रातील एक महत्त्वाची संकल्पना मांडली. खगोलाच्या संदर्भात लाप्लास यांनी वर्चस् उपपत्ती मांडली. संभाव्यताशास्त्रात त्यांनी ‘लाप्लास समाकला’ चा जनित्र फलन म्हणून उपयोग केला. आता लाप्लास रूपांतर, लाप्लास समीकरण आणि जात्य फलने यांना गणितीय विश्लेषणात अनन्यसाधारण महत्त्व प्राप्त झाले आहे.
एकोल पॉलिटेक्निकमधील गास्पर माँझ या दुसऱ्या नामवंत गणितज्ञांनी संश्लिष्ट भूमितीचे पुनरूत्थान करून Geometrie descriptive(१७९९) या आपल्या ग्रंथाद्वारे भूमितीतील नव्या युगाचा पाया घातला. देझार्ग व पास्काल यांच्यानंतर संश्लिष्ट भूमितीत कोणतीच भर घातली गेली नव्हती. ही उणीव या ग्रंथाने भरून काढली. इमारतींचे आराखडे काढण्याच्या पद्धतीत या ग्रंथामुळे मोठी सुधारणा झाली. याच सुमारास फ्रेंच क्रांती सैन्याला मार्गदर्शन व संघटित करण्यास मदत करणाऱ्या लाझार कार्नो (१७५३–१८२३) या गणितज्ञांनी वैश्लेषिक व संश्लिष्ट भूमितीमध्ये मोलाची भर घातली. Geometrie de position(१८०३) हा ग्रंथ सुप्रसिद्ध आहे.
एकोणिसावे व विसावे शतक : फूर्ये (१७६८–१८३०) या फ्रेंच गणितज्ञांनी १८२२ मध्ये Theorie analytique de la chaleur या आपल्या ग्रंथात, कोणत्याही स्वेच्छ फलनाचा ‘ज्या’ व ‘कोज्या’ ह्या त्रिकोणमितीय फलनांच्या श्रेढीच्या स्वरूपात विस्तार करता येणे शक्य आहे, हे मौलिक तत्त्व मांडले. या तत्त्वाचा पुढे भौतिकी, अभियांत्रिकी इ. अनुप्रयुक्त क्षेत्रांत अतिशय उपयोग झाला. १८२२ मध्येच पाँस्ले (१७८८–१८६७) यांचा प्रक्षेप भूमितीवरील Trait des proprietes projectives des figures हा महत्त्वाचा ग्रंथ प्रसिद्ध झाला. संतततेचे तत्त्व व द्वित्व संकल्पना या पाँस्ले यांनी मांडलेल्या कल्पना मूळ कोणी मांडल्या यासंबंधी पाँस्ले व जर्मन गणितज्ञ प्लूकर (१८०१–६८) यांत बराच वाद निर्माण झाला होता. नंतर प्ल्यूकर यांनी वैश्लेषिक भूमितीसंबंधी महत्त्वाचे कार्य केले. गणितात संक्षिप्त संज्ञा वापरण्याची कल्पना त्यांनी मूर्तस्वरूपात आणली तसेच समघाती सहनिर्देशक, परिगणन भूमिती इ. क्षेत्रांतही त्यांनी मूलभूत संकल्पना मांडल्या. पण जर्मनीमध्ये त्यांच्या कार्याचे फारसे चीज झाले नाही कारण श्टाइनर (१७९६–१८६३) या दुसऱ्या गणितज्ञांनी १८३२ च्या सुमारास संश्लिष्ट भूमितीचा एक विशिष्ट संप्रदाय तयार केला होता. विश्लेषणात्मक पद्धतींपेक्षा संश्लेषण पद्धती अधिक प्रभावी व विचारप्रवर्तक आहेत असे श्टाइनर यांच्या संकल्पनांचा पुढे स्टाउट यांनी विस्तार केला व संश्लिष्ट भूमितीला अधिक तर्ककठोर अधिष्ठान प्राप्त करून दिले.
