तर्कशास्त्र, आकारिक

तर्कशास्त्र, आकारिक : जेव्हा एखाद्या अनुमानाची आधारविधाने सत्य असली तर त्याचा निष्कर्ष सत्य असतोच असे त्या अनुमानाचे स्वरूप असते, तेव्हा त्या अनुमानाला ‘निगामी अनुमान’ किंवा ‘निगमन’ म्हणतात. उदा.,

वर डोंगरात पाऊस पडला आहे किंवा धरणाचे दार उघडले आहे.

वर डोंगरात पाऊस पडलेला नाही. ... धरणाचे दार उघडले आहे.

हे अनुमान निगामी आहे. आता ह्या अनुमानाचे प्रामाण्य, म्हणजे त्याची आधारविधाने सत्य असली, तर त्याचा निष्कर्ष सत्य असतोच हा त्याचा धर्म, ज्या वस्तू विषयी ते करण्यात आले आहे, त्याच्याशी संबंधित नाही, तर ते त्याच्या आकारावर आधारले आहे, असे म्हणणे योग्य ठरेल. ह्या म्हणण्याचा अर्थ असा : समजा क आणि ख ही कोणतीही दोन विधाने घेतली आणि आपण पुढील स्वरूपाचे अनुमान केले :

क किंवा ख

क असे नाही

... ख

तर असे अनुमान प्रमाण ठरेल. हा अनुमानाचा एक प्रमाण आकार आहे, असे म्हणतात. वरील अनुमान ह्या आकाराचे असल्यामुळे प्रमाण आहे. निगमनाचे असे प्रमाण आकार शोधून काढणे आणि त्यांच्या प्रामाण्याचे नियम स्पष्ट करणे, हे आकारिक तर्कशास्त्रचे वा निगामी तर्कशास्त्राचे कार्य आहे.

निगमनाचे प्रमाण आकार मुख्यत्वे दोन प्रकारचे आहेत: (१) विधानांना जोडल्या जाणाऱ्या ‘किंवा’, ‘आणि’ इ. वैधानिक संबंधकांच्या अर्थावर आधारलेले. ह्यांचा विचार वैधानिक तर्कशास्त्रात होतो. (२) ‘सर्व’, ‘काही’  इ. संख्यावाचक शब्दांच्या अर्थावर आधारलेले. ह्यांचा विचार संख्यापक तर्कशास्त्रात होतो.

(१) वैधानिक तर्कशास्त्र : आकारिक तर्कशास्त्राची सुरुवात सरल विधान आणि संयुक्त विधान ह्यांच्यामधील भेदापासून होते. व्यवहारात आपण ‘आणि’, ‘किंवा’, ‘जर–तर’, ‘जर–तर आणि तरच’ ह्या अव्ययांचा उपयोग करून विधाने एकमेकांशी जोडतो आणि संयुक्त विधाने बनवितो. अशा विधानांना एकमेकांशी जोडणाऱ्या आणि त्यांच्यापासून संयुक्त विधाने बनविणाऱ्या अव्ययांना ‘वैधानिक संबंधक’ म्हणतात. वर उल्लेखिलेले वैधानिक संबंधक दोन विधानांना एकमेकांशी जोडतात. म्हणून त्यांना द्विपदी संबंधक म्हणतात. पण एकाच विधानाशी जोडला जाणारा व म्हणून एकपदी असलेला असा एक वैधानिक संबंधक आहे. तो म्हणजे ‘असे नाही’ हा संबंधक. विधानाचे जेव्हा घटकविधान (किंवा घटकविधाने) आणि संबंधक ह्यांच्यात विश्लेषण करता येते, तेव्हा ते संयुक्त विधान असते. ज्याचे असे विश्लेषण करता येत नाही, ते सरल विधान असते.

आपण ‘क, ‘ख’, ‘ग’, ‘घ’ ही अक्षरे कोणत्याही सरल विधानांचा निर्देश करण्यासाठी मुक्रर करू. तसेच वैधानिक संबंधकांसाठी त्यांच्यापुढे कंसात लिहिलेली चिन्हे मुक्रर करू : ‘आणि’ (&amp), ‘किंवा’ (V) ‘जर–तर’ (⟶) ‘जर–तर आणि तरच’ (↔) असे नाही’ (–) . ह्या वेगवेगळ्या संबंधकांचा उपयोग करून बनविण्यात येणाऱ्या ह्या वेगवेगळ्या प्रकारच्या संयुक्त विधानांना पुढील नावे देण्यात येतात : संहित विधान : (क&ampख) वियोगी विधान : (क V ख) व्यंजनी विधान : (क ⟶ ख) सममूल्य विधान : (क ↔ ख) निषेधक विधान : (–क). संयुक्त विधानांना ह्याच संबंधकांनी सरल किंवा संयुक्त विधानांना जोडून विधाने बनविता येतात. उदा., ((क &amp ख) V ग), क ⟶ (क V ग), – –क इत्यादी. अशी गुंतागुंतीची संयुक्त विधाने बनविता येत असल्यामुळे त्यांतील संबंधकांची व्याप्ती दाखविण्यासाठी कंस रेखणे आवश्यक असते. उदा., क &amp ख V ग  ह्या विधानाची घडण (( क&amp ख) V ग) अशी किंवा (क &amp (ख V ग)) अशी असणे शक्य आहे. ती निश्चित कोणती आहे, हे कंसांच्या साहाय्याने दाखविता येते.

---

कोणतेही सरल किंवा संयुक्त विधान सत्य तरी असते किंवा असत्य तरी असते, ही गोष्ट अशी मांडू : कोणत्याही सरल किंवा संयुक्त विधानाला सत्यतामूल्य असते आणि ते सत्यता (संक्षेपाने स) किंवा असत्यता (संक्षेपाने अ) ह्या दोहोंपैकी एक आणि एकच असते. आता (क &amp ख) ह्या संहित विधानाचा दावा असा असतो, की क तसेच ख ह्या त्याच्या दोन्ही घटकविधानांचे सत्यतामूल्य स आहे. तेव्हा वस्तुस्थिती अशी असेल तर ते सत्य असते पण क किंवा ख असत्य असेल किंवा दोन्ही असत्य असतील, तर ते असत्य असते. तसेच (क V ख) ह्या वियोगी विधानाचा दावा असा असतो, की क आणि ख ह्या त्याच्या घटकविधानांपैकी एकातरी विधानाचे सत्यतामूल्य स आहे असे नसेल तर ते असत्य ठरेल. (क ⟶ ख) ह्या व्यंजनी विधानाचा दावा असा मांडता येईल : क चे सत्यतामूल्य स आहे आणि ख चे अ आहे असे नाही म्हणजे क चे मूल्य स आणि ख चे मूल्य जर अ असेल, तर (क ⟶ ख) असत्य असेल, अन्यथा ते सत्य असेल. (क ↔ ख) ह्या सममूल्य विधानाचा दावा असा, की क सत्य असेल तर ख ही सत्य असेल आणि क असत्य असेल तर ख ही असत्य असेल, –क ह्या निषेधक विधानाचा दावा मांडायला सोपा आहे. –क  हे निषेधक विधान ज्या विधानाचा निषेध करते त्या क ह्या विधानाचे सत्यतामूल्य अ आहे असा त्याचा दावा असतो. तेव्हा क जर असत्य असेल तर–क सत्य असते पण क जर सत्य असले  तर–क असत्य असते.

वेगवेगळे संबंधक करीत असलेले हे दावे म्हणजेच ह्या संबंधकांचे अर्थ सत्यताकोष्टकांच्या द्वारा स्पष्ट करता येतील. क चे सत्यतामूल्य स तरी असेल किंवा अ तरी असेल. आता आपण पाहिल्याप्रमाणे क चे सत्यतामूल्य स असते तेव्हा –क चे अ असते आणि क चे अ असते तेव्हा –क चे स असते तेव्हा –क चे सत्यताकोष्टक असे राहील :

क    —कस    अअ    स

म्हणजे संयुक्त विधानाच्या सत्यताकोष्टकात त्याच्या घटकविधानांच्या सत्यतामूल्यांविषयीच्या सर्व शक्यता घटकविधानांखाली क्रमाने दाखवितो आणि ती ती शक्यता खरी असताना त्या संयुक्त विधानाचे ते सत्यतामूल्य असेल, ते त्याच्या संबंधकाखाली नमूद करतो. ‘&amp’ सारखा द्विपदी संबंधक क आणि ख अशा दोन विधानांना जोडतो. आता क आणि ख ही विधानांची जोडी घेतली, तर तिच्या बाबतीत सत्यतामूल्यांविषयीच्या चार शक्यता संभवतात. कारण क चे सत्यतामूल्य स असताना ख चे सत्यतामूल्य स असेल किंवा अ असेल. तसेच क चे सत्यतामूल्य अ असताना ख चे सत्यतामूल्य स असेल किंवा अ असेल. ह्या चार शक्यता अशा दाखविता येतील :

क    खस    सस    अअ    सअ    अ

(क &amp ख) चे सत्यताकोष्टक रचण्यासाठी ह्यांपैकी प्रत्येक शक्यता घेऊन ती खरी असताना (क &amp ख) चे जे सत्यतामूल्य असेल, ते तिच्यापुढे नमूद करावे लागेल. आता आपण पाहिल्याप्रमाणे क आणि ख ही दोन्ही सत्य असताना (क &amp ख) सत्य असते अन्यथा म्हणजे त्यांच्यापैकी एक किंवा दोन्ही असत्य असताना, ते असत्य असते. तेव्हा (क &amp ख) चे सत्यताकोष्टक असे राहील :

क    ख    (क &amp ख)स    स           सस    अ           अअ    स           अअ    अ           अ

   

ह्याच रीतीने वर नमूद केलेल्या इतर संबंधकांची सत्यताकोष्टके रचता येतील. सोयीसाठी सर्व संबंधकांची सत्यताकोष्टके पुढे दिली आहेत :

---

क–क	क ख	(क &amp ख)	(क V ख)	(क ⟶ ख)	(क ↔ ख)
स अ अ स	स स स अ अ स अ अ	स अ अ अ	स स स अ	स अ स स	स अ अ स

