यदृच्छ प्रक्रिया : भौतिक जगातील ज्या प्रक्रियांमध्ये यदृच्छता आहे अशा कोणत्याही प्रक्रियेला यदृच्छ प्रक्रिया म्हणतात. अशा प्रक्रिया भौतिकी, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी, समाजशास्त्र इ. अनेकविध क्षेत्रांत आढळतात आणि अलीकडील काही वर्षांत अशा प्रक्रियांचा अभ्यास विशेषत्वाने होत आहे.
विश्वकिरणांच्या (बाह्य अवकाशातून पृथ्वीवर येणाऱ्या भेदक किरणांच्या) वर्षावातील इलेक्ट्रॉन व फोटॉन यांच्या संख्येतील फेरबदल, रेणवीय आघातांमुळे होणारी सूक्ष्मकणांची ⇨ ब्राउनीय गती, ताऱ्यांची अवकाशातील गती, ग्रेगोर मेंडेल यांच्या आनुवंशिकीय नियमांनुसार [⟶ आनुवंशिकी] होणारा लोकसंख्येचा विकास, जुगारी खेळातील जयापजय, दूरध्वनी केंद्रात ठराविक कालांतरात येणाऱ्या संदेशांची संख्या, हमरस्त्यावरील एखाद्या ठराविक स्थानावरून जाणाऱ्यायेणाऱ्या मोटारगाड्यांची संख्या ही यदृच्छ प्रक्रियांची व्यवहारातील काही उदाहरणे आहेत. यांपैकी अनेक उदाहरणांतील सांख्यिकीय किंवा यदृच्छ चल (उदा., ब्राउनीय कणांचे सहनिर्देशक म्हणजे एखाद्या संदर्भ-व्यूहाच्या सापेक्ष कणांचे अवकाशातील स्थान दर्शविणाऱ्या संख्या) काळानुसार बदलत असतात परंतु काळाशिवाय इतरही काही प्रचल (विशिष्ट परिस्थितीत अचल राहणाऱ्या राशी) अंतर्भूत असणारे बदल उद्‌भवणे शक्य आहे. उदा., संक्षोभित द्रवातील वेग क्षेत्र वर्णन करणाऱ्या यदृच्छ प्रक्रियेमध्ये काळाबरोबर अवकाश प्रचलाचाही समावेश होतो. प्रस्तुत नोंदीत सर्वसाधारणपणे काळानुसार होणाऱ्या बदलांवर अवलंबून असलेल्या प्रक्रियाचा विचार केलेला आहे.
संभाव्यता नियमांनुसार [⟶ संभाव्यता सिद्धांत] घडून येणाऱ्या कोणत्याही प्रक्रियेला यदृच्छ प्रक्रिया म्हणता येईल वर दिलेल्या बहुतेक सर्व उदाहरणांत एक संभाव्यतात्मक प्रणाली निर्माण होते व त्या प्रणालीची अवस्था काळानुसार बदलते. अशा प्रकारे t या काळी प्रणालीची असलेली अवस्था संभाव्यतेवर अवलंबून असते म्हणजेच ती एक यदृच्छ चल X (t) असते. या प्रणालीमधील t ची प्रचल मूल्ये सर्वसाधारणपणे अंतरालाच्या स्वरूपात किंवा पूर्णांकांच्या संचाच्या स्वरूपात असतात आणि त्यांना अनुक्रमे (१) संतत प्रचल यदृच्छ प्रक्रिया व (२) पृथक्‌ प्रचल यदृच्छ प्रक्रिया म्हणतात. प्रणालीची अवस्था एकाच संख्येने निर्देशित केलेली असेल, तर X (t) हा चल संख्यात्मक स्वरूपाचा असतो. एरव्ही X (t) हा सदिश स्वरूपाचा [⟶ सदिश] किंवा अधिक गुंतागुंतीचाही असू शकतो. प्रणालीची अवस्था बदलत जाते तसतसे तिच्या मूल्यानुसार एक काल फलन (काळावर अवलंबून असणारा गणितीय नियम) तयार होते यालाच प्रतिदर्श फलन म्हणतात आणि प्रतिदर्श फलनांच्या निरनिराळ्या संभाव्य गुणधर्मांच्या संभाव्यता प्रक्रियेचे नियमन करणाऱ्या संभाव्यता नियमांनुसार निर्धारित होतात.
