बीजगणित : बीजगणित हे ⇨ अंकगणिताचेच व्यापकीकरण आहे. बीजगणितात आकड्यांऐवजी अ, क, ख, ग, …. वगैरे अक्षरांचा वापर केला जातो.‘समीकरण सोडविणे’ हा प्राथमिक बीजगणितातील एक महत्त्वाचा भाग आहे. अज्ञात राशीकरिता अक्षर वापरून इतर ज्ञात राशींच्या आधारे समीकरण मांडण्यात येते व गणितातील नियम वापरून समीकरण सोडविण्यात येते आणि अशा तऱ्हेने अज्ञात राशी शोधून काढली जाते. पूर्णांक व अपूर्णांक यांच्या पुढची संख्या सिद्धांतातील वाढ क्ष२ — २ = ० आणि क्ष२ — १ = ० अशा प्रकारची समीकरणे सोडविण्यातूनच झाली त्याचीच परिणती अपरिमेय आणि असत् संख्यांची निर्मिती होण्यात झाली [⟶ संख्या संख्या सिद्धांत]. याशिवाय बीजगणितात असमा, वस्तूंचे क्रमचय व समचय, संच, आव्यूह, श्रेढी वगैरेंच्या अभ्यासाचाही समावेश होतो [⟶आव्यूह सिद्धांत श्रेढी संच सिद्धांत समचयात्मक विश्लेषण].
आधुनिक (किंवा अमूर्त) बीजगणिताचा अंकगणिताशी दूरान्वयाने संबंध येतो. समीकरण सोडविण्याला यामध्ये फारसे महत्त्व नसते. मुख्यत्वे वेगवेगळ्या गणितीय प्रणालींच्या अमूर्त रचनेशी त्याचा संबंध येतो. आधुनिक बीजगणिताचा अभ्यास स्वयंसिद्धकानुसारी पद्धतीने केला जातो. या अभ्यासात गट, वलय, क्षेत्र, सदिश अवकाश, एकघाती अवकाश वगैरे गोष्टींचा समावेश होतो [⟶ बीजगणित, अमूर्त].
इतिहास : बीजगणिताकरिता इंग्रजीमध्ये वापरला जाणारा ‘आल्जिब्रा’ हा शब्द हा अरबी भाषेतील ‘अल्-जाब्र’ या शब्दापासून आलेला आहे. अल्-जाब्र याचा अर्थ ‘तुटलेल्या भागांची जुळणी’ असा आहे. बहुतेक विज्ञान शाखांची नावे ग्रीक भाषेतून आलेली आहेत. आल्जिब्रा ही एकच शाखा त्याला अपवाद आहे. या शास्त्राची सुरुवात केव्हा आणि कशी झाली याबद्दल बरेच तर्क आहेत. बॅबिलोनियातील हामुराबी काळातील (इ. स. पू. १८०० — १६००) ⇨ क्यूनिफॉर्म लिपीमधील गणितीय कोष्टकांत, आताबीजगणित समाविष्ट करण्यात येणाऱ्या काही प्रश्नांचा व्यापक दृष्टिकोनातून विचर केलेला आढळतो. त्यात द्विघाती समीकरणे या कोष्टकांच्या साहाय्याने सोडविण्याचा विशेषत्वाने अभ्यास केलेला दिसून येतो. समांतर (गणित) श्रेणींची बेरीज व पूर्णांकांच्या वर्गाची बेरीज यांसंबंधीही त्या काळी माहिती होती. बीजगणितावरील अगदी पहिला ग्रंथ ईजिप्तमधील आमेस या धर्मगुरूंनी (इ.स.पू.सु. १८०० — १६००) पपायरसावर (एक प्रकारच्या बोरूपासून तयार केलेल्या तत्त्क्यावर) हाताने लिहिलेला व ‘ऱ्हिंड पपायरस’ या नावाने ओळखण्यात येणारा ग्रंथ हा होय आणि त्यातील माहिती प्रामुख्याने एकघाती समीकरणापुरतीच मर्यादित होती. समीकरण सोडविण्यासाठी अनुमानाने मूल्ये काढण्याची विशिष्ट पद्धत त्या काळी वापरात होती. यूक्लिड यांनी दिलेल्या भूमितीमधील पुष्कळशा रचना बीजगणितातील समीकरणाच्या भाषेत मांडता येतात. इ. स. तिसऱ्या शतकात ⇨ॲलेक्झांड्रियाचे डायोफँटस या गणितज्ञांनी बीजगणिताचा पाया घातला, असे मानले जाते. त्यांनीच प्रमथ संकेत चिन्हांचा वापर करून प्रश्न सोडविण्यास सुरुवात केली सहाव्या व नंतरच्या शतकांमध्ये डायोफँटस यांच्या बीजगणितांतर्गत संकल्पनांमध्ये भारतीय गणितज्ञांनी पुष्कळच सुधारणा केल्या आणि ग्रीक संकेतनामधील बऱ्याचशा उणिवा भरून काढल्या. भारतामध्ये बीजगणिताचा अभ्यास व त्यावर लेखन करणारे चार श्रेष्ठ गणिती होऊन गेले. त्यांपैकी⇨आर्यभट (४७६ — ५१०) हे गणितशास्त्रात अग्रेसर समजले जातात. त्यांच्या आर्यभटीय (किंवा आर्यसिद्धांत) या ग्रंथामध्ये श्रेढी, वस्तूंचे क्रमचय, एकघाती व द्विघाती समीकरणे यांवर उदाहरणे आहेत.⇨ ब्रह्मगुप्त (५८८ — ६६०) यांच्या ब्रह्मसिद्धांतात द्विघाती समीकरण सोडविण्याचा समाधानकारक नियम दिला आहे. त्याचप्रमाणे महावीर (नववे शतक) यांचा गणितसारसंग्रह [⟶ महावीर — २] व ⇨भास्कराचार्य (बारावे शतक) यांचा बीजगणित हे ग्रंथही प्रसिद्ध आहेत. त्यांमध्ये द्विघाती समीकरण, श्रेढी, करणी संख्या यांवर बरीच उदाहरणे आहेत.
