प्रोबिट विश्लेषण :मुख्यत्वे जीवविज्ञानातील संशोधनात वापरण्यात येणारी एक सांख्यिकीय (संख्याशास्त्रीय) विश्लेषणाची पद्धत. जीवविज्ञानात बऱ्याच वेळा एखाद्या औषधाच्या मात्रांचे (डोसांचे) विभाजन व एखादी विशिष्ट प्रतिक्रिया ह्यांचा परस्परसंबंध काय असतो, ह्याचा अभ्यास करावा लागतो. बहुतेक संशोधनात प्रतिक्रिया ही द्विभाजी असते. द्विभाजी प्रतिक्रियेची उदाहरणे म्हणून मरणे किंवा जगणे अगर एखाद्या रोगातून बरे होणे किंवा न होणे अशा प्रकारची देता येतील. एखाद्या प्राण्यामध्ये ही प्रतिक्रिया निर्माण होण्यासाठी औषधाची एक किमान मात्रा लागते. ह्या किमान मात्रेपेक्षा मोठी मात्रा जर त्या प्राण्यास दिली, तर त्याच्यामध्ये इष्ट प्रतिक्रिया खात्रीने निर्माण होते. ह्या किमान मात्रेला ‘वैयक्तिक परिणामी मात्रा’ म्हणतात. ही वैयक्तिक परिणामी मात्रा एखाद्या प्राणिसमूहातील निरनिराळ्या प्राण्यांमध्ये निरनिराळी असते. म्हणून ह्या वैयक्तिक परिणामी मात्रेच्या मूल्यांचे एक वंटन (वितरण) मानावे लागते. सुरुवातीस सांगितलेली औषधाची मात्रा आणि तिची प्रतिक्रिया यांचा परस्परसंबंध शोधण्यासाठी या वंटनाचे आकलन करणे आवश्यक असते. हे वंटन बहुतांशी प्रसामान्य [→वंटन सिद्धांत] नसते पण मात्रांचे त्यांच्या लॉगरिथम किंवा दुसऱ्या एखाद्या राशीत रूपांतर केले, तर ह्या रूपांतरित राशीच्या मूल्यांचे वंटन प्रसामान्य आहे, असे आढळून येते. ह्या प्रसामान्य वंटनाचे अव्यक्त प्रचल (विशिष्ट परिस्थितीत निरनिराळी मूल्ये देता येणाऱ्या स्थिर राशी) दोन, अनुक्रमे माध्य (सरासरी) व विचरण असतात आणि ते μव σ2 ह्यांनी दर्शविले जातात. तेव्हा वंटनाच्या आकलनासाठी μव σ2 ह्यांच्या मूल्यांचे आकलन करण्याचा प्रश्न येतो. पुढील विवेचनात मात्रेच्या ह्या रूपांतरित राशीसच ‘मात्रा’ म्हटले आहे.

आता एका प्रयोगामध्ये औषधाच्या n (X1, X2,…., Xn) निरनिराळ्या मात्रा केलेल्या आहेत असे समजू. ह्या मात्रा प्रत्येकी m प्राणी असलेल्या nसमूहांना दिल्या, तर प्रत्येक समूहातील किती प्राण्यांमध्ये इष्ट समूहातील प्रतिक्रिया होईल हे पाहता येईल व त्यांची प्रमाणे P1,P2,……,Pn अश काढता येतील. अर्थातच पहिल्या समूहातील m प्राण्यांपैकी, ज्यांची वैयक्तिक परिणामी मात्रा X1 पेक्षा कमी आहे, त्यांच्यामध्ये ही प्रतिक्रिया खचितच होईल, असे मानावयास हरकत नाही. इतर समूहांतील प्राण्यांमध्येही तसेच घडेल (ह्या प्रयोगात प्रत्येक समूहात प्राण्यांची संख्या समानच असली पाहिजे असे नाही. फक्त समूहांतील प्राण्यांमध्ये इतर बाबतींत विशेष फरक असू नयेत. उदा., त्यांची वजने, वये इ. केवळ सोयीसाठी म्हणून ही संख्या समान धरली आहे). दिलेल्या n मात्रांवरून व निरीक्षणावरून मिळालेल्या n प्रमाणांवरून वर सांगितलेल्या μ व σ2 या दोन प्रचलांच्या मूल्यांचे आकलन करता येते. प्रत्यक्ष प्रमाणे न वापरता त्यांच्याऐवजी त्यांची प्रोबिटे वापरल्यास हे आकलन सोपे जाते म्हणून प्रमाणांचे प्रोबिटांमध्ये रूपांतर करण्याची पद्धत उपयोगात आली.