भौतिक यदृच्छ प्रक्रियेची गणितीय भाषेत व्याख्या करताना ती केवळ एका यदृच्छ चलांच्या संचाच्या रूपात करतात म्हणजेच एक प्रचल संच निर्देशित करून प्रत्येक प्रचल बिंदू t करिता एक यदृच्छ चल X (t) निर्देशित केला जातो. X (t) या यदृच्छ चलाच्या प्रांतातील [⟶ फलन] एखादा बिंदू w ने निर्देशित केल्यास व w पाशी यदृच्छ चलाचे मूल्य X (t, w) ने निर्देशित केल्यास वरील व्याख्येनुसार (t, w) या जोडीचे होणारे फलन आणि संभाव्यतांचे केलेले नियोजन यांच्याद्वारे यदृच्छ प्रक्रिया गणितीय दृष्ट्या संपूर्णपणे निर्देशित होते. सामान्यपणे यदृच्छ प्रक्रियेच्या संभाव्यता नियोजित करण्याकरिता तिच्या यदृच्छ चलांना संयुक्त संभाव्यता वंटने [⟶ वंटन सिद्धांत] नियोजित करण्यात येतात.
यदृच्छ प्रक्रियांची कल्पना अतिशय व्यापक असून त्यांचा अभ्यास करण्यासाठी संभाव्यता सिद्धांताची संपूर्ण माहिती असणे आवश्यक असते.
आतापर्यंत आपण एकाच साहाय्यक प्रचलाबरोबर बदलणाऱ्या आणि एकच यदृच्छ राशी असलेल्या यदृच्छ प्रक्रियांचा विचार केलेला आहे परंतु काही वेळा एक राशी व एकापेक्षा जास्त साहाय्याक प्रचल किंवा एकापेक्षा अधिक राशी व एकापेक्षा जास्त साहाय्याक प्रचल असलेल्या यदृच्छ प्रक्रियांचाही व्यवहारात विचार करावा लागतो. तसेच यदृच्छ चल हे राश्यात्मक तसे गुणात्मकही असण्याची शक्यता असते.
नोंदीच्या राहिलेल्या भागात काही विशेष प्रकारच्या यदृच्छ प्रक्रियांचे सर्वसामान्य विवेचन केलेले आहे.
स्थिर प्रक्रिया: या प्रकारच्या प्रक्रियांचे वंटन फलन Fn(x) कोणत्याही t1, t2,………tn या प्रचलांच्या संचाकरिता फक्त tr-ts या फरकावर अवलंबून असते व tr च्या केवळ मूल्यावर अवलंबून नसते किंवा दुसऱ्या शब्दात सांगावयाचे म्हणजे अशा प्रक्रिया प्रचलाच्या अक्षाचे स्थानांतरण झाले तरीही स्थिरच रहातात.
व्यवहारात स्थिर प्रक्रिया महत्त्वाच्या असून संदेशवहन पद्धती व कालश्रेढींमध्ये [⟶ कालश्रेढी विश्लेषण] या विशेषत्वाने आढळून येतात.
मार्कोव्ह प्रक्रिया : ए. ए. मार्कोव्ह या रशियन गणितज्ञांनी या प्रक्रियांच्या विशिष्ट प्रकारांचा प्रथमतःच पद्धतशीर अभ्यास केला म्हणून या प्रक्रिया त्यांच्या नावाने ओळखल्या जातात. या प्रक्रियांचे वैशिष्ट्य म्हणजे प्रणालीची वर्तमान अवस्था दिलेली असेल, तर भूत व भविष्य अवस्था एकमेकींपासून स्वतंत्र असतात. म्हणजेच जर t1 < ….<tn ही प्रचलाची मूल्ये दिलेली असून 1 < j < n असेल, तर [X(t1),………, X(tj-1)] आणि [X(tj+1), ……….X(tn)] हे यदृच्छ चलांचे दोन संच X(tj) च्या दिलेल्या मूल्याकरिता परस्परांपासून स्वतंत्र असतात किंवा दुसऱ्या शब्दांत सांगायचे म्हणजे X(tn) चे X(t1),………X(tn-1) च्या दिलेल्या मूल्याकरिता असलेले सशर्त वंटन फक्त X(tn-1) च्या दिलेल्या मूल्यावर अवलंबून असते आणि प्रत्यक्षात ते केवळ दिलेल्या X (tn-1) करिता X(tn) चे सशर्त वंटनच असते.
