बहुचरात्मक विश्लेषण

बहुचरात्मक विश्र्लेषण :  स्थूलमानाने पहाता बहुचरात्मक विश्र्लेषम म्हणजे बहुचरात्मक प्रदत्ताशी (अनेक यदृच्छ चलासंबंधीच्या – म्हणजे चरांच्या – माहितीशी वा आकडेवारीशी) संबंधित असणारा →सांख्यिकीय अनुमानशास्त्राचा भाग होय. ज्या प्रदत्तामध्ये प्रत्येक प्रायोगिक एकाकासंबंधीच्या (किंवा व्यक्ती वा वस्तूसंबंधीच्या) अनेक गुणधर्मांची वा बाबींची मापने (वा निरीक्षणे) समाविष्ट असतात त्या प्रदत्ताला बहुचरात्मक प्रदत्त म्हणतात.

 

      समजा आपमाला कोणत्याही प्रयोगिक एककाचे P गुणधर्म (P = 1, 2, 3, …)  विचारात घ्यावयाचे आहेत. अशा p – चरांच्या उदाहरणात एखादा विवक्षित एककाच्या i व्या गुणधर्माचे माप Xi  ने दर्शवू (I = 1, 2, …, P). अशा प्रकारे एखाद्या विवक्षित एककाचे निरीक्षण (X1, X2, …, Xp) अशा स्वरूपाचे होईल व ते संक्षेपासाठी X या सदिशाने [→सदिश] दर्शवू. ही मापे एकाच एककापासून मिळविलेली असल्यामुळे ती सहसंबंधित आहेत, अशी अपेक्षा आहे. या p–चर प्रदत्तामध्ये निरनिराळ्या एककांपासून मिळणाऱ्या अशा अनेक सदिशांचा अंतर्भाव होईल. या सदिशांचे घटक सामान्यतः सहसंबंधित आहेत आणि यदृच्छ प्रतिदर्शनाच्या पद्धती [→ प्रतिदर्श सर्वेक्षण सिद्धांत] योजलेल्या सोयीस्कर प्रायोगिक परिस्थितीत हे निरनिराळे सदिश सांख्यिकीय दृष्टया निरवलंबी आहेत, असे मानणे शक्य आहे. अर्थात यातील चल संभव नियमांच्या आधीन आहेत असे मानलेले असल्यामुळे यात अंतर्भूत होणाऱ्या यदृच्छ चलांच्या वंटनाच्या [→वंटन सिद्धांत] गुणधर्मासंबंधी आणि त्यावरून वरील यदृच्छ निरीक्षणे ज्या समष्टीतून (माणसे, प्राणी, वस्तू इ. प्रकारच्या अथवा विविध वैज्ञानिक निरीक्षणांच्या एखाद्या समूहातून) घेतलेली असणे शक्य आहे. त्या समष्टीच्या गुणधर्मासंबंधी अनुमान काढणे या सांख्यिकीय अनुमानशास्त्रातील नेहमीच्या समस्येचाच येथे विचार करावयाचा आहे.

      समाश्रयण व सहसंबंध : समजा एखाद्या समष्टीतील प्रत्येक एककाचे p गुणधर्म विचारात घ्यावयाचे असून n निरीक्षणांचा एक यदृच्छ प्रतिदर्श घेतलेला आहे. ही निरीक्षणे खालीलप्रमाणे दर्शवू   :

χα = (χ 1 α, χ 2 α, ……. χ p α) α = 1, 2, ….., n. येथे

χi α मधील i हा पहिला पादांक घटक (किंवा गुणधर्म) व α हा दुसरा पादांक त्याच घटकाची निरनिराळी निरीक्षणे दर्शवितो. एका चलाचे, समजा X1 या पहिल्या चलाचे, इतर म्हणजे X2,  X3, …., Xp या चलांच्या आधारे आकलन करण्यासाठी (शास्त्रशुद्ध रीतीने अंदाज काढण्यासाठी) रैखिक समाश्रयण समीकरण (X1 आणि इतर चल यांतील संबंध दर्शविणारे एकघाती समीकरण) मांडण्याकरिता हा प्रदत्त वापरावयाचा आहे. दोन चलांच्या वापरण्यात येणाऱ्या पद्धतीप्रमाणेच येथेही.

 

X1 =  μ +  β12X2 + β13 X3 + ….. …..+ β1p Xp

 

या रैखिक समाश्रयण समीकरणातील सहगुणकांचे आकलन करण्यासाठी लघुतम वर्गांचे तत्त्व [→सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र] वापरता येते आणि याकरिता या अवशिष्टांच्या (निरीक्षित व आकलित मूल्यांमधील फरकांच्या) वर्गाच्या बेरजेचे प्रचलांच्या (विशिष्ट परिस्थितीत अचल राहणाऱ्या राशींच्या) सापेक्ष लघुतमीकरण करावे लागते. यावरून आकलित समाश्रयण समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल  :

 

X1  =  χ 1   +   b12  (X2  – χ 3)   + ….. +   b1p  (Xp – χ p)

 

येथे X_i हा  i या चलाचा माध्य (सरासरी) आहे व त्यामुळे

 

Χi =               i = 1, 2, …….., p आणि X1 चे  (X2,X3, ……., Xp) यांवरील (प्रतिदर्श) समाश्रयणांक   b1i ( i  = 1, 2, ……, p) हे खालील समीकरणांची पूर्तता  करतात  :

 

येथे Xi,  Xj  ( i   ≠   j )या कोणत्याही दोन चलांमधली रैखिक संबंधाच्या व्याप्तीचे आकलन (प्रतिदर्श) सहसंबंधांकाने   (1, 2, ……,p) केले जाते.  X1  व इतर चल { X2, X3,……,Xp} यांतील रैखिक संबंध हा X1 व त्याचा  { X2, X3, …, Xp}

यांच्या पदांतील सर्वोत्तम रैखिक आकल यांमधील सहसंबंधाकाने मोजला जातो. हा सर्वोत्तम रैखिक आकल X1 च्या  { X2, X3….., Xp } यांवरील रैखिक समाश्रयण समीकरणाने मिळतो. या सहसंबंधाकाला X1 व संच { X2, X3, …. Xp }यांतील गुणित किंवा अनेकचर सहसंबंधांक म्हणतात. त्याचा आकल  R 1.23 . . . p  असा दर्शवितात आणि तो खालील सूत्राने दिला जातो  :

 

1, 2, …., p )  हा निर्धारक असून Sμ हा  sμ चा  S मधील सहअवयव आहे [→ निर्धारक].

---

X1 व X2 यांसारख्या दोन चलांमध्ये सहसंबंध असण्याचे काही  मर्यादेपर्यतचे एक कारण या दोंन्ही चलांवर इतर चलांचा प्रभाव पडणे शक्य असते. अनुक्रमे X1 व  X2 यांचे राहिलेल्या चलांच्या पदांत सर्वोत्तम आकल काढून आणि त्यांच्या रूपाने या राहिलेल्या चलांच्या प्रभावाचे निर्मूलन केल्यास X1 व X2  यांच्या अवशिष्टांतील सहसंबंधांकाला X1 व X2  यांतील { X3, X4, ……, Xp} यांच्या सापेक्ष असणारा आंशिक सहसंबंधांक म्हणतात. त्याचा आकल r12 . (a……..p)असा दर्शवितात व तो खालील सूत्राने दिला जातो.