व्याख्या😛 ह्या प्रमाणाचे प्रोबिट म्हणजे P इतकीच संभाव्यता असलेला आणि ५ हे माध्य व १ हे विचरण असलेल्या प्रसामान्य वंटनाचा संगत भुज होय. P चे प्रोबिय जर Y ने दर्शविले, तर

उदा., ०·५ चे प्रोबिट ५ आहे. अनुक्रमे ० व १ प्रचल असलेले नेहमीचे प्रसामान्य वंटन न वापरता वरील वंटन वापरण्याचे कारण असे केल्याने प्रोबिट गणनेत ऋण संख्या येत नाहीत. आता X हा μ आणि σ2 हे प्रचल असलेल्या प्रसामान्य वंटनामधील P इतकीच संभाव्यता असलेला संगत भुज असेल, तर

(१) व (२) ही समीकरणे पडताळून पाहता खालील समीकरण मिळते.

Y=5+(X – μ) /σ …      … (३)

ह्या रेषेस प्रोबिट समाश्रयण रेषा म्हणतात. अशा प्रकारे प्रमाण P व मात्रा X यांमधील समीकरण (२) सारखे गुंतागुंतीचे राहत नाही, तर (३) सारखे सोपे होते. प्रमाणाऐवजी प्रोबिटे वापरल्यामुळे ही सुलभता शक्य झालेली आहे.

निरीक्षणाने मिळालेल्या P च्या n मूल्यांवरून त्यांची n प्रोबिटे Y1, Y2,….,Yn ही समी. (१) वरून निघतात. प्रत्यक्षात ही प्रोबिटे काढण्यासाठी कोष्टकांचा उपयोग केला जातो. ह्या Y च्या n मूल्यांवरून आणि X ला दिलेल्या n ठराविक मूल्यांवरून समाश्रयण रेषा प्राप्त होतो. ह्या रेषेच्या साहाय्याने μआणि σ2 यांच्या मूल्यांचे आकलन करता येते. यालाच प्रोबिट विश्लेषण म्हणतात.


 पद्धती: प्रोबिट समाश्रयण रेषेचे आकलन करण्यासाठी दोन पद्धती आहेत : एक आलेख पद्धत व दुसरी गणितीय पद्धत. आलेख पद्धतीने काढलेले निष्कर्ष चटकन काढता येतात पण गणितीय पद्धतीने ते जास्त अचूक निघतात.

एखाद्या प्रयोगातून वर सांगितल्याप्रमाणे औषधाच्या मात्रांचे व प्रतिक्रिया निर्माण झालेल्या प्राण्यांच्या प्रमाणाचे आपणाला निरीक्षण करता येईल. ही अनुक्रमे X1,X2,….,Xn आणि P1,P2,…,Pn अशी समजू. नंतर प्रमाणांचे आर्.ए.फिशर व एफ्. येट्‌स ह्यांनी तयार केलेल्या कोष्टकांच्या पुस्तकातील (संदर्भ क्र. २ पहावा) नवव्या कोष्टकाच्या आधारे प्रोबिटांमध्ये रूपांतर करावे. ही प्रोबिटे Y1,Y2,…,Yn अशी लिहू व त्यांना निरीक्षित प्रोबिटे असे म्हणू (ह्या n प्रोबिटांचे वैयक्तिक विचरण सारखे नसल्यामुळे प्रोबिट समाश्रयण रेषेचे आकलन करताना भारांचा उपयोग करावा लागतो याचा उल्लेख पुढे येईल).

