विश्लेषण, गणितीय

विश्लेषण, गणितीय : गणिताची एक प्रमुख व विस्तृत शाखा. तिच्या अनेक उपशाखा असून त्या एकमेकींपासून बहुशः स्वतंत्रपणे वाढलेल्या आहेत आणि वर्णन करण्यास त्या अधिक सुलभ आहेत. भौतिकी विषयाच्या प्रगतीबरोबरच गणिताची प्रगती होत गेली. भौतिकीमधील मूलभूत स्वरूपाची समस्या सोडविताना त्या वेळी शास्त्रज्ञांनी गणितामध्ये नवीन विचारांची भर टाकली, ती बहुतेक सर्व गणितीय विश्लेषण शाखेमध्ये होती. ⇨यामिकीमधून अवकलनशास्त्र व समाकलनशास्त्र, सामान्य अवकल समीकरणे व चलनकलनशास्त्र ⇨ध्वनिकी व ⇨ऊष्मागतिकी यांमधून यांमधून फूर्ये श्रेढी ⇨प्रकाशकी, द्रवगतिकी व ⇨विद्युत् गतिकी यांमधून मिश्र विश्लेशषण ⇨स्थितिस्थापकता, द्रवगतिकी व विद्युत् गतिकी यांमधून आंशिक अवकल समीकरणे या उपशाखा निर्माण झाल्या आहेत.

मराठी विश्वेकोशात गणितीय विश्लेणषणाच्या ⇨कलन या शाखेतील अवकलन व समाकलन, चलनकलन, सांत अंतर कलन तसेच अवकल समीकरणे, फलन, माप व समाकलन, ‘समाकल समीकरणे व रूपांतरे’ या उपशाखांवर स्वतंत्र नोंदी आहेत शिवाय या उपशाखांशी संबंधित अंतर्वेशन व बहिर्वेशन, फूर्ये श्रेढी, श्रेढी आणि प्रदिश व सदिश या विशेष शाखांवरील स्वतंत्र नोंदीही आहेत.

गणितीय विश्लेषणाकडे पाहण्याचा दृष्टिकोन म्हणजे सीमा व सन्निकटीकरण किंवा आसन्नीकरण (विशिष्ट हेतुनुसार खऱ्या मूल्याच्या पुरेसे जवळ असणारे मूल्य मिळविण्याची क्रिया) या दोन प्रक्रियांच्या अनुषंगाने गणितात जी वाढ झाली व ज्या नव्या संकल्पना आल्या त्यांचा विचार करणे. प्रस्तुत नोंदीत हाच दृष्टिकोन अवलंबिलेला आहे.

सीमा व सन्निकटीकरण या प्रक्रियांची उपयुक्तता गणितीय विश्लेंषणाच्या विकासाच्या सुरूवातीला शोधण्यात आली. त्यांचा पद्धतशीर वापर सतराव्या आणि अठराव्या शतकांत ⇨सर आयझॅक न्यूटन आणि ⇨गोटफ्रिट व्हिल्हेल्म लायप्निट्स यांच्या अवकलनशास्त्रात व समाकलनशास्त्रत करण्यात आला. एकोणिसाव्या शतकात ऑग्युस्तीन ल्वी कोशी, बेर्नहार्ड बोल्झानो व ⇨कार्ल टेओडोर व्हायरश्ट्रास या गणितज्ञांनी सीमा प्रक्रियेला आजचे रूप दिले, तर ⇨गेओर्ख फ्रीड्रिख बेर्नहार्ट रीमान व विसाव्या शतकात ⇨आंरी लेआँ लबेग यांनी समाकल तंत्राची पायाभूत उभारणी केली.

गणितीय विश्लेषणाला आजचे रूप येण्यासाठी संच, संख्या, संस्थितिविज्ञान या संकल्पनांचा जो विकास झाला त्यांची मोठी मदत झाली. अधिक माहितीकरिता मराठी विश्वीकोशातील संख्या, संच सिद्धांत व संस्थितिविज्ञान या नोंदी पहाव्यात.