एकोणिसाव्या शतकात गणितशास्त्राच्या मूलभूत विकासाच्या दृष्टीने अनेक महत्त्वाच्या संकल्पना उदयास आल्या. विशेषतः अयूक्लिडीय भूमितीच्या जन्मामुळे गणितशास्त्राच्या विकासाला नवीनच दिशा प्राप्त झाली . समांतर रेषांसंबंधीचे गृहीतक सिद्ध करण्याचे पूर्वी अनेक प्रयत्न झाले. पण लोबाचेव्हस्की (१७९३–१८५६) यांनी १८२६–२९ मध्ये आणि यानोश बोल्यॉई (१८०२–६०) यांनी १८३१–३२ मध्ये स्वतंत्रपणे हे समांतर रेषांचे गृहीतक वगळून नव्या भूमितीचा पाया घातला. १८५४ मध्ये रीमान (१८२६–६६) यांनी भूमितीचे स्वभावनिदर्शन करण्यासाठी वक्र चापाच्या द्विघातिक अवकलरूपाचा उपयोग करावा असे प्रतिपादिले. त्यांनी भूमितीत वापरलेली ही कल्पना पुढे व्यापक सापेक्षता सिद्धांतात उपयुक्त ठरली. गौस (१७७७–१८५५) यांनीही स्वतंत्रपणे अयूक्लिडीय भूमितीचा शोध लावला होता असे त्यांनी त्यांच्या दैनंदिनीमध्ये केलेल्या नोंदींवरून दिसते, पण हा शोध त्यांनी प्रसिद्ध केला नाही. गौस यांच्या दैनंदिनीतील सदसत् संख्यांचे आलेखीय निदर्शन, विवृत्तीय फलनांची आवर्तता इत्यादींसंबंधीच्या महत्त्वाच्या नोंदीही अप्रकाशित राहिल्या व नंतर इतरांनी त्यांचा शोध लावला. गौस यांनी Disquisitiones arithmeticae या आपल्या अंकगणितविषयक ग्रंथात समरेषी एकरूपता व द्विघातिक अन्योन्यता ही संख्यासिद्धांतातील मौलिक तत्त्वे मांडली. १८२८ मध्ये प्रसिद्ध झालेल्या Disquisitiones generales circa superficies curvas या त्यांच्या ग्रंथामुळे अवकल भूमितीमध्ये एक नवे दालन उघडले गेले. प्रचल फलनांनी पृष्ठांचे निदर्शन करण्याच्या कल्पनेचा या ग्रंथांत पुरेपूर उपयोग केलेला आढळतो. त्यात वारंवार येणाऱ्या वक्रतेविषयीच्या उल्लेखामुळे पुढे ‘गौसीयन वक्रता’ अशा अर्थाची संज्ञा रूढ झाली. गौस यांचे वरील दोन्ही ग्रंथ अभिजात स्वरूपाचे आहेत. त्यात दिलेल्या सिद्धता आधुनिक पद्धतीच्या असून प्रत्येक सिद्धता कटाक्षाने परिपूर्ण करण्यात आली आहे. लझांद्र यांनी शोधून काढलेली आणि सांख्यिकीमध्ये महत्त्वाची असलेली किमान वर्ग पद्धती गौस यांनी स्वतंत्रपणे शोधून काढली तसेच त्यांनी ज्योतिषशास्त्र, भूगणित व चुंबकत्व या अनुप्रयुक्त गणित शाखांतही भरीव कामगिरी केली. यामुळेच त्यांची जगातील तीन महान गणितज्ञांत गणना करण्यात येते.
