माँटी कार्लो पद्धति : अनुप्रयुक्त (व्यावाहारिक) शास्त्रांतील संख्यात्मक प्रश्नांची उत्तरे बिनचूकपणे काढणे सर्वसाधारणपणे अशक्य असते. एक तर बहुधा उत्तरांची सूत्रे सुव्यक्त नसतात किंवा सूत्रे वापरून सुद्धा करावी लागणारी आकडेमोड फारच मोठी असते. अर्थात अशा वेळी आसन्न (खऱ्या उत्तराच्या सन्निकट असलेल्या) उत्तरावर समाधान मानावे लागते. आसन्न उत्तरे काढण्याच्या निरनिराळ्या पद्धतींपैकी माँटी कार्लो पद्धत ही एक आहे. या पद्धतिचे महत्त्व मुख्यतः दोन बाबींमुळे आहे. एक म्हणजे केवळ वैश्लेषिक पद्धतींनी सोडविणे अतिशय जटिल (गुंतागुंतीची) आहेत अशी समीकरणे सोडविण्याची व्यावहारिक गरज आणि दुसरी म्हणजे इलेक्ट्रॉनीय संकणकांच्या (गणक यंत्राच्या) प्रगतीमुळे संख्यात्मक पद्धतीचे वाढलेले महत्त्व.
गणितीय प्रश्नांची सांख्यिकीतील (संख्याशास्त्रातील) सोप्या प्रश्नांत रूपांतरे करून त्यांची उत्तरे काढणे हे या पद्धतीचे वैशिष्ट्य होय. यासाठी काही सांख्यिकीय चलांचा (बदलत्या राशींचा उदा., सरासरी मूल्य). विचार करावा लागतो. हे चल असे निवडावयाचे की, त्यांच्या वंटनातील [वितरणातील ⟶ वंटन सिद्धांत] एका प्रचलाचे (विशिष्ट परिस्थितीत विशिष्ट स्थिर मूल्य असणाऱ्या राशीचे) मूल्य मूळ प्रश्नाच्या उत्तराएवढे असेल, यानंतर या चलाची अनेक निरीक्षणे घेऊन प्रचलाचा आकल (अंदाजी मूल्य) काढावयाचा व तो मूळ प्रश्नाचे आसन्न उत्तर म्हणून वापरावयाचे. अर्थात या उत्तरात राहणाऱ्या त्रुटींविषयीचे विधान गणितीय न राहता सांख्यिकीय होईल, हा या पद्धतीतील एक मोठा तोटा आहे. वर वर्णन केलेली पद्धत ही कृत्रिम प्रतिदर्शन (नमुना घेण्याची क्रिया) किंवा सदृशीकरण याच्याशी समरूप आहे. खरे म्हणजे वास्तव परिस्थितीतील गणितीय प्रतिकृतीमुळे उद्‌भवणाऱ्या गणितीय प्रश्नांच्या बाबतीत सदृशीकरण हेच नाव यथार्थ ठरेल.
या पद्धतीचे एक सोपे उदाहरण म्हणजे π चे (कोणत्याही वर्तुळाचा परिघ व त्याची त्रिज्या यांच्या गुणोत्तराचे) मूल्य काढणे हे होय. गणितीय दृष्ट्या हे मूल्य म्हणजे ज्या (क्ष/२)= १ या समीकरणाचे सर्वांत लहान धन बीज होय. जी .एल्. एल्. ब्यूफाँ या फ्रेंच निसर्गवैज्ञानिकांची π चा आकल काढण्याकरिता १७७७ मध्ये Essai d’ Arithmetique morale या आपल्या ग्रंथात वर्णन केलेला प्रयोग हे कृत्रिम प्रतिदर्शनाचे ऐतिहासिक दृष्ट्या आद्य उदाहरण होय. हा प्रयोग म्हणजे चे मूल्य काढण्याच्या गणितीय प्रश्नाचे सांख्यिकीय रूपांतर आहे. हा प्रयोग करण्यासाठी एक सरळ, बारीक सुई समांतर आहे. हा प्रयोग करण्यासाठी एक सरळ, बारीक सुई समांतर रेषा आखलेल्या मोठ्या, सपाट पृष्ठभागावर यदृच्छ्या फेकावी लागते. जर समांतर रेषांतील अंतर (अ) सुईच्या लांबीच्या (ल) दुप्पट असेल, तर सुई एखाद्या रेषेला छेदण्याची संभाव्यता १/π असते. म्हणून न वेळा सुई फेकल्यावर म वेळा ती रेषेला छेदत असेल, तर (न/म) हे π चे आसन्न मूल्य