द्वित्व तत्त्व : गणितशास्त्रात बऱ्याच वेळा अशी दोन प्रमेये आढळतात की, त्यांतील एकाच्या विधानात आणि सिद्धतेत काही शब्दसमूहांची नुसती अदलाबदल केली की, दुसऱ्या प्रमेयाचे विधान आणि सिद्धता मिळतात अशा प्रमेयांच्या जोड्या म्हणजे द्वित्व तत्त्वाची उदाहरणे होत. जे. डी. झेर्‌गॉन या फ्रेंच गणितज्ञांनी १८२६ साली द्वित्व तत्त्व प्रथम मांडले. जे. व्ही. पाँस्ले, जे. श्टाइनर इ.गणितज्ञांनी यासंबंघी बरीच प्रगती केली. प्रक्षेप भूमितीध्ये [→ भूमिति] या तत्त्वाचा विशेष उपयोग दिसून येतो. माहीत असलेल्या प्रमेयाच्या अनुरोधाने द्वित्व तत्त्वाचा उपयोग करून नवीन प्रमेय प्राप्त होऊ शकते.
द्विमितीय भूमितीत बिंदू आणि रेषा यांचे संपतनी गुणधर्म अभ्यासल्यास त्यांच्यात एक प्रकारचे द्वित्व तत्त्व अस्तित्वात असल्याचे दिसून येते. दोन भिन्न बिंदू एका आणि एकाच (त्यामधून जाणाऱ्या) रेषेची निश्चिती करतात, तर दोन भिन्न (परस्पर छेदक) रेषांनी एक आणि एकच (छेदन) बिंदू निश्चित होतो. जर संपतनी गुणधर्मावर आधारित बिंदू आणि रेषा यांसंबंधी एखादे प्रमेय सिद्ध केले, तर तशाच प्रकारच्या पद्धतीने रेषा आणि बिंदू यांसंबंधी त्याचे द्वित्व प्रमेय सिद्ध करता येईल. या दोन प्रमेयांमध्ये ‘बिंदू’–‘रेषा’ व त्यानुसार ‘चे वर आहेत’–‘च्या मधून जातात’ ‘एकरेषी’–‘एकसंपाती’ इ. जोड्या ठरवून त्यांतील शब्दप्रयोगांची अदलाबदल करावी लागेल. या प्रकारचे एक उत्तम उदाहरण म्हणजे खाली दिलेले पापस (तिसरे-चौथे शतक) या ग्रीक गणितज्ञांनी मांडलेले प्रमेय होय.
पापस प्रमेय : र आणि र′ या एकप्रतली रेषा आहेत. अ, आ, इ हे र वरील कोणतेही तीन बिंदू असून, अ′, आ′, इ′ हे र′ वरील कोणतेही तीन बिंदू आहेत. अआ′ आणि अ′ आ या रेषा ट बिंदूमध्ये छेदतात. तसेच आइ′ आणि आ′ इ या रेषा ठ बिंदूत व इअ′ इ′ अ या रेषा ड बिंदूत छेदतात, तर ट, ठ आणि ड हे तीन बिंदू एकरेषीय असतात.
आता या पापस प्रमेयाचे द्वित्व प्रमेय पुढीलप्रमाणे लिहिता येईल. र आणि र′ हे दोन भिन्न बिंदू आहेत. अ, आ, इ या र मधून जाणाऱ्या कोणत्याही तीन एकप्रतली रेषा असून त्याच प्रतलात अ′, आ′, इ′ या र′ मधून जाणाऱ्या कोणत्याही तीन रेषा आहेत. अ, आ′ यांचा छेदन बिंदू आणि अ′, आ या रेषांचा छेदनबिंदू यांना ट ही रेषा जोडते. तसेच आ, इ′ यांचा छेदनबिंदू आणि आ′, इ यांचा छेदनबिंदू जोडणारी रेषा ठ असून इ′, अ यांचा छेदनबिंदू आणि इ, अ′ यांचा छेदनबिंदूल जोडणारी रेषा ढ आहे. तर ट, ठ आणि ड या तीन रेषा एकसंपाती असतात.