इतर पौर्वात्य देशांतही बीजगणिताचा अभ्यास झालेला आढळून येतो. चिनी लोकांनाही सीमकरणे सोडविण्याचे ठाऊक होते. मुसलमानी अमदानीत अरबी खलिफांच्या राज्यात ग्रीस व भारत या दोन्ही देशांतील गणितीय पद्धतींचा समन्वय झाला आणि त्यातूनच ⇨अल् ख्वारिज्मी (७८० — ८५०), अबू कामील (८५० — ९३०) आणि अल् कारखी (सु. १०२०) यांची पाठ्यपुस्तके तयार झाली. अल् ख्वारिज्मी यांच्या किताब अल्-जाब्र वाल मुकाबला या बीजगणितावरील ग्रंथाचा यूरोपातील गणिताच्या अभ्यासावर फार मोठा परिणाम झाला. बाराव्या शतकात मध्ययुगीन पंडितांनी त्याची अनेक भाषांत भाषांतरे केली. त्या काळातील गणितज्ञांचे लक्ष खगोलशास्त्र व त्याला लागणारे गणित यांवरच केंद्रित झालेले होते आणि त्यामुळे बीजगणिताची प्रगती फारशी झाली नाही. त्यानंतरच्या काळात बरेच दिवस संकेत चिन्हांबाबत सोयीस्कर पद्धती अस्तित्वात नव्हती.⇨ फ्रांस्वा व्ह्येता (१५४० — १६०३) या फ्रेंच गणितज्ञांनी बीजगणितात राशींकरिता (आकड्यांऐवजी) अक्षरे वापरण्यास सुरुवात केली आणि त्याची परिणती बीजगणित म्हणजे व्यापकीकृत अंकगणित ही संकल्पना रुजण्यात झाली. यामुळे व्ह्येता यांना ‘बीजगणिताचे जनक’ असे संबोधण्यात येते. आयझॅक न्यूटन यांनी बीजगणिताला ‘वैश्विक अंकगणित’ (युनिव्हर्सल ॲरिथमॅटिक) असे नाव दिले होते. न्यूटन यांनी द्विपद प्रमेय हे बीजगणितातील महत्त्वाचे प्रमेय १६६५ मध्ये मांडले. रने देकार्त यांच्या Geometrie या १६३७ मध्ये प्रसिद्ध झालेल्या ग्रंथामुळे भूमिती व बीजगणित यांचे एकीकरण घडून आले. इटली व इतर यूरोपीय देशांमध्ये सोळाव्या शतकात पुन्हा बीजगणिताचा व विशेषतः त्रिघाती, चतुर्घाती व पंचघाती समीकरणे सोडविण्याचा अभ्यास जोरात सुरू झाला. सतराव्या शतकाच्या अखेरीस प्राथमिक बीजगणिताचा विकास पूर्ण झाला असे मानण्यात येते. त्याच सुमारास आधुनिक बीजगणिताची वाटचाल सुरू झाली. बीजगणिताविषयीच्या अधिक ऐतिहासिक माहितीकरिता ‘गणित’, ‘समीकरण सिद्धांत’ व ‘संख्या’ या नोंदीही पहाव्यात.
बैजिक कृत्ये : बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार, घात करणे, मूळ काढणे (वर्गमूळ, घनमूळ वगैरे) ही बैजिक कृत्ये सर्वपरिचित आहेत. बीजगणितात एकाशेजारी एक लिहिलेल्या चिन्हविरहित अक्षरांचा नेहमी गुणाकारच समजतात. त्यांना अंकरगणितातील संख्यांप्रमाणे स्थान माहात्म्य नसते. उदा., क२ ख ग हा क२, ख आणि ग यांचा गुणाकार होय. दोन किंवा त्यांहून जास्त पदांचा समुच्चय एक पद म्हणून दाखवावयाचा असतो तेव्हा पुढील कंस चिन्हे वापरतात : ( ) { } [ ] किंवा त्या सर्व पदांच्या डोक्यावर एकच आडवी रेषा काढतात. उदा., (क + २ ख + ५ ग) {क+२ ख + ५ ग} [क+२ ख+५ ग] किंवा क+२ ख+५ ग.
बीजगणितातील संख्या बेरीज व गुणकार या कृत्यांच्या बाबतीत पुढील नियम पाळतात असे गृहीत धरले जाते :
(१) क्रमनिरपेक्षता क+ख = ख+क कख = खक.
(२) साहचर्य : क + (ख+ग) = (क + ख) + ग
क (खग) = (कख) ग.
(३) गुणाकाराचे बेरजेवर वितरण : क (ख + ग) = कख +कग.
