गट सिद्धांत : एक संच आणि त्यातील घटकांचे संयोजन करण्याचे काही एक कृत्य विशिष्ट अटी पाळीत असतील (व्याख्या खाली पहा), तर त्या संचाला गट म्हणतात. गट सिद्धांतातील महत्त्वाच्या भागाचा उदय बीजगणितातील काही उच्च घातांकांच्या समीकरणांचा निर्वाह (उत्तर) काढताना झाला. गाल्वा (१८११–३२) ह्या फ्रेंच गणितज्ञांचे संशोधन त्याला विशेषतः कारणीभूत ठरले.
द्विमान कृत्य : स हा एक संच असेल आणि स मधील कोणत्याही दोन घटकांच्या (त्या क्रमाने) संबंधित तिसरा घटक मिळवणे काही एका कृत्यामुळे शक्य असेल, तर त्या कृत्याला द्विमान कृत्य म्हणतात. ही द्विमान कृत्याची स्थूल व्याख्या होय. मिळालेला तिसरा घटक स मधेच असला पाहिजे असे नाही. मात्र तो तसा असणे ही गट सिद्धांतातील पहिली अट आहे.
गटाची व्याख्या : स हा एक संच आणि एक द्विमान कृत्य घेऊ. द्विमान कृत्य ⊗ह्या चिन्हाने दाखवू. जर स आणि ⊗ हे कृत्य खालील अटींची पूर्तता करीत असतील तर (स, ⊗) ह्या जोडीला गट म्हणतात.
(१)क, ख, स मध्ये असतील तर क ⊗ ख हा घटकही स मध्ये असतो (संवृतता).
(२)क, ख, ग स मध्ये असतील तर
क ⊗ (ख ⊗ ग) = (क ⊗ख) ⊗ ग, (साहचर्य)
(३) स मध्ये एक घटक, समजा अ, असा असेल की क हा स मधील कोणताही घटक घेतला तरी क ⊗ अ = अ ⊗ क = क अ ला स मधील अविकारी घटक म्हणतात.
(४) क हा स मधील कोणताही घटक घेतला, तर स मध्ये असा एक घटक, समजा ख, असतो की क ⊗ ख = ख ⊗ क = अ अविकारी. ख ला क चा व्यस्त क‾१ म्हणतात.
⊗ ह्या द्विमान कृत्याला गट कृत्य असे म्हणतात. सर्वसाधारणपणे गट कृत्याला गुणाकार असे म्हणण्याचा प्रघात आहे. बहुधा क ⊗ ख हा गुणाकार कख असाच दर्शवितात. ज्यामुळे क्रियेचा उल्लेख अनावश्यक असेल त्यावेळी (स, ⊗) ऐवजीसहा गट आहे असे म्हणतात.
गटाच्या व्याख्येकरिता वरील चार गृहितांव्यतिरीक्त आणखीही तुल्य गृहिते देता येतील.
गटांची उदाहरणे : (१) {शून्यासह ± पूर्णांक} हा संच, बेरीज हे द्विमान कृत्य, हा गट आहे. शून्य हा अविकारी, क चा क‾१ म्हणजे -क इत्यादी गट होण्याच्या अटी पडताळून पाहता येतात. येथे क‾१ म्हणजे अर्थातच -क येईल.
(२) धन अशून्य सत् संख्यांचा [→ संख्या] संच, गुणाकार या द्विमान कृत्याकरिता गट आहे. येथे १ हा अंक अविकारी आणि तथापि हाच संच बेरीज या कृत्यासाठी गट होत नाही.
![](data:image/pngbase64,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"){kind=small}
(३) २ x २ कोटीच्या नैकमात्र (ज्यांना व्यस्त आव्यूह आहेत अशा) चौरस आव्यूहांचा संच, आव्यूह गुणाकार हे कृत्य, गट सिद्ध करतात.
हा अविकारी आणि अ आव्यूहाचा व्यस्त अ-१ आव्यूह हा व्यस्त होय [→ आव्यूह सिद्धांत].
कोणत्याही गटात एकच अविकारी घटक असतो आणि गटातील कोणत्याही घटकास एकच व्यस्त असतो हे सिद्ध करता येते. गटातील द्विमान कृत्य जर क्रमनिरपेक्ष असेल (म्हणजेच गटातील प्रत्येक क, ख करिता क ख = ख क असेल), तर अशा गटास क्रमनिरपेक्ष गट किंवा आबेलीय गट (आबेल या गणितज्ञांच्या नावावरून) म्हणतात. गटातील एकूण घटकांची संख्या सांत वा अनंत असेल त्यानुसार त्यास सांत वा अनंत गट म्हणतात. गट सांत असेल तर घटक संख्येस गटाची कोटी म्हणतात.
उपगट : (ग, ⊗) हा गट असून, ह हा ग संचाचा उपसंच आहे. जर (ह, ⊗) हाही गट असेल, तर ह हा ग चा उपगट आहे असे म्हणतात. ग आणि ह चा अविकारी घटक एकच असतो. उदा., {सत् संख्या संच, कृत्य +} या गटाचा {परिमेय संख्या संच, कृत्य +}हा उपगट होय [→ संख्या]. ग स्वतः आणि एकेरी संच{अ}हेही गचे उपगट होत. ‘जर गट सांत असेल तर त्याच्या प्रत्येक उपगटाच्या कोटीने गटाच्या कोटीचा निःशेष भाग जातो’ ह्या महत्त्वाच्या प्रमेयाला लाग्रांझ प्रमेय (लाग्रांझ या गणितज्ञांच्या नावावरून) म्हणतात.