दोहोंपेक्षा अधिक घटकविधानांच्या बनलेल्या संयुक्त विधानांची सत्यताकोष्टकेही ह्याच पद्धतीने बनविता येतील. समजा क, ख आणि ग अशी तीन घटकविधाने घेतली, तर ह्या त्रिकुटाला सत्यताविषयक एकूण आठ शक्यता असतील. कारण क आणि ख ह्या जोडीला एकंदर चार शक्यता असतील आणि ह्या प्रत्येक शक्यतेच्या बाबतीत ग चे सत्यतामूल्य स असेल किंवा अ असेल. सामान्यपणे न इतक्या विधानांचे न–कूट असेल, तर त्याच्या सत्यतामूल्यविषयक एकंदर न वेळा (२ X २ X २ ·· X २ न वेळा) इतक्या म्हणजे २^न  इतक्या शक्यता असतील. ह्या मांडायची सामान्य रीत अशी : उदाहरणादाखल समजा क, ख आणि ग हे विधानांचे त्रिकूट आहे. ह्याच्या सत्यतामूल्यविषयक एकंदर २^३ म्हणजे ८ शक्यता असतील. म्हणजे त्या मांडल्या तर प्रत्येक विधानाखाली एक असे तीन उभे स्तंभ असतील आणि २^न = ८ आडव्या रांगा असतील. शेवटच्या म्हणजे उजवीकडून पहिल्या स्तंभात ‘स, अ’ ही जोडी एकाखाली एक चारदा लिहावी लागेल (म्हणजे ह्या स्तंभात स आणि अ ही अक्षरे आळीपाळीने चारदा–प्रत्येक अक्षर चारदा–लिहिली जातील) उजवीकडून दुसऱ्या स्तंभात ‘स, स’ आणि ‘अ, अ’ ह्या जोड्या आळीपाळीने एकंदर चारदा म्हणजे प्रत्येक जोडी दोनदा लिहावी लागेल. शेवटच्या (म्हणजे डावीकडून पहिल्या) स्तंभात प्रथम ‘स, स, स, स’ हे चौकूट व नंतर ‘अ, अ, अ, अ’ हे चौकूट लिहावे लागेल. ही मांडणी पुढे दिली आहे :

क    ख    गस    स    सस    स    अस    अ    सस    अ    अअ    स    सअ    स    अअ    अ    सअ    अ    अ

आता उदाहरणादाखल ((क &amp ख) V ग) हे तीन घटकविधानांचे बनलेले विधान घेऊ. हे (क &amp ख) आणि ग ह्या घटकविधानांना ‘V’ ने जोडून बनविलेले आहे. म्हणजे ‘V’ हा त्यातील प्रमुख संबंधक आहे. तेव्हा (क &amp ख) चे सत्यतामूल्य निश्चित केले आणि ग चे सत्यतामूल्य निश्चित केले, की ‘V’ च्या सत्यताकोष्टकानुसार ((क &amp ख) V ग) चे सत्यतामूल्य निश्चित होईल. हे सत्यतामूल्य ‘V’ ह्या त्यातील प्रमुख संबंधकाखाली लिहिण्यात येते.

((क &amp ख) V ग) चे ह्या पद्धतीला अनुसरून रचलेले सत्यताकोष्टक पुढे दिले आहे :

क	ख	ग	(क &amp ख) Vग)
स स स स अ अ अ अ	स स अ अ स स अ अ	स अ स अ स अ स अ	स         स  स स         स  अ अ         स  स अ         अ  अ अ         स  स अ         अ  अ अ         स  स अ         अ  अ

---

ज्या संयुक्त विधानांचा वर उल्लेख केला आहे ती अशी आहेत, की त्यांच्या घटकविधानांची सत्यतामूल्ये निश्चित केली असता ह्या संयुक्त विधानांची सत्यतामूल्येही निश्चित होतात. जर क्ष आणि य ह्यांच्यात असा संबंध असेल, की क्ष चे मूल्य निश्चित केले असता ह्याचे मूल्य निश्चित होते, तर य हे क्ष चे फलन आहे असे म्हणतात. तेव्हा वरील संयुक्त विधाने त्यांच्या घटकविधानांची सत्यताफलने आहेत असे म्हणतात. ज्या वैधानिक संबंधकांचा उपयोग करून सरल विधानांपासून आपण संयुक्त विधाने प्राप्त करून घेतली आहेत, ते सत्यताफलनात्मक संबंधक आहेत.

‘क’, ‘ख’, इ. विधानात्मक अक्षरे आणि वरील सत्यताफलनात्मक संबंधक ह्यांचा मिळून बनलेला कोणताही विधानाकार घेतला, तर त्याच्या बाबतीत तीन भिन्न शक्यता संभवतात : (१) त्याच्यातील घटकअक्षरांना स आणि अ ही सत्यतामूल्ये कशीही दिली, तरी त्याचे सत्यतामूल्य स हेच असते. म्हणजे त्याच्यातील घटकअक्षरांच्या बाबतीतील सत्यतामूल्यविषयक कोणतीही शक्यता घेतली, तर अशा प्रत्येक शक्यतेच्या प्रसंगी त्याचे सत्यतामूल्य स हेच असते. उदा., (क V –क) किंवा (क V ख) ↔ (ख V क). (२) अशा प्रत्येक शक्यतेच्या प्रसंगी त्या विधानाकाराचे सत्यतामूल्य अ असते. उदा., (क &amp–क) किंवा – (क V –क). (३) कित्येक शक्यतांच्या प्रसंगी विधानाकाराचे सत्यतामूल्य स असते आणि कित्येक शक्यतांच्या प्रसंगी ते अ असते. उदा., (क V ख). पहिल्या प्रकारच्या विधानाकाराला, म्हणजे घटकअक्षरांच्या सत्यतामूल्यविषयक कोणत्याही शक्यतेच्या प्रसंगी ज्याचे सत्यतामूल्य स असते अशा विधानाकाराला उक्तवाची विधानाकार म्हणतात. दुसऱ्या प्रकारच्या विधानाकाराला व्याघाती विधानाकार म्हणतात आणि तिसऱ्या प्रकारच्या विधानाकाराला आयत्त विधानाकार म्हणतात.

‘पृथ्वी वाटोळी आहे’,  ह्या सारखे सरल विधान घेतले तर ते सत्य आहे की नाही, हे वस्तुस्थिती काय आहे यावर अवलंबून असते. पृथ्वी वाटोळी आहे अशी वस्तुस्थिती आहे म्हणून हे विधान सत्य आहे. पृथ्वीचा आकार वेगळा असता, तर ते असत्य ठरले असते. म्हणून सरल विधाने आयत्त असतात. पण आता एखाद्या उक्तवाची विधानाकारातील अक्षरांच्या जागी कोणत्याही विशिष्ट विधानांची योजना केली असता त्याचे उदाहरण म्हणून लाभणारे विधान घ्या. ही विशिष्ट विधाने सत्य किंवा असत्य कशीही असली, तरी उक्तवाची विधानाकाराचे उदाहरण असलेले विधान सत्यच असते. उक्तवाची विधानाकाराचे उदाहरण असलेल्या विधानाला उक्तवाची विधान म्हणतात. तेव्हा उक्तवाची विधानाची सत्यता वस्तुस्थितीवर अवलंबून नसते ती वस्तुस्थितिनिरपेक्ष असते. म्हणून उक्तवाची विधान तर्कतः सत्य असते तसेच उक्तवाची विधानाकार तर्कतः प्रमाण असतो.

काही महत्त्वाची उक्तवाची विधानाकार पुढे दिले आहेत : (१) तादात्म्य नियम : (क ↔ क) (२) विमध्य नियम : (क V  –क) (३) व्याघात नियम : (क &amp –क) (४) द्विनिषेध नियम: (क ↔ – – क) (५) डि मॉर्गनचे नियम : (i) – (क V ख) ↔  (–क &amp –ख) (ii)  – (क &amp ख) ↔ (–क V –ख) (६) व्यंजनसंक्रमण नियम : ((क ⟶  ख) &amp (ख ⟶ ग)) ⟶ (क ⟶  ग) (७) विपर्यय नियम : (i) (क V ख) ↔  (ख V क) (ii)  (क &amp ख)  ⟶ (ख &amp क) (८) सहवर्तन नियम : (i) (क V (ख V ग)) ↔ ((क V ख) V ग)  (ii)  (क &amp (ख &amp ग)) ↔ (( क &amp ख)  &amp ग) (९) वितरण नियम : (i) (क &amp (ख V ग)) ↔ ((क &amp ख) V (क &amp ग)) (ii) (क V (ख &amp ग)) ⟶ ((क V ख) &amp (क V ग)) (१॰) परिप्रतिवर्तन नियम : (क ⟶ ख) ↔ (–ख ⟶ –क) (११) संहती नियम : (क ⟶ (ख ⟶ (क &amp ख) ) ).

लक्षात घेण्याजोगी गोष्ट ही की कोणताही विधानाकार प्रमाण आहे की नाही ह्याचा निर्णय करण्याची एक निश्चित पद्धती उपलब्ध आहे. विधानाकार उक्तवाची असला तर आणि तरच तो प्रमाण असतो आणि कोणताही विधानाकार उक्तवाची आहे की नाही, हे सत्यताकोष्टकाच्या पद्धतीने निश्चित करता येते.

उक्तवाची विधानाकारावर निगमनाचे प्रमाण नियम आधारता येतात. निगमन नियम प्रमाण असण्याचा निकष असा, की त्या नियमाप्रमाणे सत्य विधानांपासून काढलेला निष्कर्ष सत्यच असला पाहिजे. आता समजा (क ⟶ ख) हा व्यंजनी विधानाकार उक्तवाची आहे. ह्याचा अर्थ असा होतो, की (क ⟶ ख) चे सत्यतामूल्य नेहमी स असते. आता ‘⟶’ च्या सत्यताकोष्टकावरून हे ध्यानात येईल, की (क⟶ ख) चे सत्यतामूल्य जर स असले, तर क चे सत्यतामूल्य स असताना ख चे सत्यतामूल्य स असावेच लागते. आता उदाहरणादाखल ( क ⟶ ख) &amp (ख ⟶ ग)) ⟶ (क ⟶ ग)) हा उक्तवाची व्यंजनी विधानाकार घेऊ, तो उक्तवाची असल्यामुळे त्याचे सत्यतामूल्य नेहमीच स असणार म्हणून जेव्हा (क ⟶ ख) &amp (ख ⟶ ग)चे सत्यतामूल्य स असेल, तेव्हा (क ⟶ ग) चे सत्यतामूल्यही स असणार. तेव्हा वरील विधानाकारात ‘क’, ‘ख’ आणि ‘ग’ ह्या अक्षरांच्या जागी विशिष्ट विधानांची योजना केली असता ((क ⟶ ख) &amp (ख ⟶ ग)) या पासून लाभणारे विधान जर सत्य असेल तर (क ⟶ ग) पासून लाभणारे विधानही सत्य असणार. तेव्हा आपल्याला पुढील निगमन नियम लाभतो: पुढील निगमनाकार प्रमाण आहे.