 

येथे  Sij हा S मधील Sij चा सहअवयव आहे.

      वरील विवरणात एखाद्या चलांचे (X1 व्यतिरिक्त) आकलन करण्यासाठी केवळ पादांकांची अदलाबदल करून जरूर ते रैखिक समाश्रयण समीकरण मिळविता येते. अनेकचर आणि आंशिक सहसंबंधांकांच्या बाबतीतही हीच गोष्ट लागू पडते.

      समष्टीमध्ये X1 व इतर चल { X2, X3, …., Xp } यांत काही सार्थ रैखिक संबंध आहे की काय याची कसोटी घ्यावयाची असल्यास म्हणजेच (प्रतिदर्श) अनेकचर सहसंबंधांकाचा समष्टीतील अनुरूप सहसंबंधांक शून्याहून सार्थ असण्याइतपत वेगळा आहे की काय हे पहाण्यासाठी खालील राशी काढावी लागते  :

 

जरी ही राशी  p — l व n — p मुक्तता मात्रांच्या F — वंटनातील α सार्थता  पातळीवरील ऊर्ध्व (वरच्या) विचलक मूल्यापेक्षा जास्त असेल, तर वरील संबंध सार्थ आहे असे मानतात [→ सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र].

 

      काही वेळा X1 चे आकलन करण्याकरिता  X2, X3, ….., Xq  (q &lt p) या चलांमुळे अगोदरच उपलब्ध झालेल्या माहितीमध्ये  Xq +1,  Xq + 2, …., Xp या चलांमुळे काही अधिक सार्थ माहितीची भर पडते की काय हे पहाणे आवश्यक ठरते. समजा   bij ( i = 2, 3, …. P) आणि  b’1j (j = 2, 3, …, q) यांनी अनुक्रमे  X1 चे { X2, X3, …, Xp } व  {X2, X3, …, Xq} यांवरील समाश्रयणांक दर्शविले आहेत. येथे इष्ट कसोटी खालील राशीवर आधारलेली आहे  : 

 

जर ही राशी p – q व n – p  मुक्तता मात्रांच्या F – वंटनाच्या ऊर्ध्व α विचलक मूल्यापेक्षा जास्त असेल, तर उपलब्ध झालेली जादा माहिती सार्थ आहे, असे मानण्यात येते. q = p – 1 असलेल्या विशेष उहाहरणात b’ij हे समाश्रयणांक काढण्याची जरूरी नाही व

 

या वेळी कसोटी t  =  या राशीवर आधारण्यात येते.

          येथे (n – p ) S2 = S11 –

 

आणि  c हे  bij ची मूल्ये निर्धारित करणाऱ्या

bij   =   Ci2 S12    +   C13 S13    +   ….   +    Cip Sip   i  =  2, ….., p.

या समीकरणांतील सहगुणक होत. जर  │ t │ चे मूल्य ‘स्टूडंट’ (डब्ल्यू. एस्. गॉसेट) यांच्या  n – p मुक्तता मात्रा असलेल्या वंटनातील द्वि – अंगी  α – विचलक मूल्यापेक्षा जास्त असेल, तर X2, X3, ….., X p-1 यांचे अस्तित्व जमेस धरूनही Xp मुळे मिळणारी माहिती सार्थ आहे, असे समजण्यात येते [→सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र]. अधिक व्यापक दृष्टया, इतर X चलांचे अस्तित्व जमेस धरून Xi (I = 2, ….., p) या चलाच्या सार्थतेची कसोटी

 

घेण्यासाठी  t  =  ही राशी विचारात घेतली जाते.

 

      याचप्रमाणे { X3, X4, ….., Xp } या चलांच्या रैखिक परिणामांचे निर्मूलन केल्यानंतर X1  व X2  यांमध्ये समष्टीत काही सार्थ संबंध आहे की काय याची कसोटी घेण्यासाठी   

 

या राशीचे मूल्य काढण्यात येते. जर या राशीचे केवल मूल्य स्टूडंट यांच्या n – p मुक्तता मात्रांच्या t वंटनाच्या इष्ट सार्थता पातळीवरील विचलकाच्या मूल्यापेक्षा जास्त असेल, तर ते  X1 व  X2 यांतील संबंध सार्थ असून त्यांचा (समष्टीतील) आंशिक सहसंबंधांक शून्येतर असल्याचे निदर्शक असते. वर उपयोगात आणलेल्या कसोटी पद्धतींत समष्टीतील X चे वंटन p – चरांचे प्रसामान्य वंटन आहे, असे मानलेले आहे.  

---

बहुचर प्रसामान्य वंटन : ज्याप्रमाणे एकचर सांख्यिकीय सिद्धांतात (एकचर) प्रसामान्य वंटनाचे [→वंटन सिद्धांत] महत्त्व अनन्यसाधारण आहे, त्याचप्रमाणे बहुचर सिद्धांतात बहुचर प्रसामान्य वंटनाला महत्त्वपूर्ण मध्यवर्ती स्थान आहे. जर X  हा सदिश (X1, X2, …, Xp) या p यदृच्छ घटकांचा बनलेला असेल व जर a1 x1  +  a3 x2  +  ….  + ap xp (यातील सर्व एकाच वेळी शून्य नसावेत) अशा प्रत्येक रैखिक [→समचयाचे समचयात्मक विश्र्लेषण] वंटन प्रसामान्य असेल, तर X चे वंटन p – चर प्रसामान्य वंटन आहे असे म्हणतात. X चे हे p – चर वंटन प्रचलांच्या दोन संचांनी निदर्शित होते. एक म्हणजे Xi या घटकांच्या माध्यांचे सदिश μ व दुसरा म्हणजे Xi व Xj (i, j = 1, 2,…., p) यांतील सहविचरणांचा आव्यूह ∑ = (oij).  μ याला X  चा माध्य सदिश  व ∑ याला X  चा सहविचरण आव्यूह म्हणतात. जर ∑  नैकमात्र असेल [→आव्यूह सिद्धांत], तर X  चे संभाव्यता घनता फलन [→वंटन सिद्धांत] पुढीलप्रमाणे मांडण्यात येते :

 

 येथे oij हा  ∑  चा व्यस्त आव्यूह आहे.

      विवरणाच्या सुलभतेसाठी येथे पुढे ∑ हा नौकामात्र आहे असे मानलेले असून  μ हा माध्य सदिश असणारे असे नौकमात्र प्रसामान्य वंटन असेल, तर ते N (μ , ∑) असे दशविले आहे.