घटकाची कोटी : ग गटाचे क, ख घटक असल्यास क ख हाही ग चा घटक असतोच. अर्थातच कप = क.क…. (प वेळा) असे लिहिले तर कप हाही ग चा घटक असला पाहिजे. गटाचा अविकारी त हा कोणत्याही घटकाचा शून्य घात, क०, मानण्याची प्रथा आहे. जर कप= त, (प ≠ ०) असेल, आणि प हा अशा तऱ्हेचा लघुतम धन पूर्णांक असेल, तर प ला क ची ग मधील कोटी म्हणतात.
चक्री गट : ग चा प्रत्येक घटक जर ग च्या विवक्षित घटकाचा (समजा क चा) घात असेल तर ग हा चक्री गट आहे असे म्हणतात आणि क ला ग चा जनक म्हणतात. अशा वेळी ग = {क} असे लिहिण्याची पद्धत आहे. उदा., {क, क२, क३,…., क१२ = त} हा चक्री गट आहे. चक्री गटाचा उपगट हाही चक्रीच असतो. तसेच अविभाज्य कोटीचा कोणताही गट चक्रीच असला पाहिजे हे सिद्ध करता येते. चक्री गट अर्थातच आबेलीय असतो. गट सांत असेल, तर प्रत्येक घटकाच्या कोटीने गटाच्या कोटीला निःशेष भाग जातो हे लाग्रांझ प्रमेयावरून उघड आहे.
क्रमचयी गट : समजा स हा सांत संच असून फ : स ® स हा एक-एक संवाद आहे [→ संच सिद्धांत ]. अशा संवादास क्रमचय म्हणतात. उदा., स = {क्ष, य, झ } असेल आणि फ (क्ष) = य, फ (य) = झ, फ (झ) = क्ष असा संवाद असेल. हेच 
असेही लिहितात. जर स मध्ये प घटक असतील तर निरनिराळे असे प ![= १·२…(प–१) प.] क्रमचय (संवाद) शक्य असतात. या सर्व संवादांचा संच घेतला आणि त्यांतील क आणि ख या दोन क्रमचयांसाठी क ख म्हणजे आदी ख प्रमाणे आणि नंतर क प्रमाणे संवाद चित्रण करून मिळेल तो संवाद म्हणजे त्यांचा गुणाकार अशी द्विमान कृत्याची व्याख्या केली, तर क्रमचयांचा संच हा गट असतो असे सिद्ध करता येते. या गटास क्रमचयी गट किंवा सममित गट म्हणतात. तो क्रप असा दाखवितात.
समरूपण : समजा, (ग, ⊗ आणि ग‘, ⊗) हे दोन गट असून त्यांमध्ये एक-एक संवाद फ : ग→ग‘ असा आहे की (१) ग‘ मधील प्रत्येक घटक ग मधील कोणत्या तरी एकाच घटकाशी संगत आहे, (२) जर ग मधील क,ख च्या प्रतिमा क‘, ख‘ असतील तर क ⊗ ख ची प्रतिमा क’ ⊗ ख’ असेल. अशा तऱ्हेच्या संवादास कृत्यरक्षक संवाद म्हणतात. असा संवाद प्रस्थापित करणे शक्य असल्यास त्यास समरूपण म्हणतात आणि ग हा ग‘ शी समरूप आहे असे महणतात. हे (ग~ग´) असे लिहितात. उदा.,
ग = {सत् संख्या संच, कृत्य +}
ग’ = {अशून्य धन सत् संख्या संच, कृत्य ×}
संवादाची व्याख्या : अ हा स्थिरांक अ > ०, अ ≠ १ असा घेतला. जर क ε ग , तर क‘ = अक, या व्याख्येनुसार जर क, ख ε ग असतील तर क+ख ची प्रतिमा अ क+ख = अक × अख = क’ × ख’ मिळेल. यावरून ग ~ ग‘ हे सहज लक्षात येईल.
समरूपण हा तुल्यता-संबंध आहे. म्हणजेच त्याचे गुणधर्म
(१) ग ~ ग, (२) ग ~ ग‘ Þ ग‘~ ग
(३) [ग ~ ग‘, ग‘ ~ ग”] Þ ग ~ ” असे आहेत.
ग ~ ग‘ असेल तर ग मधील अविकारी घटकाची (अ) प्रतिमा (अ‘) ही ग’ मधील अविकारी घटक असते. तसेच क ε ग असेल आणि क ची प्रतिमा क‘ ε ग‘ असेल तर क-१ ची प्रतिमा (क‘)-१ असते. दोन समरूपण गटांमध्ये बाह्यतः फरक असला तरी त्यांच्या अंतर्गत रचनेत कोणताच फरक नसतो. म्हणून दोन समरूपण गटांत समानता आहे असे मानण्यास हरकत नाही.