प्रत्येक बहुपदी समीकरणास निदान एक सदसत् मूळ असते असे १७९९ साली गौस यांनी सिद्ध केले होते, पण ह्या प्रश्नाचे सर्वांगीण विवरण करण्याचे श्रेय आबेल (१८०२–२९) व गाल्वा (१८११–३२) यांना देणे प्राप्त आहे. या दोघांनीही स्वतंत्रपणे या प्रश्नाचा ऊहापोह केलेला आहे. या दोघांनीही स्वतंत्रपणे पंचम घाती समीकरण सोडविणे शक्य नाही, ह्या आबेल यांच्या तत्त्वावरून अशा रीतीचे समीकरण सोडविण्याची शक्यता असावयास कोणकोणत्या अटींची आवश्यकता आहे याबद्दलची चिकित्सा करीत असता त्यांनी मांडलेली तत्त्वे विशेष लक्षात घेण्याजोगी ठरली. गाल्वा यांनी असे सिद्ध केले की, प्रत्येक समीकरणाशी एक विशिष्ट आदेश गट निगडित असतो व या आदेश गटाच्या गुणधर्मावरच ते समीकरण सोडविता येईल की नाही, हे ठरविता येते. या चिकित्सेतूनच पुढे ‘गाल्वा सिद्धांत’ किंवा गट सिद्धांतही महत्त्वाची गणित शाखा उदयास आली. १८७२ साली फेलिक्स क्लाइन (१८४९–१९२५) यांनी त्यांच्या प्रसिद्ध ‘एर्लांगेन प्रोग्रॅम’ मध्ये गट सिद्धांताची संकल्पना भूमिती वापरून ती सर्वगामी स्वरूपाची आहे हे निदर्शनास आणले आणि सोफुल ली (१८४२–९९) यांनी संतत गट विचारात घेऊन हा नवा विषय गणित विश्लेषणाचाच एक भाग आहे, हे सिद्ध केले.
गणितीय तर्ककठोरतेला प्राधान्य देणारे कोशी (१७८९–१८५७) आणि गौस हे दोघे त्या काळातील नामवंत गणिती होत. कोशी यांनी फलन सिद्धांतात सदसत् फलनांचाही समावेश केला. जे.आर्.आर्गां यांनी सदसत् संख्या कार्तीय प्रतलावर दर्शविण्याचा प्रघात पाडला आणि १८२४ साली आबेल यांनी विवृत्तीय फलनांचा आवर्तकाल असत् असतो असे दाखविले. पण सदसत् फलनाची उपपत्ती ही स्वतंत्र गणित शाखा आहे असे कोशी यांच्या समाकल प्रमेयाच्या शोधापासूनच सिद्ध झाले. कोशी यांच्या ह्या कार्याचा पुढे दोन शाखांमध्ये विस्तार झाला, त्यांतील एकीत व्हायरश्ट्रास (१८१५–९७) यांनी या विषयाच्या शुद्ध वैश्लेषिक बाजूचा विस्तार केला आणि ही सदसत् फलने घात श्रेढीत मांडून दाखविली. दुसरी शाखा रीमान यांच्या नेतृत्वाखाली प्रगत झाली. तीत रीमान यांनी रीमानीय पृष्ठे व अनुरूपी निदर्शन यांचा सखोल अभ्यास करून महत्त्वाची भऱ घातली.
लायप्निट्स यांची चिन्हे न स्वीकारल्यामुळे व संश्लेषण पद्धतींबद्दल निरूत्साह यांमुळे अठराव्या शतकात ब्रिटनमध्ये गणितीय संशोधन फारसे झाले नाही. पण १८१६ मध्ये लायप्निट्स यांची चिन्हे आणि त्यांच्या गणितीय पद्धती कलनशास्त्रात वापरण्यास प्रोत्साहन देण्याच्या दृष्टीने एक समिती स्थापन झाली. तसेच एकोणिसाव्या शतकाच्या पूर्वार्धात गणित ज्ञानाला वाहिलेल्या नियतकालिकांचा प्रसार होऊ लागला. त्यानिमित्ताने निरनिराळ्या गणितीय समित्या स्थापन झाल्या. याचा परिपाक म्हणजे केली (१८२१–९५) व सिल्व्हेस्टर (१८१४–९७) यांसारखे नामवंत गणिती इंग्लंडमध्ये होऊन गेले. आर्थर केली यांनी बैजिक निश्चलितांची उपपत्ती शोधून काढली. आयरिश गणिती विल्यम हॅमिल्टन (१८०५–६५) आणि जर्मन गणिती हेरमान ग्रॉसमान (१८०९–७७) या उभयतांनी प-मितीय भूमितीचा विकास करणे शक्य आहे, असे १८४४ च्या सुमारास प्रतिपादन केले. परंतु केली यांनाच या भूमिती शाखेचे अध्वर्यू मानण्यात येते. केली यांनी आधुनिक गणितातील आव्यूह सिद्धांत ही महत्त्वाची शाखा शोधून काढली. गणितीय विश्लेषणाच्या अभ्यासास सुरूवात झाल्यापासून सु. दोनशे वर्षांच्या काळात बीजगणित जवळजवळ नजरेआड झाले होते, पण केली यांच्या संशोधनामुळे व विशेषतः आव्यूह सिद्धांत व ⇨निर्धारक यांच्या उपयुक्ततेमुळे बीजगणिताला परत महत्त्व प्राप्त झाले.
