सदिश अवकाश

सदिश अवकाश : ही गणितातील एक अमूर्त संकल्पना आहे. ती नीट समजण्यासाठी अमूर्तीकरण, बीजगणितीय संरचना व गणितीय वस्तू या संज्ञांची ओळख असणे आवश्यक असते.

अमूर्तीकरण हे गणिताचे फार महत्त्वाचे अंग आहे. मराठी विश्वकोशात गट, वलय, पूर्णांकी प्रांत, क्षेत्र या अमूर्त संरचनांची माहिती ‘बीजगणित, अमूर्त ’ या नोंदीत समाविष्ट आहे. या सर्वांना एकत्रितपणे बीजगणितीय संरचना म्हणतात. इतरही बीजगणितीय संरचना अस्तित्वात आहेत. पूर्णांक, सत् संख्या, सदसत् संख्या ⇨संख्या, ⇨सदिश,  ⇨प्रदिश, तसेच त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ इ. भूमितीय आकृत्या या गणितीय वस्तू होत. त्यांच्यावर निरनिराळ्या क्रिया (कृत्ये) केल्या जातात. या क्रियांशी संबंधित काही समान गुणधर्म या निरनिराळ्या गणितीय वस्तूंमध्ये आढळतात. त्या समान गुणधर्मांचा अभ्यास करून जे निष्कर्ष काढले जातात ते निष्कर्ष समान गुणधर्म असणाऱ्या सर्व गणितीय वस्तूं लागू होतात. त्यामुळे त्या वस्तूंचा अशा समान गुणधर्मांच्या संबंधात वेगवेगळा अभ्यास करावा लागत नाही. अमूर्तीकरणाचा हा फार मोठा व अतिमहत्त्वाचा फायदा आहे.

परिमेय व सत् संख्या आणि त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार या क्रिया, सदिश व अदिश आणि त्यांच्यावरील क्रिया, आव्यूह आणि त्यांच्यावरील क्रिया व त्याचप्रमाणे इतर अनेक गणितीय वस्तू आणि त्यांच्यावरील संबंधित क्रिया या मूर्त स्थितींचे अमूर्तीकरण करून ‘ सदिश अवकाश ’ ही संकल्पना तयार करण्यात आली. सदिश व आव्यूह यांच्या खाली दिलेल्या मूर्त उदाहरणात आढळून येणाऱ्या समान गुणधर्मांतून सदिश अवकाशाची संकल्पना सूचित होते.

उदाहरण १ : S हा त्रिमितीतील सर्व सदिशांचा व R हा सर्व सत् संख्यांचा संच आहे. सदिशांच्या संबंधात सत् संख्यांना अदिश + या चिन्हाने दाखविली जाते. a हा अदिश व

a

⟶ a

हा सदिश यांचा गुणाकार

⟶ a

असा दाखवितात. 

a व b या दोन अदिशांमधील बेरीज व गुणाकार अनुकमे a + b व ab असे दाखवितात. येथे महत्त्वाचे म्हणजे, घोटाळा होणार नाही या आशेने, + हे एकच चिन्ह सदिशांची बेरीज व अदिशांची बेरीज या दोन भिन्नभिन्न क्रियांसाठी वापरले आहे. या नेहमीच्या प्रथा असल्या तरी अमूर्तीकरण करताना ते ध्यानात ठेवणे जरूरीचे ठरते. तसेच ab हा अदिशांचा गुणाकार असला तरी तो दाखविताना a व b यांच्यामध्ये गुणाकाराचे चिन्ह दाखविलेले नसते. तसेच

a

⟶ a

या गुणाकारातही गुणाकाराचे चिन्ह दाखविलेले नाही. हेही पुढील संदर्भात महत्त्वाचे आहे. S व R आणि त्यांच्यावरील या क्रिया यांसंबंधात पुढील दहा गुणधर्म (क) लागू होतात.