---

( (क ⟶ ख) &amp (ख ⟶ ग ) ) ... (क ⟶ ग )

म्हणजे ह्या निगमनाकारात ‘क’, ‘ख’ व ‘ग’ ह्या अक्षरांच्या जागी कोणत्याही विशिष्ट विधानांची योजना केली असता, लाभणारे निगमन प्रमाण असते. तसेच समजा (क ↔ ख) हा सममूल्य विधानाकार उक्तवाची आहे. ह्याचा अर्थ असा, की क चे जे सत्यतामूल्य असेल तेच ख चेही असणार. कारण नाहीतर (क ↔ ख) चे सत्यतामूल्य अ ठरेल पण (क ↔ ख) उक्तवाची असल्यामुळे असे असणे अशक्य आहे. उदा., क चे सत्यतामूल्य असेल तेच – – क चेही सत्यतामूल्य असणार. आता निगमनाची आधारविधाने व त्यांच्यापासून निगमन नियमांना अनुसरून निष्पन्न करून घेण्यात येणाऱ्या पायऱ्या ही सारी विधाने सत्यताफलने असतात. म्हणजे अशा कोणत्याही विधानाचे सत्यतामूल्य त्याच्या घटकविधानांच्या सत्यतामूल्यांनी निश्चित होते. आता (क ↔ – – क) ह्या विधानाकाराचे उदाहरण असलेले विधान घेऊ. समजा निगमनाच्या आधारविधानांत किंवा त्याची पायरी असलेल्या कोणत्याही विधानात क चे उदाहरण असलेले विधान घटक म्हणून आहे. आता त्याच्या जागी –– क चे उदाहरण असलेल्या विधानाची योजना केली असता, लाभणाऱ्या विधानाचे सत्यतामूल्य हे मूळ विधानाचे जे सत्यतामूल्य असेल तेच असेल. म्हणजे मूळ विधान जर सत्य असेल, तर अशी योजना केल्यामुळे लाभणारे विधानही सत्य असेल. तेव्हा आपल्याला पुढील निगमन नियम लाभतो : व ह्या विधानात क ह्या त्याच्या घटकविधानाच्या जागी क शी उक्तवाचित्वाने सममूल्य असलेल्या विधानाची योजना केली असता जे विधान लाभते, त्याचे व पासून निगमन करता येते. अर्थात व पासून व शी उक्तवाचित्वाने सममूल्य असलेल्या विधानाचे निगमन करता येते.

‘–’ आणि ‘V’ हे संबंधक प्राथमिक संबंधक म्हणून जर आपण स्वीकारले, तर त्यांच्याद्वारा ‘&amp’, ‘⟶’   आणि ‘↔’  ह्या संबंधकांच्या व्याख्या करता येतात :

(१)    (क &amp ख) = व्या. – (— क V – ख )(२)    (क ⟶ ख) = व्या. (— क V ख )(३)    (क ↔ ख) = व्या. – ( क V ख ) V – (– क V –ख)

ह्या व्याख्या प्रमाण आहेत हे वरील वेगवेगळ्या संबंधकांचे त्यांच्या सत्यताकोष्टकात दिलेले अर्थ ध्यानी घेतले तर पटेल. त्यांच्या प्रामाण्याची आकारिक कसोटी अशी : ज्याची व्याख्या करायची आहे त्या डाव्या बाजूच्या विधानाकाराला ‘व्याख्येय’ आणि त्याची व्याख्या करणाऱ्या उजव्या बाजूच्या विधानाकाराला ‘व्याख्यापक‘ म्हणू. आता व्याख्येय व व्याख्यापक ह्यांचा मिळून बनविलेला सममूल्य विधानाकार जर उक्तवाची असेल, तर व्याख्या प्रमाण असते. उदा., (क &amp ख) ↔ – (– क V –ख) हा सममूल्य विधानाकार उक्तवाची असल्यामुळे वरील (१) ही व्याख्या प्रमाण आहे. अशाच रीतीने ‘–’ आणि ‘&amp’ किंवा ‘–’ आणि ⟶ हे संबंधक प्राथमिक मानून त्यांच्याद्वारा इतर संबंधकांच्या व्याख्या करता येतात. ह्या सर्व व्याख्यांत ‘–’ हा संबंधक प्राथमिक मानण्यात येतो व ह्या सर्व व्याख्या दोन संबंधकांवर आधारलेल्या आहेत. पण ‘।’ आणि ‘↓’ हे दोन काहीसे कृत्रिम संबंधक असे आहेत, की त्यांच्यातील एक संबंधक प्राथमिक मानला, तर केवळ त्याच्या साहाय्याने इतर सर्व संबंधकांच्या व्याख्या करता येतात. ह्या संबंधकांची सत्यताकोष्टके अशी आहेत :

क	ख	(क। ख)	(क  ↓ ख)
स स अ अ	स अ स अ	अ स स स	अ अ अ स

  

---

म्हणजे (क । ख) हे फलन ‘क आणि ख दोन्ही सत्य आहेत असे नाही’ असे अनौपचारिकपणे वाचता येईल, किंवा ‘क आणि ख ह्यांतील एक तरी विधान असत्य आहे’, असे वाचता येईल. तसेच (क ↓ ख) हे फलन ‘क आणि ख दोन्ही असत्य आहेत’ असे वाचता येईल. तेव्हा ‘।’ च्या साहाय्याने ‘—’ आणि &amp यांच्या व्याख्या अशा करता येतील :

– क = व्या. (क । क) (क &amp ख) = व्या. [(क । ख) । (क । ख)] आणि ‘—’ आणि ‘&amp’ यांच्या साहाय्याने इतर संबंधकांच्या व्याख्या करता येतात हे आपण अगोदरच पाहिले आहे. तसेच ‘↓’ च्या द्वारा ‘—’ आणि ‘V’  ह्यांच्या व्याख्या अशा करता येतील :

  — क = व्या. (क ↓ क) (क V ख) = व्या.

[(क ↓ ख) ↓ (क ↓ ख)]

कोणताही विधानाकार प्रमाण आहे की नाही, ह्याचा निर्णय करण्याची रीत उपलब्ध आहे हे आपण वर पाहिले आहे. पण प्रमाण विधानाकार स्वयंसिद्धकीय रीतीनेही निष्पन्न करून घेण्यात येतात. स्वयंसिद्धकीय रीतीचे स्वरूप थोडक्यात असे : ह्या रीतीचे उद्दिष्ट एक स्वयंसिद्धकीय व्यवस्था रचण्याचे असते. स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेत काही विधाने स्वयंसिद्धक म्हणून स्वीकारण्यात येतात आणि त्यांच्यापासून इतर विधाने काही निश्चित निगमन नियमांना अनुसरून निष्पन्न करून घेण्यात येतात. स्वयंसिद्धकापासून अशा रीतीने निष्पन्न करून घेण्यात आलेल्या विधानांनाच त्या स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेचे सिद्धांत म्हणतात आणि हे सिद्धांत सिद्ध झाले आहेत असे म्हणतात. एखाद्या विशिष्ट स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेत एखादे विधान स्वयंसिद्धक आहे, ह्या म्हणण्याचा अर्थ ते स्वतः प्रमाण आहे असा नसतो,  त्याचा अर्थ एवढाच असतो, की त्या व्यवस्थेत कोणताही सिद्धांत सिद्ध करताना हे विधान आधारविधान म्हणून वापरता येते ते विधान सिद्ध करावे लागत नाही. पण कोणतेही विधान त्या व्यवस्थेतील सिद्धांत म्हणून स्वीकारायचे, तर ते त्या व्यवस्थेतील स्वयंसिद्धकापासून निष्पन्न होते असे दाखवावे लागते. तेव्हा एका स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेत स्वयंसिद्धक असलेले विधान दुसऱ्या व्यवस्थेत सिद्धांत असू शकेल. दुसरी महत्त्वाची गोष्ट अशी, की स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेत स्वयंसिद्धकापासून सिद्धांत सिद्ध करताना स्वयंसिद्धकाच्या किंवा सिद्धांताच्या अर्थाकडे आपण लक्ष देत नाही. हे स्वयंसिद्धक म्हणजे अर्थविहीन चिन्हांच्या मालिका किंवा चिन्हबंध असे आपण मानतो. तसेच निगमनाचे नियम, दिलेल्या चिन्हबंधांत काही निश्चित घडामोडी करण्याची अनुज्ञा देतात असे आपण मानतो. म्हणजे कित्येक विशिष्ट चिन्हांच्या जागी त्यांच्या ऐवजी दुसऱ्या चिन्हांची योजना करण्याची किंवा आदेश करण्याची, चिन्हबंधातून काही चिन्हे वगळण्याची, अशा अनुज्ञा निगमन नियम देतात. तेव्हा स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेत सिद्धांताच्या सिद्धीचे स्वरूप असे असते : स्वयंसिद्धक म्हणून स्वीकारलेल्या चिन्हबंधापासून सुरुवात करण्यात येते. त्याच्यापासून त्यांच्यात निगमन नियमांना अनुसरून फेरबदल केल्यामुळे प्राप्त होणाऱ्या चिन्हबंधाचे निगमन करण्यात येते. ह्या चिन्हबंधापासून अशाच रीतीने प्राप्त होणाऱ्या चिन्हबंधाचे निगमन करण्यात येते इत्यादी. स्वयंसिद्धकांपासून अशा रीतीने प्राप्त होणाऱ्या सर्व चिन्हबंधांना त्या स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेचे सिद्धांत म्हणतात. स्वयंसिद्धकांना चिन्हबंध मानून त्यांच्यापासून निगमन नियमांना अनुसरून सिद्धांत सिद्ध करणाऱ्या निगामी व्यवस्थांना आकारिक निगामी व्यवस्था म्हणतात. कोणत्याही आकारिक निगामी व्यवस्थेचे स्वयंसिद्धकीय व सिद्धांत यांच्याकडे ते केवळ चिन्हबंध आहेत असे पाहण्यात येत असले, तरी अशा निगामी व्यवस्थेची रचना करताना ह्या चिन्हबंधांचा एक विशिष्ट अर्थ, त्यांचे एक निर्वचन अभिप्रेत असते. शिवाय त्याच चिन्हबंधांची भिन्न निर्वचने करता येतात. स्वयंसिद्धक म्हणून स्वीकारलेल्या किंवा सिद्धांत म्हणून सिद्ध करण्यात आलेल्या चिन्हबंधांचे प्रमाण विधानाकार (आणि आपण पुढे पाहू त्याप्रमाणे प्रमाण विधेयाकार) म्हणून केलेले निर्वचन हे प्रमुख निर्वचन असे अभिप्रेत धरून, जी आकारिक निगामी व्यवस्था रचण्यात येते तिला तार्किकी म्हणतात. तार्किकीचे विधानकलन आणि विधेयकलन असे दोन भाग पडतात. विधानकलनातील चिन्हबंधांचे प्रमाण विधानाकार हे प्रमुख निर्वचन अभिप्रेत असते. विधेयकलनात ह्याशिवाय प्रमाण विधेयाकारांचाही समावेश होतो.