(४) बेरीज अविकारक घटक : क + ० = क.
(५) विरुद्ध संख्या : क + (-क) = ०.
(६) गुणाकार अविकारक घटक : १ X क = क =क X १.
(७) ० X क = ० आणि जर क.ख = ० असेल, तर क = ० किंवा ख = ०.
बीजगणितातील संख्या प्रणाली : धन व ऋण पूर्णांक, शून्य आणि पूर्णांकांची गुणोत्तरे (अपूर्णांत) या सर्वांचा परिमेय संख्या प्रणालीत समावेश होतो. बेरीज, गुणाकार व भागाकार ही परिमेय कृत्ये आहेत. मूळ (वर्गमूळ, घनमूळ इ.) काढणे हे परिमेय कृत्य नाही. कारण सामान्यतः या कृत्यामुळे परिमेय संख्या मिळत नाही. उदा., २ त्याचप्रमाणे — १ हा वर्ग असलेली कोणतीही परिमेय संख्या नाही. संख्या प्रणालीचा दोनदा विस्तार केल्यास अपरिमेय व असत् संख्या मिळतात.
(१)परिमेय संख्या ही दोन पूर्णांकाच्या गुणोत्तराच्या रूपात (क/ख, ख¹ ०) मांडता येते. (पूर्णांक ही परिमेय संख्या आहे उदा., ५ = ५/१).
(२)अपिरमेय संख्या ही परिमेय नसलेली संख्या असते, पण परिमेय संख्यांच्या साहाय्याने तिचे जरूर तितके आसन्न (खऱ्या मूल्याच्या जरूर तितके जवळ असलेले) मूल्य काढता येते [उदा., Ö३ ही परिमेय संख्या नाही, पण कोणत्याही उ > ० संख्येकरिता अर या अशा परिमेय संख्या मिळू शकतात की, अर आणि Ö३ यांतील फरक उ पेक्षा कमी असेल, तसेच नैसर्गिक लॉगरिथमाचा आधारांक e याचे मूल्य e = २.७१८२८ ….. असे पाहिजे तितक्या दशांशापर्यंत काढता येते⟶ इ (e)]
(३)परिमेय संख्या व अपरिमेय संख्या यांची मिळून सत् संख्या प्रणाली बनते. (४)असत् संख्या ही अशी संख्या असते की, तिचा वर्ग ऋण असतो. (५)सदसत् (किंवा मिश्र) संख्या ही एक सत् संख्या व एक असत् संख्या यांच्या बेरजेने मिळते. परिमेय संख्या ह्या मर्यादित व आवर्त दशांश अपूर्णांकांशी एकरूप असतात. अनंत दशांश असलेल्या इतर सर्व संख्या अपरिमेय असतात [⟶ अंकगणित]. असत् संख्या ख Ö-१ (ख ही सत् संख्या) अशा रूपात मांडता येते. Ö-१ याऐवजी i हे चिन्हे वापरतात म्हणून i याला असत् एकक म्हणतात. यामुळे सर्व असत् संख्या ख i किंवा i ख आणि सर्व सदसत् संख्या क + i ख (क व ख या दोन सत् संख्या अशा रूपात मांडतात. सदसत् संख्यांत सत् संख्यांचा (जेव्हा ख = ० असेल) आणि असत् संख्यांचा (जेव्हा क = ० असेल) समावेश होतो. अभिजात (किंवा प्राथमिक) बीजगणितातील सम त्यांच्या दृष्टीने सदसत् संख्या प्रणाली पुरेशी आहे, पण आधुनिक बीजगणितातील संख्येची संकल्पना अधिक अमूर्त स्वरूपाची आहे. [⟶ संख्या]. एकपदी व बहुपदी : अधिक अगर उणे खुणांनी अलग न केलेल्या चिन्हांनी बनलेल्या राशीला पद किंवा एकपदी म्हणतात. उदा.,३क२ ख३ग, ५ क ख ग. अनेक पदे अधिक उणे खुणांनी जोडलेली असतील,तर त्या समुच्चयाला बहुपदी म्हणतात. बहुपदीतील पदांच्या संख्येनुसार तिला द्विपदी, त्रिपदी…… वगैरे नावांनी संबोधतात. बहुपदीचा घात तिच्यातील चलाच्या (जिचे मूल्य बदलते अशा राशीच्या) अधिकतम घातांकाइतका असतो. उदा., २ क२ — ५ क२ + ६ क – ११ या बहुपदीचा घात ३ आहे. एखादी संख्या (म्हणजे स्थिरांक) ही शून्य घाताची बहुपदी (एक पदी) आहे असे मानतात (मात्र ० याला बहुपदी म्हणून कोणताही घात नाही असे मानतात). १, २, ३, … .. घातांच्या बहुपद्यांना अनुक्रमे एकघाती, द्विघाती, त्रिघाती…… इ. नावे दिली आहेत. बहुपद्यांची बेरीज व गुणाकार संख्यांप्रमाणेच करतात. मात्र यात हातचा घरावा लागत नाही, कारण संख्या लिहिण्याची नेहमीची पद्धत म्हणजे १० च्या घातांच्या बहुपदीच्या रूपात ती लिहिली जाते उदा., ३४७२ = ३ X १०३ + ४ X १०२ + ७ X १०१ + २ X १००. २ क३ – ३ क२ + ४ क + ५ आणि क२ + ३ क-२ यांची बेरीज खालीलप्रमाणे केली जाते : २ क२ – ३ क२ + ४ क + ५ क२ + ३क – २ २क३ – २ क२ + ७ क + ३ वितरण नियमाने एकपदीचा बहुपदीशी गुणाकार समजपणे करता येतो. उदा., ३ क२ (कख३ – २ कख + ५ ख२) = ३ क३ ख३ – ६ क३ ख + १५ क२ ख२. त्याचप्रमाणे कंसाद्वारे (क + ख) हे एकच पद मानल्यास (क + ख) (क२ + ३ कख – ८ ख२) = (क + ख)क२ + (क+ख) ३ कख + (क+ख) (– ८ख२) = क३ + क२ ख + ३ क२ ख + ३ क ख२ – ८ कख२ – ८ख३ = क३ + ४ क२ ख – ५ क ख२ – ८ ख३ हाच गुणाकार खालीलप्रमाणे मांडल्यास अधिक सुलभपणे करता येतो. क२ + ३ कख – ८ ख२ ताळा क + ख १ + ३ – ८ = – ४ क३ + ३ क२ ख – ८ क ख२ १ + १ = –२ + क२ ख + ३ क ख२ – ८ ख३ गुणाकार – ८ क३ + ४ क२ ख – ५ कख२ – ८ ख३ १ + ४ – ५ – ८ = – ८ येथे सरूप पदे योग्य स्तंभांत लिहिलेली आहेत. यातील सहगुणकांचा ताळा करून पाहण्यासाठी क = १ व ख = १ लिहून बहुपद्यांच्या सहगुणकांची उजवीकडे दाखविल्याप्रमाणे बेरीज करून मग त्यांचा गुणाकार केल्यास तो बहुपदीतील सहगुणकांच्या बेरजेबरोबर यावयास पाहिजे. एका बहुपदीने दुसऱ्या बहुपदीला भागण्याच्या कृत्याचे स्पष्टीकरण करण्यासाठी पुढील प्रकारचा प्रश्न विचारता येईल : ‘(क+ख) ला कोणत्या अवयवाने गुणावे म्हणजे क३ + ४ क२ ख – ५ क ख२ – ८ख३ ही ही बहुपदी मिळेल?’ वरील परिच्छेदात क३ + ४ क२ ख – ५ कख२ – ८ख३ = (क + ख) क२ + (क + ख) ( ३ कख) + (क + ख) (– ८ ख२) असे दाखविलेले आहे. यावरून क३ + ४ क२ ख – ५ कख२ – ८ ख२ याला क + ख ने भागले असता भागाकारात क२, ३ कख आणि – ८ ख२ ही पदे आली पाहिजेत. भागाकाराचे कृत्य भाज्य व भाजक एका अक्षराच्या (येथे क) उतरत्या घातांच्या रूपात मांडून खालीलप्रमाणे करता येते. भागाकार : क२ + ३ क ख – ८ ख२ क३/क = क२ क + ख ) क३ + ४ क२ख – ५ क ख२ – ८ ख३ वजा : क२ ( क + ख ) क३ + क२ख ३ क२ख /क = ३ क ख ३ क२ख – ५ क ख२ – ८ ख३ वजा : ३ क ख ( क + ख ) ३ क२ख + ३ कख२ (– ८ कख२)/क = (– ८ ख२) – ८ क ख२ – ८ ख३ वजा : (– ८ ख२) ( क + ख ) – ८ क ख२ – ८ ख३ बाकी ० अनेक तऱ्हांचे गुणाकार वारंवार येतात व त्यांचे प्रकार पाडून त्यानुसार हे गुणाकार निरीक्षणाने मांडता येतात. यांपैकी काही गुणाकार प्रकार खालीलप्रमाणे आहेत : क (± ख ± ग ±…… ) = ± क ख ± क ग ±….. (क + ख) (क – ख) = क२ – ख२ (क + ख) (क + ख) = क२ + २ कख + ख२ = (क + ख)२ (क – ख) (क – ख) = क२ – २ कख = ख२ = (क –ख) २ (क्ष + क) (क्ष + ख) = क्ष२ + (क + ख) क्ष + कख (क + ख) (क२ – कख + ख२) = क३ + ख३ (क – ख) (क२ + कख + ख२)= क३ – ख३ हे गुणाकार सरळ गुणाकाराने सहज पडताळून पाहता येतील. अवयव : दोन वा अधिक बहुपद्यांचा गुणाकार केल्यास एक बहुपदी मिळते. या बहुपदीचे मूळ बहुपद्या ‘अवयव’ आहेत असे म्हणतात. वरील गुणाकार प्रकार उजवीकडून डावीकडे असे लिहिल्यास अवयव काढण्याचे नियम मिळतात. फलन संकेतन : समजा अ० क्षन + अ१ क्षन–१ + अ२ क्षम–२ +…. + अन ही बहुपदी दिलेली असून तीत सर्व अ स्थिरांक आहेत. मग या बहुपदीचे मूल्य क्ष च्या मूल्यावरच पूर्णपणे अवलंबून राहील. म्हणून ती क्ष चे फलन आहे असे म्हणतात [⟶ फलन] आणि फ (क्ष) अशी निर्देशित करतात. या फलनाचे क्ष = म असतानाचे मूल्य मांडावयाचे असल्यास ते खालीलप्रमाणे मांडतात. फ (म) = अ० मन + अ१ मन–१ + …… + अन समजा फ (क्ष) = २ क्ष३ – ५ क्ष२ – ११ क्ष + २५ मग फ (०) = २ X ० – ५ X ०– ११ X ० + २५ = २५ फ (१) = २ – ५ – ११ + २५ = ११ फ (क) = २ क३ – ५क२ –११क + २५ अवयव सिद्धांत: फ (क्ष) ला (क्ष – अ) ने भागल्यास भागाकारात क्ष चा घात भाज्यातील घातापेक्षा एकाने कमी असतो [त्याला भ (क्ष) असे निर्देशित करू] आणि कदाचित बाकी (किंवा शेष) श राहील. सूत्ररूपाने हे मांडल्यास फ (क्ष) = भ (क्ष) श क्ष – अ क्ष – अ किंवा फ (क्ष) = (क्ष– अ) भ (क्ष) + श म्हणजेच भाज्य = भाजक X भागाकार + बाकी हे विधान क्ष च्या कोणत्याही मूल्याकरिता सत्य असले पाहिजे. म्हणून जर क्ष = अ असेल, तर फ (अ) = (अ – अ) भ (अ) + श किंवा श = फ (अ) म्हणजेच फ (क्ष) ला (क्ष – अ) ने भागल्यास येणारी बाकी फ (अ) एवढी असते. याला ‘शेष सिद्धांत’ म्हणतात. अशा भागाकारानंतर बाकी शून्य उरल्यास [म्हणजेच फ (अ) = ० असल्यास] (क्ष – अ) हा फ (क्ष) चा अवयव असतो. याला ‘अवयव सिद्धांत’ म्हणतात. ज्यांतील क्ष चा घात दोनापेक्षा जास्त आहे अशा बहुपद्यांचे एकघाती अवयव काढण्यासाठी हा सिद्धांत अतिशय उपयुक्त आहे. समीकरणे, नित्य समीकरणे : दोन पदावल्या समान आहेत असे विधान म्हणजेच समीकरण होय. ते क्ष + ३ = क्ष + ७ असे असंबद्ध किंवा क्ष + ४ = २ क्ष + ६ असे क्ष च्या विशिष्ट मूल्याला सत्य ठरणारे असते. अशा सत्य समीकरणांना सशर्त समीकरणे म्हणतात. ज्या वेळी समीकरण क्ष च्या कोणत्याही मूल्याला सत्य ठरते त्या वेळी त्याला नित्य समीकरण म्हणतात [उदा., ( क्ष + २)२ = क्ष२ + ४ क्ष + ४]. मुख्यतः समीकरणे सोडविणे सुलभ व्हावे या दृष्टीने पदावलीचे रूपांतर करणे व त्यांना सरळ रूप देणे याकरिता नित्य समीकरणांचा उपयोग होतो. समीकरणे सोडविताना पुढील सर्वसाधारण नियमांचाही वापर करतात : (१) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंस एकच संख्या मिळविली किंवा वजा केली, तरी समीकरण बदलत नाही. (२) समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंस त्याच संख्येने अथवा भागले (शून्याखेरीज इतर संख्येने) तरी समीकरण बदलत नाही. समीकरण सोडविणे ही बीजगणितातील प्रमुख समस्या आहे, याचा वर उल्लेख आलेला आहेच. ज्या समीकरणामध्ये अज्ञात राशीचा घातांक १ असतो त्या समीकरणाला एकघाती किंवा रेषीय (याचा आलेख रेषा येतो म्हणून) म्हणतात. अक्ष + क = ० हे एकघाती समीकरण असून त्याचा निर्वाह (समीकरण सोडवून येणारे उत्तर) क्ष = –क/अ हा आहे. समीकरणातील अज्ञात राशीच्या जास्तीत जास्त घातावरून समीकरणाला द्विघाती, त्रिघाती, … न-घाती वगैरे संबोधने वापरतात. अक्ष२ + कक्ष + ख = ० या द्विघाती समीकरणाचा निर्वाह क्ष = –क ±Ö क – ४अख २अ या सूत्राने मिळतो. (क२ – ४ अ ख) याला विवेचक म्हणतात. विवेचकाच्या मूल्यावरून व चिन्हावरून समीकरणाचे निर्वाह कशा प्रकारचे परिमेय, सत्, सदसत् वगैरे) आहेत हे ठरविता येते. त्रिघाती व चतुर्घाती समीकरणांच्या बाबतीतही सहगुणकांच्या पदांत निर्वाह मांडण्याकरिता सूत्रे उपलब्ध आहेत. समीकरण ५ किंवा त्याहून जास्त घाताचे असेल तेव्हा अशा तऱ्हेने (बीजगणितीय पद्धतीने) निर्वाहाकरिता सूत्र तयार करता येत नाही, असे एन्. एच्. आबेल (१८०२ — २९) या गणितज्ञांनी सिद्ध केले. अनेकवर्णी एकघाती समीकरणे सोडविण्यासाठी ⇨ निर्धारकांचा उपयोग होतो [⟶ समीकरण सिद्धांत]. असमा : दोन राशींमधील असमानता दर्शविणाऱ्या चिन्हयुक्त विधानाला असमा म्हणतात. यात > व < या चिन्हांचे अर्थ अनुक्रमे ‘पेक्षा मोठा’ व ‘पेक्षा लहान’ असे असतात उदा., ५ > ३ आणि – ७ < – ४. ज्यात अज्ञात राशी आहे अशा