⟶ a,

⟶ b,

⟶ c

 हेSमधील कोणतेही तीन सदिश आणि a व b या R मधील कोणत्याही दोन सत् संख्या असल्यास,

( १ ) 

⟶ a

+

⟶ b

हा अनन्यपणे व्याख्यिलेला सदिश S मध्येच असतो. (S ची + च्या संदर्भातील संवृतता)

(2)	⟶ a	+	⟶ b	=	⟶ b	+	⟶ a
(3)	⟶ (a	+	⟶ b)	+	⟶ c	=	⟶ a	+	⟶ (b	+	⟶ c)
(4)	S	मध्ये	⟶ o
	⟶ a	+	⟶ 0	=	⟶ a

 (S मध्ये बेरजेची कमनिरपेक्षता)

 (S मध्ये बेरजेचे साहचर्य)

(S मध्ये बेरजेसाठी अविकार क घटकाचे अस्तित्व व अद्वितीयत्व)

⟶ a

+

⟶ a

=

⟶ o

सर्वसाधारणता:

⟶ a

हा

⟶ -a

असा दाखविता व त्याला

(५) प्रत्येक a साठी S मध्येच a हा एकमेव सदिश असा असतो की, a + a = o . सर्वसाधारणतः a हा –a असा दाखवितात व त्याला a चा बेरीज व्यस्त म्हणतात. (प्रत्येक सदिशासाठी बेरीज व्यस्ताचे अस्तित्व व त्याचे अद्वितीयत्व) [टीप : (१) ते (५) या गुणधर्मांवरून (S +) हा कमनिरपेक्ष (किंवा आबेलीय) गट होत असल्याचे दिसून येते à गट सिद्धांत].

( ६)

⟶ a

हा अनन्यपणे व्याख्यिलेला सदिश

S

मध्येच असतो.

(अदिशाने सदिशाला गुणणे या क्रियेसंदर्भात S ची संवृतता)

( ७ )

a

⟶ (a

+

⟶ b)

=

a

⟶ a

+

a

⟶ b

(अदिशाने सदिशाला गुणणे या क्रियेचे सदिशांच्या बेरजेवरील वितरण)

(८)

(a

+

b)

⟶ a

=

a

⟶ a

+

b

⟶ a

(अदिशाने सदिशाला गुणणे या क्रियेचे अदिशांच्या बेरजेवरील वितरण)

( ९ )

(ab)

⟶ a

=

a

( b

⟶ a

(अदिशाने सदिशाला गुणणे या क्रियेचे S मध्ये साहचर्य)

( १० )

1

⟶ a

=

⟶ a

(अदिशाने सदिशाला गुणणे या क्रियेच्या संदर्भात R मध्ये अविकारक घटकाचे अस्तित्व)

उदाहरण २ : M हा,ज्यांचे घटक परिमेय संख्या आहेत अशा सर्व m x n प्रकारच्या आव्यूहांचा संच आहे. Q हा सर्व परिमेय संख्यांचा संच आहे. आव्यूहांची बेरीज + या चिन्हाने दाखविली जाते. p ही परिमेय संख्या व A हा आव्यूह यांचा गुणाकार pA असा दाखवितात. p व q या दोन परिमेय संख्यांची बेरीज व गुणाकार अनुकमे p + q व pq असे दाखवितात. येथेही प्रथेप्रमाणे + हे एकच चिन्ह परिमेय संख्यांची बेरीज व आव्यूहांची बेरीज या दोन भिन्न क्रियांसाठी वापरले आहे. तसेच pA आणि pq या दोन्ही गुणाकारांत गुणाकाराचे चिन्ह प्रत्यक्ष दाखविलेले नाही. पुढील संदर्भात हे महत्त्वाचे आहे.

A, B, C हे M मधील कोणतेही तीन आव्यूह आणि p व q या Q मधील कोणत्याही दोन परिमेय संख्या असल्यास पुढील दहा गुणधर्म (ख) लागू होतात :

(१) A + B हा अनन्यपणे व्याख्यिलेला आव्यूह M मध्येच असतो.

(M ची + च्या संदर्भात संवृतता)

(२) A + B = B + A (M मध्ये बेरजेची कमनिरपेक्षता)

(३) (A + B) + C = A + (B + C) (M मध्ये बेरजेचे साहचर्य)

(४) M मध्ये O हा एकमेव आव्यूह असा असतो की, M + O = M

(M मध्ये बेरजेसाठी अविकारक घटकाचे अस्तित्व व अद्वितीयत्व)

(५) प्रत्येक A साठी M मध्येच A हा एकमेव आव्यूह असा असतो की, A + A = O. येथे A हा ghgmA असा लिहितात व त्याला A चा बेरीज व्यस्त म्हणतात.