विशिष्ट विधानकलन रचण्याची पद्धती अशी : (१) प्रथम त्या विधानकलनाच्या सर्व आद्य चिन्हांची यादी देण्यात येते. ह्या विधानकलनातील कोणताही अधिकृत चिन्हबंध केवळ या आद्य चिन्हांचाच बनलेला असावा लागतो. ह्या आद्य चिन्हांशिवाय इतर कोणत्याही चिन्हाला त्याची आद्य चिन्हांद्वारा व्याख्या करूनच ह्या विधानकलनात स्थान लाभते. (२) नंतर ह्या आद्य चिन्हांपासून चिन्हबंध कसे रचावे ह्याचे निश्चित नियम दिले जातात. आद्य चिन्हांपासून ह्या नियमांना अनुसरून रचण्यात आलेल्या चिन्हबंधांना सुरचित चिन्हबंध (संक्षेपाने ‘सुरचि’) म्हणतात. ह्या विधानकलनात सुरचित चिन्हबंधांशिवाय इतर कोणत्याही चिन्हबंधाला स्थान नसते. (३) सोयीचे वाटल्यास आद्य चिन्हांव्यतिरिक्त इतर काही चिन्हे विधानकलनात प्रविष्ट करण्यात येतात. पण ह्या चिन्हांच्या व्याख्या केवळ आद्य चिन्हांद्वारा कराव्या लागतात. म्हणजे एखाद्या सुरचीमध्ये अशी व्याख्यापित चिन्हे  उपस्थित असली, तरी त्याचे निरसन करून त्या सुरचीचे केवळ आद्य चिन्हांची एक मालिका, हे रूप त्याला प्राप्त करून देता येते. (४) ह्यानंतर स्वयंसिद्धक म्हणून मुक्रर करण्यात आलेल्या सुरचीची यादी देण्यात येते. (५) सुरचीमध्ये ज्या नियमांना अनुसरून घडामोडी करून त्यांच्यापासून एका सुरचीचे निगमन करता येते ते निगमन नियम स्पष्टपणे मांडण्यात येतात. एवढ्या पूर्वतयारीनंतर स्वयंसिद्धक म्हणून स्वीकारलेल्या सुरचीपासून, स्वीकारलेल्या निगमन नियमांना अनुसरून इतर सुरचींचे निगमन करण्यात येते. अशा रीतीने ज्या सुरचींचे निगमन करण्यात येते, त्यांना ह्या विधानकलनाचे सिद्धांत म्हणतात. एखाद्या विधानकलनाचा परिचय करून घेण्यापूर्वी आणखी एका गोष्टीचा खुलासा करणे आवश्यक आहे. वस्तू, तिचे गुणधर्म, संबंध ह्यांच्याविषयी बोलण्यासाठी जे शब्द, शब्दप्रयोग, आपण वापरतो, त्यांची मिळून वस्तुभाषा बनते. पण तसेच वस्तुभाषेतील शब्द, शब्दप्रयोग, वाक्ये ह्यांचाही निर्देश किंवा वर्णन आपल्याला करायचे असते. ह्यासाठी जे शब्दप्रयोग आपण वापरतो, त्यांची मिळून अधिभाषा बनते. उदा., ‘हे फूल तांबडे आहे’ हे एक वस्तुभाषेतील वाक्य आहे कारण ते एका वस्तूचे वर्णन करते. पण “‘तांबडा’ हा शब्द एक विशेषण आहे” हे अधिभाषेतील वाक्य आहे कारण ते वस्तुभाषेतील एका शब्दाचे वर्णन करते. आता विधानकलनाची आद्य चिन्हे, सुरचि इ. वस्तुभाषेत मोडतील. पण ह्या चिन्हांचा, चिन्हबंधांचा निर्देश करण्यासाठी आणि त्यांचे वर्णन करण्यासाठी जी चिन्हे किंवा शब्दप्रयोग आपण वापरू ते अधिभाषेत मोडतील.

---

विधानकलनाचे एक उदाहरण असे :

(१) आद्य चिन्हे : (i) क,ख, ग, घ, क’,  ख’, ग’, घ’, क”, …, ही अनंत अक्षरे किंवा आहत अक्षरे. ह्या चिन्हांना विधानीय अक्षरे म्हणूया.

(ii) –, V, ह्यांना संबंधक चिन्हे म्हणूया.

(iii) ‘(’ ,‘ )’ ह्यांना अनुक्रमे डावा कंस आणि उजवा कंस म्हणूया.

(२) सुरचींच्या रचनेत नियम : (i) कोणतेही विधानीय अक्षर हा सुरचि असतो. (ii) जर क हा सुरचि असला तर – क सुरचि असतो. (iii) जर क आणि ख सुरचि असले तर (क V ख) सुरचि असतो. (एखादा चिन्हबंध जर ह्या तीन नियमांना अनुसरून सुरचित ठरत नसला, तर तो सुरचि नसतो). ह्या परिच्छेदात ‘क’, ‘ख’ ही ठळक अक्षरे विधानकलनाच्या कोणत्याही सुरचीचा निर्देश करण्यासाठी अधिचिन्हे म्हणून आपण वापरली आहेत, पण ‘ –’,  ‘ V ’,  ‘(’ , ‘)’   ह्या चिन्हांचा निर्देश करण्यासाठी तीच चिन्हे अधिचिन्हे म्हणून वापरली आहेत.

(३) आपण पुढील व्याख्या स्वीकारतो :

व्या. १. (क ⟶ ख) = व्या. (– क V ख)

व्या. २. (क &amp ख) = व्या. – ( — क V – ख)

व्या. ३. (क ↔ ख) = व्या. ((क ⟶ ख) &amp (ख ⟶ क))

(४) स्वयंसिद्धक : पुढील चार सुरचि स्वयंसिद्धक आहेत :

स्व. १. ((क V क) ⟶ क)

स्व. २. (क ⟶ (क V ख))

स्व. ३. (क V ख) ⟶ (ख V क)

स्व. ४. ((क → ख) ⟶ ((ग V क) ⟶ (ग V ख)))

(५) निगमन नियम : नि_१ क : क ^ख/_ग म्हणजे क ह्या सुरचीमध्ये ग हे विधानीय अक्षर जेथे जेथे उपस्थित असेल तेथे तेथे त्याच्या जागी ख ह्या सुरचीचा आदेश केल्याने प्राप्त होणारा सुरचि असू द्या. मग क पासून क ^ख/_ग चे निगमन करता येते (आदेश नियम).

---

 नि_२ : (क ⟶ ख) आणि क ह्या सुरचींपासून ख चे निगमन करता येते. (वियोजन नियम).

आता ह्या विधानकलनातील एका सिद्धांताच्या सिद्धीचा परिचय करून घेऊ. अशी सिद्धी म्हणजे सुरचींची एक मालिका असते व ती मांडताना तिच्यातील निगमनाच्या प्रत्येक पायरीचे समर्थन–म्हणजे नंतरचा सुरचि अगोदरच्या सुरचीपासून कोणत्या नियमाला किंवा व्याख्येला अनुसरून निष्पन्न होतो ह्याचे स्पष्टीकरण–उजव्या बाजूला देण्याची पद्धत आहे.

सि. (क ⟶ (ख V क))

१. ((क ⟶ ख) ⟶ ((ग V क ) ⟶ (ग V ख))) स्व. ४.

२. ((क ⟶ ख) ⟶ ((–ग V क ) ⟶ (–ग V ख))) १, नि_१ –^ग/_ग

३. ((क ⟶ ख) ⟶ ((ग ⟶ क ) ⟶ (ग ⟶ ख))) २, व्या. १

४. (((क V ख) ⟶ (ख V क)) ⟶ ((क ⟶ (क V ख))

⟶ (क⟶ (ख V क)))) ३, ^{(क V ख)}/_क, ^{(ख V क)}/_ख, ^क/_ग नि_१

५. (( क V ख) ⟶ (ख V क)) स्व. ३

६. (( क ⟶ (क V ख)) ⟶ (क ⟶ (ख V क))) ४, ५, नि_२

७. (क ⟶ (क V ख)) स्व. २

८. (क ⟶ (ख V क)) ६, ७, नि_२

विधानकलन रचण्याची दुसरी पद्धत म्हणजे विशिष्ट सुरचि स्वयंसिद्धक म्हणून मुक्रर न करता कित्येक विशिष्ट आकाराचे कोणतेही सुरचि स्वयंसिद्धक म्हणून स्वीकारण्यात येतात. उदा., आपण वर चार विशिष्ट सुरचि स्वयंसिद्धक म्हणून नमूद केले आहेत. त्यांऐवजी आपल्याला अशी तजवीज करता येईल : पुढील चार आकारापैकी कोणत्याही आकाराचा सुरचि स्वयंसिद्धक असतो :

१. ((क V क) ⟶ क)

२. (क ⟶ (क V ख))

३. ((क V ख) ⟶ (ख V क))

४. (क ⟶ ख) ⟶ ((ग V क) ⟶ (ग V ख))

---

उदा., आपण रचलेल्या विधानकलनाचा ‘(– क V –क) ⟶ –क)’ हा सुरचि स्वयंसिद्धक नाही. पण ‘((क V क) ⟶ क)’ ह्या स्वयंसिद्धकापासून नि_१ ला अनुसरून त्याचे सहज निगमन करता येते. उलट आपल्या आताच्या तजविजीप्रमाणे ते एक स्वयंसिद्धक आहे कारण तो ‘((क V क)⟶ क)’ ह्या आकाराचा सुरचि आहे, अमुक एका आकाराचा कोणताही सुरचि स्वयंसिद्धक असतो, असे मांडणाऱ्या वाक्याला अधिस्वयंसिद्धक म्हणतात. असे अधिस्वयंसिद्धक आपण स्वीकारले तर आदेश नियमाची आवश्यकता उरत नाही, हे उघड आहे.