      एकचर सांख्यिकीय प्रश्र्नांप्रमाणेच निरनिरळ्या बहुचर सांख्यिकीय प्रश्र्नांमध्ये प्रसामान्यता गृहीत मानण्यात येते. कारण केंद्रीय सीमा प्रमेयाच्या [→संभाव्यता सिद्धांत] बहुचरांच्या बाबतीतील अनुरूप प्रमेयानुसार सर्वसाधारणतः विविध घटकांतील (वा कारकांतील) परस्परक्रियांतून उद्-भवणाऱ्या निरीक्षणांचे वंटन आसन्नतः (जवळ-जवळ) प्रसामान्य असते. दुसरे म्हणजे येथे उपस्थित होणारे गणितीय प्रश्र्न प्रसामान्यतेच्या गृहीतामुळे सापेक्षतः सुलभतेने सोडविता येतात.जर निरीक्षणे स्पष्टपणे अ-प्रसामान्य असतील, तर यापुढे केलेल्या विवरणातील पद्धती त्यांना तंतोतंतपणे लागू पडणार नाहीत आणि मग एकचर प्रश्र्नांप्रमाणेच येथेही →अप्राचलात्मक पद्धती (उपलब्ध असल्यास) वापराव्या लागतात.

      μ व ∑  यांचे आकलन  :  समजा  N (μ , ∑) या वंटनातून  n आकारमानाचा एक यदृच्छ प्रतिदर्श दिलेला असून त्यातील  n निरीक्षणे  X α (χ 1 α, χ 2 α, …., χ p α)  (α = 1, 2, …., n) अशी आहेत. येथे लगेचच सोडवावयाची समस्या म्हणजे दिलेल्या प्रदत्तावरून  μ व ∑ या अज्ञात प्रचलांचे आकलन करणे हा आहे.

      μ व ∑ यांचे महत्तम शक्यता आकल [→सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र] अनुक्रमे χ व 1/n S यांवरून मिळतात. येथे χ हा माध्यांचा

 

सदिश   (χ 1 , χ 2 , ….., χp) असून χi  =  1/n    ∑       χiα   आणि   

S हा संशुद्ध गुणाकारांच्या (व वर्गांच्या) बेरजांचा p x p आव्यूह (S_ij) i, j = 1, 2,……, p असून S_ijची व्याख्या पुढीलप्रमाणे आहे :

sij =

n S a = 1

(xia – `xi)

(xja – `xj)

यापुढील विवेचनात S याचा उल्लेख गुणाकार-बेरीज आव्यूह असा केलेला आहे.

     

N (m,å) या समष्टीतून n आकारमानाचे प्रतिदर्श पुनःपुन्हा घेऊन मिळणाऱ्या वरील आकलकांच्या (ते यदृच्छ चल आहेत असे मानून) प्रतिदर्शी वंटनांवरून मग नेहमीचे अनुमानशास्त्रीय प्रश्न सोडवावयाचे असतात.`x चे वंटन हे m माध्य सदिश व 1/nå हा सहविचरण आव्यूह असलेले p – चर प्रसामान्य वंटन असल्याचे दिसून येते. हे अर्थातच एकचराच्या बाबतीतील ‘जर X चे वंटन m माध्य व  s <sup>२</sup> विचरण असलेले प्रसामान्य वंटन असेल, तर प्रतिदर्श माध्य`x चे वंटन m माध्य व 1/ns ^२ विचरण असलेले प्रसामान्य वंटन असते’ [⟶ वंटन सिद्धांत] या निष्कर्षाचे व्यापकीकरण आहे. एकचराच्या

बाबतीत	n S (xa-`x)2 a = 1 s २	या राशीचे वंटन n – 1 मुक्तता मात्रा
			n
असलेले काय-वर्ग (c2) वंटन असते किंवा			S (xa-`x)2
			a= 1

---

याचे वंटन n – 1 मुक्तता मात्रा व s ^२  प्रचल असलेले काय-वर्ग वंटन असते असेही म्हणता येईल. याचेच बहुचरांच्या बाबतीतील व्यापकीकरण म्हणजे S या आव्यूहाचे प्रतिदर्शी वंटन असून हे å हा प्रचलांचा आव्यूह व n – 1 मुक्तता मात्रा असलेले जे. विशार्ट यांचे वंटन असते. जर å एकमात्र असेल, तर S हाही एकमात्र असण्याची संभाव्यता एक असते आणि मग वरील वंटन एकमात्र आहे असे म्हणतात. तथापि å नैकमात्र असेल. तर S हाही नैकमात्र असण्याची संभाव्यता फक्त n ≥ P असेल तरच एक असते आणि मग त्याचे संभाव्यता घनता फलन खालीलप्रमाणे असते, असे दाखविता येते :

 

 

येथे S हा अनिवार्यतेने घनात्मक निश्चित [⟶ आव्यूह सिद्धांत] आहे, असे समजले आहे. यापुढील विवेचनात å हा नैकमात्र आहे असे मानण्याबरोबरच n≥P या अटीचीही पूर्ती झालेली आहे असे गृहीत धरलेले आहे.

`c व		1 n	S हे महत्तम शक्यता आकलक सांख्यकीय दृष्ट्या निखलंबी आहेत, असे सहज दाखविता येते.
	तसेच			1 n	S हे å चे आकलन करण्याकरिता निरमित [ ® सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र ] नाही
	å चे निरभिनत आकलन					1 n-1	S यावरून मिळते.

हे निष्कर्ष एकचर सिद्धांतातील सुपरिचित निष्कर्षाचे व्यापकीकरण असल्याचे दिसून येते.

    

गृहीतकांच्या कसोट्या : समजा आपणाला m माध्य असलेल्या P-चर प्रसामान्य वंटनातून n निरीक्षणांचा x_a हा यदृच्छ प्रतिदर्श दिलेला आहे आणि आपणाला H_o : m = m_० (निर्देशित) या गृहीतकाची कसोटी घ्यावयाची आहे. प्रथम आपण m व अज्ञात सहविचरण आव्यूह å यांचे अनुक्रमे X व 1/nS याच्या साहाय्याने आकल मिळवितो. यानंतर`x ₁ – m_i0 हा i व्या घटकाचा (i = 1, 2, …, p) माध्य व त्याचा निर्देशित माध्य यांतील फरक सार्थ असण्याइतपत मोठा आहे की काय याचा निर्णय करण्यासाठी हॅरल्ड होटेलिंग यांनी प्रतिपादिलेला T² -संख्यानक खालील सूत्राने काढण्यात येतो.

T2 = n(n-1)

p S I = 1

p S J = 1

sij (`ci – mio) (`cj – mjo)

येथे (s^ij) हा S आव्यूहाचा व्यस्त आव्यूह असून m_i0(i = 1,2, …,p)

हे m_० चे घटक आहेत. जर

n-p p

.

T2 n-1

&gt f p,n-p, a

असेल, तर H_oहे गृहीतक (n &gt p) आहे असे मानून) आपण त्याज्य ठरवितो. तेथे उजव्या बाजूकडील पद हे जी. डब्ल्यू. स्नेडेकर यांच्या  p व n – p मुक्तता मात्रा असलेल्या F – वंटनातील a सार्थकता पातळीवरील ऊध्व विचलक आहे. होटेलिंग यांची ही T²– कसोटी म्हणजे एकचराच्या बाबतीत स्टूडंट यांच्या (द्वि – अंगी ) t – कसोटीचा बहुचरांच्या बाबतीत केलेला विस्तार आहे, असे दिसून येईल [⟶ सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र].