मूलभूत संकल्पना : (अ) सीमा व सन्निकटीकरण या दोन प्रक्रिया गणितीय विश्लेणाचा पाया होत. या प्रक्रियांचा वापर करताना अनंत [⟶ अनंत] व अत्यल्प या दोन संकल्पनांचा संबंध हटकून येतो. ज्या गणितीय वस्तूंच्या संदर्भात सीमा व सन्निकटीकरण या प्रक्रिया वापरल्या जातात त्या वस्तू म्हणजे श्रेणी, श्रेढी, फलन, फलनाचा  अवकल व समाकल इ. होत.

अवकल ही वस्तू गणिताप्रमाणेच भौतिकीतही महत्त्वाची आहे. भौतिकीतील वेग, प्रवेग, तरंग या संकल्पना अवकलाचा उपयोग करून मांडता येतात. समाकलाचा उपयोग पदार्थाचे क्षेत्रफळ, घनफळ, वाढ वगैरे गोष्टींचे मापन करण्यासाठी होतो. आधुनिक भौतिकी मोठ्या प्रमाणात गणितातील या दोन संकल्पनांवर उभी आहे, असे म्हणता येईल.

(आ) गणित व भौतिकी यांचा हा निकटचा संबंध सतराव्या शतकापासून जडला आहे. भौतिकीतील विधानांचा तार्किक व ज्ञानीय (बोधनिक) संबंध ती विधाने गणिताच्या भाषेत मांडल्याने उघड होतो. वर वर पाहता वेगळ्या वाटणाऱ्या भौतिक संकल्पना गणितातील चिन्हांच्या द्वारा मांडल्यास त्या एकच आहेत असा बोध होतो. ही समज शास्त्रज्ञांना सतराव्या शतकापासून येऊ लागली.

गणित व भौतिक यांच्यातील नात्याचे बीज संख्या या संकल्पनेत आहे. भौतिकीत विद्युत् प्रवाह, गुरूत्वाकर्षण, दाब, बल इ. संकल्पना वा वस्तू वापरल्या जातात. त्या वस्तू मोजण्याची परिमाणे निरनिराळी असली, तरी त्या वस्तू संख्येच्या रूपात मांडता येतात, हे महत्त्वाचे आहे. काल, शब्द, रंग, स्पर्श या संकल्पना भौतिकीचा विषय व्हावयाच्या असतील तर त्या मोजता आल्या पाहिजेत, म्हणजेच त्या संख्येत मांडता आल्या पाहिजेत.

सतराव्या शतकापासून गणित हे संख्यारूप होऊ लागले. यास सुरूवात वैश्लेषिक भूमितीपासून झाली. चौदाव्या शतकात एन्. दोरेझ्मे या नावाच्या संशोधकांनी आलेखाची कल्पना आणली. पण आलेखाशी निकटचा संबंध असणारी वैश्लेतषिक भूमिती पुढे यायला आणखी अडीच शतके जावी लागली. या भूमितीची पद्धतशीर मांडणी ⇨रने देकार्त यांनी केली. ग्रीकांच्या गणितात अंकगणित व भूमिती या दोन शाखा होत्या आणि अंकगणित भूमितीच्या भाषेत मांडावे असा आग्रह होता. हे चक्र देकार्त यांनी उलटे फिरवले. एका प्रतलावर दोन परस्पर लंब रेषा घेतल्या असता प्रतलातील प्रत्येक बिंदू संख्यांच्या क्रमित जोडीने दाखवता येतो ही कल्पना त्यांनी मांडली. [⟶  आलेख].

(इ) अंकगणितीकरणासाठी मुळात संख्या या संकल्पनेचा विकास होणे जरूर होते. √2 ही संख्या अगुणोत्तरीय संख्या आहे, हे ग्रीकांना माहीत होते. √2  ह्य संख्येला शक्य तितकी जवळ असणारी गुणोत्तरीय संख्या शोधण्याचा प्रयत्न चालू होता. भागाकाराने वर्गमूळ काढण्याची पद्धती प्रचारात आल्यावर √2 ही संख्या दशांशात मांडता येत नाही हे कळलेच पण √2 ही संख्या

1+(4/10)+(1/10²)+(4/10³)+(2/10⁴)+…… अशा श्रेढीची बेरीज आहे हे सांगता आले.