(२) संख्यापक तर्कशास्त्र : आतापर्यंत आपण सत्यताफलनात्मक विधानीय संबंधकांच्या अर्थांवर आधारलेले प्रमाण विधानाकार आणि निगमनाकार ह्यांचा परिचय करून घेतला. आता ‘सर्व’, ‘काही’  इ. संख्यावाचक सर्वनामांच्या अर्थावर आधारलेल्या प्रमाण निगमनाकारांचा परिचय आपल्याला करून घ्यायचा आहे.

‘देवदत्त माणूस आहे’, हे एका विशिष्ट व्यक्तिविषयीचे विधान आहे. ‘देवदत्त’ हे विशेषनाम ह्या विशिष्ट व्यक्तीचा निर्देश करते आणि तिच्याविषयी तो एक माणूस आहे असे हे विधान सांगते. आता ह्या विधानाच्या घडणीकडे आपण असे पाहू शकू. ह्या विधानातून ‘देवदत्त’ हे विशेषनाम काढून टाकून त्याच्या ठिकाणी ‘क्ष’ ह्या चलचिन्हाची जर स्थापना केली, तर ‘क्ष’ माणूस आहे’ हा शब्दप्रयोग लाभेल. आता ‘देवदत्त’ हे जसे विशेषनाम आहे आणि ते जसे एका विशिष्ट व्यक्तीचा निर्देश करते तसे ‘क्ष’ हे विशेषनाम नाही, ते चलचिन्ह आहे. ह्याचा अर्थ असा, की ‘क्ष’ च्या ठिकाणी आपण वेगवेगळ्या विशेषनामांचा आदेश करू शकतो आणि ‘क्ष माणूस आहे’ या मध्ये ‘क्ष’ च्या ठिकाणी वेगवेगळ्या विशेषनामांचा आदेश केला असता त्याच्यापासून वेगवेगळी विधाने लाभतात. ‘क्ष माणूस आहे’ ह्या सारख्या शब्दप्रयोगाला म्हणजे ज्याच्यात एकतरी चलचिन्ह आहे आणि ज्याच्यातील चलचिन्हांच्या जागी विशेषनामांचा आदेश केला असता ज्याच्यापासून विधान लाभते, अशा शब्दप्रयोगाला विधानात्मक फलन म्हणूया आणि विधानात्मक फलनातील सर्व चलचिन्हांच्या जागी विशेषनामांचा आदेश केला असता प्राप्त होणाऱ्या विधानाला, त्या विधानात्मक फलनाचे आदेश–उदाहरण म्हणूया. तेव्हा ‘क्ष माणूस आहे’, ‘क्ष य च्या उत्तरेला आहे,’ ‘क्ष य आणि झ यांच्या दरम्यान आहे’ ही विधानात्मक फलने आहेत आणि ‘सॉक्रेटीस माणूस आहे’, ‘मुंबई दिल्लीच्या उत्तरेला आहे, आणि ‘लोणावळा मुंबई आणि पुणे यांच्या दरम्यान आहे’, ही सत्य किंवा असत्य असलेली विधाने त्यांची अनुक्रमे आदेश–उदाहरणे आहेत. ‘क्ष माणूस आहे’ ह्या विधानात्मक फलनाच्या ‘माणूस आहे’ ह्या घटकाला ‘विधेय’ म्हणतात आणि ‘क्ष’ या घटकाला ह्या विधेयाचे ‘देश्य’ म्हणतात. ‘माणूस आहे’ ह्या विधेयाला एकच देश्य आवश्यक असल्यामुळे हे विधेय एकस्थानापेक्षी आहे. तसेच ‘च्या उत्तरेला आहे‘ हे विधेय द्विस्थानापेक्षी आहे, तर ‘यांच्या दरम्यान आहे’ हे त्रिस्थानपेक्षी आहे. ‘देवदत्त’ ह्यासारखी विशेषनामे एका विशिष्ट व्यक्तीचा निर्देश करीत असल्यामुळे त्यांना व्यक्तिवाचक स्थिरचिन्हे म्हणतात. ‘क्ष’, ‘य’ इ. चिन्हांना व्यक्तिवाचक चलचिन्हे म्हणतात.

‘क्ष माणूस आहे’ ह्या सारख्या विधानात्मक फलनापासून विधान प्राप्त करून घेण्याचा एक मार्ग म्हणजे त्याच्यात ‘क्ष’ च्या ठिकाणी विशिष्ट विशेषनामाचा आदेश करणे. दुसरा मार्ग म्हणजे त्याला संख्यापक जोडणे. संख्यापक दोन आहेत : (१) वैश्विक संख्यापक. ह्यासाठी (∀ –) हे चिन्ह वापरतात. ह्या चिन्हातील मोकळ्या जागी चलचिन्ह असते. उदा., ‘(∀ क्ष) (क्ष माणूस आहे)’. हे वाचायची रीत अशी : ‘कोणताही क्ष घ्या, क्ष माणूस आहे’ किंवा ‘कोणतीही वस्तू घ्या, ती वस्तू माणूस असते’. हे विधान अर्थात असत्य आहे. ‘(क्ष) (क्ष माणूस आहे)’  ह्या विधानाचा अर्थ असाही मांडता येईल : “‘(क्ष माणूस आहे )’ ह्या विधानात्मक फलनाची सर्व आदेश–उदाहरणे सत्य आहेत.” (२) अस्तित्ववाचक संख्यापक. ह्यासाठी पुढील चिन्ह वापरतात : ‘(∃ –)’  उदा., ‘(∃ क्ष) (क्ष माणूस आहे)’ हे वाचायची रीत अशी : ‘एकतरी क्ष असा आहे की तो क्ष माणूस आहे’ किंवा ‘एकतरी वस्तू माणूस आहे’, म्हणजे “‘क्ष माणूस आहे’ ह्या विधानात्मक फलनाचे एकतरी आदेश–उदाहरण सत्य आहे”. ह्या संख्यापकांचा वापर करून ‘(जगात) कुणीही व्यक्ती माणूस नाही’ हे विधान असे लिहिता येईल : (∀ क्ष) – (क्ष माणूस आहे). आणि ‘काही व्यक्ती माणसे नाहीत’ म्हणजे माणसे नसलेल्या अशा, काही व्यक्ती आहेत’ हे विधान असे लिहावे लागेल:  ‘(∃ क्ष) – (क्ष माणूस आहे)’.

संख्यापकांच्या अर्थावर आधारलेल्या प्रमाण निगमनाकारांचा आता परिचय करून घेऊ. ज्याप्रमाणे ‘क’, ‘ख’ इ. ठळक अक्षरे विधानकलनाच्या संदर्भात कोणत्याही सुरचींचा निर्देश करण्यासाठी अधिअक्षरे म्हणून आपण वापरली त्याप्रमाणे ‘प’, ‘फ’ इ. ठळक अक्षरे कोणत्याही विधेयाचा निर्देश करण्यासाठी आणि ‘त’, ‘थ’ ही ठळक अक्षरे कोणत्याही व्यक्तिवाचक चलचिन्हाचा निर्देश करण्यासाठी आणि  ‘अ’, ‘आ’ इ. ठळक अक्षरे व्यक्तिवाचक स्थिरचिन्हांचा निर्देश करण्यासाठी वापरू. ‘(∀–)’ आणि ‘(∃)’ ह्या चिन्हांचा निर्देश करण्यासाठी हीच चिन्हे अधिचिन्हे म्हणून वापरू. म्हणजे ‘प_(त)’ ने ज्याच्यात त हे चलचिन्ह उपस्थित आहे अशा कोणत्याही विधानात्मक फलनाचा निर्देश होतो. प_(त)ला ∀_त किंवा ∃_त हा संख्यापक जोडला असता लाभणाऱ्या विधानातील किंवा विधानात्मक फलनातील म्हणजे (∀_त)  प_(त)मधील किंवा(∃_त) प_(त) मधील त ची प्रत्येक उपस्थिती बद्ध असते असे म्हणतात. ज्या विधानात्मक फलनाला संख्यापक जोडण्यात आलेला असतो, त्याला त्या संख्यापकाची व्याप्ती म्हणतात. चलचिन्हाच्या ज्या उपस्थिती संख्यापकाच्या व्याप्तीत येत नाहीत व म्हणून बद्ध नसतात, त्यांना मुक्त उपस्थिती म्हणतात. उदा.,‘((∀ क्ष)   (क्ष क्षणभंगुर आहे) ⟶  य क्षणभंगुर आहे)’ ह्या विधानात्मक फलनातील ‘क्ष’ च्या दोन्ही उपस्थिती बद्ध आहेत आणि ‘य’ ची उपस्थिती मुक्त आहे. आता ‘कोणताही क्ष घ्या, तो क्ष प असतो’ ह्या स्वरूपाच्या आधारविधानापासून ‘अ (ही विशिष्ट वस्तू) प आहे’ ह्या स्वरूपाच्या विधानाचे केलेले निगमन प्रमाण असते हे आपण मान्य करू. तसेच ‘य ’ ने कोणतीही एखादी वस्तू निर्दिष्ट होत असली, तरी ‘(य प आहे)’ ह्या विधानाचे त्याच्यापासून निगमन करता येईल हेही आपण मान्य करू. त्याप्रमाणे ‘(य क्षणभंगुर आहे) ’ ह्या विधानात्मक फलनापासून ‘(∃ क्ष) (क्ष क्षणभंगुर आहे)’ ह्या विधानाचे केलेले निगमनही प्रमाण ठरेल. ‘(य क्षणभंगुर आहे)’ ह्या विधानात्मक फलनातील ‘य’ हे चलचिन्ह, कोणत्यातरी एका पण निश्चितपणे कोणती हे न सांगण्यात आलेल्या विशिष्ट वस्तूचा निर्देश करते, आता ‘कोणती तरी वस्तू प आहे’ ह्यापासून ‘एकतरी वस्तू प आहे’ असे केलेले अनुमान प्रमाण असणार हे उघड आहे. तसेच ‘(∃ क्ष)  (क्ष प आहे)’ ह्या विधानापासून ‘कोणतीतरी एक वस्तू प आहे’ ही माहिती मिळते. ही जी कोणतीतरी वस्तू प आहे तिचे नाव तात्पुरते ‘य’ असे जर आपण ठेवले, तर ‘य प आहे’ हे विधान सत्य ठरेल आणि ह्या विधानापासून प्रमाण निगमनांनी प्राप्त करून घेतलेली विधाने सत्य ठरतील. म्हणजे ‘(∃ क्ष) (क्ष प आहे)’ ह्या पासून ‘(य प आहे)’ असा निष्कर्ष काढता येतो. शेवटी समजा स्वैरपणे निवडलेली अशी य ही कोणतीही वस्तू आहे आणि तिच्याविषयी ती प आहे हे सत्य आहे. मग ‘(य प आहे)’ ह्यापासून ‘(∀ क्ष) (क्ष प आहे)’ हा काढलेला निष्कर्ष प्रमाण ठरेल, सारांश निगमनाचे पुढील आकार प्रमाण आहेत, ह्या आकारांची नावे त्यांच्या पुढे दिली आहेत.