गणितशास्त्राचे अंकगणितीकरण करण्याच्या दृष्टीने एकोणिसाव्या शतकात मोठी प्रगती झाली. बोलत्सानो (१७८१–१८४८) यांनी १८१६ मध्ये समीकरणाच्या मुळाच्या स्थान निश्चितीचे प्रमेय मांडून या दृष्टीने सुरूवातही केली होती. पण आधुनिक अंकगणिताचा मूळ पाया प्रथम व्हायरश्ट्रास, डेडेकिंट (१८३१–१९१६) आणि कँटर (१८४५–१९१८) यांनी अपरिमेय संख्येची व्याख्या केली तेव्हा घातला गेला. या सर्व व्याख्यांमधील मूलभूत तत्त्व म्हणजे अनंत संचांची संकल्पना ही ठरली. या संकल्पनेच्या विवरणातूनच पुढे कँटर यांना सांतातीत संख्यांच्या अस्तित्वाचा महत्त्वाचा शोध लागला. बैजिक संख्या परिगणनीय आहेत असे कँटर यांनी सिद्ध केले. तसेच अवकाशातील बिंदूंची संख्या ही एकमितीतील बिंदूंपेक्षा मोठी नाही हा आश्चर्यकारक शोध लावला आणि ही विरोधाभासात्मक संकल्पना पेआनो (१८५८–१९३२) यांच्या अवकाश व्यापी वक्रामुळे प्रस्थापित झाली.
भौतिकीच्या विकासाचाही गणितशास्त्राच्या प्रगतीत फार मोठा वाटा आहे. गतिकी व प्रकाशकी यांच्या उपपत्ती हॅमिल्टन व याकोबी (१८०४–५१) यांच्या परिश्रमामुळेच प्रस्थापित झाल्या. गतिकीमध्ये येणाऱ्या अवकल समीकरणांतील विहित चलपदांच्या भूमितीय स्वरूपावरून पुढे सोफुस ली यांना संतत गट व लगत रूपांतरण या महत्त्वपूर्ण संकल्पना सुचल्या. या संकल्पनांना त्यांच्या अमूर्त स्वरूपात संस्थितिविज्ञानात महत्त्वाचे स्थान मिळाले आहे. मॅक्सवेल (१८३१–७९) यांनी शनीच्या कड्यांची स्थिरता, ऊष्मागतिकी, विद्युत् गतिकी इ. विषयांत केलेल्या महत्त्वाच्या कार्यांवरून गणितीय विश्लेषण व गणितीय भौतिकी यांतील अन्योन्य संबंध अधिक स्पष्ट होतात. मॅक्सवेल, बोल्टस्‌मान (१८४४–१९०९) व गिब्ज (१७९०–१८६१) या तिघांनी सांख्यिकीय यामिकी [→ सांख्यिकीय भौतिकी] या विषयाचा विकास केला. या तिघांनी केलेल्या कार्यामुळे ‘मूळस्थितीविषयक प्रमेये’ (इर्‌गॉडिक थिअरम्स) हा नवीन विषय गणितशास्त्रात प्रविष्ट झाला. बर्‌कॉफ (१८८४–१९४४) यांनी या प्रमेयांची १९३२ मध्ये सिद्धता दिली. कोलमोगोरॉफ व खिन्चिन या दोन रशियन गणितज्ञांनी दिलेल्या संभाव्यता सिद्धांतावरून सांख्यिकीतील प्रश्न मुख्यतः माप सिद्धांतातीलच आहेत असे दिसून आले व त्यामुळे वरील इर्‌गॉडिक उपपत्ती अमूर्त गणिताचीच एक शाखा ठरली आहे.