√2 ही बैजिक अगुणोत्तरीय संख्या आहे. π ही संख्या 1 त्रिज्या असणाऱ्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ दर्शविते. त्याच वर्तुळाइतके क्षेत्रफळ असणारा चौरस काढण्यात ग्रीकांना रस होता. त्यामुळे π च्या सन्निकट असणारी गुणोत्तरीय संख्या मिळवणे अगत्याचे होते. सोळाव्या शतकात (π/4) ही संख्या दर्शविणारी श्रेढी शोधून काढण्यात आली.

(π/4) = 1- (1/3)+(1/5)-(1/7)+….ही ती श्रेढी होय. या श्रेढीमुळे π च्या जास्तीत जास्त निकट असणारी गुणोत्तरीय संख्या मिळणे शक्य झाले. श्रेणी व श्रेढी यांचे केंद्राभिसरण याचा अभ्यास या घडामोडींमुळे सुरू झाला.

(ई) वैश्लेरषिक भूमितीत प्रतलातील कोणत्याही P या बिंदूशी संलग्न अशी (x, y) ही क्रमित-संख्यांची जोडी असते. यातूनच ⇨फलन व त्याचा वक्र या कल्पना उदयाला आल्या. A व B असे सत् संख्यांचे संच दिले असता f हा असा नियम दाखवता आला की, x ∊ A ही सत् संख्या दिली असता f या नियताने x या संख्येशी संलग्न अशी B या संचातील y ही एकच-एक संख्या मिळते, तर त्या नियमाला फलन असे म्हणतात आणि x व y यांच्या दरम्यान f हा संबंध आहे ही गोष्ट y = f (x) या समीकरणाने दाखविली जाते.

जर प्रतलातील P (x, y) हे बिंदू असे घेतले की, प्रत्येक वेळी y = f (x) आहे, तर अशा बिंदूचा जो संच मिळतो त्याला f या फलनाचा आलेख म्हणतात.

फलन ही संकल्पना ‘कलन’ या गणित शाखेचे बीज होय. फलनांची वर सांगितलेली कल्पना या स्वरूपात एकदम पुढे आली नाही, तिला हे रूप् एकोणिसाव्या शतकाच्या अखेरीस मिळाले. न्यूटन, लायप्निट्स वगैरे आद्य कलन-शास्त्रज्ञांच्या लेखी फलन म्हणजे y व x यांच्यातील संबंध दाखवणारे y = x³ + 4x यासारखे एखादे सूत्र. या कलनाची व्यस्त संकल्पना म्हणून ‘समाकलन’ ही संकल्पना अवतरली. [⟶  फलन].

(ए) सीमा, सन्निकटीकरण, केंद्राभिसरण, अवकलन व समाकलन वगैरे संकल्पना सतराव्या शतकात पुढे आल्या. नंतर १५० वर्षे त्यांची तंत्रे विकास पावली. पण हा विकास केवळ तंत्राच्या अंगाने झाल्याने मूळ संकल्पनांची चिकित्सा झाली नाही.

ही चिकित्सा करून या संकल्पनांची नेमकी व्याख्या देण्याचे काम एकोणिसाव्या शतकात झाले. गणितीय विश्लेखषणाला आधुनिक रूप् एकोणिसाव्या शतकाच्या उत्तरार्धात व विसाव्या शतकाच्या पहिल्या २५ वर्षात आले.

सीमा-प्रक्रिया : (अ) सीमा-प्रक्रियेचे मूळ श्रेणींची सीमा ठरवण्याच्या प्रयत्नात आहे. {1/2, 2/3, ¾, 4/5, …} ही श्रेणी (I) घेऊन हिच्या पदांकडे पाहिले असता दिसून येते की, श्रेणीचे प्रातिनिधिक पद a_n हे (n/n+1) म्हणजेच [1- (1/n+1)] असे (श्रेणी II )  लिहिता येते. I या श्रेणीतील प्रत्येक पदाची किंमत 1 पेक्षा कमी आहे. व श्रेणीत पुढे जावे तशी प्रत्येक पदाची किंमत सतत वाढते आहे. सारांश, श्रेणीतील पदे 1 च्या सन्निकट जात आहेत. 1 व प्रातिनिधिक पद a_n यांतील अंतर हवे तितके कमी करता येते.

उदा., l 1 – an l	= 1 – an (कारण an < 1)
	1-[1-(1/n+1)]=1/(n+1)

समजा, हे अंतर  1/1000 इतके कमी करावयाचे आहे, तर त्यासाठी n हा कमीत कमी 1000 वे किंवा त्यानंतरचे कोणतेही पद असले, तर त्याचे 1 पासूनचे अंतर 1/1000 पेक्षा कमी भरते.