आलेख पद्धत:आलेख कागदाच्या X- अक्षावर औषधाच्या मात्रा व Y-अक्षांवर प्रोबिटे असे धरून n बिंदू काढावेत आणि त्यांमधून जाणारी व सर्व बिंदू अधिकात अधिक जवळ येतील अशी एक सरळ रेषा काढावी. म्हणजे रेषा काढताना बिंदूंची रेषेपर्यंतची लंबांतरे सरासरीने कमीत कमी यावीत अशी काळजी घ्यावी. नजरेने काढलेली ही तात्पुरती रेषाच प्रोबिट समाश्रयण रेषेची आकलन करणारी रेषा असे समजण्यात येते. समी. (३) लक्षात घेता ह्या रेषेवरून ५ इतक्या कोटीबरोबरच भूज व रेषेचा उतार ही अनुक्रमे μ व  यांच्या मूल्यांचे आकलन करतील, हे उघड आहे. फारसे अचूक आकलन नको असल्यास ही रेषा पुरेशी होती. प्रत्यक्षात ह्या रेषेचा उपयोग मुख्यत्वेकरून गणितीय पद्धतीची सुरुवात करण्यात होतो.

गणितीय पद्धत:वर सांगितलेली तात्पुरती रेषा काढावी व तिच्या वरून दिलेल्या n ठराविक मात्रांशी जुळणारी प्रोबिटे काढावीत. ही n प्रोबिटे Y1*, Y2*,….,Yn* अशी लिहू. त्यांवरून त्यांना जुळणारे ५ हा माध्य व १ हे विचरण असलेल्या प्रसामान्य वंटनातील संभाव्यता व कोटी काढावेत. हे P1*, P2*,….,Pn* आणि Z1*, Z2*,….,Zn* असे लिहावेत. उदा., 

 

 

ती काढल्यानंतर निरीक्षित प्रोबिटाला mZ*2/P*(1-P*) इतका प्रत्येकी भार देऊन समाश्रयण रेषा काढण्याच्या नेहमीच्या गणिताने नवी भारांकित समाश्रयण रेषा काढावयाची. ह्या ठिकाणी एक गोष्ट लक्षात ठेवली पाहिजे की, निरीक्षित प्रमाणाचे वंटन त्यांच्या खरे मूल्य असलेल्या प्रमाणाभोवती नसते, म्हणून ही रेषा काढताना निरीक्षित प्रोबिटांच्या ऐवजी कामचलाऊ प्रोबिटांचा उपयोग करतात. कामचलाऊ प्रोबिट म्हणजे

यांतील जे सूत्र सोयीचे असेल त्यावरून निघालेले मूल्य. ही कामचलाऊ प्रोबिटे काढण्यासाठी खालील तीन राशी आवश्यक असतात:

(१)लघुतम कामचलाऊ प्रोबिट, 

Y0** = Y*-

P*

Z*

(२) महत्तम कामचलाऊ प्रोबिट,

Y100** = Y* +

(1 – P*)

Z*

आणि (३) मर्यादांतर = 

ह्या तीन राशींचे व भारांचे कोष्टक फिशर व येट्स ह्यांच्या पुस्तकात कोष्टक ९ (ब) म्हणून दिले आहे. त्यावरून कामचलाऊ प्रोबिटे व त्यांचे भार काढता येतात व त्यांच्या साहाय्याने नवी भारांकित समाश्रयण रेषा गणिताने काढण्यात येते. ही रेषा पूर्वी काढलेल्या तात्पुरत्या रेषेपेक्षा फारशी निराळी नसल्यास, ह्याच रेषेला प्रोबिट समाश्रयण रेषेचे आकलन करणारी रेषा असे समजावे पण ती जर निराळी असेल, तर ही नवीन रेषा आता तात्पुरती रेषा समजून तिच्यावरून पुन्हा वरीलप्रक्रिया करून नवी दुसरी भारांकित रेषा काढावी. अशा तऱ्हेने एकामागून एक काढलेल्या दोन रेषा सारख्या येईपर्यंत वरील प्रक्रिया चालू ठेवावी. त्यांच्यामध्ये फारसा फरक नसल्यास शेवटी काढलेली भारांकित रेषा प्रोबिट समाश्रयण रेषेचे आकलन करणारी रेषा आहे, असे समजतात. ह्या रेषेवरून आलेख पद्धतीत सांगितल्याप्रमाणे μव 1/σ यांचे आकलन करावे. ह्या आवर्त पद्धतीने काढलेली आकलने महत्तम शक्यता पद्धतीने [→सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र] काढलेल्या आकलनांएवढी येतात.