अभिरूपण : वरील विवेचनातील पहिली अट काढून टाकली असता, म्हणजेच ग‘ मधील प्रत्येक घटक, ग मधील एक अगर अनेक घटकांशी संगत असू शकेल असे मानले तर आणि ग, ग‘ मधील संवाद कृत्यरक्षक असेल तर ग आणि ग‘ यांमधील अभिरूपण मिळते आणि ग हा ग‘ शी अभिरूप आहे असे म्हणतात. ग‘ मधील अविकारी अ‘ हा ग मधील एकाहून अधिक घटकांची प्रतिमा असणे शक्य आहे. अशा घटकांचा जो ग चा उपसंच आहे त्यास अभिरूपणाचा गाभा असे म्हणतात. जेव्हा ग आणि ग‘ हे गट एकच असतील तेव्हा ग च्या ग शीच असलेल्या अभिरूपणास आत्मरूपण म्हणतात. तसेच ग चे त्याच्याच एखाद्या उपगटाशीही अभिरूपण शक्य आहे (ग‘ Ì ग). अशा संवादास आत्माभिरूपण म्हणतात.
उपगटांचे जालक : स हा एक संच आणि < ह्या चिन्हाने दर्शविलेला एक द्विमान संबंध घेतला. जर हा संबंध परावर्ती, प्रतिसममित आणि संक्रमणीय असेल म्हणजेच अनुक्रमे (१) क्ष < क्ष, (२) क्ष < य आणि य < क्ष Þ क्ष = य, (३) क्ष < य आणि य < झ Þ क्ष < झ, असतील तर < ह्या संबंधाला अंशक्रम म्हणतात आणि स हा ह्यासंबंधाचे अंशक्रमित आहे असे म्हणतात. उदाहरणे (१) सत् संख्यांमध्ये ≤ हा संबंध अंशक्रम आहे. (२) एखाद्या संचाच्या उपसंचांच्या संचात Ì (किंवा É) हा संबंध अंशक्रम आहे.
(स,<) हा एक अंशक्रमित संच असल्यासआणि क्ष < य असल्यास क्ष लहान य किंवा य मोठा क्ष असे म्हणतात.
जालक : जर (स, <) हा अंशक्रमित संच असेल आणि स मधील क्ष, य हे कोणताही दोन घटक दिले असता क्ष आणि य ह्या दोघांहून मोठा असा लघुतम घटक व त्या दोघांहून लहान असा गुरूतम घटक स मध्येच असेल, तर स ला जालक म्हणतात. हे घटक अनुक्रमे क्ष U य आणि क्ष ∩ य ह्या चिन्हांनीच दर्शवितात.
दिलेल्या गटाच्या सर्व उपगटांचा संच Ì, U आणि ∩ ह्या संबंधांना व क्रियांना अनुलक्षून जालक असल्याचे सहज दाखविता येते.
प्रसामान्य उपगट : ग हा एक गट आणि ह हा त्याचा एक उपगट घेतला. क हा ग चा एक घटक घेतला. क ह ={क क्ष : क्ष ε ह} ह्या संचाला ह चा वाम सहसंच म्हणतात. याचप्रमाणे दक्षिण सहसंचाची व्याख्या करता येईल. क आणि ख भिन्न असले तरी क ह आणि ख ह समान असू शकतात. मात्र सर्वसाधारणतः क ह आणि ह क हे समान असतीलच असे नाही. जर ग मधील प्रत्येक क करिता क ह = ह क असेल, तर ह ला प्रसामान्य किंवा स्वसंयुग्मी उपगट म्हणतात. गट सिद्धांतात प्रासामान्य उपगटांचे महत्त्व फार आहे. कोणत्याही अभिरूपणाचा गाभा हा प्रदेश गटाचा प्रसामान्य उपगट असतो.
गहा एक गट असून ह हा त्याचा एक प्रसामान्य उपगट घेतला तर क ह × ख ह ={क्ष य : क्ष ε क ह आणि य ε ख ह} =(क ख) ह असे दाखविता येते. दोन वाम सहसंचांमध्ये ह्याप्रमाणे द्विमान कृत्याची व्याख्या केल्यास ह च्या सर्व वाम सहसंचांचा गट बनतो. ह्या गटाला गुणाक गट म्हणतात. तो ग/ह ह्या चिन्हाने दर्शवितात. जर ग हा सांत गट असेल तर
(ग/ह) ह्या गटाची कोटी = ग ची कोटी/ह ची कोटी असे दाखविता येते. तसेच ग हा गट ह आणि ग/ह यांच्या प्रत्यक्ष गुणाकाराशी समरूप दाखविता येतो.
गट सिद्धांतातील पुढील प्रमेय मूलभूत महत्त्वाचे आहे. जर फ : ग → ग‘ हे अभिरूपण असेल तर फ चा गाभा हा ग चा प्रसामान्य उपगट (समजा ह) असतो. मग (ग/ह) हा गुणक गट आणि फ (ग) हा ग चा उपगट हे समरूप असतात. याला समरूपणाचे मूलभूत प्रमेय म्हणतात.
ग चे स्वतःशी समरूपण असेल तर त्याला आत्मरूपण म्हणतात. ग च्या सर्व आत्मरूपणांचा एक गट होतो. तो ग ह्या संचांच्या क्रमचयी गटाचा उपगट असतो.