---

आता समजा की, N (m ⁽¹⁾, å ) व N (m ^(2), å) या दोन p – चर प्रसामान्य समष्टींतून अनुक्रमे

ca(1) = (c1a(1),….., cpa(1), a = 1, 2, ….., n1

cb(2) = (c1b(2),….., cpb(2), b = 1, 2, ….., n2

हे दोन यदृच्छ प्रतिदर्श दिलेले आहेत. येथे शिरांक k (k = 1, 2) हा तो तो प्रतिदर्श दर्शवितो तसेच अनन्यभावाने आपण येथे समष्टींचे सहविचरण आव्यूह å एकच आहेत, असं मानले आहे. येथे कसोटी घ्यावयाचे नेहमीचे गृहीतक म्हणजे H_o: m⁽¹⁾= m⁽²⁾ म्हणजेच दिलेले यदृच्छ प्रतिदर्श एकाच समष्टीतील आहेत.

 

      येथे अज्ञात m^(k)चे आकलन c^(k), k = 1, 2 यावरून केले जाते, तर å याचा महत्तम शक्यता आकलक या

बाबतीत	1	S यावरून मिळतो.
	N1+n2

येथे S = (S⁽¹⁾ + S⁽²⁾ असून S^(k) हा k व्या प्रतिदर्शाचा गुणाकार-बेरीज आव्यूह आहे.

S चा निरभिनत आकल	1 N1+n2-2	S यावरून मिळतो.
ci(1)-ci(2) हा i व्या घटकाच्या (I = 1, 2, ………….., p)

 

प्रतिदर्श माध्यांतील निरीक्षित फरक सार्थ असण्याइतपत मोठा आहे की काय याचा निर्णय करण्यासाठी खाली दिलेल्या होटेलिंग यांच्या द्वि-प्रतिदर्शी T² –संख्यानकाचे मूल्य काढण्यात येते :

T2 =	n1 n2 n1 + n2	(n1 +n2 – 2)	p S i = 1	p S j = 1	Sij (`ci(1) – `ci(2))(`cj(1) – `cj(2))

---

येथे (S^ij) हा S = S⁽¹⁾ + S⁽²⁾ याचा व्यस्त आव्यूह आहे. जर (n₁+n₂-p-1 &gt 0 आहे असे मानून)

n1+n2 – p-1 p	.	T2	&gt fp, n1+n2-p-1,a
		n1+n2-2

 

असेल, तर H_o हे गृहीतक त्याज्य ठरते. a च्या विविध प्रमाणभूत मूल्यांकरिता यातील उजवीकडील राशीची मूल्ये सांख्यिकीय कोष्टकांवरून मिळू शकतात. ही T²-कसोटी म्हणजे स्टूडंट व आर्‌. ए. फिशर यांच्या एकचराच्या बाबतीतील द्वि-अंगी t-कसोटीचा बहुचरांच्या बाबतीतील विस्तार आहे, असे सहज दिसून येईल [⟶ सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र].

 

जर N (m^(k), å), k = 1 , 2, ……, c  अशा p-चर प्रसामान्य समष्टीतून अनेक (समजा c) प्रतिदर्श दिलेले असतील, तर H_o :m⁽¹⁾ = m ⁽²⁾ = ………. = m^(c) या गृहीतकाची कसोटी जटिल (गुंतागुंतीची) बनते. या कसोटीसाठी S_W या ‘अंतर्गत’ (प्रतिदर्शांतर्गत) गुणाकार-बेरीज आव्यूहाची व्याख्या खालीलप्रमाणे करतात :

 

S_W = S⁽¹⁾ + S ⁽²⁾ + …………… + S^(c), येथे S^(k) हा k व्या प्रतिदर्शाचा गुणाकार-बेरीज आव्यूह आहे. S_B या ‘आंतर’ (आंतरप्रतिदर्शी) गुणाकार-बेरीज आव्यूहाची व्याख्या खालीलप्रमाणे केली जाते:

SB = (SBij) i, j = 1, 2, …………, p.
येथे sBij =		c S      nk K=1		(`ci(k) -`ci)(`cj(k) – `cj) असून
	`cI =		c S      nk `ci(k) K=1 n1+n2+ … +nc		आणि nk हे k व्या प्रतिदर्शाचे आकारमान आहे.

---

कसोटीसाठी एस्. एस्. विक्स यांच्या

L=	। SW ।	या निकषाचे मूल्य काढण्यात येते आणि
	। SW+SB ।

जर Ù चे मूल्य पुरेसे लहान असले, तर H_oहे गृहीतक त्याज्य ठरविण्यात येते.

    

p = 1 वा 2 किंवा c = 2 व 3 या मूल्यांकरिता सम्यक (नेमकी) कसोटी शक्य आहे p = 1 असल्यास हा एकचर प्रश्न होतो व मग Ù हा एकमार्गी विचरणाच्या विश्लेषणातील [⟶ विचरणाचे विश्लेषण] F -संख्यानकाशी समतुल्य असतो. c = 2 असल्यास होटेलिंग यांचा द्वि-प्रतिदर्शी T² -संख्यानक मिळतो. सामान्यतः फक्त अनंतवर्ती (बृहत्‌ प्रतिदर्शांकरिता यथार्थ असलेली) कसोटी शक्य असून तीत – (n₁ + n₂ + …………+ n_c) log_e Ù&gt c^२_{p(c -1)} , _a असेल, तर H_० हे गृहीतक त्याज्य ठरते. येथे उजवीकडील पद हेa सार्थता पातळीवरील p (c – 1) मुक्तता मात्रांच्या काय-वर्ग वंटनाचा ऊर्ध्व विचलक आहे.

    

येथे हे निर्देशित केले पाहिजे की, एखाद्या (माध्यांच्या पदात मांडलेल्या) रैखिक गृहीतकाकरिता कोणतीही शक्यता- गुणोत्तर कसोटी [⟶ सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र] ही योग्य विल्क्स निकष वापरून व्यक्त करता येते. विल्क्स निकषाकरिता S_Wहा ‘त्रुटिजन्य’ गुणाकार-बेरीज आव्यूह व S_Bहा ‘गृहीतकापासूनच्या वितलनांमुळे उद्‌भवणारा’ गुणाकार-बेरीज आव्यूह असे म्हणता येईल. यामुळे बृहत्‌ प्रतिदर्श c²– कसोटीसाठी असणाऱ्या मुक्तता मात्रा ह्या ‘गृहीतकाच्या मुक्तता मात्रा’ (या मुक्तता मात्रा म्हणजे दिलेल्या ‘प्रतिकृती’ नुसार असणाऱ्या निरवलंबी प्रचलांची संख्या, असे स्थूलमानाने म्हणता येईल) उणे गृहीतकाखालील मुक्तता मात्रांची संख्या याच्याबरोबर असतात.