आणखी काही उदहारणे : त्रिमितीय भूमितीय तीन नैकरेषीय बिंदूंनी एक आणि एकच प्रतल निश्चित होते, तर तीन नैकरेषीय प्रतलांनी एक आणि एकच बिंदू निश्चित होतो. दोन परस्पर छेदक रेषा प्रतलाची, तर दोन परस्पर छेदक प्रतले एका रेषेची निश्चिती करतात. यावरून बिंदू, रेषा आणि प्रतल या त्रिमितीय भूमितीतील मूलभूत घटकांपैकी बिंदू व प्रतल यांमध्ये द्वित्व असून रेषा ही स्वतःशीची द्वित्व राखून आहे असे दिसून येते. ‘बिंदू एका रेषेवर आहेत’‘प्रतले एका रेषेतून जातात’ यांसारख्या द्वित्व दाखविणाऱ्या विधानांच्या जोड्या सहज तयार करता येतील.
⇨ अवकल समीकरणांच्या सिद्धांतामध्येही काही वेळा द्वित्व तत्त्वाचे अस्तित्व आढळून येते. याचे आंशिक अवकल समीकरणातील एक उदाहरण पुढे दिले आहे. समजा र, ल, हे झ चे अनुक्रमे क्ष-सापेक्ष व य-सापेक्ष आंशिक अवकल असून
फ (क्ष, य, झ, र, ल) = ०
हे एक दिलेले आंशिक अवकल समीकरण आहे. जर क्ष’ = र, य = ल आणि झ = र क्ष + ल य – झ असे रूपांतरण वापरले, तर असे दाखविता येईल की, जेव्हा र’, ल’ हे झ चे अनुक्रमे क्ष’–सापेक्ष आणि य–सापेक्ष आंशिक अवकल असतील तेव्हा क्ष = र, य = ल’ आणि झ = र’ क्ष’ + ल’ य’ – झ यावरून हे रूपांतरण समात्र आहे हे दिसून येते. या रूपांतरणामुळे समजा, दिलेले समीकरण फ (क्ष , य , झ , र , ल) = ० याचे रूपांतर भ (क्ष, य, झ, र, ल ) = ० असे मिळते. बऱ्याच वेळा हे रूपांतरित समीकरण सोडवावयास अधिक सोपे असते. उलट रूपांतरणाने दिलेल्या समीकरणाचा निर्वाह काढता येतो.
संच सिद्धांतातही द्वित्व तत्त्वाचा उपयोग होतो. विश्वसंच विरिक्त संच ∅ ⋂,⋃संच स-पूरक संच स‘ ⊂, ⊃ इ. द्वित्वदर्शक विधानांच्या जोड्या मिळतात. यांच्या उपयोगाने एखाद्या प्रमेयापासून त्याचे द्वित्व प्रमेय तयार करता येते. उदा., (१) स ⋃ स‘ = वि याचे द्वित्व म्हणजे स‘⋂स = ∅. (२) क ⊂ ख याचे द्वित्व म्हणजे क ⊃ ख. (३) क ⊂ ख, ख ⊂ ग, तर (क ⋃ ख) ⊂ग याचे द्वित म्हणजे क‘⊃ख‘, ख‘⊃ ग‘, तर (क‘⋂ ख‘) ग‘[→ संच सिद्धांत].
बूलीयन बीजगणितात [जॉर्ज बूल या इंग्लिश गणितज्ञांनी मांडलेल्या बीजगणितात → बीजगणित, अमूर्त], तसेच ⇨ चिन्हांकित तर्कशास्त्रातही द्वित्व तत्त्व आढळते. गणितीय कार्यक्रमणातील समीकरणे सोडवितानाही द्वित्व तत्त्वाचा उपयोग होतो. द्वित्व तत्त्वाने समीकरणांची संख्या कमी होऊन प्रश्र्न सुटण्याचे काम सुकर होते.
आगाशे, क. म.
“