प्रसामान्य साखळी : ग हा एक गट असून
ग = ग० É ग१ É … É गस = {अ}
ही ग च्या उपगटांची मालिका अशी असेल की प्रत्येक गर हा पूर्वीच्या उपगटाचा म्हणजे गर-१ चा प्रसामान्य उपगट असेल तर ह्या मालिकेला प्रसामान्य साखळी म्हणतात. गाल्वा सिद्धांतात प्रसामान्य साखळीचे महत्त्व फार आहे. कोणती बैजिक समीकरणे (करणीरूपात) सोडविता येतात त्याबद्दलचे महत्त्वाचे प्रमेय प्रसामान्य साखळीशी निगडीत आहे.
जर ग ह्या गटाची अशी एक प्रसामान्य साखळी असेल की गर-१/गर हे सर्व गुणक गट आबेलीय आहेत तर ग ला निर्वाहशील म्हणतात. याचा संबंध वर उल्लेखिलेल्या बैजिक समीकरणाच्या निर्वाहाशी असल्याने हे नाव प्राप्त झाले आहे.
प्रत्यक्ष गुणन : गर आणि हर हे अनुक्रमे ग आणि ह या गटांचे कोणतेही अवयव असून (गर, हर) हे क्रमित युग्म आहे असे समजू. अशा क्रमित युग्मांचा खालील द्विमान कृत्यानुसार गट बनवता येतो.
(ग१, ह१)⊗(ग२, ह२) = (ग१ग२, ह१ह२)
अशा तऱ्हेने बनलेल्या गटास ग आणि ह यांचे प्रत्यक्ष गुणन म्हणतात व हा गट ग × ह असा दर्शवितात. ग × ह आणि ह × ग समरूप आहेत असे दाखविता येते. त्यामुळे प्रत्यक्ष गुणनातील गटांच्या क्रमास महत्त्व राहत नाही म्हणून क्रमाचा स्पष्ट निर्देश वगळला तरी चालतो.
कारकयुक्त गट : कारकयुक्त [→ कारक सिद्धांत] गट म्हणजे एक संहती असून, त्यात गट ग, स संच, स संचाचे घटक सर आणि सर घटकांचे ग च्या आत्मरूपांच्या संचात चित्रण करणाऱ्या फ मानचित्रणाचा समावेश होतो. उदा., ग हा ‘सदिश बेरीज’[→ सदिश] हे गट कृत्य असलेला त्रिमितीय सदिशांचा गट, स हा सत् संख्यांचा संच आणि फ म्हणजे क सदिशाचे स सत् संख्येशी गुणन करणारे रूपांतरण मानले, फ : क → स क, तर फ हे ग चे आत्मरूपण राहील, अर्थातच ग हा कारकयुक्त गट आहे असे म्हणता येईल.
ज-गट : ग या गटातील अ या अविकारी घटकाखेरीज इतर प्रत्येक घटकाची जर ज या एखाद्या अविभाज्य संख्येचा कोणता तरी घात असेल, तर ग ला ज-गट म्हणतात, समजा, क हा ग चा घटक आहे म्हणजेच क ची कोटी ज चा घात आहे: कजप = अ या समीकरणातील प या पूर्णांकास क चा घातांक म्हणतात.
सिलो उपगट : समजा, ह हा ज-गट, ग गटाचा उपगट आहे. जर ग मधील इतर कोणत्याही ज-गटाचा ह हा उपगट नसेल, तर ह ला सिलो उपगट म्हणतात. सिलो या गणितज्ञांच्या नावावरून हे नामाभिधान प्रचारात आले.
एकघाती गट : द आणि ध हे कोणतेही अदिश असताना जर फलन फ असे आहे की फ (द+ध) = फ (द)+फ (ध) आणि फ (दध) = दफ(ध), तर फ हे रूपांतरण एकघाती आहे असे म्हणतात.
अप(भ) या प-मितीय सदिश अवकाशाच्या सर्व नैकमात्र एकघाती रूपांतरणाचा गट हा ज्यांचे घटक भ क्षेत्रात आहेत अशा प × प नैकमात्र आव्यूहांच्या गटाशी समरूप असतो. रूपांतरणाच्या या गटास एकघाती गट म्हणतात.
प्रतिरूपण : एखाद्या सांत गटाचा अभ्यास करण्याकरिता त्याचे ज्ञात अशा एखाद्या गटात प्रतिरूपण करणे लाभदायक ठरते. ग चे ग´ मध्ये असलेले अभिरूपण हेही एक प्रतिरूपणच होय. बहुधा ग चे प्रतिरूपण क्रप ह्या क्रमचयी गटात किंवा सत्, सदसत् संख्यांपासून [→ संख्या] मिळणाऱ्या नैकमात्र आव्यूहांमध्ये [ज्याचा निर्धारक शून्य नसतो अशा चौरस आव्यूहाला नैकमात्र म्हणतात, → आव्यूह सिद्धांत निर्धारक] करतात. ग हा एक सांत गट असून क हा त्याचा कोणताही एक घटक घेतला, जर ग = {ग१, ग२,.., गस} असेल तर क ग१, क ग२,…, क गस हे ग चेच घटक (पण कदाचित निराळ्या क्रमाने आलेले) असतील, म्हणजे क ह्या घटकाने ग मधील घटकांना डावीकडून गुणणे याचाच अर्थ ग च्या घटकांचा एक क्रमचय करणे असा होतो. ग च्या प्रत्येक घटकाच्या संबंधित, ग ह्या संचाचा असा एखादा क्रमचय प्राप्त होतो. हा संबंध एक-एक असून तो ग च्या संबंधित सर्व क्रमचयांचा गट असल्याचे दाखविता येते. हा गट क्रस चा उपगट असतो व तो ग ह्या गटाशी समरूप असतो असेही दाखविता येते. म्हणजेच ग चे क्रस मध्ये हे प्रतिरूपण झाले.