     

सहविचरण आव्यूहांबाबत गृहीतकांच्या कसोट्याही शक्यता-गुणोत्तर कसोट्यांचे तत्त्व व बृहत्‌ प्रतिदर्शांबाबतची आसन्नीकरणे वापरून घेता येणे शक्य आहे. तथापि या कसोट्यांचे निकष विल्क्स निकषांच्या स्वरूपांत मांडता येत नाहीत.

 

विवेचक विश्लेषण : समजा आपणाला p – चर वंटनांमधून दोन प्रतिदर्श दिलेले आहेत. दिलेल्या X₁ , X₂ , …………… , X_P या चलांचा Y हा असा रैखिक संयोग (पदावली) आपणाला काढावयाचा आहे की, Y च्या प्रतिदर्शांतर्गत चलनाच्या सापेक्ष त्याचे आंतरप्रतिदर्शी चलन शक्य तितके जास्त राहील. म्हणजेच असा सर्वोत्तम रैखिक संयोग काढावयाचा आहे की, दोन प्रतिदर्शांतील Y मूल्यांचे समूह हे समूहांतर्गत अपस्करणाच्या (विखुरण्याच्या मानाच्या) तुलनेने शक्य तेवढे जास्त भिन्न असावेत. प्रत्यक्ष परिस्थितीत जर आपण दोन समूह चांगल्या प्रकारे भिन्न असतील असा रैखिक संयोग शोधून काढू शकलो (आणि इतर संयोग वापरल्यास हे समूह इतक्या चांगल्या प्रकारे भिन्न होत नसतील), तर आपणाला X_i (i = 1, 2, …… , p) च्या मापनांच्या योग्य रैखिक समचयाद्वारे दोन वंटनांतील निरीक्षणांमध्ये विवेचन (भेददर्शन) करणारा मार्ग उपलब्ध होईल. ही समस्या मूलतः फिशर यांनी विचारार्थ घेतलेली होती व ही समस्या सोडविण्यासाठी वापरण्यात येणाऱ्या सांख्यिकीय विश्लेषण पद्धतीला ‘विवेचक विश्लेषण’ म्हणतात.

      समजा Y हा यदृच्छ रैखिक संयोग खालीलप्रमाणे आहे :

      Y = a₁ X₁ + a₂ X₂ + …………+ a_P X_P

      मग दोन समष्टींतील अनुक्रमे n₁ व n₂ आकारमानाच्या प्रतिदर्शांनुसार Y ची प्रतिदर्शी मूल्ये (वर वापरलेल्या संकेत पद्धतीनुसार) खालीलप्रमाणे होतील :

 

ga(1) = a1 c1a(1) + …… + ap cpa(1) a = 1, 2, …., n1.

gb(2) = a1 c1b(2) + …… + ap cpb(2) b = 1, 2, …., n2.

---

Y चे दोन प्रतिदर्शांतील माध्य खालील सूत्रांवरून मिळतील:

 

`g(1) = a1 `c1(1) + …………… + ap `cp(1)

`g(2) = a1 `c1(2) + …………… + ap `cp(2)

यावरून `g[ =	n1 `g(1) + n2 `g(2)	वा	n1 n2	(`g(1) – `g(2))2 ]
	n1 + n2		n1 + n2

 

हा सामाईक माध्य असेल, तर आंतरप्रतिदर्शी चलन म्हणजे

2

S      nk (`g(k) – `g )2  खालील सूत्रावरून मिळते :

K = 1

n1 n2 n1+n2

{

p S i = 1

ai (`ci(1) – `c(2) )}2

आणि Y मूल्यांचे प्रतिदर्शांतर्गत चलन म्हणजे

n1	n2
S        (ga(1) – `g(1))2 +	S        (gb(2) – `g(2))2
a= 1	b = 1

खालील सूत्राने मिळते :

p	p
S	S        ai aj sij
i = 1	j = 1

 

---

येथे S = (s_ij) हा आव्यूह मूळ प्रतिदर्शांच्या S⁽¹⁾ व S⁽²⁾ या गुणाकार-बेरीज आव्यूहांची बेरीज करून मिळणारा आव्यूह आहे.

	p
जर ai हे सहगुणक	S      sij (`cj(1) – `cj(2))
	j = 1

याच्याशी सम प्रमाणात निवडले, तर आंतरप्रतिदर्शी व प्रतिदर्शांतर्गत चलनांच्या गुणोत्तराचे महत्तमीकरण होते, असे दाखविता येते.

या a_i सहगुणकांनी म्हणजे

	p
ai = A	S      sij (`cj(1)– `cj(2))
	j = 1

 

i = 1, 2, ………, p यांनी बनलेल्या रैखिक संयोगाला (प्रतिदर्शी) ‘विवेचन फलन’ म्हणतात. येथे (S ^ij) हा S चा व्यस्त आव्यूह असून A हा कोणताही यदृच्छ स्थिरांक आहे. येथे उल्लेख करण्यासारखी गोष्ट म्हणजे वरील गुणोत्तराचे महत्तम मूल्य T²/( n₁+ n₂ -2) या बरोबर अगदी नेमके येते. येथे T²हा होटेलिंग यांचा द्वि-प्रतिदर्शी T² -संख्यानक आहे.

    

काही वेळा दोन प्रतिदर्शांमध्ये भेद करण्यासाठी  X1, X2, ………, X_q (q &lt p) यांनी मिळणाऱ्या माहितीपेक्षा X_q+1, X_q+₂, …………, X_P यांच्यामुळे सार्थ अशी अधिक माहिती मिळू शकते का हे जाणून घ्यावयाचे असते. (X₁, X₂, …………, X_P) आणि (X₁, X₂, ……, X_q) या चलांमुळे दोन प्रतिदर्शावरून अनुक्रमे T_P²  व T_q² हे होयेलिंग T² -संख्यानक मिळालेले आहेत. जर

 

n1+n2-p-1	.	Tp2-Tq2
p-q		n1+n2-2+Tq2

 

ही राशी f_{p -q}, _{n1 + n2 – P – 1, a} पेक्षा जास्त असेल, तर   

(X_{q + 1}, X_{q + 2} ……………, X_P) या चलांनी दिलेली अधिक माहिती सार्थ आहे असे मानण्यात येते. वरील राशी पर्यायी रूपात

    

n1+n2-p-1	.	n1 n2 (Dp2-Dq2)
p-q		(n1+n2)(n1+n2-2)+n1 n2 Dq2

 

अशी D²– संख्यानकाच्या पदांत मांडता येते (D² – संख्यानकाविषयी पुढे माहिती दिली आहे.).