सैद्धांतिक दृष्ट्या वरील अट जरा दुःसाध्य वाटते परंतु प्रत्यक्षात अनेक प्रक्रिया या प्रकारच्या आढळतात. उदा., भौतिकीमध्ये एखाद्या कणाची कोणत्याही विशिष्ट काळची स्थिती व त्याचा वेग त्या कणाची पुढील काळातील गती वर्तविण्यासाठी माहीत असणे जरूरीचे असते परंतु या विशिष्ट काळाच्या पूर्वीची गती माहीत असण्याची आवश्यकता नसते.
मार्कोव्ह प्रक्रियेचे सर्वांत साधे परंतु महत्त्वाचे उदाहरण म्हणजे मार्कोव्ह साखळी होय. समजा E1, E2, …………. इ. सांत (परिमित) किंवा गणनीयतः अनंत अवस्था असलेली प्रणाली दिलेली असून त्यातील Ej या अवस्थेत प्रणाली कोणत्या तरी क्षणी होती असे दिलेले असल्यास पुढच्या क्षणाला Ek या अवस्थेत ती येईल याची सशर्त संभाव्यता Pjk आहे. तसेच प्रणाली Ei या अवस्थेत प्रारंभीच असण्याची संभाव्यता ai असल्यास ती दुसऱ्या, तिसऱ्या किंवा चौथ्या वेळी कोणत्या अवस्थेत असेल यांच्या संभाव्यता खालीलप्रमाणे येतील :
P { (Ej, Ek) }=aj Pj k ,
P { (Ej, Ek, Er) }=aj pjk pkr ,
P { (Ej, Ek , Er , Es) } = aj Pjk Pkr Prs
आणि सामान्यत:
P { (Ej0, Ej1, Ej2, …….Ejn) }
= aj0 Pj0 j1 Pj1 j2 ….. Pjn-2jn-1 Pjn-1jn
Pjk ना संक्रमण संभाव्यता असे नाव असून त्या आव्यूह स्वरूपात मांडता येतात. P हा अर्थातच चौरस आव्यूह [⟶ आव्यूह सिद्धांत] आणि त्यातील सर्व घटक अ-ऋण असून रांगांच्या बेरजा एक आहेत. अशा आव्यूहाला ‘यदृच्छ आव्यूह’ म्हणतात. कोणताही यदृच्छ आव्यूह, संक्रमण संभाव्यता आव्यूह म्हणून चालू शकतो. असा आव्यूह व प्रारंभीचे {ai } हे वंटन यांच्या द्वारे E1, E2……… या अवस्था असलेली मार्कोव्ह साखळी पूर्णतः निर्देशित करता येते.
P= P11
P12 P13…. ….
P21 P22 P23…. ….
P31 P32 P33…. ….
: : :…. ….
: : :…. ….
: : :…. ….
या प्रक्रियेत Ejr या अवस्थेत असलेली प्रणाली पुढच्या क्षणी Ejr+1 या अवस्थेत जाईल याची संभाव्यता Pjr jr+1 आहे आणि प्रणाली Ejr मध्ये जाण्यापूर्वी इतर कोणत्याही अवस्थेत असण्याची संभाव्यता कोणतीही असली, तरी वरील संभाव्यता कायमच राहते. हा मार्कोव्ह प्रक्रियांचा विशेष गुणधर्म आहे. या गुणधर्मामुळे या साखळी प्रक्रियेच्या संक्रमण संभाव्यता स्थिर आहेत, असे म्हटले जाते.