---

(१)	(∀त) प (त) प (थ)	वैश्विक विशेषीकरण (वै. वि.)
(२)	(∃त) प(त) प (थ)	अस्तिवाचक विशेषीकरण (अ. वि.)

(जेथे थ ने कोणतीही स्वैरपणे निवडलेली वस्तू निर्दिष्ट होते)

(३)	प (थ) ...(∀त) प(त)	वैश्विक सामान्यीकरण (वै. सा.)
(४)	प (थ) (∃त) प (त)	अस्तिवाचक सामान्यीकरण (अ. सा.)

संख्यापनीय निगमनाचे हे आकार काटेकोरपणे मांडण्यापूर्वी काही गोष्टींची दखल घ्यावी लागेल. ‘=’  ह्या चिन्हाने तादात्म्य हा संबंध व्यक्त होतो असे मानूया. म्हणजे ‘(क्ष = य)’ ह्याचा अर्थ क्ष चे य शी तादात्म्य आहे, किंवा क्ष ही वस्तू म्हणजेच य ही वस्तू असा होईल. आता पुढील निगमन घ्या.

(∀क्ष) (∃य) – (क्ष = य)

... (∃य) – ( य = य)

ह्या निगमनाचे आधारविधान म्हणजे ‘कोणतीही क्ष ही वस्तू घ्या, य ही एकतरी वस्तू अशी आहे की क्ष चे य शी तादात्म्य नाही (म्हणजेच क्ष य हून भिन्न आहे)’, हे विधान. हे विधान अर्थात ज्या विश्वात निदान दोन वस्तू आहेत अशा कोणत्याही विश्वाविषयी सत्य असणार व ह्या निगमनाचा निष्कर्ष म्हणजे ‘एकतरी य ही वस्तू अशी आहे की ती स्वतःहून भिन्न आहे’ हे विधान. हे विधान असत्य आहे हे उघड आहे. म्हणजे हे निगमन अप्रमाण आहे हे उघड आहे. हा घोटाळा व्हायचे कारण असे : हे निगमन वै. वि. ह्या नियमानुसार केले आहे. आकारिक दृष्ट्या ह्या निगमनाकाराचे वर्णन असे करता येईल : ‘(∀_त) हा वैश्विक संख्यापक ज्याला जोडला आहे असे प_(त) हे विधानात्मक फलन असू द्या. तसेच प_(त) मध्ये जेथे जेथे त ची मुक्त उपस्थिती आहे तेथे तेथे थ ह्या चलचिन्हाचा आदेश केल्याने प्राप्त होणारे प_(थ)  हे विधानात्मक फलन असू द्या. मग (∀_त)  प_(त) पासून प_(थ) चे निगमन करता येते. उदा., ‘(∀ क्ष) (क्ष तांबडे आहे)’ ह्या विधानात्मक फलनाला ‘(∀ क्ष)’ हा वैश्विक संख्यापक जोडल्याने प्राप्त होते. तेव्हा ‘(क्ष तांबडे आहे)’ ह्या विधानात्मक फलनात ‘क्ष’ च्या मुक्त उपस्थितीच्या जागी ‘य’ ह्या चलचिन्हाचा आदेश केल्याने प्राप्त होणाऱ्या ‘(य तांबडे आहे)’ ह्या विधानात्मक फलनाचे, ‘(∀ क्ष) (क्ष तांबडे आहे)’ ह्या विधानापासून निगमन करता येते. ह्या प्रमाणे आपल्या वरील निगमनात, ज्याला ‘(∀ क्ष)’ हा वैश्विक संख्यापक जोडला आहे त्या ‘(∃ य) – (क्ष = य)’ ह्या विधानात्मक फलनात ‘क्ष’ च्या मुक्त उपस्थितीच्या जागी ‘य’ ह्या चलचिन्हाचा आदेश करून ‘(∃ य) –(य = य)’ हे विधानात्मक फलन आपण प्राप्त करून घेतो आणि त्याचे ‘(∀ क्ष) (∃ य) – (क्ष = य)’ पासून निगमन करतो. पण येथे घोटाळा होतो ह्याचे कारण असे, की ‘(∃ य)–‘(क्ष = य)’ मध्ये ‘क्ष’ ची उपस्थिती मुक्त आहे. पण ‘क्ष’ च्या मुक्त उपस्थितीच्या जागी ‘य’ चा आदेश केल्याने लाभणाऱ्या ‘(∃ य) –(य = य)’ मध्ये ‘य’ चीं ही उपस्थिती ‘(∃ य)’ ह्या संख्यापकाच्या व्याप्तीत येते आणि बद्ध होते. ह्यामुळे ह्या निगमनाच्या निष्कर्षाचा अर्थच बदलतो. ‘(∃ क्ष) – (क्ष = य) ह्याचा अर्थ असा, की ‘य हून भिन्न असलेला एकतरी क्ष आहे’ पण ‘(∃ य) – (य = य)’चा अर्थ असा, की य आहे’ म्हणजे ‘स्वतःहून भिन्न असलेला एकतरी य आहे ’आणि हा वेगळाच अर्थ आहे. तेव्हा पुढील खबरदारी घेतली पाहिजे. प_(त)  मधील त च्या मुक्त उपस्थितीच्या जागी थ चा आदेश करून प_(थ) प्राप्त करून घेताना = प_(त)  मध्ये जेथे जेथे त ची मुक्त उपस्थिती असेल तेथे तेथे मध्ये प_(थ) मध्ये थ ची उपस्थिती मुक्त असेल अशा रीतीने हे आदेश केले पाहिजेत. दुसऱ्या एका गोष्टीची आपल्याला दखल घ्यावी लागेल. पुढील निगमन घ्या.

---

(१) (∃ क्ष)      (क्ष तांबडे आहे)(२) (∃ क्ष) – (क्ष तांबडे आहे)(३)                 (य तांबडे आहे)         १ पासून, अ. वि. प्रमाणे(४)             – (य तांबडे आहे)         २ पासून, अ. वि. प्रमाणे(५)                 (य तांबडे आहे) &amp – (य तांबडे आहे) ३, ४ संहती नियम(६) (∃ क्ष) ((क्ष तांबडे आहे) &amp – (क्ष तांबडे आहे))  ५ पासून, अ. सा. प्रमाणे

हे निगमन अप्रमाण आहे कारण त्याची आधारविधाने सत्य आहेत पण निष्कर्ष आत्मव्याघाती व म्हणून असत्य आहे. हा घोटाळा होतो ह्याचे कारण असे, की ‘(∃ क्ष) (क्ष तांबडे आहे)’ ह्या विधानाच्या आधारे कोणतीतरी एक वस्तू तांबडी आहे असे म्हणता येते आणि ह्या वस्तूचे तात्पुरते नाव ‘य’ हे ठेवून ‘य तांबडे’ असा निष्कर्ष आपण काढतो आणि तो योग्य आहे. आता ‘(∃ क्ष) – (क्ष तांबडे आहे)’ आहे. ह्या विधानापासूनही कोणतीतरी एक वस्तू तांबडी नाही, असे आपल्याला कळते. पण ह्या वस्तुचे नाव  ‘य’ ठेवता येणार नाही कारण ‘य’ हे नाव कोणत्यातरी एका विशिष्ट वस्तूला देण्यासाठी अगोदरच वापरले आहे आणि ही जी कोणती वस्तू असेल तीच, तांबडी नसलेली अशी कोणतीतरी जी वस्तू आहे, ती आहे असे आधारविधानात सांगितलेले नाही. तेव्हा आपल्याला पुढील नियम पाळावा लागेल : निगमनात अ. वि. ह्या नियमानुसार जर एखादे मुक्त चलचिन्ह आपण प्रविष्ट केले, तर त्याच निगमनाच्या नंतरच्या पायरीत अ. वि. ह्या नियमानुसार तेच मुक्त चलचिन्ह प्रविष्ट करता कामा नये. शेवटी पुढील निगमन घ्या.

(१)    (∃ क्ष)  (क्ष तांबडे आहे)(२)                (य तांबडे आहे)         १ पासून,  अ. वि. प्रमाणे(३)    (∀ क्ष) (क्ष तांबडे आहे)         २ पासून वै. सा. प्रमाणे

 हे निगमन अप्रमाण आहे हे उघड आहे आणि त्याचे कारणही उघड आहे. २. मध्ये जो मुक्त ‘य ’आहे तो स्वैरपणे निवडलेला नाही. कारण १. हे विधान जी कोणतीतरी वस्तू तांबडी आहे असे सांगते व ‘य ’हे अशा एका वस्तूचा निर्देश करते. तेव्हा ‘य ’चे सामान्यीकरण करता येणार नाही.

असे तार्किक घोटाळे होऊ नयेत म्हणून प्रमाण संख्यापनीय निगमनाकारांची मांडणी करताना त्यांना काही निर्बंध घालवे लागतात. निर्बंधांसहित त्यांची मांडणी अशी : प_(त) ने ज्याच्यात त ह्या चलचिन्हाची एकतरी मुक्त उपस्थिती आहे, अशा विधानात्मक फलनाचा निर्देश होतो असे असू द्या. प_(त) मध्ये जेथे जेथे त ची मुक्त उपस्थिती आहे तेथे तेथे थ ह्या व्यक्तिवाचक स्थिरचिन्हाचा किंवा चलचिन्हाचा आदेश केला असता जे प्राप्त होते त्याला प_(थ)  म्हणूया, मात्र थ जर चलचिन्ह असेल तर प _(त)  मध्ये जेथे जेथे त ची मुक्त उपस्थिती असेल तेथे तेथे प _(थ) मध्ये थ चीही मुक्त उपस्थिती असली पाहिजे. मग पुढील निगमनाकार जर ते त्यांच्या सोबत दिलेल्या निर्बंधांचे पालन करीत असले, तर प्रमाण असतात.