(प्रत्येक आव्यूहासाठी बेरीज व्यस्ताचे अस्तित्व व अद्वितीयत्व)

[टीप : (१) ते (५) या गुणधर्मांवरून (M +) हा कमनिरपेक्ष (म्हणजेच आबेलीय) गट होतो हे दिसून येते.]

(६) pA हा अनन्यपणे व्याख्यिलेला आव्यूह M मध्येच असतो.

(परिमेय संख्येने आव्यूहाला गुणणे या क्रियेसंदर्भात M ची       संवृतता)

(७)  p (A + B) = pA + pB

(परिमेय संख्येने आव्यूहाला गुणणे या क्रियेचे आव्यूहांच्या बेरजेवरील     वितरण)

(८)  (p + q) A = pA + qA

(परिमेय संख्येने आव्यूहाला गुणणे या क्रियेचे परिमेय संख्यांच्या बेरजेवरील वितरण)

(९)  (p q) A = p (qA)

(परिमेय संख्येने आव्यूहाला गुणणे या क्रियेचे M मध्ये साहचर्य)

(१०)   1A = A

(परिमेय संख्येने आव्यूहाला गुणणे या क्रियेसंदर्भात Q मध्ये अविकारक घटकाचे अस्तित्व)

वरील (क) व (ख) गुणधर्मांतील साधर्म्य उघड आहे. (क) मधील

⟶ a,

⟶ b,

⟶ c,

a,

b,

S,

R

सत् संख्या व सदिश यांच्याऐवजी अनुकमे A, B, C, p, q, M, Q परिमेय संख्या व आव्यूह असे लिहिल्यास (ख) मधील गुणधर्म मिळतात आणि उलट प्रकारे तसेच होते. इतरही काही गणितीय वस्तू व त्यांच्यावरील संबंधित विशिष्ट क्रिया यांच्या बाबतीत हेच गुणधर्म आढळतात. त्यामुळे आता अमूर्तीकरण करण्यासाठी

(१) सदिशांचा संच, आव्यूहांचा संच असे विशिष्ट संच न वापरता V हा अमूर्त संच वापरतात (२) सत् संख्यांचा संच, परिमेय संख्यांचा संच ही त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार या क्रियांच्या संदर्भात क्षेत्रांची उदाहरणे आहेत. म्हणून त्यांच्या ऐवजी = (F + , .) हे अमूर्त क्षेत्र वापरतात (३) बेरीज, गुणाकार अशा विशिष्ट क्रियांच्या जागी अमूर्त द्विमान क्रिया केल्या आहेत असे समजतात. अशा प्रकारे गणितज्ञांनी वरील (क) व (ख) आणि त्याचप्रमाणे असलेल्या विशिष्ट उदाहरणांचे अमूर्तीकरण करून सदिश अवकाश ही गणितीय संरचना मांडली. तिची व्यापक व्याख्या अशी आहे :

---

V हा अमूर्त संच आहे. त्याच्या घटकांवर ⨁ही द्विमान क्रिया करता येते. = (F + , .) हे अमूर्त क्षेत्र आहे. म्हणून F च्या घटकांवर + व . या दोन द्विमान क्रिया करता येतात. F चा कोणताही घटकव V चा कोणताही घटक यांच्यात ⨀ ने दाखविलेली द्विमान क्रिया करता येते. हे दोन संच व त्यांच्यावरील या एकूण पाच क्रिया एकत्रितपणे (V, F Å + , . ☉) या क्रमित षटकाने दाखवितात. पुढील सहा अटी पाळल्या गेल्यास (V, F Å + , . ☉) या क्रमित षटकाला सदिश अवकाश म्हणतात. V हा या क्षेत्रावरील सदिश अवकाश आहे असेही म्हणतात.

(१) (V⨁) हा आबेलीय (म्हणजेच क्रमनिरपेक्ष) गट असतो.