वरील मार्कोव्ह साखळीत प्रणाली Ej अवस्थेतून Ek अवस्थेत एकाच पायरीत जाते असे मानले आहे परंतु Ej ते Ek हे संक्रमण Ej⟶ Ej1 ⟶ Ej2 ⟶ •• ⟶ Ein-1 ⟶ Ek अशा प्रकारच्या निरनिराळ्या मार्गांनी नेमक्या n पायऱ्यांत होण्याचीही शक्यता आहे. प्रणाली प्रारंभी Ej या अवस्थेत आहे असे दिलेले असल्यास वरील विशिष्ट मार्गाने तिचे संक्रमण होईल याची सशर्त संभाव्यता Pjj1 Pj1j2…..Pjn-1k अशी होईल, तसेच प्रणाली Ej या अवस्थेत r या काळी होती, असे दिलेले असल्यास ती Ek या अवस्थेत r + n या काळी असण्याची संभाव्यता म्हणजे सर्व शक्य असलेल्या मार्गांच्या संभाव्यतांची बेरीज होईल. ही संभाव्यता Pj k (n) अशी दर्शविली जाते. जर n = 1 असेल तर Pj k (1) = P j k आणि n = 2 असेल, तर
(2)
Pjk = ∑ Pjv Pvk ⇨ गणितीय विगमनाने असे दिसून येईल की,
v
(n+1) (n)
Pj k = ∑ pjv pvk
v
आणि m वर विगमन केल्यास सामान्यतः असे म्हणता येईल की,
(m+n) = (m) (n)
Pj k ∑ pjv pvk
∑
या समीकरणात प्रणाली पहिल्या m पायऱ्यांत Ej पासून Ev या मध्यंतरीच्या अवस्थेत येते व Ev पासून Ek मध्ये शेवटच्या n पायऱ्यांत येते, असे मानलेले आहे.
वरील समीकरण हे मार्कोव्ह साखळीचे वैशिष्ट्य असून त्याला चॅपमन कॉल्मॉगॉरॉव्ह समीकरण म्हणतात. याहून व्यापक स्वरूपाच्या प्रक्रियांकरिताही वरील समीकरणाच्या धर्तीचे समीकरण येते परंतु त्यात शेवटचा गुणक v व k यांशिवाय j वरही अवलंबून असतो. जर अवस्थांची संख्या सात किंवा गणनीयतः अनंत नसेल, तर वरील विवेचनातील योग्य चिन्हाऐवजी [∑] समाकलन चिन्हाचा (∫) उपयोग करावा लागेल. [⟶ अवकलन व समाकलन].
यदृच्छ चाल : ही एक अगदी साधी प्रक्रिया असून तीत Xr ही चल tr या काळी X च्या यापूर्वीच्या सर्व संचांपासून स्वतंत्र असतो. अशा यदृच्छ चलांच्या श्रेणींचे सांख्यिकीय दृष्ट्या महत्त्व त्यांपासून होणारे साधित चल किंवा साधित श्रेणी [उदा., चलांची संचित बेरीज Sr = X1 + X2 + …… + Xr] यांच्या गुणधर्मांत आहे. या प्रक्रियेला ‘यदृच्छ चाल’ असे म्हणण्याचा प्रघात आहे. एखाद्या चालत असलेल्या माणसाने tr या काळी Xr अंतराची यदृच्छ पायरी पूर्वीच्या सर्व पायऱ्यांहून स्वंतत्रपणे घेतली, तर Sr ही त्या माणसाची tr या काळची स्थिती दर्शवील.
अशा प्रकारच्या प्रक्रियांचे पहिले उदाहरण सतराव्या शतकातील जुगारातून उद्‌भवलेल्या प्रश्नांमध्ये आढळते. समजा एक जुगारी प्रतिस्पर्ध्याशी खेळत आहे व दर खेळीत तो एक रुपया जिंकण्याची किंवा हरण्याची संभाव्यता अनुक्रमे p आणि q आहे. त्याचे मूळ भांडवल z असून त्याच्या प्रतिस्पर्ध्याचे भांडवल a – z आहे. म्हणजे दोघांचे एकूण भांडवल a असते. हा खेळ जुगाऱ्याचे भांडवल ० किंवा a होईपर्यंत म्हणजेच दोघांपैकी कोणी तरी एक कंगाल होईपर्यंत चालू राहतो, असे समजल्यास जुगारी अथवा त्याचा प्रतिस्पर्धी कंगाल होण्याची संभाव्यता आणि खेळाच्या कालमानाचे संभाव्यता वंटन हे प्रस्तुत विषयाच्या दृष्टीने महत्त्वाचे प्रश्न आहेत.