हीच गोष्ट अधिक व्यापक स्वरूपात अशी मांडता येईल. जर 1 व a_n यातील अंतर ∊ (> 0) या संख्येपेक्षा कमी करावयाचे असेल, तर M ही पूर्णांक संख्या अशी शोधतात की, (1/M)< ∊. असा M सापडल्यास M वे किंवा त्यानंतरचे कोणतेही पद व 1 यातील अंतर ∊पेक्षा कमी असते. अशा स्थितीत आपण 1 ही < a_n > या श्रेणीची सीमा आहे असे म्हणतात व ते

या चिन्हाने दाखवतात.

औपचारिक भाषेत

या चिन्हाची व्याख्या अशी लिहिता येईल. ∊ > 0 ही संख्या दिली असता M  ही अशी पूर्णांक संख्या सापडते की, जेव्हा n > M असतो तेव्हा l a_n – l l < ∊ असते.

(आ) श्रेढी ही गणितीय वस्तू झीनो या ग्रीक तत्त्वज्ञांच्या काळापासून लोकांना माहीत आहे [⟶  झीनो, ईलीआचा ]. झीनोची श्रेढी आजच्या भाषेत (1/4+1/4+1/8+….. अशी लिहिता येते. या श्रेढीची बेरीज {1/[1-(1/2)]}X(1/2) = 1 इतकी होते.

व्यापक भाषेत, < a_n > या श्रेणीपासून a₁ + a₂ + ……. + a_n + …… अशी श्रेढी (I) मांडता येते. या श्रेढीपासून < A_n >  ही भागशः बेरजांची श्रेणी मिळते. या श्रेणीतील A_n हे पद a₁ + a₂ + ……. + a_n  म्हणजेच I या श्रेढीतील पहिल्या n पदांची बेरीज असते. < A_n > या श्रणीची सीमा L असेल, तर L ही I या श्रेढीची सीमा (किंवा बेरीज) आहे, असे म्हणतात.

(इ) A व B हे सत् संख्यांचे संच आहेत व f हे फलन x ∊ A शी संबद्ध y ∊ B देतो. अशा स्थितीत f या फलनाचा A हा प्रांत व B हा सहप्रांत आहे, असे म्हणतात. आता, x₀ ही सत् संख्या अशी आहे की, δ > 0 ही कोणतीही संख्या दिली असता x ∊ A (x ≠ x₀) असा सापडतो की, |x – x₀|< δ असे असले तर x₀ हा A चा सीमाबिंदू आहे असे म्हणतात. अशा वेळी f या फलनाची x₀ या बिंदूशी सीमा काय असेल, याचा विचार करतात.

l या सत् संख्येच्या बाबतीत खालील गोष्टी शक्य आहोत, असे समजतात. ∊ > 0 ही संख्या दिली असता δ > 0 ही, खालील अटी सांभाळणारी दुसरी संख्या सापडू शकते. जेव्हा |x – x₀ | < (x ∊ A) असे असते, तेव्हा |l – f (x)| < ∊ असतो. अशा स्थितीत l ही f या फलनाची x₀ या बिंदूशी सीमा आहे, असे म्हणतात व ही स्थिती

अशी दाखवतात.  [⟶ अवकलन व समाकलन ].

अवकलन : (अ) f  हे फलन [a, b] या अंतरालावर व्याख्यात आहे. x₀ ∊ [a, b] व x₀ + h ∊ [a, b] असे दोन बिंदू आहेत. आता

Φ(h) = {f(x₀+h)-f(x₀)}/h हे नवे फलन [u, v] – {0} अशा प्रांतावर व्याख्यात करता येते. [u, v] हा अंतराल 0 ला समाविष्ट करून घेणारा आहे. 0 हा बिंदू ϕ या फलनाच्या प्रांतात नाही, पण तो ϕ च्या प्रांताचा सीमा बिंदू आहे. जर

ही सीमा अस्तित्वात असेल, तर ती f ’ (x₀) या चिन्हाने दाखविली जाते. f ’ (x₀) ला f चा x₀ बिंदूशी h  → 0 असलेला अवकल असे म्हणतात.