प्रकृती : ग गटाचे घ गटात चित्रण करणारी अभिरूपता ग चे प्रतिरूपण आहे असे म्हणतात. व सदिश अवकाशाच्या भ क्षेत्रावरील सर्व आत्मरूपणांपैकी जे एक-एक आहेत त्यांचा गट बनतो असे दाखविता येते. जर व प-मितीय असेल तर हा गट जाप (भ) असा दर्शवितात आणि त्याला पूर्ण एकघाती गट म्हणतात. भ क्षेत्रातील संख्या ज्यांचे घटक आहेत अशा सर्व प × प नैकमात्र आव्यूहांच्या गटाशी जाप (भ) समरूप असल्याने, जाप (भ) च्या गुणधर्मांचा अभ्यास करताना या आव्यूहांच्या गटाची मदत घेणे उपयुक्त ठरते.
क्ष, य हे ग चे कोणतेही घटक आहेत आणि ग हे फलन ग वर व्याख्यात (व्याख्या करता येण्याजोगे) असून त्याची मूल्ये जाप (भ) मध्ये आहेत असे समजू. असे असल्यास फ हे ग चे प कोटीचे आव्यूह निरूपण होते. येथे फ (क्ष) हा नैकमात्र आव्यूह असून, क्ष →फ (क्ष) ही ग ला जाप (भ) मध्ये नेणारी अभिरूपता आहे हे ध्यानात घ्यावे. त आणि दप हे अनुक्रमे ग आणि जाप (भ) यांचे अविकारी घटक असल्यास फ (त) = दप आणि फ (क्ष-१) =[फ (क्ष)]–१ असते.
अ या चौरस आव्यूहाच्या अग्रग कर्णावरील घटकांच्या बेरजेला अ चा कर्णयोग म्हणतात आणि तो कर्णयोग अ असा लिहितात. फ या प्रतिरूपणाची प्र ही प्रकृती ग वर व्याख्यात असणारे पुढील फलन आहे.प्र(क्ष) = कर्णयोग फ(क्ष). प्रकृती या भ क्षेत्रातील संख्या आहेत ही गोष्ट लक्षात ठेवावी.
क हा जाप (भ) मधील नैकमात्र आव्यूह आणि क्ष हा ग चा कोणताही घटक आहे असे समजू. जर फ*(क्ष) = क-१ फ (क्ष) क खरे असले तर फ आणि फ* ही समरूपणे आहेत असे म्हणतात. प्रतिरूपणांची समरूपता हा ‘तुल्यता संबंध’ आहे. जर फ (क्ष) हे जाप (भ) मधील प्रतिरूपण असेल तर फ*(क्ष) हेही जाप (भ) मधील प्रतिरूपण होते. समप्रतिरूपणाची प्रकृती समान असते असे दाखविता येते.
संस्थितिक गट : गट ही बैजिक संकल्पना असून एकाच वेळी बैजिक व संस्थितिक गुणधर्म असलेली संरचना म्हणजे संस्थितिक गट होय. ग ह्या गटातील द्विमान कृत्य संतत असेल तर ग ला संस्थितिक गट म्हणतात. अर्थात संततत्त्वाकरिता ग मध्ये एक तरी संस्थिती असणे आवश्यक आहे [→ संस्थितिविज्ञान].
ग मधील द्विमान कृत्य संतत असणे म्हणजे क आणि ख हे घटक क‘ आणि ख‘ या घटकांच्या पुरेसे जवळ घेतल्यास क ख हा गुणाकार क‘ ख‘ ह्या गुणाकाराच्या पाहिजे तेवढा ‘जवळ’ आणणे शक्य होते. ‘जवळ’ ही संकल्पना संस्थितिक असून ग मध्ये व्याख्यात अशा संस्थितीवर ती अवलंबून राहील. जर त्या संस्थितीमध्ये ‘अंतरा’ चा संबंध असेल तर ‘जवळ’ ही संकल्पना अंतराशी संबंधित राहील. क हा क‘ च्या पुरेसा जवळ घेतल्यास क-१ हा क‘-१ च्या पाहिजे तेवढा जवळ आणणेही शक्य व्हावे. उदाहरणे : (१) सर्व सत् संख्यांचा गट, गट कृत्य बेरीज आणि |क्ष–य| ह्या अंतर कल्पनेवर आधारित संस्थिती. जर क आणि क‘ ह्यांतील आणि ख आणि ख’ ह्यांतील अंतर पुरेसे जवळ घेतल्यास क+ख ही बेरीज क’+ख‘ च्या पाहिजे तेवढ्या जवळ आणता येईल. तद्वतच क आणि क’ ह्यांच्यातील अंतर पुरेसे कमी घेऊन –क आणि –क‘ मधील अंतर हवे तेवढे कमी करता येईल हे सहज पाहता येईल. (२) प-मितीय यूक्लिडीय अवकाशातील एक बिंदू (समजा, आदिबिंदू) स्थिर ठेवून केलेली दृढ रूपांतरणे म्हणजेच परिभ्रमणे. दोन परिभ्रमणे एकामागून एक घेणे हे द्विमान कृत्य व बिंदूंमधील (प-मितीय) अंतरामुळे मिळणारी संस्थिती.