प्रोबिटची मूळ कल्पना :प्रोबिट हे अलीकडे जरी मुख्यत्वे करून जीवविज्ञानातील संशोधनात वापरले जात असले, तरी त्याचा प्रथम उपयोग करण्याचे श्रेय एकोणिसाव्या शतकातील मानसभौतिक शास्त्रज्ञांनाच दिले पाहिजे.

जी. टी. फेक्नर या मानसशास्त्रज्ञांनी दोन वजनांपैकी कोणते वजन जड आहे, हे अजमावण्याविषयी १८६० साली पुढील प्रयोग केला. त्यांनी विवक्षित फरक असलेली दोन वजने एका गटातील प्रत्येक व्यक्तीला दिली व त्यांतील कोणते वजन अधिक आहे असे विचारले आणि ते बरोबर सांगणाऱ्यांचे प्रमाण काढले. त्यांनी हा प्रयोग वजनांमधील फरक अनेकदा बदलून केला. वजनांमधील फरक व त्यांतील कोणते वजन जास्त हे बरोबर सांगणाऱ्यांचे प्रमाण ह्या दोहोंचा परस्परसंबंध काय असतो, हे त्यांना बघावयाचे होते. त्यासाठी त्यांनी प्रमाणांचे रूपांतर ० आणि १ हे प्रचल असलेल्या प्रसामान्य वंटनाच्या भुजांत केले. प्रोबिटाच्या मूळ कल्पनेविषयीचा हा पहिला शास्त्रीय संदर्भ असे म्हटले पाहिजे. तदनंतर १८७० साली जी.ई. म्यूलर यांनी भुजांना भार दिले. भार देण्याची ही कल्पना योग्य असली, तरी त्यांनी दिलेले भार चुकीचे होते. कारण भारांचे वंटन द्विपद असते [→वंटन सिद्धांत], हे त्यांनी लक्षात घेतले नव्हते. पुढे १९१० साली एफ्. एम्. अर्बन यांनी योग्य भारांचा उपयोग केला.

मानसभौतिक शास्त्रज्ञांखेरीज ए. हेझन व जी. सी. व्हिपल ह्या दोन शास्त्रज्ञांनी आलेख पत्रांचा उपयोग केला. १९२३ साली एल्. एफ्. शॅकेल या जीवशास्त्रज्ञांनी औषधाचे विषत्व जाणण्यासाठी केलेल्या प्रयोगांत प्रसामान्य वंटनाच्या समाकलाचा उपयोग केला. १९२६ साली एस्. राईट यांनी सुद्धा या समाकलाचाच उपयोग केला. १९२६ साली एस्. राईट यांनी सुद्धा या समाकलाचाच उपयोग केला पण हे सर्व प्रयत्न जीवशास्त्रज्ञांच्या नजरेस आले नव्हते. अखेर १९३३ साली जे.एच्. गॅडम यांनी औषधांच्या मात्रांचे विभाजन व एखादी द्विभाजी प्रतिक्रिया ह्यांचा परस्परसंबंध काय असतो, हे अजमाविण्यासाठी प्रमाणांचे रूपांतर ० व १ हे प्रचल असलेल्या प्रमाणित वंटनाच्या भुजांत केले. त्याच सुमारास म्हणजे १९३४ साली सी.आय्.ब्लिस यांनीही असेच रूपांतर सुचविले, पण त्यांनी ० व १ च्या ऐवजी ५ व १ असे प्रचल धरले. हे रूपांतर म्हणजेच प्रचलित सांख्यिकीत रूढ झालेले प्रोबिट होय.

संदर्भ : 1. Finney, D.G. Probit Analysis, London, 1952.

           2. Fisher, R. A.Yates, F. Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research, Edinburgh, 1963.

साठे, य.स.