f हे फलन [a, b] या प्रांतावर व्याख्यात आहे. [a, b] या अंतरालातील x या प्रत्येक बिंदूशी f ’ (x) हा अवकल अस्तित्वात आहे. अशा स्थितीत f ‘ हे फलन [a, b] या अंतरालावर व्याख्यात आहे, असे म्हणता येते. F ‘ या फलनाचा अवकल [a, b]  या अंतरालातील  प्रत्येक बिंदूशी अस्तित्वात आहे का, याचा विचार करतात व तसा अवकल अस्तित्वात असल्यास f ”  हे नवे फलन मिळते. f” या फलनाचा भाषेचा लवचिक उपयोग करून, f चा द्वितीय अवकल असे नाव देतात. या पद्धतीने f चा n वा अवकल fⁿ याचीही कल्पना करता येते.

(आ) f या फलनाचे x₀ या बिंदूशी असलेले अवकल वापरून f या फलनाची x₀ + h या बिंदूशी असलेली किंमत काढण्याची श्रेढी ⇨ब्रुक टेलर या शास्त्रज्ञांनी मांडली. ती अशी

f(x₀+h) = f'(x₀) +(h/1)f'(x₀)+(h²/1*2)f”(x₀)+(h³/1*2*3)f³(x₀)+….+(hⁿ/1*2*3*…*n)fⁿ(x₀)+…… . . . .(श्रेढी I)

येथे h या संख्येचे घात उजव्या बाजूस आढळत असल्याने या श्रेढीला घात श्रेढी असेही म्हणतात.

वरील श्रेढीत x₀ = 0 व h = x घेऊन मॅक्लॉरिन श्रेढी (कोलिन मॅक्लॉरिन या गणितज्ञांवरून देण्यात आलेले नाव) मिळत ती अशी

f(x) = f'(0) +(x/1)f'(0)+(x²/1*2)f”(0)+….+(xⁿ/1*2*3*…*n)fⁿ(0)+…… . . . .(श्रेढी II)

वरील श्रेढी मांडताना हे गृहीत धरले आहे की, h (किंवा x) यांच्या काही किंमतींना या श्रेढी केंद्राभिसारी आहेत. येथे हेही ध्यानात घेणे जरूर आहे की, या श्रेढीमुळे f (x₀ + h) ची नेमकी किंमत मिळतेच असे नाही, पण जास्तीत जास्त सन्निकट असलेली किंमत काढता येते.

(इ) श्रेढी II मधील प्रत्येक पद हे स्वतः फलनच असून या प्रत्येक फलनाचा व f चा प्रांत हे एकच आहेत. थोडक्यात श्रेढी II हे खालील प्रकारच्या श्रेढीचे उदाहरण आहे.

f (x) = f₁ (x) + f₂ (x) + …. + f_n (x) + ……… (श्रेढी III)

येथे f, f₁, f₂, f₃,….. वगैरे सर्व फलने (इंग्रजी) या एकाच प्रांतावर व्याख्यात आहेत.

श्रेढी III मधील f हे फलन अनंत फलनांची बेरीज म्हणून दाखवले आहे. साहजिकच प्रश्ने येतो की, f_n हे प्रत्येक फलन अवकलनक्षम असेल, तर f हे फलन अवकलनक्षम असेल काय? समजा, असेल तर f'(x) हा अवकल f’_n (x) या अवकलांची बेरीज असेल का? या व अशा सारख्या इतर प्रश्नां च्या विचारांतून समांग केंद्रभिसारता ही नवी संकल्पना निर्माण झाली.

(ई) संख्यांच्या श्रेढीविषयी केद्राभिसाराची जी व्याख्या केली आहे तीच येथे लागू करता येते. <F_n> ही भागशः बेरजांची श्रेणी आहे. येथे F_n (x) = f₁ (x) + ….. + f_n (x). F_n हे फलन परिमित फलनांची बेरीज असल्याने समाविष्ट अशा सर्व फलनांना सामाईक असणारा गुणधर्म F_n च्या ठिकाणीही असणार, उदा., अवकलन-क्षमता.