संस्थिती गटांचा विकास तीन मुख्य दिशांनी झाला आहे : बैजिक संरचना म्हणून, संस्थितिक संरचना म्हणून आणि रूपांतरण गटांचे प्रतिरूपण म्हणून.
ली गट : संस्थितिक गटांतील विशेष प्रकार म्हणजे ली गट. सोफुस ली ह्या नॉर्वेजीयन गणितज्ञांवरून हे नाव पडले आहे. संस्थितिक गटातील द्विमान कृत्य केवळ संतत न राहता वैश्लेषिक [म्हणजे अवकलनीय, → अवकलन व समाकलन] असले आणि क →क-१ हे फलनही वैश्लेषिक असले तर तो गट ली गट होतो.
रूपांतरण गट आणि भूमिती : स हा कोणताही संच असून फ हा स आणि स मधलाच एक-एक संवाद घेतला. हा संवाद म्हणजे क्रमचयाचेच विस्तारित रूप होय. स वरील अशा सर्व एक-एक संवादांचा गट होतो. ह्या गटाला व त्याच्या उपगटांना रूपांतरण गट म्हणतात. एकामागून एक रूपांतरणे करणे हे या गटाचे द्विमान कृत्य होय. रूपांतरण गट अनाबेलीय (आबेलीय नसलेला) असतो. स हे यूक्लिडीय प-मितीय अवकाश व त्याचे रूपांतरण गट यांचे भूमितीत फार महत्त्व आहे. काही विशिष्ट गुणधर्म काही विशिष्ट रूपांतरण उपगटांत स्थिर राहतात. अशा गुणधर्मांना त्या त्या रूपांतरणाची निश्चलिते म्हणतात. उदा., ‘स्थलांतर’, ‘भ्रमण’ आणि ‘परावर्तन’ म्हणजेच दृढ गती. ह्या सर्व रूपांतरणांमध्ये दोन बिंदूंतील अंतर स्थिर राहते व अंतरावर अवलंबून असणारे गुणधर्म बदलत नाहीत. म्हणून हे सर्व गुणधर्म म्हणजे दृढ गतीची निश्चलिते होत. भ्रमण व परावर्तन ह्या दोन प्रकारची रूपांतरणे जात्य आव्यूहांच्या साह्याने दर्शविता येतात.
सजातीय (रूपांतरण) गट : ह्या गटातील रूपांतरणामुळे समांतर रेषांचे रूपांतर समांतर रेषांमध्येच होते. पण आकृतींचे आकार व रूप बदलतात.
प्रक्षेपीय रूपांतरण गट: हा गट म्हणजे प्रक्षेपीय भूमितीमधील रूपांतरणाचा गट होय. ह्यात चार एकरेषीय बिंदूंचे तिर्यक् गुणोत्तर हे निश्चलित होय.
सामियरूपणांचा गट :जे रूपांतरण स्वतः असते व ज्याचे व्यस्त रूपांतरणही संतत असते त्याला सामियरूपण म्हणतात. सामियरूपणांच्या निश्चलितांना संस्थितिक गुणधर्म म्हणतात [→ भूमिति संस्थितिविज्ञान].
पूर्वेतिहास : कोशी (१७८९–१८५७) या गणितज्ञांच्या कार्यापासून सांत गट सिद्धांताच्या अभ्यासास खरी सुरुवात झाली असे म्हणता येईल. कोशी यांनी तत्काली उपलब्ध असलेल्या गटांच्या गुणधर्मांची सुसूत्र आणि पद्धतशीर वर्गवारी करून गटांच्या संशोधनात मोलाची भर घातली. पण स्वसंयुग्मी उपगट आणि उपगटांचे सरल व संयुक्त उपगटांत वर्गीकरण करणे इ. मूलभूत व दूरगामी संकल्पना सुचवून गट सिद्धांताच्या सामर्थ्याची योग्य जाणीव करून देण्याचे श्रेय गाल्वा या फ्रेंच गणितज्ञांना दिले पाहिजे. सांत कोटीच्या बैजिक समीकरणांशी विशिष्ट सांत गट निगडित करून समीकरणांच्या गुणधर्मांचा कसा अभ्यास करता येतो हे गाल्वा यांनी दाखवले व म्हणून कोनाचे त्रिभाजन, घनाची दुप्पट, पंच किंवा अधिक घाती समीकरणांचे निर्वाह इ. तोपावेतो न सुटलेल्या समस्यांचे निराकरण करणे शक्य झाले. गाल्वा यांच्या कामगिरीचे खरे मूल्यमापन झाले ते झॉर्दा (१८३८–१९२२), क्लाइन (१९४९–१९२५) व विशेषतः ली (१८४२–९९) इ. गणितज्ञांचे गट सिद्धांतावरचे संशोधन प्रसिद्ध झाल्यावरच. ली यांच्या संस्थितिक गटांच्या संशोधनांमुळे गट सिद्धांताची सामर्थ्यकक्षा आणखी वाढली व त्यामुळे त्याला सांप्रतचे श्रेष्ठत्व प्राप्त झाले.