---

 जर आपण c प्रतिदर्शांकरिता वरील स्वरूपाचेच विवेचक विश्लेषण केले (व ‘गृहीतकांच्या कसोट्या’ या उपशीर्षकाखाली केलेल्या विवरणातील संकेत पद्धती वापरली), तर या बाबतीत विवेचक फलन

p
S	aj Xi असे मांडता येते की, यातील (a1, a2, …………, ap)
i = 1

 

हे  S_B S_W^-1 या आव्यूहाच्या सर्वांत मोठ्या लाक्षणिक बीजाला (l₁)  अनुसरून येणाऱ्या (l₁, l₂,……., l_P) या लाक्षाणिक सदिशाच्या [⟶ आव्यूह सिद्धांत] प्रमाणात असतात. म्हणजेच l₁ हे S_B-lS_Wl = 0 या निर्धारकात्मक समीकरणाचे सर्वांत मोठे बीज असते आणि l_i हे खालील समीकरणांची पूर्ती करतात:

p
S	(bij-l1 swij) Lj = 0 I = 1, 2, …….., p.
J=1
		c		c       n
आंतरप्रतिदर्शी चलन		[S     nk (`g(k) – `g)2 ]	व प्रतिदर्शांतर्गत चलन	[S      S    (ga(k) – g(k))2 ]
		K = 1		K=1  a=1

यांच्या गुणोत्तराचे सर्वाधिक मूल्य मग अगदी नेमके l₁ इतके येते.

 

वर्गीकरण व अंतर : समजा आपणाला N (m^(1), å) व N (m^(२), å) यांपैकी कोणत्याही p- चर प्रसामान्य समष्टींतील असलेले x हे p घटकयुक्त निरीक्षण दिलेले असून हे निरीक्षण या दोनपैकी एका समष्टीत वर्गीकृत करावयाचे आहे. x या निरीक्षणाचे यदृच्छ स्वरूप, वर्गीकरणाच्या त्रुटींच्या संभाव्यता आणि योग्य व्ययफलनाच्या रूपात निर्देशित केलेले चुकीच्या निर्णयाचे परिणाम लक्षात घेतल्यास वरील प्रश्न अब्राहम वॉल्ड यांच्या ⇨ निर्णय पद्धतीच्या चौकटीत, जोखीम फलनाचे (म्हणजे एखादा विशिष्ट निर्णय नियम वापरण्यातील सरासरी व्ययाचे) लघुतमीकरण करून सोडविता येईल. येथे फार तपशीलात न जाता फक्त इतकेच म्हणता येईल की, असा पर्याप्त (इष्टतम) निर्णय नियम x च्या घटकांच्या रैखिक संयोगावर (म्हणजे a₁ x₁ + a₂ c₂ + ……………+ a_p x_p) आधारलेला असतो. येथे

	p
ai = A	S    sij (mj(1) – mj(2)) i = 1, 2, ……, p.
	j=1

A हा (सर्व i करिता समान असा) यदृच्छ स्थिरांक, (s^ij) हा  å चा व्यस्त आव्यूह आणिm_j^(k) (j=1, 2, ………, p) हे m^(k) (k = 1, 2) याचे घटक आहेत.

---

वरील रैखिक संयोगाला N (m⁽¹⁾ , å) व N (m^(2),å) यांमधील (समष्टी) विवेचक फलन म्हणतात. जर B हा दोन समष्टींकरिता रैखिक संयोगाच्या अपेक्षित मूल्यांमधील फरकाचा वर्ग असेल आणि W हा x च्या सर्व रैखिक समचयांमधील रैखिक संयोगाचे (समाईक) विचरण असेल, तर हा रैखिक संयोग B/W या गुणोत्तरांचे महत्तमीकरण करतो, असे दाखविता येते. यावरून ‘विवेचक विश्लेषणा’ तील विवरणाशी प्रस्तुत विवरणाचे असणारे निकट साम्य लक्षात येईल. aj ची मूल्ये वरीलप्रमाणे असल्यास व

p	p	p
S    ai ci ही	S    ai mi(2) पेक्षा	S     ai mi(1) च्या अधिक जवळ असेल, तर x हे निरीक्षण
i = 1	I = 1	i = 1

 

N (m⁽¹⁾, å) या समष्टीत वर्गीकृत केले जाते. या दोहोंमधील प्रत्यक्ष मर्यादाबिंदू ठरविताना दोन समष्टींच्या पूर्व संभाव्यता व चुकीच्या निर्णायाचे परिणाम लक्षात घेतले जातात आणि जर इतर गोष्टी समान असतील, तर हा बिंदू

p

S     ai m1(k)

i =1

(k = 1, 2) याचा मध्यबिंदू घेतल्यास चालतो.

 

विवेचक फलनावर आधारलेल्या या पर्याप्त नियमाद्वारे मिळणारी वर्गीकरणातील त्रुटीची किमान संभाव्यता ही खालील राशीची व्यस्त प्रमाणात असते :

	p	p
D2 =	S	S     sij (mi(1) – mi(2))(mj(1) – mj(2))
	i = 1	i = 1

 

ही राशी अ-ऋण असून जर प्रत्येक i करिता m_i⁽¹⁾ =m_j⁽²⁾ असेल, तर आणि तरच म्हणजे जर दोन्ही समष्टी अभिन्न (तंतोतंत जुळणाऱ्या) असतील तरच शून्य असते. या कारणाकरिता प्रफुल्लचंद्र महालनोबीस यांनी D² ही राशी N (m^(k), å), (K = 1, 2) या दोन प्रसामान्य समष्टींतील ‘अंतरा’ चे माप म्हणून सुचविली होती.

जर m^(k) व å हे प्रचल दोन्ही समष्टींकरिता अज्ञात असतील आणि या दोन समष्टींतील n₁ व  n₂ या आकारमानाचे स्वतंत्र प्रतिदर्श घेऊन

 

`x (k) व	1
	n1 + n2 – 2

 

S यांनी अनुक्रमे त्यांचे आकलन केल्यास या आकलांचा उपयोग करून बनणारा रैखिक संयोग विचारात घेणे स्वाभाविक ठरते. यावरून वर्गीकरणाच्या समस्येत उपयोगी पडणारी सहज प्रयुक्ती म्हणून मागे विवरण केलेले (प्रतिदर्शी) विवेचक फलन मिळते.

---

 जर आपण D² मध्ये m^(k) व å यांचे निरभिनत आकल उपयोगात आणले, तर D² चे आकलन करणारी खालील राशी मिळते :

	p	p
D2 = (n1+n2-2)	S	S      sij (`ci(1) – `ci(2))(`cj(1) – `cj(2))
	i = 1	j = 1

महालनोबीस यांनी या राशीला प्रसामान्य समष्टींतील दोन प्रतिदर्शांमधील ‘अंतर’ असे संबोधिले आहे. D²-संख्यानक व होटेलिंग यांचा द्वि-प्रतिदर्शी T²– संख्यानक संबंध खालील सूत्राने मिळतो:

T2 =	n1 n2	D2
	n1 + n2

 

अशा प्रकारे N (m⁽¹⁾, å) N (m⁽³⁾, å) या प्रसामान्य समष्टींतील (प्रतिदर्शी) अंतर D²जर पुरेसे मोठे असेल, तरच या समष्टींच्या समानतेचे गृहीतक त्याज्य ठरविण्यात येते.