प्रत्येक f_n हा A या प्रांतावर व्याख्यात आहे. म्हणून प्रत्येक f_n ही A या प्रांतावर व्याख्यात आहे. a ∊ A हा बिंदू घेतल्यास <F_n (a) > ही संख्या श्रेणी मिळते. ही संख्या श्रेणी f (a) या संख्येकडे केंद्राभिसारी असेल, आणि हे  a ∊ A या प्रत्येक बिंदूच्या बाबतीत खरे असेल, तर <Fn > ही फलन श्रेणी f या फलनाला बिंदुस्वाधीन केंद्रभिसारी आहे असे म्हणतात.

<F_n (a)> ही संख्या श्रेणी f (a) या संख्येला केंद्राभिसारी आहे याचा अर्थ असा होतो. ∊ > 0 ही संख्या दिल्यास M ही पूर्णांक संख्या शोधून काढता येते. ती अशी की, n > M असल्यास |f (a) – F_n (a)| < ∊. येथे M चा शोध घेताना केवळ चा विचार करून भागत नाही, तर a चाही विचार करतात. a च्या जागी b∊A घेतला तर ∊ तोच ठेवला तरी M बदलावा लागतो पण ∊ > 0 दिला असता M असा शोधणे जमले की, कोणताही a∊A घेतला तरी n > M असल्यास |f (a) – F_n (a)| <∊ आहे, तर असे म्हणतात की, < Fn > ही श्रेणी f शी समांग केंद्राभिसारी आहे. ही स्थिती

अशा चिन्हाने दाखवतात.

समांग केंद्राभिसारता ही बिंदुस्वाधीन केंद्राभिसारतेपेक्षा संकुचित कल्पना आहे.

तर

पण याचा व्यत्यास मात्र खरा नाही. पण त्यामुळेच समांग केंद्राभिसारता अधिक फलदायी कल्पना आहे. जर < F_n > ही श्रेणी f शी बिंदुस्वाधीन केंद्राभिसारी असेल आणि < F’n > ही g शी समांग केंद्राभिसारी असेल तर g = f’असे असते.

समाकलन : (अ) प्रतलीय विस्ताराचे क्षेत्रफळ काढणे ही नित्याची बाब आहे. पण विस्ताराची मर्यादा वडीवाकडी असेल तर नेमके क्षेत्रफळ काढणे अवघड जाते. नेमक्या क्षेत्रफळाच्या जास्तीत जास्त सन्निकट क्षेत्रफळ काढण्याचा प्रयत्न गेली तीन हजार वर्षे चालू आहे. ज्या विस्ताराची मर्यादा वेडीवाकडी आहे, अशा विस्ताराचे सन्निकट क्षेत्रफळ काढण्याची पद्धती युडॉक्सस [⟶ युडॉक्सस (नायडसचे)]  या ग्रीक गणितज्ञांनी बसवली व तिला व्यवस्थित रूप ⇨आर्किमिडीज यांनी इ. स. पू. ३०० च्या सुमारास दिले. या पद्धतीचे ढोबळ रूप आ. १ वरून ध्यानात येते.

X हा, X हे नेमके क्षेत्रफळ असलेला प्रतलीय विस्तार आहे. त्याचा मर्यादा-वक्र आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे आहे. याचे सन्निकट क्षेत्रफळ काढण्यासाठी विस्ताराच्या आत बसवलेली A₁A₂….A₅ ही बहुभुजाकृती आहे. या बहुभुजाकृतीचे शीर्षबिंदू मर्यादा-वक्रावर आहेत. या बहुभुजाकृतीला A हे नाव देऊ व तिचे (नेमके) क्षेत्रफळ L मानू. तसेच B₁B₂….. B₅ ही बहुभुजाकृती X ला वेढते आहे. हिला B असे नाव देऊ. B च्या बाजू X च्या मर्यादा-वक्राला स्पर्श करतात. B चे क्षेत्रफळ U मानू. अशा स्थितीत L < X < U.

आतील आणि बाहेरील बहुभुजाकृतींच्या बाजूंची संख्या वाढवत नेल्यास आतील बहुभुजाकृतींच्या क्षेत्रफळांची < L_n > ही वाढती श्रेणी व बाहेरील बहुभुजाकृतींच्या क्षेत्रफळांची < U_n > ही उतरती श्रेणी अशा दोन श्रेणी मिळतात.  L_n < X < U_n हे प्रत्येक n साठी खरे आहे. या दोन श्रेणींची सीमामूल्ये घेतली व ती एक असली तर X या विस्ताराचे क्षेत्रफळ त्या श्रेणींच्या सामाईक सीमामूल्याइतके असेल.