(२) कोणत्याही c  F व कोणत्याही v V साठी

c ☉ v हा V मध्येच असतो. ( या क्रियेसंदर्भात V ची संवृतता)

(३) कोणत्याही c F व कोणत्याही v व w  V साठी

c ☉ (v Å w) = (c ☉ v) Å (c ☉ w)

( ☉या क्रियेचे Å वरील वितरण)

(४) कोणत्याही c व  F आणि कोणत्याही v ☉ V साठी

(c + d) ☉ v = (c ☉ v) + (☉ v)

(☉ या क्रियेचे + वरील वितरण)

(५) कोणत्याही c व  F व कोणत्याही v  V साठी

(c . d) ☉ v = c ☉ (☉ v)

(V मध्ये या क्रियेचे साहचर्य)

(६) १ हा F चा एकमेव सदस्य असा असतो की, कोणत्याही v  V साठी 1 v = v

(☉ या क्रियेसंदर्भात F मध्येअविकारक घटकाचे अस्तित्व)

टीप : (V, F + , .  ☉) या क्रमित घटकात V व F हे संच व इतर चिन्हे क्रिया दर्शवितात. अशा क्रमित n­–संपुटात सर्व संच सुरू- वातीला लिहून त्यांच्यानंतर क्रियांची चिन्हे येण्यापूर्वी अर्धविराम () देण्याची प्रथा आहे. चार क्रियांपैकी ☉ ही क्रिया V वर, + व . या क्रिया F वर आणि ⨁ही क्रिया F व V मधील प्रत्येकी एक घटक घेऊन त्यांच्यावर करावयाची असल्याने या क्रियांच्या प्रांतातील फरक दाखविण्यासाठी ⨁ नंतर एक आणि +यांच्यानंतर एक अर्धविराम देण्याची प्रथा आहे. ]

या विवेचनावरून सुरूवातीची उदाहरणे १ व २ ही अनुकमे ( S, R + +, . . ) व ( M, Q + +, . . ) या सदिश अवकाशांची आहेत हे उघड आहे. फक्त त्या उदाहरणात जे गुणाकार कोणतेच चिन्ह न वापरता दाखविले होते त्यांच्याऐवजी या दोन्ही षटकांत . व ☉ ही चिन्हे दाखविली आहेत. म्हणजेच,

(१) सर्व त्रिमिती सदिशांचा संच हा ( R + , . ) या क्षेत्रावरील सदिश अवकाश आहे.

(२) ज्यांचे सर्व घटक परिमेय संख्या असतात अशा m x n प्रकारच्या सर्व आव्यूहांचा संच हा(Q +, . ) या क्षेत्रावरील सदिश अवकाश आहे.

सदिश अवकाशांची आणखी काही उदाहरणे पुढे दिली आहेत.

(३) सत् संख्यांचा संच R हा परिमेय संख्या व त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार मिळून होणाऱ्या क्षेत्रावरील सदिश अवकाश असतो.

(४) ज्यांचे सहगुणक सत् संख्या आहेत अशा सर्व बहुपदींचा संच  त् संख्या व त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार यांच्यासह होणाऱ्या   क्षेत्रावरील सदिश अवकाश असतो.

(५) ज्यांचे सहगुणक सत् संख्या आहेत व ज्यांची कोटी n किंवा n हून लहान आहे अशा सर्व बहुपदींचा संच सत् संख्या व त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार यांनी होणाऱ्या क्षेत्रावरील सदिश  अवकाश असतो.

(६) ज्यांचे मूल्य सत् संख्या असते व ज्यांची व्याख्या दोन संख्यांमधील अंतरालावर केली गेली आहे अशा सर्व सलग फलनांचा संच हा सत् संख्या व त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार यांच्यासकट होणाऱ्या क्षेत्रावरील सदिश अवकाश असतो.

 (७) ज्यांच्यातील सहगुणक सत् संख्या आहेत अशी सर्व रेषीय अवकल समीकरणे

[

ao

dny dxn

+

a 1

d n-1 y Dx n-1

+

a 2

d n-2 y d x n-2

+

. .

+

a n

=

o

]

यांचा संच हा सत् संख्या व त्यांच्यावरील बेरीज व गुणाकार यांच्यासह होणाऱ्या क्षेत्रावरील सदिश अवकाश असतो.