असमा साधारणपणे समीकरणांप्रमाणेच सोडविल्या जातात. याकरिता पुढील नियम वापरण्यात येतात : (१) दोन्ही बाजूंमध्ये एकच संख्या मिळविली वा वजा केली, तरी असमा बदलत नाही. (२) दोन्ही बाजूंना त्याच धन संख्येने गुणले, तरी असमा बदलत नाही. (३) दोन्ही बाजूंना त्याच ऋण संख्येने गुणले, तर असमेची दिशा बदलते. म. सा. वि. आणि ल. सा. वि. : बीजगणितात महत्तम साधारण विभाजक (म. सा. वि.) आणि लघुतम साधारण विभाज्य (ल. सा. वि.) यांच्या व्याख्या अंकगणिताप्रमाणेच आहेत [⟶ अंकगणित]. क ख= ० ख बीजगणितात अशा तऱ्हेच्या परिमेय संख्यांवर बैजिक कृत्ये करण्याचे पुढील नियम आहेत : (१) क + ग = कघ+गख ख घ खघ (२) क — ग = कघ—गघ ख घ खघ (३) क X ग = कग ख घ खघ (४) क ¸ ग = कघ ख घ खग अपूर्णांकांची बेरीज करताना मूलतः सर्व अपूर्णांक एकाच छेदाचे (म्हणजे, सर्व छेदांच्या ल. सा. वि. इतक्या छेदांचे) करणे आवश्यक असते. ज्या अपूर्णांकात अंश व छेद यांत समाईक अवयव नसेल त्याला सर्वांत साधारण रूपातील अपूर्णांक म्हणतात. जर अंशातील बहुपदीचा घात छेदातील बहुपदीच्या घातापेक्षा कमी असेल, तर त्याला युक्त अपूर्णांक आणि इतरांना अयुक्त अपूर्णांक म्हणतात. परंपरित अपूर्णांक: खालील प्रकारच्या अपूर्णांकाला परंपरित अपूर्णांक म्हणतात. क१ ख१ + क२ ख२ + क३ ख३ + … … … परंपरित अपूर्णांकाचा शेवट होणे शक्य असते अथवा त्यात अमर्यादपणे भागाकार चालू राहणे शक्य असते उदा., e ही संख्या अमर्याद परंपरित अपूर्णांकाच्या रूपात मांडता येते [⟶ इ (e)]. या अपूर्णांकाच्या साहाय्याने काही राशींची आसन्न (अंदाजी) मूल्ये (आवश्यक तितकी अचूक) काढता येतात. या अपूर्णांकांचा संख्या सिद्धांत, समीकरण सिद्धांत, अनंत आव्यूह, संभाव्यता सिद्धांत इ. गणितीय विषयांत तसेच विद्युत् जालक सिद्धांतासारख्या भौतिकीय विज्ञान शाखेत उपयोग होतो. आंशिक अपूर्णांक : दिलेल्या अपूर्णांकाचे दोन किंवा अधिक अपूर्णांकांमध्ये भाग पाडल्यास त्यांना आंशिक अपूर्णांक म्हणतात उदा., ३क्ष२ +४क्ष+४१ = २ + ४ — ३ (क्ष—३)(क्ष+५)(क्ष+२) क्ष—३ क्ष+५ क्ष+२ अशा आंशिक अपूर्णांकांचा उपयोग समाकलनामध्ये होतो [⟶ अवकलन व समाकलन]. गुणोत्तर व प्रमाण: एकाच प्रकारच्या दोन राशींची तुलना करताना आपणास गुणोत्तर मिळते. उदा., ५० रु. व २० रु. यांचे गुणोत्तर ५ : २ आहे व ते ५/२ असे लिहितात. यात अंशस्थानच्या पदास पूर्व पद व छेदस्थानच्या पदास उत्तर पद म्हणतात. समान गुणोत्तरांविषयीचा सिद्धात खालीलप्रमाणे आहे. क = ग असेल, तर प्रत्येक गुणोत्तर ख घ = कम+गन (म आणि न कोणत्याही संख्या). खम+घन दोन गुणोत्तरे समान असतील म्हणजेच क = ग असेल, तर क, ख, ग, घ या राशी प्रमाणात आहेत असे ख घ म्हणतात. यामध्ये क, ख सजातीय असल्या पाहिजेत आणि ग, घ सजातीय असल्या पाहिजेत. जर क, ख, ग, घ, च, … या राशी सजातीय असतील आणि क = ख = ग = घ = … असेल, तर क, ख, ग, घ, च, … या राशी परंपरित प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. ख ग घ च गुणोत्तर व प्रमाण यांसंबंधीची खालील प्रमेये उपयुक्त आहेत. जर क = ग असेल तर ख घ (१) ख = घ (व्यस्त क्रिया) क ग (२) क = ख (एकांतरण क्रिया) ग घ (३) क + ख = ग + घ (योग क्रिया) ख घ (४) क — ख = ग — घ (वियोग क्रिया) ख घ (५) क + ख = ग + घ (योग — वियोग क्रिया) क — ख ग — घ क/ख या गुणोत्तरामध्ये क > ख असेल त्याप्रमाणे गुणोत्तरास एकाश्रिक, सम वा न्यून गुणोत्तर म्हणतात. = < तसेच क्ष > ० असेल, तर क + क्ष > क (जर क < ख) आणि क > क + क्ष (जर क > ख) ख + क्ष ख ख ख + क्ष चलन: दोन चल काही वेळा असे असतात की, एकाचे मूल्य बदलले, तर दुसऱ्याचे मूल्यही एका विशिष्ट प्रमाणात बदलते. यालाच चलन म्हणतात. हे दोन प्रकारचे असते. (१) सरळ चलन : ज्या प्रमाणात एक चल बदलेल त्याच प्रमाणात दुसरा चल बदलत असल्यास त्याला सरळ चलन म्हणतात. यामध्ये दोन चलांचे गुणोत्तर स्थिर असते. क्ष आणि य या दोन चलांमधील सरळ चलन क्ष a य असे दर्शवितात. (२) व्यस्त चलन : क्ष हा चल १/य च्या प्रमाणात बदलत असेल, तर त्याला व्यस्त चलन म्हणतात. अर्थात अशा वेळी क्षय हा गुणाकार स्थिर असतो. झ हा चल क्ष व य या दोन्ही चलांच्या प्रमाणात बदलत असेल, तर त्यास संयुक्त चलन म्हणतात. म्हणजेच ते झ a क्षय असे लिहिता येईल. घातांक:क ही संख्या ५ वेळा घेऊन त्यांचा गुणाकार केल्यास येणारी संख्या क५ अशी लिहितात. येथे ५ या संख्येला घातांक म्हणतात. तसेच ती संख्या न (न पूर्णांक) घेतल्यास कन असे लिहिता येईल. घातांकांचे पुढील नियम सिद्ध करता येतात : (१)कम X कन = कम +न, (२)कम/कन = कम-न, (३)(कम)न = कमन = (क न)म, (४)(कख)न = कम खन, (५) ( क )न = कन ख ख
[येथे म, न धन पूर्णांक असून नियम (२) करिता म > न]
वरील नियम घातांक अपूर्णांक ऋण किंवा शून्य असताना अर्थहीन होतात कारण घातांक अपूर्णांक, ऋण किंवा शून्य असताना कन याला वरील व्याख्येनुसार अर्थ प्राप्त होत नाही. घातांकांचे नियम व्यापक करण्याकरिता न अपूर्णांक ऋण किंवा शून्य असताना पुढीलप्रमाणे व्याख्या करतात :
(१) कप/फ = क Öकम,
(२) क—न = १/ कन ,
(३) क० = १
या व्याख्या वापरून घातांक नियम म आणि न यांच्या सर्व परिमेय मूल्यांना खरे आहेत हे दाखविता येते.
घातमूल : घात कृत्याच्या विरुद्ध कृत्य म्हणजे मूळ (उदा., वर्गमूळ, घनमूळ इ.) काढणे होय. हे कृत्य करणी चिन्हाने (Ö) दर्शविले जाते उदा., Ö४ = २, ४ Ö८१ = ३.
नÖक यामध्ये क ला घातमूलांक व न ला मूलदर्शकांक म्हणतात.
सरूप घातमूलांचे घातमूलांक एकच व मूलदर्शकांक एकच असतात आणि त्यांची बेरीज वितरण नियमाने करता येते उदा.,
३ ३ Ö५ + ७ ३ Ö५ = १० ३ Ö५
तोच मूलदर्शकांक असलेल्या घातमूलांचा गुणाकार वा भागाकार घातमूलांकांचा गुणाकार वा भागाकार करून करता येतो. उदा.,
३Ö३. ३Ö७ = ३Ö३.७ = ३Ö२१.
अपूर्णांकी घातांचा उपयोग करून घातमूलाचे एकाच मूलदर्शकांकात रूपांतर करता येते. उदा.,
३Ö२. Ö५ = २१/२.५१/२ = २२/६.५३/६ = (२२)१/६.(५३)१/६ =६Ö२२.६Ö५३ = ६Ö५००
अपूर्णांकी घाताच्या व्याख्येमुळे करणी चिन्हाऐवजी अशा घाताचा उपयोग करता येतो. उदा., ३Öक्ष = क्ष१/३
लॉगरिथम : लॉगरिथमाची व्याख्या पुढे दर्शविल्याप्रमाणे करतात.
जर अक्ष = न (अ > ०, न > ०) असेल, तर क्ष हा अ आधारांकाचा न चा लॉगरिथम आहे असे म्हणतात व तो लॉगअ न = क्ष असा लिहितात. लॉगरिथमाविषयीचे नियम पुढीलप्रमाणे आहेत :
(१)लॉगअ (मन) = लॉगअ म + लॉगअ न,
(२)लॉगअ (म/न) = लॉगअ म — लॉगअ न,
(३)लॉगअ (म)न = न लॉगअ म,
|
(४)लॉगनम = |
लॉगअम |
|
लॉगअन |
हे नियम घातांकांच्या वरील नियमांचा उपयोग करून सहज सिद्ध करता येतात. लॉगअ १ = ० म, लॉगअ अ = १ हेही सहज दिसून येईल. [⟶ लॉगरिथम].
श्रेणी : काही विशिष्ट नियमांनी संख्या समुच्चय तयार होतात, तेव्हा त्या क्रमित समुच्चयाला श्रेणी म्हणतात. पुढील प्रकारच्या श्रेणी विशिष्ट लक्षणीय आहेत : (१) समांतर श्रेणी, (२) गुणोत्तर श्रेणी, (३) हरात्मक श्रेणी.