अनुप्रयोग : स्फटिकविज्ञान : स्फटिकविज्ञानात प्रत्येक स्फटिक संरचनेशी प्रामुख्याने दोन गट–बिंदू गट आणि दिक् गटनिगडित केले जातात. भ या स्फटिकाच्या विवक्षित ब या अणूस केंद्र कल्पून ब सभोवती होणाऱ्या त्रिमितीय अवकाशाच्या शक्य त्या सर्व घूर्णनांचा (परिभ्रमणांचा) विचार करू. या घूर्णनांपैकी भ च्या अणूंना त्याच्या इतर सर्वसमान अणूंवर नेणाऱ्या घूर्णनांचा गट होतो असे दाखविता येते. या गटाला भ चा ब वरील बिंदू गट म्हणतात. भ च्या अणूंना त्याच्या इतर सर्वसमान अणूंवर नेणाऱ्या त्रिमितीय अवकाशाच्या शक्य त्या सर्व गतींचा संच हाही गट होतो. त्याला दिक् गट म्हणतात. भ च्या शक्य असलेल्या सर्व सममितींचे वर्गीकरण करावयाचे झाल्यास प्रथम भ च्या सर्व बिंदू गटांचा व दिक् गटांचा अभ्यास करणे उपयुक्त ठरते. या गटांच्या साहाय्याने भ च्या अनेक भौतिक गुणधर्मांचा अंदाज सुलभ रीतीने करता येतो [→ स्फटिकविज्ञान].
पुंजयामिकी: ⇨पुंजयामिकीच्या अभ्यासात गट सिद्धांताचे फार मोठे साहाय्य होते. पुंजयामिकीत भौतिक संहतीची कोणतीही अवस्था तरंग फलन व त्याचे सममितीय रूपांतरण यांच्या आधारे तपासली जाते. एखाद्या अवस्थेचे सममितीय रूपांतरण करण्याने जे नवीन तरंग फलन मिळते ते जुन्या तरंग फलनाचे एकघातीय रूपांतरण असते. उपरिनिर्दिष्ट सममितीय रूपांतरणामुळे सममित राहणारी भौतिक संहतीची विशिष्ट स्थिर अवस्था विचारात घेतली, तर जसे जुने तरंग फलन ऊर्जेची स्थिर अवस्था असते त्याचप्रमाणे नवीन तरंग फलनही त्या ऊर्जेची स्थिर अवस्था असली पाहिजे. याचाच अर्थ असा की सममितीय रूपांतरण ऊर्जेच्या एखाद्या विशिष्ट उचित मूल्याशी संबंधित असलेल्या तरंग फलनाचे त्याच तरंग फलनाच्या रैखिक समचयामध्ये [→ समचयात्मक विश्लेषण] रूपांतर करते. म्हणून विशिष्ट सममित गटाच्या योगाने संबंधित अवस्थांच्या संचावरील शक्य त्या सर्व रूपांतरांच्या नियमांचे वर्गीकरण करावे लागते. गणिती भाषेत बोलावयाचे तर हे वर्गीकरण म्हणजे वर उल्लेखिलेल्या सममितीय गटाच्या शक्य त्या सर्व प्रतिरूपणांचे वर्गीकरण होय. याचा अर्थ असा की या सममितीय गटातील गर घटकांच्या, पुढील समीकरणाची पूर्तता करणाऱ्या म (गर) या एकघातीय कारकांशी शक्य त्या सर्व अनुरूपता शोधल्या पाहिजेत.
म (ग१) म (ग२) = म (ग१ ग२)
जेव्हा सममितीय गट हा घूर्णन असतो तेव्हा हे वर्गीकरण कोनीय संवेगाच्या (निरूढी परिबल व कोनीय वेग यांच्या गुणाकाराच्या, निरूढी परिबल म्हणजे वस्तूने कोनीय प्रवेगाला केलेल्या रोधाचे माप होय) स्वरूपात करता येते. जेव्हा सममितीय गट अवकाशाचा स्थानांतर गट असतो तेव्हा हे वर्गीकरण रैखिक संवेगाच्या स्वरूपात करता येते. अशा वर्गीकरणामुळे लाक्षणिक जात्यता संबंध व निवड नियम सापडतात. कोनीय संवेग व रैखिक संवेग यांच्या अविनाशितेबद्दलच्या सुपरिचित निवड नियमांचा वानगीदाखल उल्लेख करता येईल. व परिवलन (स्वतःच्या अक्षाभोवती फिरण्यामुळे प्राप्त होणारा कोनीय संवेग) असलेल्या कोणत्याही कणाला जास्तीत जास्त २ व कोटीचे विद्युत् चुंबकीय संवेग असू शकतात.
अणुकेंद्रांच्या सन्निकट तरंग फलनांची व्यावहारिक मोजणी करावयाची असल्यास, सध्या तरी, फक्त घूर्णन गटाच्या प्रतिरूपणांच्या सिद्धांतामुळे प्राप्त होणाऱ्या तंत्राचाच उपयोग करावा लागतो.