याच प्रकारचे भौतिक रूप म्हणजे X- अक्षावर एखाद्या चल बिंदूची किंवा कणाची होणारी गती होय. ० काळी हा कण त्याच्या z या आरंभस्थानी असून १, २, ३ ………. या काळी तो धन किंवा ऋण दिशेला एक पायरी जातो असे समजू. ही दिशा नाणेफेकीवरून अथवा दुसऱ्या एखाद्या खेळीचा उपयोग करून तिच्या यश-अपयशानुसार ठरविली जाते, असे समजल्यास कणाची n या काळी असलेली स्थिती जुगाऱ्याचे n व्या खेळीनंतर असलेले भांडवल निर्देशित करते. कण जेव्हा पहिल्या खेपेस ० किंवा a पाशी पोचतो त्या वेळी या खेळी संपतात. अशा प्रकारे हा कण यदृच्छ चाल करतो व ही चाल फक्त १, २, ………. a – १ या स्थितीपुरतीच निर्बंधित असते. कारण ० व a या स्थिती प्राप्त होताच चाल थांबते. अशा प्रकारच्या स्थितींना शोषक सीमा (किंवा अटकाव) म्हणतात. शोषक अथवा अन्य सीमा नसलेल्या यदृच्छ चालीस अनिर्बंधित यदृच्छ चाल म्हणतात. या यदृच्छ चालीच्या प्रतिकृतीचा (मॉडेलचा) एकमितीतील विसरणाची (अणू व रेणूंच्या स्वयंस्फूर्त हालचालींची) किंवा ब्राउनीय गतीची प्रतिकृती म्हणून उपयोग करतात. या प्रक्रियांत अनेक रेणवीय आघातांमुळे कणाला अशा तऱ्हेची यदृच्छ गती प्राप्त होत असते.
यदृच्छ चालीच्या प्रतिकृतीमध्ये निरनिराळी रूपांतरे करून निरनिराळे प्रश्न सोडविता येतात. शोषक सीमांच्या ऐवजी परावर्तक किंवा स्थितीस्थापक (लवचिक) सीमा किंवा a ही सीमा अनंताप्रत ठेवण्याच्या कल्पनांचा सांख्यिकीय यामिकीत [⟶ सांख्यिकीय भौतिकी] उपयोग होतो. याशिवाय यदृच्छ चाल करणारा कण एखाद्या बिंदूतून पहिल्यांदा, दुसऱ्यांदा वगैरे कधी जाईल याची संभाव्यता काढण्याच्या प्रश्नाचेही व्यवहारात विशेषतः सांख्यिकीय यामिकीमध्ये महत्त्व आहे. दोन किंवा अनेक मितींतील यदृच्छ चालीच्या प्रतिकृतींचाही भौतिकीत उपयोग होतो. एकमिती यदृच्छ चालीतील कणाची गती एका वेळेस एका पायरीने मर्यादित असण्याऐवजी ती सांत अंतराच्या उड्यांच्या स्वरूपात बदलत असल्यास तिला अनुरूप असणाऱ्या प्रतिकृतीचे व अशाच प्रकारच्या व्यापकीकृत यदृच्छ चालीचे अब्राहम वॉल्ड यांच्या ⇨अनुक्रमात्मक विश्लेषणात विशेष महत्त्व आहे. यदृच्छ चालीच्या ह्या निरनिराळ्या रूपांतरित प्रतिकृती मार्कोव्ह साखळीचे विशेष प्रकारच आहेत.