एकोणिसाव्या शतकाच्या सुरूवातीला शोधल्या गेलेल्या वर्चस् उपपत्तीमुळे विद्युत् स्थितिकीतील संशोधनाची प्रगती झाली व या दोन शाखांतील संशोधनामुळेच पुढे याच शतकाच्या मध्यानंतर समाकल समीकरणांच्या उपपत्तीत प्रगती झाली. पृथ्वी पूर्णपणे गोलाकृती नसल्यामुळे चंद्राच्या गतीत विक्षोभ निर्माण होतो. या विक्षोभाचा अभ्यास करताना हिल (१८३८–१९१४) या अमेरिकन ज्योतिर्विदांनी अपरिमित घटक असलेल्या निर्धारकाचा उपयोग करून समाकल समीकरणे सोडविण्यासंबंधी संशोधन केले. याच पद्धतीचा उपयोग करून एरिक फ्रेडहोम यांनी इ. स. १९०० मध्ये समाकल समीकरणांच्या सिद्धांताशी सदृश्य असा बैजिक सिद्धांत शोधून काढला. यातूनच पुढे हिल्‌बर्ट (१८६२–१९४३) यांनी आयगेन मूल्यांची उपपत्ती व त्याच्याशी संबंधित असलेल्या अनंत मितीय अवकाशाची (हिल्‌बर्ट अवकाश) उपपत्ती या आधुनिक गणितातील महत्त्वाच्या संकल्पना १९०८मध्ये मांडल्या.
स्थितिकीमधील प्रश्न आलेखीय वा वैश्लेषिक पद्धतीने सोडविता येतात. आधुनिक आलेखीय पद्धतीत प्रक्षेप भूमितीची तत्त्वे वापरण्यात येतात. या पद्धतींनी आता स्थितिकी, स्थितिस्थापकता, विद्युत् स्थितिकी इ. विषयांतील प्रश्न सुलभपणे सोडविता येतात. या विषयावरील अभिजात स्वरूपाचा ग्रंथ कार्ल कूलमान नावाच्या झुरिक येथील गणितज्ञांनी १८७५ साली लिहिला. अभियंत्यांना भिंती, पूल, बोगदे इत्यादींच्या बांधकामात येणारे प्रश्न आलेखीय पद्धतीने सोडविणे सुलभ झाले आहे. त्यामुळे गेल्या काही वर्षांत आलेखिकी या विषयाला महत्त्वाचे स्थान प्राप्त झाले आहे.
ज्योतिषशास्त्र, भौतिकी, यामिकी इ. विषयांतील विविध प्रश्नांमुळे गणिताच्या निरनिराळ्या शाखा प्रगत झाल्या तसेच गणितीय पद्धती वापरल्यामुळे निरनिराळ्य़ा अनुप्रयुक्त विषयांतही महत्त्वाचे शोध लागले. लव्हेऱ्ये (१८११–७७) व ॲडम्स (१८१९–९२) यांनी नेपच्यून या ग्रहाचा लावलेला शोध तसेच किरखोफ (१८२४–८७) यांचे सौरवर्णपटासंबंधीचे संशोधन ही या संदर्भात उल्लेखनीय उदाहरणे आहेत.