(१) समांतर श्रेणीमध्ये दोन क्रमवार पदांतील फरक तोच असतो. अशी श्रेणी पुढीलप्रमाणे मांडता येते :
क, क + फ, क + २ फ ….., क + (न – १ ) फ + ……
या श्रेणीतील न पदांची बेरीज पुढील सूत्राने मिळते :
|
सन = |
न |
[२क + (न – १ ) फ] |
|
२ |
.
(२) गुणोत्तर श्रेणीमध्ये दोन क्रमवार पदांचे गुणोत्तर तेच असते. ती पुढे दर्शविल्याप्रमाणे मांडता येते :
क, कग, कग२, …… , कगन–१, …….
|
या श्रेणीतील न पदांची बेरीज = |
क(गन – १) |
जर ग > १ क |
|
१ – ग |
|
किंवा = |
क(१ – गन) |
जर ग < १ |
|
१ – ग |
(२) हरात्मक श्रेणीतील पदांचे व्यस्तांक समांतर श्रेणीमध्ये असतात [⟶ श्रेढी].
क्रमचय व समचय : वस्तूंची हरतऱ्हेने मांडणी करण्याला क्रमचय म्हणतात. वस्तूच्या क्रमाचा विचार न करता फक्त त्यांच्या समूहांची निवड करावयाची असते तेव्हा त्याला समचय म्हणतात. उदा., ११ खोखोपटूंपैकी सामन्याकरिता ९ खेळाडूंचा संघ निवडावयाचा असतो तेव्हा आपण समचयाचा विचार करतो परंतु ९ खेळाडूंना निवडून त्यांना कोणत्या क्रमाने मैदानात खेळण्याकरिता पाठवावयाचे हे ठरवितो तेव्हा क्रमचयाचा विचार करतो. व वस्तूंपैकी क वस्तूंचा क्रमचय वक्रक या चिन्हाने दर्शवितात व समचय वसक किंवा (व/क) या चिन्हाने दर्शवितात. क्रमचय आणि समचय यांकरिता पुढील सूत्रे मिळतात.
|
वक्रक = व (व–१) (व–२) ……… (व – क – १) |
|||
|
वसक = |
व(घ – १)……..(व – क – १) |
= |
व |
|
क ! |
क! (व – क)! |
||
यात क! १.२.३……. (क–१).क
समचयाकरिता पुढील नियम सहज सिद्ध करता येतात :
(१) वसक = वसव–क, (२) वसक+ वसक–१ = व+१सक.
द्विपद प्रमेय : या प्रमेयाने (क+ख)न याचा विस्तार मांडता येतो. तो पुढीलप्रमाणे :
(क + ख)न = कन + नस१ कम–१ख +नस२कन–२ख+….+नसनखन
|
= |
न |
( |
व र |
) |
कन-र खर (न धन पूर्णांक) |
|
∑ |
|||||
|
र = ० |
हे प्रमेय समचयाच्या वरील नियमांचा वापर करून विगमन पद्धतीने [⟶ गणितीय विगमन] सिद्ध करता येते. या विस्तारातील पदांच्या सहगुणकांची मूल्ये न च्या निरनिराळ्या मूल्यांसाठी घेऊन ब्‍लेझ पास्काल यांनी खालीलप्रमाणे त्रिकोणाकार रूपात मांडली.
१
१ १
१ २ १
१ ३ ३ १
१ ४ ६ ४ १
१ ५ १ ० १ ० ५ १
या त्रिकोणाला अंकगणितीय त्रिकोण किंवा पास्काल त्रिकोण म्हणतात. या त्रिकोणावरून न च्या निरनिराळ्या मूल्यांसाठी सहगुणकांची मूल्ये सहजतेने मिळू शकतात. यातील प्रत्येक ओळीतील १ खेरीज असलेल्या संख्या ह्या तिच्या वरील ओळीतील दोन क्रमशः आलेल्या संख्यांच्या बेरेजेबरोबर आहेत (उदा., पाचव्या ओळीतील तिसरा सहगुणक = चौथ्या ओळीतील दुसऱ्या व तिसऱ्या सहगुणकांची बेरीज = ३ + ३ = ६).
द्विपद प्रमेयाचे व्यापकीकरण म्हणजे बहुपद प्रमेय होय. ते पुढीलप्रमाणे मांडता येते.
|
(क + ख + ग + ….. + म)म = ∑ |
न! |
कटखठ …. मल. |
|
ट! ठ!..ल! |
येथे ट + ठ + ….. + ल = न असले पाहिजे. द्विपद व बहुपद प्रमेयातील क, ख, ग, ….. वगैरे स्वेच्छ सत् अथवा सदसत् संख्या असू शकतात.
पहा : अंकगणित संख्या समीकरण सिद्धांत.
संदर्भ : 1. Barnard, S. Child, J. M. Higher Algebra, London, 1960.
2.Bell, E. T. The Development of Mathematics, New York, 1045.
3.Faddeyev, D. K. Sominskii, I. S. Elementary Algebra, New York, 1965.
4.Gujrar, L. V. Ancient Indian Mathematics and Vedha, Poona, 1947.
5.Smith, D. E. History of Mathematics, Vols., New York, 1058.
पेण्ढरकर, का. दि. ओक, स. ज.
“