 

n- मितीय भूमितीचा उपयोग : (‘भूमिती’ या नोंदीतील ‘बहुमितीय भूमिती’ या उपशीर्षकाखालील विवरणही पहावे). X चे कोणतेही निरीक्षण p – मितीय यूल्किडीय अवकाशातील बिंदtने निदर्शित करता येईल, असे निदर्शन काही वेळा विश्लेषणात्मक निष्कर्षांचे स्पष्टीकरण करण्यासाठी उपयुक्त ठरते. उदा, X चे दोन प्रतिदर्श भूमितीय दृष्ट्या बिंदुंच्या (यांतील काही परस्पर व्याप्त असणे शक्य असलेल्या) दोन समूहांद्वारे निदर्शित करता येतील. विवेचक विश्लेषणाचे आता पुढीलप्रमाणे स्पष्टीकरण देता येईल. या प्रतिदर्श समूहांचे आपणाला एका रेषेवर प्रक्षेपण करावयाचे असून येथे समस्या अशी आहे की, प्रक्षेपित प्रतिदर्शामधील (आंतरप्रतिदर्शी) चलन हे प्रक्षेपित प्रतिदर्शांतर्गत चलनाच्या सापेक्ष शक्य तितके अधिक होईल अशा प्रकारे या रेषेची दिशा शोधावयाची आहे.

 

काही बाबतींत विविध प्रतिदर्श संख्यानकांचे भूमितीय रीतीने स्पष्टीकरण करण्यासाठी एक पर्यायी निदर्शन वापरतात. समजा n आकारमानाचा प्रतिदर्श दिलेला असून त्यानुरूप n- मितीय खालील बिंदू आहेत :

 

P_i = (c_i1, c_i2 , …………, c_in )  i = 1, 2, …………, p.

 

येथे i चा अर्थ ‘गृहीतकांच्या कसोट्या’ या उपशीर्षकाखालील विवरणात वापरलेल्या संकेताप्रमाणे केलेला आहे. मग P_i चे समकोनीय रेषेवरील प्रक्षेपण खालील सूत्राने दिले जाते :

 

Mi= (`ci, `ci, ……, `ci) i = 1, 2, ….., p

 

यामुळे P_iM_i या अंतराचा वर्ग नेमका

n

S       (cia – `ci)2

a = 1

---

 याबरोबरच म्हणजेच s_ij येतो. याचप्रमाणे f_ij याने P_i M_i व  P_j M_j (i ¹ j) यांतील कोन निर्देशित होत असेल, तर

 

Cos fij = rij = sij / Ösii sjj

    

अशा प्रकारे आंशिक अनेकचर सहसंबंधांक, T² व D² इ. संख्यानकांचे भूमितीय रीतीने स्पष्टीकरण करणे शक्य होते. फिशर यांनी आंशिक व अनेकच सहसंबंधांची प्रतिदर्शी वंटने काढण्यासाठी अशा भूमितीय पद्धतींचा १९२८ मध्ये वापर केला. अशाच पद्धती विशार्ट यांनी १९२८ मध्ये S करिता, होटेलिंग यांनी १९३१ मध्ये T² करिता, महालनोबीस, आर्‌. सी. बोस व एस्‌. एन्‌. रॉय यांनी १९३७ मध्ये तसेच रॉय व बोस यांनी १९३९ मध्ये D^{2 –} संख्यानकाकरिता वापरल्या. त्यानंतर मात्र भूमितीय पद्धतींऐवजी वैश्लेषिक पद्धती वापरण्याकडेच कल वाढला.

    

अवयवात्मक विश्लेषण व प्रमुख घटक : काही वेळा X_iया p यदृच्छ चलांचे संयुक्त चलन कमी संख्येच्या (समजा r) गृहीत चलांच्या संयुक्त चलनाच्या रूपात आसन्न मांडता येण्याची शक्यता पडताळून पहाणे मौलिक ठरते. याकरिता एकमेकांशी निकटचा संबंध असलेले दोन मार्ग उपलब्ध आहेत. पहिल्याला ‘अवयवात्मक विश्लेषण’ म्हणतात व ते मूलतः मनोमितीय (मानसशास्त्रीय प्रदत्ताचे गणितीय व सांख्यिकीय विवरण करणाऱ्या शास्त्रातील) संशोधनाच्या संदर्भात विकसित केले गेले होते. दुसरे म्हणजे प्रमुख घटक विश्लेषण हे असून ते होटेलिंग यांनी प्रतिपादिले.

    

अवयवात्मक विश्लेषण : समजा p निरीक्षणक्षम यदृच्छ चल X_i(i = 1, 2, ………, p) प्रमाणित रूपात (म्हणजे ज्यांचे माध्य शून्य व विचरण एक आहे असे) दिलेले आहेत. हे चल खालीलप्रमाणे व्यक्त करावयाचे आहेत :

 

X_i = a_i1 F₁ + a_i2 F₂ + ……….+ a_ir F_r + d_i U_i i = 1 , 2, ………, p येथे F_j (j = 1, 2, ……., r) हे प्रमाणित रूपातील अनिरीक्षणक्षम असहसंबंधित यदृच्छ चल (यांना ‘समाईक अवयव’ म्हणतात), a हे स्थिरांक) यांना ‘अवयव- भार’ म्हणतात) आणि U_i हे प्रमाणित, असहसंबंधित यदृच्छ चल (यांना ‘विशिष्ट अवयव’ म्हणतात) असून ते F_j शी असहसंबंधित आहेत. येथे समस्या अशी आहे की, x_a(a = 1, 2, ……., n) या x च्या निरीक्षणांच्या आधारे समाईक अवयवांची संख्या r, अवयव-भार आणि a च्या निरीक्षणासाठी अवयव-गुण F_ja (j = 1, 2, ……., r)  काढावयाचे आहेत.

 

X₁ च्या वरील निदर्शानात असे गर्भित आहे की,

r		r
S       aikajk = rij,      i ¹j	आणि	S       aik2 = 1 – di2 = hi2
k = 1		k = 1

 

येथे r_ij हा X_iव  X_j यांच्या निरीक्षित मूल्यांतील सहसंबंधांक असून h_i² ला X_i ची सामूहिकता (किंवा समाईक अवयव विचरण) आणि d_i² ला X_i ची अनन्यता म्हणतात.

     

वरील समस्येचे उत्तर अनन्य रूपात मिळत नाही आणि त्यामुळे भौतिक रूपात ज्यांचे स्पष्टीकरण देता येईल अशी उत्तरे शोधण्यात येतात. याकरिता अनेक पद्धती उपलब्ध असून त्यांपैकी एल्‌. एल्‌. थर्स्टन यांची भार-माध्य पद्धती आणि प्रसामान्यतेच्या गृहीतावर आधारलेली डी. एन्‌. लॉली यांची महत्तम शक्यता पद्धती यांचा उल्लेख करता येईल.

---

 प्रमुख घटक : समजा आपणाला å हा सहविचरण आव्यूह असलेले p यदृच्छ चल X_i दिलेले आहेत. येथे आपणाला

	p
Y1 =	S      l1iXi
	i = 1

हा रैखिक समचय अशा प्रकारे काढावयाचा आहे की,

p

S      l1i2 = 1

i = 1

 

आणि ‘प्रसामान्यित’ रैखिक समचयांमध्ये Y₁ चे विचरण महत्तम असेल. जर l₁ हे å चे सर्वांत मोठे लाक्षणिक बीज असेल आणि (l₁₁, l₁₂, ……., l_1p) हा l₁ शी संगत असा ‘प्रसामान्यित’लाक्षणिक सदिश असेल, तर Y₁हा इष्ट अटींची पूर्ती करतो असे दाखविता येते. Y₁ चे विचरण भग l₁ असल्याचे दिसून येते व Y₁ ला X चा पहिला प्रमुख घटक म्हणतात.