(आ) समजा f हे फलन [a, b] या अंतरालावर व्याख्यात आहे. त्या फलनाचा आलेख आ. २. मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आहे. येथे aAPBb हा y = f (x) या वक्राखालील विस्तार आहे. f चा [a, b] या अंतरालावरील समाकल हा या विस्ताराचे क्षेत्रफळ असतो ही गोष्ट न्यूटन यांच्या काळी देखील माहीत होती पण हा समाकल कढण्याची न्यूटन यांची कल्पना अशी होती F हे फलन असे शोधा की,या प्रत्येक बिंदूशी खरे आहे.

F ‘( X ) = f ( x ) हे x ∊ [a, b ] या प्रत्येक बिंदुशी खरे आहे. तर

(इ) समाकलनाच्या या प्रक्रियेला शास्त्रशुद्ध रूप प्रथम कोशी या गणितज्ञांनी एकोणिसाव्या शतकाच्या सुरूवातीला आणि नंतर रीमान यांनी त्याच शतकाच्या उत्तरार्धात दिले. समाकलन या संकल्पनेचा आधुनिक विस्तार लबेग यांनी विसाव्या शतकाच्या सुरूवातीला केला.

f हे फलन [a, b] या अंतरालावर व्याख्यात आहे आणि A < f (x) < B, x ∊ [a, b]  असे आहे, हे गृहीत धरतात. या अंतरालाचे {a = x₀ < x₁….< x_k-1  < x_k < …..< x_n = b} असे बिंदू घेऊन भाग करतात. यातील [x_k-1, x_k] या उपअंतरालावर दोन आयत असे उभे करतात की, एकाचा पाया y = f (x) या वक्राला खालून तर दुसर्यातची वरची बाजू त्याच वक्राला बाहेरून टेकली आहे. ही स्थिती आ. ३ मध्ये दाखवली आहे. आकृतीमधील आतील आयत x_k-1 U₁ V₁ X_k हा असून त्याची उंची m_k व क्षेत्रफळ M_k × (x_k-x_k-1) हे आहे. बाहेरील आयत X_k-1 U₂ V₂ x_k हा असून त्याची उंची M_k आणि क्षेत्रफळ M_k × (x_k-x_k-1) आहेत.

अशा रीतीने प्रत्येक उपअंतरालावर आयत उभे केल्यास वक्राच्या खालील एक बहुभुजाकृती मिळेल, जिचे

असेल आणि वक्राला बाहेरून वेढणारी एक बहुभुजाकृती मिळेल, जिचे क्षेत्र

असे मिळेल. या बहुभुजाकृती आ. ४ मध्ये निरनिराळ्या दाखविल्या आहेत.

[a, b] या अंतरालाचे आणखी भाग पाडत गेल्यास प्रत्येक वेळी L ही संख्या मोठी व U ही संख्या लहान होत जाईल. सीमामूल्य (L व U यांचे) घेतल्यास दोन्ही संख्या समान होऊन सामाईक मूल्य म्हणजे aAPBb (आ. २) या विस्ताराचे क्षेत्रफळ मिळेल.

(इ) रीमान यांनी दिलेली समाकलनाची व्याख्या थोडक्यात अशी सांगता येते की,

आणि

ही दोन्ही समान असतील, तर

f  हे फलन आणखी काही अटी पाळत असेल, तर खालील दोन प्रमेये सिद्ध करता येतात.

(१)		असे फलन घेतल्यास
(२)

अशा रीतीने रीमान पद्धती व न्यूटन पद्धती यांची सांगड बसू शकते.

पहा : गणित: फलन.

संदर्भ : 1. Bell, E.T. The Development of Mathematics. New York, 1940.

2. Boyer, Carl B. The Concept of the Calculus, New York, 1949.

3. Edwards (Jr.) C.H. The Historical Development of the Calculus, New York, 1979.

4. Gratian, Guinen 1. The Development of the Foundations of Analysis from Euler to Riemann, Cambridge, 1970.

5. Hawkins, Thomas Lebesgue’s Theory of Integration, London, 1970.

भावे, श्री. मा.