टीप: ( V,F ⨁ + , .  ☉) हा सदिश अवकाश असताना V च्या घटकांना अदिश म्हणतात. उदा. वर सदिश

अवकाशाची जी सात उदाहरणे दिली आहेत, त्यातील उदाहरण (५) मध्ये सर्व सहगुणक सत् संख्या असलेली n किंवा n हून लहान कोटी असलेली प्रत्येक बहुपदी ( उदा., n = ५ असल्यास ३+५x+६x२) सदिश होईल व सत् संख्या अदिश बनतील. तसेच उदाहरण (७) मध्ये सर्व सहगुणक सत् संख्या असलेले प्रत्येक रेषीय अवकल समीकरण उदा.,

( 2.7

d 2y d x2

+

6

dy dx

-5y

=

o

)

सदिश बनते व प्रत्येक सत् संख्या अदिश होते.

सदिश अवकाशाचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म : ( V, F⨁  + , .  ☉) हा सदिश अवकाश आहे. vi  V व ci F ( i = 1, 2, … , n ) असताना  c1v1+ c2v2+ … + cnvn याला v1,v2, … , vn या सदिशांचा रेषीय संयोग    ( एकघाती संयोग ) म्हणतात व तो V मध्ये असतो.

सदिशांमधील एकघाती अवलंबन व निरवलंबन : ( V,F ⨁ + , .  ☉) हा सदिश अवकाश आहे. v1,v₂, … , vn हे V चे n घटक आहेत. ज्यांच्यातील एक तरी घटक शून्येतर आहे असे    u₁,u₂, … , un हे F चे घटक असे मिळाले की, u₂v₂+ u₂v₂ + … + unvn= ० हे सत्य होईल तर v₁,v₂, … , vn या सदिशांमध्ये एकघाती अवलंबन आहे असे म्हणतात. अशा बाबतीत v₁,v₂, … , vn यांच्यामधील सदस्य इतर ( n – 1 ) सदस्यांच्या रेषीय ( एकघाती ) संबंधाने व्यक्त करता येतो. याउलट ज्या वेळी u₁v₁+ u₂v₂ + … + unvn= ० असा संबंध  मांडल्यास प्रत्येक ui केवळ शून्यच असणे शक्य असते, त्यावेळी    v1 ,v2 ,     … , vn या सदिशांमध्ये एकघाती निरवलंबन आहे असे म्हणतात.

उप-अवकाश : ( V, F ⨁ + , .  ☉) हा सदिश अवकाश आहे. P हा V चा उपसंच आहे. जर ( P, F⨁  + , .  ☉) हा सदिश अवकाश असेल तर ( P, F ⨁ + , .  ☉) याला ( V, F ⨁ + , .  ☉) याचा उप-अवकाश म्हणतात.

उदाहरण (१) : ( V, F ⨁ + , .  ☉) हा सदिश अवकाश स्वत:चाच उप – अवकाश होतो. 

उदाहरण (२) : ( V, F⨁ + , .  ☉) हा सदिश अवकाश आहे. V मध्ये एक सदिश w असा असतो की, प्रत्येक v ☉V साठी  v + w = v हे सत्य असते. हा w सहसा o या चिन्हाने दाखवून त्याला रिक्त-सदिश म्हणतात. प्रत्येक v ☉ V व त्याचा ⨁ संबंधातील व्यस्त  –v हे v + ( –v ) = o हा संबंध सत्य ठरवितात. या o चा {o} हा एक-सदस्य संच आहे. ( {o} F ⨁ + , .  ☉) हा मूळ सदिश अवकाशाचा उप-अवकाश असतो.

उदाहरण (३) : ( V, F ⨁ + , . ☉) हा सदिश अवकाश आहे. U हा V चा कोणताही उपसंच आहे. u1, u2, …. , uk हे U चे घटक  आहेत. ci ☉ F ( i = १, २, … , k ). L हा ci ची निरनिराळी मूल्ये घेऊन मिळणारा {c1u1+ c2u2 + … + ckuk } हा संच आहे. ( L, F ⨁ +, .  ☉) हा ( V, F ⨁ + , .  ☉) याचा उप-अवकाश असतो.

टिकेकर, व. ग.