नूतनीकरण प्रक्रिया : काळानुसार एखादी वस्तू नाश पावत असल्यास ती नाश पावल्यावर तिच्या जागी नवीन वस्तूचा वापर करणे इष्ट असते. अशा प्रक्रियेचे t या काळी होणारे वर्तन हे त्या वस्तूचे भूतकाळात एखाद्या विशिष्ट क्षणी नूतनीकरण केलेले होते या माहितीपेक्षा तेव्हापासून किती काळ लोटला यावर अवलंबून असते. कारण एखादी वस्तू नाश पावण्याची शक्यता त्या वस्तूचा किती काळ वापर झालेला आहे यावर अवलंबून असते आणि हा वापरकाळ एक यदृच्छ चल असतो. अशा प्रकारे t या क्षणी प्रणालीच्या अवस्था वापरकाळांच्या पदांमध्ये मांडल्यास ही प्रक्रिया मार्कोव्ह प्रक्रिया होईल या प्रक्रियेचा आनुवंशिकीतील पुनःसंयोजन सिद्धांतामध्ये [⟶ आनुवंशिकी] तसेच विजेचे दिवे, औद्योगिक यंत्रे इत्यादींच्या नूतनीकरणासंबंधीच्या प्रश्नांत उपयोग होतो.
मार्कोव्ह प्रक्रियांवर निरनिराळ्या अटी घातल्यास निरनिराळ्या प्रकारच्या उपयुक्त प्रक्रिया मिळतात.
प्वासाँ प्रक्रिया : समजा एखाद्या स्वेच्छ परंतु निश्चित अशा t या कालावधीस एखादी घटना (उदा., दूरध्वनी संदेशांची संख्या) किती वेळा घडते याचा आपणास विचार करावयाचा आहे. ती घटना X(t) वेळा घडते असे मानल्यास X(t) हा ०, १, २ …. इ. मूल्ये घेणारा यदृच्छ चल होईल. X (t) = n असण्याची संभाव्यतः Pn (t) ने दर्शविली असल्यास संभाव्यता
P n(t) =e -λt(λt)n
n!
अशी येते. येथे λ हा स्थिरांक व e हा स्वाभाविक लॉगरिथमांचा आधारांक [⟶ इ] आहे. ही संक्रमण संभाव्यता असलेल्या प्रक्रियेला एस्‌. डी. प्वासाँ या फ्रेंच गणितज्ञांच्या नावावरून प्वासाँ प्रक्रिया म्हणतात. ही प्रक्रिया म्हणजे किरणोत्सर्गी क्षयाच्या प्रक्रियेची गणितीय प्रतिकृती आहे [⟶ किरणोत्सर्ग]. येथे X (t) चा अर्थ एखाद्या किरणोत्सर्गी द्रव्याच्या t या कालावधीत होणाऱ्या किरणोत्सर्गी विघटनांची संख्या असा आहे. दुसऱ्या एखाद्या उदाहरणात X (t) ही हमरस्त्यावरील एखाद्या विशिष्ट स्थानावरून जाणाऱ्यायेणाऱ्या मोटारगाड्यांची संख्याही असून शकेल.
केवल जन्म प्रक्रिया : या प्रक्रियेत En या अवस्थेत असलेल्या प्रणालीत होणारा बदल En+1 या अवस्थेतूनच होऊ शकतो. अशा प्रक्रियेची उदाहरणे म्हणजे किरणोत्सर्गी मूलद्रव्यांतरण प्रक्रिया (किरणोत्सर्गी विघटनामुळे एका मूलद्रव्याचे दुसऱ्या मूलद्रव्यांत रूपांतरण होण्याची प्रक्रिया) आणि जी. यू. यूल या ब्रिटिश सांख्यिकीविज्ञांच्या नावावरून ओळखण्यात येणारी यूल प्रक्रिया ही होत. यूल प्रक्रियेमध्ये समष्टीत (अभ्यास करावयाच्या समुदायात) असलेल्या घटकांपासून नवीन घटक जन्म पावतात परंतु त्यांचा मृत्यू होत नाही, असे गृहीत धरलेले आहे.