होईल. अशा प्रकारचा प्रयोग फ्रान्समधील जी. व्हॉस्लर यांनी १८५० मध्ये केला व त्यांना n = ३·१५९६ हे प्रायोगिक मूल्य मिळाले. माँटी कार्लो पद्धतीचा हा उपयोग अर्थातच अगदी अशोधित (अपरिपक्व) होय. कारण एक तर यात वेळेची बचत होत नाही. आणि दुसरे म्हणजे हा प्रयोग इलेक्ट्रॉनीय संगणकाद्वारे करणे शक्य नाही पण यातील दुसरी अडचण सहज दूर होऊ शकेल. सुई फेकण्याच्या प्रयोगाची निष्पत्ती ही केवळ दोन यदृच्छ संख्यांवर [सुईच्या मध्यबिंदूचे सर्वांत जवळच्या रेषेपासूनचे अंतर (अ) आणि सुई व समांतर रेषा यांतील कोन ( θ= ०° ते ९०° ) यांवर] अवलंबून असते. आता संगणक दोन यदृच्छ संख्या अनुक्रमे अंतर व कोन म्हणून घेऊन (या संख्या यदृच्छ संख्या कोष्टकावरून म्हणजे पुनरावृत्ती नसलेल्या वा कोणतीही विशिष्ट नियमावली न अनुसरणाऱ्या अशा संख्यांच्या तयार केलेल्या यादीतून घेता येतील) त्यांवरून प्रयोगाची निष्पत्ती ठरवू शकेल. म्हणजेच ब्यूफाँ यांचा प्रयोग संगणकाद्वारे होऊ शकेल. याच उदाहरणाचा विचार करताना त्याचे दुसऱ्या एखाद्या सांख्यिकीय प्रश्नात रूपांतर करून त्रुटीची संभाव्यता कमी करणेही शक्य होईल. माँटी कार्लो पद्धतींचा अभ्यास म्हणजे अशी नवीन रूपांतरे किंवा ती करण्याची तत्त्वे शोधून काढणे होय.
दुसऱ्या महायुद्धात अमेरिकेतील लॉस ॲलॉमॉस येथील अणुबाँब प्रयोगशाळेत न्यूट्रॉनांच्या वर्तनासंबंधी एक जटिल प्रश्न उद्‌भवला. विविध द्रव्यांतून न्यूट्रॉन किती अंतरापर्यंत जातील असा हा प्रश्न होता. प्रयोग करणाऱ्यांचे संरक्षण व इतर व्यावहारिक बाबींच्या दृष्टीने हा प्रश्न महत्त्वाचा होता. पण तो अतिशय जटिलही होता, प्रायोगिक प्रयत्न व प्रमाद पद्धतीने या प्रश्नाचे उत्तर शोधून काढणे खर्चिक, कालापव्ययी व धोक्याचे होते. न्यूट्रॉनचा माध्य मुक्त पथ (म्हणजे दिलेल्या वेगाच्या न्यूट्रॉनाची एखाद्या पदार्थातील अणुकेंद्राशी टक्कर होण्यापूर्वी त्याने कापलेले सरासरी अंतर) न्यूट्रॉनाच्या प्रकीर्णनाची (विखुरण्याची) व शोषणाची संभाव्यता, प्रकीर्णनाची संभाव्य दिशा, एखाद्या टक्करीत होणारा ऊर्जेचा व्यव वा लाभ वगैरे बहुतेक पायाभूत प्रदत्त (माहिती) शास्त्रज्ञांना ज्ञात होता. एखादा न्यूट्रॉन अशा घटनाक्रमातून गेलेला असताना त्याचा ठावठिकाणा देणारे सुटसुटीत सूत्र शोधून काढणे, ही खरी अडचण होती. जॉन फोन नॉयमान व एक उलाम या गणितज्ञांनी ही अडचण एका विलक्षण साध्या पद्धतीने सोडविली. त्यांनी सुचविलेली रीत म्हणजे परिणामतः हा प्रश्न एखाद्या द्यूत चक्राकार (रूलेट चक्रावर) सोडविण्याशी सदृश होती. कारण त्यात अनेक अलग घटनांच्या संभाव्यता एकत्रित होऊन संयोग पावतात. या रीतीने वरील प्रश्नाचे निदान आसन्न पण व्यवहार्य उत्तर शोधून काढणे झाले. नॉयमान व उलाम यांनी या पद्धतीला माँटी कार्लो या द्यूतगृहांसाठी (कॅसिनोंसाठी) प्रसिद्ध असलेल्या स्थळावरून माँटी कार्लो पद्धती असे नाव दिले.