गणितातील मूलभूत प्रश्न : पॅरिस येथे १९०० साली भरलेल्या आंतरराष्ट्रीय गणित परिषदेत हिल्‌बर्ट यांनी गणितातील एक मूलभूत स्वरूपाची प्रश्नमालिका मांडली होती. ही प्रश्नमालिका म्हणजे विसाव्या शतकातील गणितज्ञांना एक आव्हानच होते. त्यातील सातत्यकासंबंधीच्या प्रश्नांतील, गणनीय संच व सातत्यक यांच्यामध्ये एखादी सांतातीत संख्या आहे की नाही हा प्रश्न अद्यापही अनुत्तरित राहिला आहे. काही संख्यांच्या बीजातीतेसंबंधी मांडलेले प्रश्न सिगेल यांनी १९३० च्या सुमारास अंशतः सोडविले त्याचप्रमाणे गेलफाँड यांच्या प्रमेयाव्दारेही हे प्रश्न सोडविण्याचा प्रयत्न झाला.
हिल्‌बर्ट यांनी मांडलेल्या प्रश्नांमुळे संस्थितिविज्ञान या गणिताच्या नवीन शाखेच्या प्रगतीला सर्वांत मोठी चालना मिळाली. ऑयलर यांनी मांडलेल्या काही कोड्यांच्या स्वरूपातील प्रश्नांत संस्थितिविज्ञानाची बीजे दिसून येतात. गौस यांनाही या विषयाची कल्पना आली होती. पण या विषयाची मूलभूत सुरूवात प्वँकारे (१८५४–१९१२) यांनी १८९९–१९०४ या काळात मांडलेल्या निष्कर्षात आढळून येते. आता हा विषय गणिताची एक प्रमुख शाखा बनलेला असून भूमितीतून त्याचा उदय झालेला असला तरी बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषण या शाखांतही त्याला महत्त्व आहे, असे दिसून आले आहे.
अंकगणितातील गृहीतकांच्या सुयोग्यतेसंबंधीही हिल्‌बर्ट यांनी शंका व्यक्त केली होती. फ्रेग (१८४८–१९२५) यांनी १८७९ साली ‘संख्या’ या शब्दाची विवेचक व्याख्या दिली होती व नंतर सु. दहा वर्षांनी पेआनो यांनी त्यांच्या नावाने प्रसिद्ध असलेली गृहीते मांडली. पण गणिताचा पाया खऱ्या तर्ककठोर तत्त्वांवर मांडण्याचे महत्कार्य बर्ट्रंड रसेल (१८७२–१९७१) व व्हाइटहेड (१८६१–१९४७) यांनी प्रिन्सिपिया मॅथेमॅटिका या आपल्या ग्रंथाद्वारे केले. या त्यांच्या कार्यामुळे व इतरांनी केलेल्या संशोधनामुळे चिन्हांकित तर्कशास्त्र ही विसाव्य़ा शतकाच्या मध्य काळात गणिताची एक प्रमुख शाखा गणली जाऊ लागली.
विसाव्या शतकात स्वयंसिद्धकीय दृष्टिकोनाला गणितात अतिशय महत्त्व प्राप्त झालेले असून त्यामुळे ‘गणिताचा तात्त्विक पाया’ या विषयात पुष्कळ साधकबाधक वाद निर्माण झाले. यातील एक विचार प्रणाली म्हणजे आकारवाद्यांची व दुसरी प्रणाली अंतःप्रज्ञावाद्यांची. आकारवादी प्रणालीचे प्रणेते हिल्‌बर्ट हे होते. ‘गणित म्हणजे अर्थहीन चिन्हांचा उपयोग करून खेळावयाचा एक अर्थहीन खेळ होय’ असे आकारवाद्यांचे म्हणणे आहे. ब्रौवर (१८८१–१९६६) इ. अंतःप्रज्ञावाद्यांचे मत थोडे तत्त्वज्ञानी कांट यांच्यासारखे आहे. त्यांच्या मते गणित हा अर्थहीन खेळ नसून निसर्गाचे गूढ उकलणे हाच गणिताचा मुख्य हेतू आहे. या दोन प्रकारच्या प्रणालीच्या विकल्प जालात पूर्वापार चालत आलेले गणितीय विरोधाभास आणखी गुंतागुंतच निर्माण करीत आहेत. प्रतिज्ञापूर्वक सांगता येत नाहीत अशा व्याख्या वर्ज्य करून प्वँकारे, हेर्‌मान वाइल (१८८५–१९४५) आणि ब्रौवर हे या विरोधाभासातील विसंगती काढू शकले, हे जरी खरे असले तरी त्यामुळे गणिताचा पाया खिळखिळा झाला. या आपत्तीपासून गणिताला वाचवण्याचा हिल्‌बर्ट यांनी प्रयत्न केला. त्यांनी गणित हे निश्चित सत्य असले पाहिजे ह्या तत्त्वाचा त्याग करून गणित हे केवळ स्वयंसुसंगत असले पाहिजे हे तत्त्व स्वीकारले, पण यामुळे गोडेल (१९०६– ) यांनी १९३१ मध्ये मांडलेल्या प्रमेयाला बाध येतो. कारण या प्रमेयात असे दाखविले होते की, गणित सुसंगत असेल असे मानून गणिताच्या नियमांच्या चौकटीत ती सुसंगतता सिद्ध करता येत नाही [→ गणिताचा तात्त्विक पाया].