(१) वै. वि.	(∀ त) प(त)
	∴ प(थ)
(२) अ. सा.	प (थ)
	∴ (∃त प(त)
(३) वै. सा.	प (थ)	निर्बंध : ज्या गृहीतकाच्या व्यप्तीत प(थ) असेल त्या गृहीतकात थ हे मुक्त चलचिन्ह असता कामा नये आणि (∀त) प(त) मध्येही थ मुक्त असता कामा नये.
	∴ (∀त) प(त)
(४) अ. वि.	(∃ त) प (त) ∶ प (थ) ∶ ∴ ग ग	निर्बंध : मात्र प(थ) च्या अगोदरच्या पायरीत थ हे मुक्त चलचिन्ह म्हणून उपस्थित असता कामा नये. आणि ग मध्येही थ ची मुक्त उपस्थिती असता कामा नये.

---

वर अ. वि. ह्या नियमाची जी मांडणी केली आहे तिचे स्पष्टीकरण असे : ‘(∃  क्ष) (क्ष प आहे)’ ह्या स्वरूपाचे विधान ‘एकतरी क्ष प आहे’ असे सांगते. हा जो कोणतातरी क्ष प आहे त्याचे ‘य’ असे नाव ठेवून ह्या विधानाच्या आधारावर ‘य प आहे असे आपल्याला गृहीत धरता येते. आता ह्या गृहीतकापासून आपण जो निष्कर्ष काढू त्याच्यात जर ‘य’ हे चलचिन्ह मुक्त नसेल तर हा निष्कर्ष ‘(∃ क्ष) (क्ष प आहे)’ ह्या विधानापासून काढता येतो असे आपल्या मांडणीत म्हटले आहे. वै. सा. ह्या नियमाच्या निर्बंधात अशा गृहीतकापासून निष्पन्न केलेल्या कोणत्याही पायरीमध्ये ‘य’ चे सामान्यीकरण करता येणार नाही, म्हणजे वै. सा. ह्या नियमानुसार निगमन करता येणार नाही असे म्हटले आहे.

ज्याप्रमाणे वैधानिक संबंधकांच्या अर्थांवर आधारलेले उक्तवाची विधानाकार प्रमाण असतात त्याप्रमाणे संख्यापकांच्या अर्थावर आधारलेले प्रमाण विधानाकार असतात. त्यांतील काही महत्त्वाचे विधानाकार असे :(१)    (∀ क्ष) प_क्ष ↔ – (∃ क्ष) – प_क्ष (२)    (∃ क्ष) प_क्ष  ↔ – (∀ क्ष) – प_क्ष(३)    (∀ क्ष) (प_क्ष  ⟶ फ_क्ष)↔ – (∃ क्ष) (प_क्ष &amp – फ_क्ष)(४)    (∃ क्ष) (प_क्ष &amp फ_क्ष) ↔ – (∀ क्ष) (प_क्ष ⟶ – फ_क्ष)(५)    (∀ क्ष) प_क्ष  ⟶ (∃ क्ष) प_क्ष (६)    ((∀ क्ष) (प_क्ष  ⟶  फ_क्ष) &amp (∀ क्ष) (फ_क्ष  ⟶  ब_क्ष)) → (∀_क्ष) (प_क्ष  ⟶  ब_क्ष)(७)    ((∀ क्ष)प_क्ष  ⟶  फ_क्ष) &amp (∃ क्ष) (प_क्ष &amp ब_क्ष)) (⟶ ∃ क्ष) (फ_क्ष &amp ब_क्ष)

(८)    (∀ क्ष)(प_क्ष &amp फ_क्ष) ↔ ((∀ क्ष) प_क्ष &amp (∀ क्ष) फ_क्ष)(९)    (∃ क्ष) (प_क्ष V फ_क्ष) ↔ ((∃ क्ष) प_क्ष V (∃ क्ष) फ_क्ष)(१०)    (∀ क्ष) (∀ य) प _{(क्ष,य)} ↔ (∀ य)(∀ क्ष) प _{(क्ष,य)}(११)    (∃क्ष) (∃ य) प _{(क्ष,य)} ↔ (∃ य) (∃ क्ष) प _{(क्ष,य)}(१२)    (∃ क्ष) (∀ य) प _{(क्ष,य)} ↔ (∀ य)(∃ क्ष) प _{(क्ष,य)}

आता आकारिक दृष्ट्या विधेयाकारांची घडण कशी असते ते पाहू. ‘क’ इ. अक्षरे ज्याप्रमाणे आपण साध्या विधानांचा निर्देश करण्यासाठी म्हणून मुक्रर केली आहेत त्याप्रमाणे ‘–तांबडे’ आहे ह्यासारख्या साध्या विधेयांचा निर्देश करण्यासाठी ‘प’, ‘फ’, ‘ब’, ‘भ’ ‘प’ इ. अक्षरे मुक्रर करू. आता ‘–तांबडे आहे’ हे विधेय एकस्थानापेक्षी आहे, म्हणजे कोणत्यातरी एका नामाशी ‘–तांबडे आहे’ ह्या विधेयाची सांगड घातल्याने विधान प्राप्त होते. उदा., ‘आकाश तांबडे आहे’ ह्या दृष्टीकोनातून पाहता ‘– –चा पिता आहे’ हे विधेय द्विस्थानापेक्षी आहे आणि ‘– – – च्या दरम्यान आहे’ हे विधेय त्रिस्थानापेक्षी आहे. उदा., ‘दशरथ रामचंद्राचा पिता आहे’  आणि ‘नाशिक, मुंबई आणि भुसावळ यांच्या दरम्यान आहे’. तेव्हा वेगवेगळ्या सान्त स्थानांची अपेक्षा असणाऱ्या विधेयांची कल्पना आपण करू शकतो. विधेयाला जितक्या स्थानांची अपेक्षा असते त्यावरून त्याची इयत्ता ठरते. तसेच ‘क्ष’, ‘य’, ‘झ’, ‘क्ष’’, ‘य’’, ‘झ’’ ‘क्ष”’ … ही अक्षरे व्यक्तिवाची चलचिन्हे म्हणून आपण मुक्रर करतो. आता ‘प’ सारखे विधेयाक्षर ज्या इयत्तेचे असेल तिला अनुसरून त्या अक्षरापुढे कंसांत योग्य तितकी चलचिन्हे असली, की साधा विधेयबंध लाभतो, उदा., ‘प_(क्ष)’ , ‘फ_{(क्ष,य)}’, ‘ब _{(क्ष,य,झ)}’, इ. अशा साध्या विधेयबंधांपासून वैधानिक संबंधकांच्या साहाय्याने संयुक्त विधेयबंध लाभतात. उदा., – ‘प_(क्ष)’, ‘प_(क्ष)’, &amp – फ _{(य, य)}’, इत्यादी. ज्या साध्या किंवा संयुक्त विधेयबंधात ‘क्ष’ हे चलचिन्ह उपस्थित असते त्याच्यामागे ‘(∀ क्ष)’ आणि ‘(∃ क्ष)’ जोडून अन्य विधेयबंध प्राप्त करून घेता येतात. उदा., ‘(∀ क्ष)  फ _{(क्ष, य)}’ इत्यादी.