गणितातील अनुप्रयोग : गणिताच्या अनेक शाखांत गट सिद्धांताचा विविध प्रकारे उपयोग होतो. विशेषतः गाल्वा गटांचे बैजिक समीकरणांची निर्वाहशीलता ठरविण्याकरिता व करणीरूपाने फार साहाय्य होते. अ० + अ१. क्ष + अ२.क्ष२ +…..+अप क्षप = ० या बैजिक समीकरणाच्या निर्वाहांची मूल्ये अर या सहगुणकांच्या मदतीने दर्शविता येतील किंवा कसे या प्रश्नाचे उत्तर गाल्वा गटांच्या साहाय्याने देता येते. त्यासाठी, असा विशिष्ट गाल्वा गट या समीकरणाशी निगडीत करावा लागतो की, ज्याची संरचना समीकरणाच्या बीजांची गणना करावयास लागणाऱ्या कारकांशी संबंधित राहील. नंतर या गाल्वा गटांच्या गुणधर्मांच्या मदतीने वरील प्रश्नांचे उत्तर शोधावयाचे असते. सामान्यपणे प चारापेक्षा मोठा असतो (प > ४) तेव्हा वरील प्रश्नाचे उत्तर नकारार्थी वेगळ्या शब्दात सांगावयाचे, तर प > ४ असताना, प घाती व्यापक बैजिक समीकरणाची बीजे त्या समीकरणातील सहगुणकांच्या मदतीने दर्शविता येत नाहीत.
संस्थिती विश्लेषणात गटांचा उपयोग निरनिराळ्या भूमितीय वस्तूंच्या संरचनेचे वर्गीकरण करण्यासाठी होतो. उदा., समजातिकी व समसंस्थितिक गटांचा उल्लेख करता येईल. समसंस्थितिक गट निश्चित करण्यासाठी समुच्चयाचा एखादा बिंदू घेऊन, या बिंदूपासून निघणाऱ्या आणि पुन्हा त्याच बिंदूकडे परतणाऱ्या अशा सर्व अखंड व आवृत (बंद) पथांच्या संचाचा गट बनविण्यासाठी खालील गटरचनेचा अवलंब करण्यात येतो : समजा, सर्व पथ ब या बिंदूपासून निघतात आणि ब कडे परततात, आणि क्ष१ आणि क्ष२ हे त्यातील दोन पथ आहेत. क्ष१ क्ष२ हा पथ मिळविण्यासाठी प्रथम क्ष१ आणि नंतर क्ष२ घ्यावयाचे. ब बिंदू हा अविकारी पथ मानावयाचा. एकटा ब बिंदू हाही एक पथच आहे हे ध्यानात ठेवावे. क्ष पथाचा व्यस्त मिळविण्यासाठी क्ष च्या रस्त्याने पण उलट्या दिशेने जावयाचे.
ब पासून निघून ब कडे परतणाऱ्या सर्व पथांचे समरूप वर्गांत विभाजन करतात. जे पथ संतत पथविकृतीच्या (पथ कोठेही न तोडता आकारात बदल करण्याच्या) साहाय्याने एकरूप करता येतात त्यांना एकाच वर्गात घालावयाचे. या वर्गांचा संच होईल त्यास योग्य अशा गट कृत्याने गट बनवता येतो. या गटाला एक-मितीय समसंस्थितिक किंवा मूलभूत गट म्हणतात. जेव्हा मूलभूत गटात एकच घटक (वर्ग) असेल तेव्हा समुच्चय साधा सलग आहे असे म्हणतात.
वैश्लेषिक फलनांच्या अभ्यासातही गट सिद्धांताचे अनेकविध साहाय्य होते. उदा., एका सदसत् चलपदाच्या वैश्लेषिक फलनाचा विचार करू. प्रत्येक वैश्लेषिक फलनाला एक निर्धारण प्रांत असतो (ज्याला रीमान पृष्ठ म्हणतात). त्याचप्रमाणे साधे सलग असलेले दुसरेही एक रीमान पृष्ठ अशा फलनाशी निगडीत करता येते. हे दुसरे रीमान पृष्ठ म्हणजे त्या फलनाचे सार्वत्रिक आवरण पृष्ठ होय. पहिल्या रीमान पृष्ठाच्या प्रत्येक पदराला अनुलक्षून सार्वत्रिक आवरण पृष्ठाचे अनेक पदर असू शकतात. जे फलन पहिल्या रीमान पृष्ठभागावर वैश्लेषिक असते ते सार्वत्रिक आवरण पृष्ठभागावरही वैश्लेषिक असते. सार्वत्रिक आवरण पृष्ठभागावर निर्धारित असलेले वैश्लेषिक फलन हे पहिल्या रीमान पृष्ठभागाच्या कोणत्याही बिंदूच्या वर असणाऱ्या बिंदूंना त्याच बिंदूवर चित्रित करणाऱ्या रूपांतरणामुळे निश्चल राहते. अशा रूपांतरणांचा गट होतो असे दाखविता येते. या गटाच्या साहाय्याने वैश्लेषिक फलनांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करणे सुलभ होते.
पहा : बीजगणित, अमूर्त संच सिद्धांत.
संदर्भ : 1. Carmichael, R. D. Introduction to The Theory of Groups of Finite Order, 1937.
2. Kurosh, A. G.The Theory of Groups, New York, 1955.
3. Schenkman, E. Group Theory, Princeton, 1965.
4. Scott, W. R.Group Theory, Englewood Cliffs, N. J., 1964
5. Weyl, H.Theory of Groups and Quantum Mechanics, 1928.
मराठे, चं. रा.
“