गणितशास्त्राच्या तात्त्विक पायासंबंधीच्या निरनिराळ्या विचारप्रणालींत मूलभूत स्वरूपाचे तीव्र मतभेद असल्यामुळे सध्या तरी हा विषय वादग्रस्तच आहे. तथापि पूर्वी कधीही झाले नव्हते इतके प्रचंड संशोधन आधुनिक काळामध्ये गणितशास्त्रात झाले आहे व होत आहे आणि त्यादृष्टीने गणितशास्त्रातील हे सुवर्णयुगच आहे असे म्हणता येईल. समाकलनाच्या उपपत्तीत १९०२ साली लबेग (१८७५–१९४१) यांनी ‘माप’ ही संकल्पना आणून मोठी क्रांती केली आणि आर्किमिडीज, कोशी आणि रीमान यांच्यापेक्षाही या विषयाची प्रगती त्यांनी उच्च पातळीवर नेऊन अमूर्त अवकाशाच्या क्षेत्रात या विषयाला महत्त्वाचे स्थान आहे, असे दाखवून दिले. वैश्लेषिक पद्धतींचे एकत्रीकरण करून मुर (१८६२–१९३२) व फ्रेशे या दोघांनी ⇨फलनक विश्लेषण हा नवीन विषय मांडला. बीजगणित पूर्वीपेक्षाही अधिक तर्ककठोर झालेले असून त्यातील ‘क्षेत्र, वलय व आदर्श’ या विषयींच्या अमूर्त सैद्धांतिक संकल्पना कोणत्याही काळापेक्षा अधिक व्यापक स्वरूपाच्या आहेत. निरनिराळी गणितीय विधाने थोडक्यात मांडता यावीत म्हणून प्रतिकात्मक चिन्हांची संख्या व त्यांचा वापर अधिकाधिक वाढत आहे. भूमिती विषयात सुद्धा अनंतमितीय अवकाशाची संकल्पना प्रचलित झालेली असून सर्व गृहीतके पुनःपुन्हा पडताळून पाहण्यात येत आहेत.
संदर्भ : 1. Bell, E. T. The Development of Mathematics, New York, 1943.
2. Bell, E. T. Men of Mathematics, New York, 1937.
3. Cajori, F. A History of Elementary Mathematics, New York, 1916.
4. Dutta, B. Singh, A. N. History of Hindu Mathematics, Bombay, 1962.
5. Gurjar, L. V. Ancient Indian Mathematics, and Vedha, Poona, 1947.
6. Newman, J.R. World of Mathematics, 4 Vols., New York, 1956.
7. Rouse Ball, W.W. A Short Account of History of Mathematics, New York, 1937.
8. Smith, D, E. A Source Book on Mathematics, 2 Vols., New York, 1953.
9. Smith, D, E. History of Mathematics 2 Vols., New York, 1959.
10. Struik, D. J. A Concise History of Mathematics, London, 1959.
गुर्जर, ल. बा.
“