प्रोबिट विश्लेषण

प्रोबिट विश्लेषण :मुख्यत्वे जीवविज्ञानातील संशोधनात वापरण्यात येणारी एक सांख्यिकीय (संख्याशास्त्रीय) विश्लेषणाची पद्धत. जीवविज्ञानात बऱ्याच वेळा एखाद्या औषधाच्या मात्रांचे (डोसांचे) विभाजन व एखादी विशिष्ट प्रतिक्रिया ह्यांचा परस्परसंबंध काय असतो, ह्याचा अभ्यास करावा लागतो. बहुतेक संशोधनात प्रतिक्रिया ही द्विभाजी असते. द्विभाजी प्रतिक्रियेची उदाहरणे म्हणून मरणे किंवा जगणे अगर एखाद्या रोगातून बरे होणे किंवा न होणे अशा प्रकारची देता येतील. एखाद्या प्राण्यामध्ये ही प्रतिक्रिया निर्माण होण्यासाठी औषधाची एक किमान मात्रा लागते. ह्या किमान मात्रेपेक्षा मोठी मात्रा जर त्या प्राण्यास दिली, तर त्याच्यामध्ये इष्ट प्रतिक्रिया खात्रीने निर्माण होते. ह्या किमान मात्रेला ‘वैयक्तिक परिणामी मात्रा’ म्हणतात. ही वैयक्तिक परिणामी मात्रा एखाद्या प्राणिसमूहातील निरनिराळ्या प्राण्यांमध्ये निरनिराळी असते. म्हणून ह्या वैयक्तिक परिणामी मात्रेच्या मूल्यांचे एक वंटन (वितरण) मानावे लागते. सुरुवातीस सांगितलेली औषधाची मात्रा आणि तिची प्रतिक्रिया यांचा परस्परसंबंध शोधण्यासाठी या वंटनाचे आकलन करणे आवश्यक असते. हे वंटन बहुतांशी प्रसामान्य [→वंटन सिद्धांत] नसते पण मात्रांचे त्यांच्या लॉगरिथम किंवा दुसऱ्या एखाद्या राशीत रूपांतर केले, तर ह्या रूपांतरित राशीच्या मूल्यांचे वंटन प्रसामान्य आहे, असे आढळून येते. ह्या प्रसामान्य वंटनाचे अव्यक्त प्रचल (विशिष्ट परिस्थितीत निरनिराळी मूल्ये देता येणाऱ्या स्थिर राशी) दोन, अनुक्रमे माध्य (सरासरी) व विचरण असतात आणि ते μव σ² ह्यांनी दर्शविले जातात. तेव्हा वंटनाच्या आकलनासाठी μव σ² ह्यांच्या मूल्यांचे आकलन करण्याचा प्रश्न येतो. पुढील विवेचनात मात्रेच्या ह्या रूपांतरित राशीसच ‘मात्रा’ म्हटले आहे.

आता एका प्रयोगामध्ये औषधाच्या n (X₁, X₂,…., X_n) निरनिराळ्या मात्रा केलेल्या आहेत असे समजू. ह्या मात्रा प्रत्येकी m प्राणी असलेल्या nसमूहांना दिल्या, तर प्रत्येक समूहातील किती प्राण्यांमध्ये इष्ट समूहातील प्रतिक्रिया होईल हे पाहता येईल व त्यांची प्रमाणे P₁,P₂,……,P_n अश काढता येतील. अर्थातच पहिल्या समूहातील m प्राण्यांपैकी, ज्यांची वैयक्तिक परिणामी मात्रा X₁ पेक्षा कमी आहे, त्यांच्यामध्ये ही प्रतिक्रिया खचितच होईल, असे मानावयास हरकत नाही. इतर समूहांतील प्राण्यांमध्येही तसेच घडेल (ह्या प्रयोगात प्रत्येक समूहात प्राण्यांची संख्या समानच असली पाहिजे असे नाही. फक्त समूहांतील प्राण्यांमध्ये इतर बाबतींत विशेष फरक असू नयेत. उदा., त्यांची वजने, वये इ. केवळ सोयीसाठी म्हणून ही संख्या समान धरली आहे). दिलेल्या n मात्रांवरून व निरीक्षणावरून मिळालेल्या n प्रमाणांवरून वर सांगितलेल्या μ व σ² या दोन प्रचलांच्या मूल्यांचे आकलन करता येते. प्रत्यक्ष प्रमाणे न वापरता त्यांच्याऐवजी त्यांची प्रोबिटे वापरल्यास हे आकलन सोपे जाते म्हणून प्रमाणांचे प्रोबिटांमध्ये रूपांतर करण्याची पद्धत उपयोगात आली.