जन्ममृत्यू प्रक्रिया : या प्रक्रियेमध्ये समष्टीतील घटक नवीन घटकांना जन्म देऊ शकतात व अस्तित्वात असलेल्या घटकांचा मृत्यू होऊ शकतो किंवा ते समष्टीतून बाहेर जाऊ शकतात, असे मानले जाते. म्हणजेच येथे En या अवस्थेतून प्रणाली En-1 किंवा En+1 या अवस्थांत जाऊ शकते. यापुढील जास्त व्यापक पायरी म्हणजे प्रणाली En या अवस्थेतून कोणत्याही E1 या अवस्थेत जाऊ शकते.
जन्ममृत्यू प्रक्रियेचा उपयोग दूरध्वनी मार्गावर होणाऱ्या संदेशांची संख्या व त्यांना लागणारा कालावधी, दुकानातील विक्रीस्थान, यंत्रदुरुस्ती यांकरिता लागणाऱ्या ग्राहकाच्या प्रतीक्षावली (प्रतीक्षा रांगा, क्यू), एखाद्या विमानतळावर उतरण्यासाठी प्रतीक्षा करणारी विमाने अशा प्रकारच्या प्रश्नांकरिता होतो. मात्र येथे गणितीय सुलभतेसाठी प्रतीक्षाकालाचे वंटन e— घातीय प्रकारचे आहे असे मानले जाते. व्यवहारतः हे गृहीत अस्वाभाविक आहे असे वाटले परंतु या गृहीताद्वारे प्रत्यक्ष घटनांचे यथार्थ निर्देशन करता येणे शक्य आहे, असे दिसून आलेले आहे. ⇨ प्रतीक्षावली सिद्धांतात जन्ममृत्यू प्रक्रियेच्या प्रतिकृतीचा मोठ्या प्रमाणावर उपयोग करण्यात आलेला आहे.
इतिहास : यदृच्छ प्रक्रियांविषयीच्या आधुनिक मीमांसेची सुरुवात मार्कोव्ह यांच्या त्यांच्या नावाने प्रसिद्ध असलेल्या साखळ्यांविषयीच्या निबंधाने (१९०६-०७) झाली असे मानतात. आइन्स्टाइन (१९०५) व एल्‌. बॅटचेलियर (१९१२) यांनीही ब्राउनीय गतीच्या सिद्धांतात असाच उपक्रम केल्याचे दिसून येते. ए. एन्‌. कॉल्मॉगॉरॉव्ह यांनी गणितीय दृष्ट्या १९३१ मध्ये या विषयाचा पद्धतशीर पाया घातला. त्यानंतर डब्ल्यू. फेलर, एच्‌. क्रामर, पी. लेव्ही, एम्‌. फ्रेशे, ए. खिन्चिन, जे. एल्‌. डूब, एम्‌. लव्ह वगैरे नामवंत गणितज्ञांनी या विषयात सखोल संशोधन केले आहे. अलीकडील काळात वरील शास्त्रज्ञांखेरीज एम्‌. एस्‌. बार्टलेट, डी. जी. केंड्ल, जे. ई. मोयाल, के. एल्‌. चुंग वगैरे अनेकांनी या विषयाची व्याप्ती वाढविली आहे. भारतीय गणितज्ञांत मसानी व ए. टी. भरुचा-रीड यांचे यासंबंधीचे सैद्धांतिक विवेचन विशेष मान्यता पावले आहे. एन्‌. यू. प्रभू यांनी प्रतीक्षावली व धरणांची गणितीय मीमांसा यांविषयी संशोधन केलेले असून सुब्रह्मण्यन्‌ चंद्रशेखर व अल्लादि रामकृष्णन्‌ यांनी भौतिकीय विषयांत यदृच्छ प्रक्रियांचा उपयोग केलेला आहे.
संदर्भ: 1. Bartlett, M. S. An Introduction to Stochastic Processes with Special Reference to Methods and Applications, London, 1978.
2. Doob, J. L. Stochastic Processes, New York, 1953.
3. Dynkin, E. B. Yushkeivch, A. A. Trans. Wood, J. S. Markov Processes, New York. 1969.
4. Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 2 Vols., New York, 1957 & 1966.
5. Loeve, M. Probability Theory, Princeton, 1963.
6. Parzen, E. Stochastic Processes, San Francisco, 1962.
7. Srinivasan, S. K. Mehata, K. M. Stochastic Processes, New York, 1978.
भदे, व. ग.
“