वरील उदाहरणांखेरीज माँटी कार्लो पद्धती विश्वकिरणांच्या (बाह्य अवकाशातून पृथ्वीवर येणाऱ्या भेदक किरणांच्या) वर्षावाचे आकारमान, अणुकेंद्रिय विक्रियकाचे क्रांतिक आकारमान [⟶ अणुकेंद्रीय अभियांत्रिक], पाणी वा ग्रॅफाइट यांचे न्यूट्रॉनांच्या संक्रमणाच्या दृष्टीने गुणधर्म, एखाद्या घन पदार्थातून होणारे द्रव्याचे निचरण, ⇨ ब्राउनीय गती, जन्म व मृत्यू शाखायुक्त यदृच्छ प्रक्रिया [⟶ यदृच्छ प्रक्रिया]. ⇨ प्रतीक्षावली सिद्धांत व इतर व्यापारी महत्त्वाचे प्रश्न (उदा., मालाची साठवण, सामग्रीची पुनःस्थापना व देखभाल, विपणन संशोधन), ⇨ समाकल समीकरणे व रूपांतरे, आव्यूहांचे व्यस्तीकरण [⟶ आव्यूह सिद्धांत] खगोलीय भौतिकी, ⇨ संक्रियात्मक अन्वेषण, वाहतूक नियंत्रण, दूरध्वनी यंत्रणा वगैरे विविध विषयांतील प्रश्न सोडविण्यासाठी यशस्वीपणे उपयोगात आणल्या गेलेल्या आहेत.संक्रियात्मक अन्वेषणातील एक साधे उदाहरण म्हणजे समजा पोलादी कपाटे तयार करण्याच्या एका कारखान्यात ३० यंत्रे असून त्यांवर ३० माणसे काम करतात. हा कारखाना ५ निरनिराळ्या प्रकारची कपाटे तयार करतो. कारखान्याच्या कामाचे वेळापत्रक कशा प्रकारे ठरवावे म्हणजे जास्तीत जास्त उत्पादन मिळू शकेल असा प्रश्न आहे. हा प्रश्न माँटी कार्लो पद्धतीने सोडविण्यासाठी काही इतर माहितीचीही आवश्यकता आहे. उदा., एखाद्या यंत्राला एखादे विशिष्ट काम करण्यासाठी लागणारा वेळ, या वेळात कर्मचाऱ्याचा थकवा, कंटाळा व इतर व्यक्तीगत घटकांमुळे, तसेच यंत्र बिघडल्यामुळे होणाऱ्या बदलांच्या सीमा. संगणकाला हा सर्व आवश्यक प्रदत्त पुरविल्यास तो कामाच्या प्रत्येक टप्प्यातील महत्तम संभाव्यता काढण्यासाठी आवश्यक त्या यदृच्छ संख्यांशी सदृशीकरण करून उत्तर मिळवील.
गणितज्ञ या पद्धतीत सुधारणा करण्याचे सतत प्रयत्न करीत असून अनुप्रयुक्तीची नवनवीन क्षेत्रे शोधण्यात येत आहेत. सुधारित संगणक यंत्रे व तंत्रे प्रचारात येत असल्याने ही पद्धत अधिकाधिक उपयुक्त होत आहे.
संदर्भ : 1. Harmerisleg J. M. Handscomb D. S. Monte Carlo Methods, New York, 1964.
2. Sobol. I. M. Trans Fortine, P. etal., The Monte Carlo Method , 1975.
3. Spanier, J. Gelbard, E. M. Monte Carlo Principles and Neutron Transport Problems, Readings, Mase, 1969.
ताम्हणकर, मा. वि. भदे, व. ग.