व्याख्या😛 ह्या प्रमाणाचे प्रोबिट म्हणजे P इतकीच संभाव्यता असलेला आणि ५ हे माध्य व १ हे विचरण असलेल्या प्रसामान्य वंटनाचा संगत भुज होय. P चे प्रोबिय जर Y ने दर्शविले, तर

उदा., ०·५ चे प्रोबिट ५ आहे. अनुक्रमे ० व १ प्रचल असलेले नेहमीचे प्रसामान्य वंटन न वापरता वरील वंटन वापरण्याचे कारण असे केल्याने प्रोबिट गणनेत ऋण संख्या येत नाहीत. आता X हा μ आणि σ² हे प्रचल असलेल्या प्रसामान्य वंटनामधील P इतकीच संभाव्यता असलेला संगत भुज असेल, तर

(१) व (२) ही समीकरणे पडताळून पाहता खालील समीकरण मिळते.

Y=5+(X – μ) /σ …      … (३)

ह्या रेषेस प्रोबिट समाश्रयण रेषा म्हणतात. अशा प्रकारे प्रमाण P व मात्रा X यांमधील समीकरण (२) सारखे गुंतागुंतीचे राहत नाही, तर (३) सारखे सोपे होते. प्रमाणाऐवजी प्रोबिटे वापरल्यामुळे ही सुलभता शक्य झालेली आहे.

निरीक्षणाने मिळालेल्या P च्या n मूल्यांवरून त्यांची n प्रोबिटे Y₁, Y₂,….,Y_n ही समी. (१) वरून निघतात. प्रत्यक्षात ही प्रोबिटे काढण्यासाठी कोष्टकांचा उपयोग केला जातो. ह्या Y च्या n मूल्यांवरून आणि X ला दिलेल्या n ठराविक मूल्यांवरून समाश्रयण रेषा प्राप्त होतो. ह्या रेषेच्या साहाय्याने μआणि σ² यांच्या मूल्यांचे आकलन करता येते. यालाच प्रोबिट विश्लेषण म्हणतात.

 पद्धती: प्रोबिट समाश्रयण रेषेचे आकलन करण्यासाठी दोन पद्धती आहेत : एक आलेख पद्धत व दुसरी गणितीय पद्धत. आलेख पद्धतीने काढलेले निष्कर्ष चटकन काढता येतात पण गणितीय पद्धतीने ते जास्त अचूक निघतात.

एखाद्या प्रयोगातून वर सांगितल्याप्रमाणे औषधाच्या मात्रांचे व प्रतिक्रिया निर्माण झालेल्या प्राण्यांच्या प्रमाणाचे आपणाला निरीक्षण करता येईल. ही अनुक्रमे X₁,X₂,….,X_n आणि P₁,P₂,…,P_n अशी समजू. नंतर प्रमाणांचे आर्.ए.फिशर व एफ्. येट्‌स ह्यांनी तयार केलेल्या कोष्टकांच्या पुस्तकातील (संदर्भ क्र. २ पहावा) नवव्या कोष्टकाच्या आधारे प्रोबिटांमध्ये रूपांतर करावे. ही प्रोबिटे Y₁,Y₂,…,Y_n अशी लिहू व त्यांना निरीक्षित प्रोबिटे असे म्हणू (ह्या n प्रोबिटांचे वैयक्तिक विचरण सारखे नसल्यामुळे प्रोबिट समाश्रयण रेषेचे आकलन करताना भारांचा उपयोग करावा लागतो याचा उल्लेख पुढे येईल).

आलेख पद्धत:आलेख कागदाच्या X- अक्षावर औषधाच्या मात्रा व Y-अक्षांवर प्रोबिटे असे धरून n बिंदू काढावेत आणि त्यांमधून जाणारी व सर्व बिंदू अधिकात अधिक जवळ येतील अशी एक सरळ रेषा काढावी. म्हणजे रेषा काढताना बिंदूंची रेषेपर्यंतची लंबांतरे सरासरीने कमीत कमी यावीत अशी काळजी घ्यावी. नजरेने काढलेली ही तात्पुरती रेषाच प्रोबिट समाश्रयण रेषेची आकलन करणारी रेषा असे समजण्यात येते. समी. (३) लक्षात घेता ह्या रेषेवरून ५ इतक्या कोटीबरोबरच भूज व रेषेचा उतार ही अनुक्रमे μ व  यांच्या मूल्यांचे आकलन करतील, हे उघड आहे. फारसे अचूक आकलन नको असल्यास ही रेषा पुरेशी होती. प्रत्यक्षात ह्या रेषेचा उपयोग मुख्यत्वेकरून गणितीय पद्धतीची सुरुवात करण्यात होतो.

गणितीय पद्धत:वर सांगितलेली तात्पुरती रेषा काढावी व तिच्या वरून दिलेल्या n ठराविक मात्रांशी जुळणारी प्रोबिटे काढावीत. ही n प्रोबिटे Y₁*, Y₂*,….,Y_n* अशी लिहू. त्यांवरून त्यांना जुळणारे ५ हा माध्य व १ हे विचरण असलेल्या प्रसामान्य वंटनातील संभाव्यता व कोटी काढावेत. हे P₁*, P₂*,….,P_n* आणि Z₁*, Z₂*,….,Z_n* असे लिहावेत. उदा.,