---

विधानबंध जर उक्तवाची असेल तर तो प्रमाण असतो. विधेयबंधाच्या प्रामाण्याची व्याख्या वेगळ्या रीतीने करावी लागते. ह्यासाठी ‘विधेयबंधाचे मॉडेल’ ही संकल्पना वापरावी लागते. ‘मॉडेल’ ची संकल्पना अशी स्पष्ट करता येईल : आपण व हा कोणत्याही वस्तूंचा संच घेतो. व मध्ये कितीही वस्तू असू शकतील पण एकतरी वस्तू असली पाहिजे. नंतर आपण विधेयबंधांचे निरूपण करतो. संख्यापक आणि वैधानिक संबंधक सोडले, तर विधेयबंधांचे घटक म्हणजे विधेयाक्षरे आणि चलचिन्हे. चलचिन्हांचे निरूपण करण्यासाठी ‘क्ष’, ‘य’, ‘झ’ ‘क्ष’’ इ. प्रत्येक चलचिन्हाची व मधील एका विशिष्ट वस्तूशी सांगड घालतो व ती वस्तू म्हणजे त्या चलचिन्हाचे मूल्य असे मानतो. दोन चलचिन्हांना एकच मूल्य देता येते. विधेयाक्षरांचे निरूपण करण्याची पद्धत अशी : समजा ‘प’ हे एकस्थानापेक्षी विधेयाक्षर आहे. मग ‘प’ ची व मधील कित्येक वस्तूंच्या संचाशी ‘प’ चे मूल्य म्हणून सांगड घालण्यात येते. उदा., {व_१,व_२,व_५}ह्या संचाशी ‘प’ चे मूल्य म्हणून ‘प’ ची सांगड घालता येईल. द्विस्थानापेक्षी विधेयाक्षराचे मूल्य म्हणजे व मधील वस्तूंच्या काही क्रमित जोड्यांचा संच असतो. उदा., ‘फ’ चे मूल्य म्हणून त्याची { &lt व_१, व_५ &gt, &lt व_६, व_४ &gt} ह्या क्रमित जोड्यांच्या संचाशी सांगड घालता येईल. याप्रमाणे त्रिस्थानापेक्षी विधेयाक्षराचे मूल्य म्हणजे व मधील वस्तूंच्या काही क्रमित त्रिकुटांचा संच असतो आणि सामान्यपणे न (ह्या संख्ये) इतक्या स्थानांची अपेक्षा करणाऱ्या विधेयाक्षराचे मूल्य म्हणजे व मधील वस्तूंच्या काही क्रमित न–कुटांचा संच असतो. आता ‘प_(क्ष)’ हा साधा विधेयबंध घ्या. आपल्या निरूपणात ‘क्ष’ ची व मधील एका विशिष्ट वस्तूशी सांगड घालून ती वस्तू म्हणजे ‘क्ष’ चे मूल्य असे मुक्रर केले असणार, समजा व_१, हे ‘क्ष’ चे मूल्य आहे. आता आपल्या वर दिलेल्या निरूपणात ‘प’ चे मूल्य {व_१,व_३,व_५} असे दिलेले आहे. मग ह्या निरूपणात ‘प_(क्ष)’ चे सत्यतामूल्य स (सत्यता) आहे कारण ‘क्ष’ चे मूल्य ‘प’ मूल्य असलेल्या संचाचा घटक आहे. पण समजा आपल्या निरूपणात ‘य’ चे मूल्य व_२ आहे. मग ‘प_(य)’ ह्या विधेयबंधाचे सत्यतामूल्य ह्या निरूपणात अ ठरेल. कारण ‘य’ चे मूल्य ‘प’ चे मूल्य असलेल्या संचाचा घटक नाही. साध्या विधेयबंधांची सत्यतामूल्ये अशा रीतीने मुक्रर झाल्यावर त्यांच्यापासून वैधानिक संबंधकांच्या साहाय्याने प्राप्त करून घेतलेल्या संयुक्त विधेयबंधांची सत्यतामूल्ये वैधानिक संबंधकांच्या सत्यता कोष्टकांप्रमाणे निश्चित होतात, उदा., आपल्या निरूपणात ‘–प _(क्ष)’ चे सत्यतामूल्य अ ठरेल कारण ‘प _{(क्ष)’} चे सत्यतामूल्य स आहे. तसेच ‘(प_(क्ष) V  फ _(य) )’ चे सत्यतामूल्य स ठरेल, ‘प _(क्ष)’ चे सत्यतामूल्य जर स असेल आणि ‘प’ चे मूल्य तसेच ठेवले असताना ‘क्ष’ ची व मधील कोणत्याही वस्तूशी सांगड घातली तर ‘प _(क्ष)’ चे सत्यतामूल्य स हेच राहते असे असेल तर ‘(क्ष) प (क्ष)’ चे  सत्यतामूल्य स असते, नाहीतर ते अ असते. तसेच ‘प’चे मूल्य तसेच ठेवून ‘क्ष’ची व मधील कोणत्यातरी एका वस्तूशी सांगड घातली असता ‘प _(क्ष)’चे सत्यतामूल्य जर स ठरत असेल तर ‘(∃ क्ष) प_(क्ष)’ चे सत्यतामूल्य स असते नाहीतर ते अ असते. व हा संच असा मुक्रर केला आणि सर्व विधेयाक्षरांची आणि चलचिन्हांची मूल्ये निश्चित केली, की दिलेल्या विधेयबंधांचे एक विशिष्ट मॉडेल निश्चित होते. आता एखादा विधेयबंध प्रमाण आहे ह्या म्हणण्याचा अर्थ असा, की तो विधेयबंध कोणत्याही मॉडेलमध्ये सत्य ठरतो. कोणताही विधानबंध प्रमाण आहे की नाही, हे ठरविण्याची निर्णयपद्धती आहे हे आपण पाहिलेच आहे. पण कोणताही विधेयबंध प्रमाण आहे की नाही, हे ठरविण्याची सामान्य निर्णयपद्धती नाही.

 स्वयंसिद्धकीय रीतीने विधेयकलनाची मांडणी अशी करता येईल :

(१) आद्यचिन्हे : विधानकलनाच्या आद्यचिन्हांशिवाय पुढील चिन्हे विधेयकलनाची आद्यचिन्हे म्हणून आपण स्वीकारतो : ‘क्ष’, ‘य’, ‘झ’ ‘क्ष’’, … इ. व्यक्तिवाची चलचिन्हे, ‘प’, ‘फ’, ‘ब’, ‘भ’ ‘प’’, ‘फ’’, … इ. विधेयाक्षरे आणि ∀ हे चिन्ह.

(२) सुरचींच्या रचनेचे नियम : विधानकलनाचे सुरचींच्या नियमांशिवाय पुढील नियम आपण स्वीकारतो : (i) कोणतेही विधेयाक्षर आणि त्यानंतर काढलेली सान्त संख्येची व्यक्तिवाची चलचिन्हे मिळून बनलेला चिन्हबंध सुरचि असतो. (ii) क हा जर सुरचि असेल आणि त जर व्यक्तिवाची चलचिन्ह असेल, तर (∀_त) क हा सुरचि असतो.

(३) विधानकलनातील व्याख्यांशिवाय आपण पुढील व्याख्या स्वीकारतो :

(i) (∃_त) क = व्या. – (∀_त) – क

---

(४)    स्वयंसिद्धक : विधानकलनाच्या स्वयंसिद्धकांशिवाय पुढील स्वयंसिद्धक आपण स्वीकारतो :

(i) (∀_त) क ⟶ ख ह्या आकाराचा कोणताही सुरचि स्वयंसिद्धक असतो. मात्र ख म्हणजे क हाच असला पाहिजे किंवा क मध्ये जेथे जेथे त ह्या व्यक्तिवाची चलचिन्हाची मुक्त उपस्थिती असेल तेथे तेथे ख मध्ये थ ह्या कोणत्यातरी व्यक्तिवाची चलचिन्हाची मुक्त उपस्थिती असली पाहिजे.

(ii) (∀_त) (क ⟶ ख) ⟶ (क ⟶ (∀_त) ख)  ह्या आकाराचा कोणताही सुरचि स्वयंसिद्धक असतो, मात्र क मध्ये त ची मुक्त उपस्थिती असता कामा नये.

(५) निगमन नियम : विधानकलनाच्या निगमन नियमांव्यतिरिक्त आपण पुढील निगमन नियम स्वीकारतो : (१) त हे कोणतेही व्यक्तिवाची चलचिन्ह असू द्या, मग क पासून (∀ _त)  प_त चे निगमन करता येते.

विधानकलन किंवा विधेयकलन ह्या सारख्या स्वयंसिद्धकीय व्यवस्थेविषयी आपल्या काही अपेक्षा असतात. उदा., अशी व्यवस्था सुसंगत असावी, म्हणजे तिच्यात क आणि –क हे दोन्ही सुरचि सिद्धांत म्हणून सिद्ध करता येता कामा नयेत. तसेच ती पूर्ण असावी. म्हणजे क हा कोणताही सुरचि प्रमाण असेल, तर तो सिद्धांत म्हणून तिच्यात सिद्ध करता यावा,  आता विधानकलन सुसंगत असते हे सहज दाखवून देता येते. कारण विधानकलनाचे सर्व स्वयंसिद्धक उक्तवाची असतात आणि त्याचे निगमन नियम उक्तवाचित्वाच्या धर्माचे रक्षक असतात. म्हणजे हे नियम असे असतात, की त्यांना अनुसरून उक्तवाची सुरचीपासून निष्पन्न केलेला सुरचि उक्तवाची असतोच, तेव्हा क हा विधानकलनाचा कोणताही सिद्धांत असला, तर तो उक्तवाची असला पाहिजे. आता क जर उक्तवाची असला तर –क उक्तवाची असणार नाही. म्हणजे –क हा विधानकलनाचा सिद्धांत असणार नाही, तेव्हा विधानकलन सुसंगत असते. तसेच प्रत्येक प्रमाण सुरचि म्हणजेच उक्तवाची सुरचि त्याच्यात सिद्धांत म्हणून सिद्ध करता येतो असे दाखविता येते विधानकलन पूर्ण आहे असेही दाखविता येते. हे दाखवायची एक रीत अशी : प्रथम आपण ‘संहित प्राकृत आकारा’ ची संकल्पना मांडतो. एखादा सुरचि संहित प्राकृत आकारात आहे ह्याचा अर्थ असा, की तो विधानाक्षरे किंवा ‘–’ युक्त विधानाक्षरे ह्यांच्याच बनलेल्या वियोगी सुरचींचा संहित सुरचि असतो. कोणताही सुरचि एका संहित प्राकृत आकारातील सुरचीशी सममूल्य असतो, असा विधानकलनाचा सिद्धांत आहे हे आपण दाखवितो. आता ह्या सिद्धांताला अनुसरून उक्तवाची सुरचीचे संहित प्राकृत आकाराच्या सुरचीत जेव्हा रूपांतर करण्यात येते, तेव्हा त्याच्या प्रत्येक वियोगी घटकात ग हे कोणतेतरी विधानाक्षर आणि –ग हे घटक म्हणून असतातच हे आपण दाखवून देतो. मग अशा स्वरूपाचा वियोगी सुरचि विधानकलनाचा सिद्धांत म्हणून सिद्ध करता येतो हे दाखवून देतो आणि त्याप्रमाणे क आणि ख हे विधानकलनाचे सिद्धांत असले तर (क &amp ख) हाही सिद्धांत असतो असे दाखवून देऊन हे सर्व वियोगी सुरचि सिद्धांत असल्यामुळे त्यांचा मिळून बनलेला संहित सुरचीही सिद्धांत असतो हे सिद्ध करतो. विधेयकलन सुसंगत आणि पूर्ण असते असे दाखवून देता येते, पण ही सिद्धी अधिक गुंतागुंतीची आहे. विधेयकलन पूर्ण असते, हे कुर्ट गोडेलने १९३० साली सिद्ध केले पण विधेयबंधाचे प्रामाण्य सिद्ध करणारी निर्णयपद्धती असू शकणार नाही, हे अलोंझो चर्च आणि ए. एम. ट्युरिंग यांनी १९३६ मध्ये सिद्ध केले. विधानकलनाच्या बाबतीत कोणताही उक्तवाची सुरचि त्याचा सिद्धांत असल्यामुळे आणि सुरचि उक्तवाची आहे की नाही हे ठरविण्याची निर्णयपद्धति असल्यामुळे कोणताही सुरचि विधानकलनाचा सिद्धांत आहे की नाही हे ठरविण्याची निर्णयपद्धति आहे.

संदर्भ : 1. Copi, I. M. Symbolic Logic, New York, 1965.

           2. Keynes, J. N. Studies and Exercises in Formal Logic, London, 1906.

           3. Prior, A. N. Formal Logic, Oxford, 1962.

          4. Whitehead, A. N. Russell, Bertrand, Principia Mathematica, 3 Vols., Cambridge, 1910–13.  

           ५. रेगे, मे. पुं. आकारिक तर्कशास्त्र, पुणे १९७६.

रेगे, मे. पुं.

“