    

अधिक व्यापक दृष्ट्या समजा, l₁≥l₂≥ ……≥l_P ही å ची लाक्षाणिक बीजे आहेत. जर आता आपणाला महत्तम विचरण असलेल्या पहिल्या प्रमुख घटकाशी (Y₁) असहसंबंधित असलेला ‘प्रसामान्यित’ रैखिक समचय काढावयाचा असेल, तर तो

Y2 =	p
	S     l2iXi असा येतो. तेथे (l21, l22, ….., l2p)
	i = 1

 

हा å चा l₂ शी संगत असलेला ‘प्रसामान्यित’ लाक्षाणिक सदिश आहे. Y₂ ला दुसरा प्रमुख घटक म्हणतात व त्याचे विचरण l₂ असते. याचप्रमाणे आपणाला तिसरा, चौथा, ….. आणि शेवटी p वा प्रमुख घटक काढता येईल.

     

यावरून असे दाखविता येईल की,

Xi= l1i Y1 + l2i Y2 + ………… + lpi  Yp i = 1, 2, ………, P

जर पहिले r प्रमुख घटक हे r समाईक अवयव (यांना ‘प्रमुख अवयव’ म्हणतात) आहेत असा खालीलप्रमाणे लिहून अर्थ केला

     

X_i = L_1i Y₁ + ……… + L_ri Y_r + Z_i i = 1 , 2 , ……….., P तर L_ji हे अवयव-भार असल्याचे दिसून येते. तथापि येथे Z_i हे जरी Y_j शी असहसंबंधित असले, तरी आपापसात सहसंबंधित आहेत.

    

जर l_r+1 = l_{r +2} = …….l_P असेल, तर r पेक्षा अधिक अवयव काढणे इष्ट ठरणार नाही. कारण या बाबतीत Y_i शी (i = 1 , 2, ….., r) असहसंबंधित असलेल्या व ‘प्रसामान्यित’ रूपात असलेल्या प्रत्येक रैखिक समचयाचे विचरण सारखेच म्हणजे l_r+1 इतके येते.

---

वरील विवरणात जर X_i ( i = 1 , 2, …….., p) प्रमाणित रूपात घेतल्यास å च्या ऐवजी सहसंबंधांकांचा आव्यूह विचारात घ्यावा लागेल. जर X वर n आकारमानाचा एखादा प्रतिदर्श घेतला (व प्रमाणित रूपात मांडला), तर सहसंबंधांकांच्या आव्यूहाचे आकलन r_ij याप्रतिदर्श सहसंबंधांकांच्या बनलेल्या R या आव्यूहावरून करता येते. l_i (i = 1, 2, ……, p) यांचे आकलन R च्या l_i (i = 1, 2, ……, p) या लाक्षाणिक बीजांवरून करता येते (अर्थात l₁≥l₂ ≥………. ≥lp असले पाहिजे).

 

r वा प्रमुख अवयव काढून झाल्यावर अधिक अवयव काढणे थांबवावयाचे की काय याचा निर्णय करण्यासाठी खालील राशी काढतात.

 

A = -(n-1-	2p+5	–	2	R ) log L
	6		3

 

येथे L =

। R । L  L            L            L      L           L l1l2 ……lr (p – l1 – l2 – l3 …. – lr) p – r                                  P – r

आणि जर A ही राशी ½ (p – r) (p – r – 1) मुक्तता मात्रा असलेल्या व इच्छित सार्थता पातळीनुसार येणाऱ्या काय-वर्ग वंटनाच्या विचलकापेक्षा कमी असेल, तर अवयव काढण्याची क्रिया थांबविण्यात येते. ही आसन्न (अंदाजी) कसोटी असून तिच्या मोठ्या मूल्यांकरिताच ग्राह्य आहे.

     

इतिहास व अनुप्रयोग : जरी अनेक मापनांशी संबंधित असलेले कित्येक सांख्यिकीय प्रश्न प्रसामान्य वंटनावर आधारणे शक्य नसले आणि जरी इतर प्रकारच्या वंटनांतून [उदा., अनेकपदी वंटन ⟶ वंटन सिद्धांत] घेतलेल्या प्रतिदर्शांबाबत इतर सांख्यिकीय पद्धती वापरता येत असल्या, तरी प्रत्यक्ष व्यवहारातील अनेक समस्यांच्या बाबतीत प्रसामान्य वंटनाची गणितीय प्रतिकृती योग्य ठरते. वर विवरण केलेल्या सिद्धांताच्या विकासाचा आढावा घेतल्यास असे दिसून येते की, त्यातील बहुतेक भाग व्यावहारिक समस्या सोडविण्यासाठीच विकसित करण्यात आलेला आहे. अशा प्रकारचे सांख्यिकीय प्रश्न हाताळणाऱ्या पहिल्या शास्त्रज्ञांपैकी फ्रान्सिस गॉल्टन (१८२२-१९११ ) हे एक होते. अनेक प्रतिदर्शांचा अभ्यास करणे व प्रतिदर्शांच्या निरीक्षित गुणधर्मांचे व्यापकीकरण हे गणितीय प्रतिकृतीचा सिद्धांत म्हणून प्रतिपादणे, असे गॉल्टन यांचे सांख्यिकीय सिद्धांतासंबंधी संशोधन करण्याचे तंत्र होते. त्यांनी मापनाच्या जोड्यांचा (एक जनकाचे व दुसरे अपत्याचे) विशेष अभ्यास केला. द्विचर प्रसामान्य वंटनाच्या घनतेसंबंधी रॉबर्ट ॲड्रियन (१८०८), पी. एस्‌. लाप्लास (१८११), सी. एफ्‌. गौस (१८२३), ऑम्यूस्त ब्राव्हेस (१८४६) इत्यादींनी अभ्यास केलेला असला, तरी त्यांपैकी कोणीच गॉल्टन (१८८९) यांच्याप्रमाणे साहचर्याचे माप म्हणून सहसंबंधांकाचा आणि समाश्रयण रेषा व एकविचरणत्व यांसारख्या सशर्त वंटनाच्या [⟶ वंटन सिद्धांत] वैशिष्ट्यांचा शोध लावला नाही.

    

त्यानंतर कार्ल पीअर्सन (१८५७-१९३६) व इतर शास्त्रज्ञांनी या सिद्धांताचा विकास केला आणि त्यांनी आनुवंशिकी, जीवविज्ञान व इतर क्षेत्रांत निरनिराळ्या प्रकारच्या सहसंबंधांकांचा उपयोग केला. मानवशास्त्र व वनस्पतिविज्ञान यांतील वर्गीकरण प्रश्नांमुळे ‘वांशिक सदृशता गुणांक’ व ‘विवेचक फलन’ या संकल्पनांचा उदय झाला. दुसऱ्या दिशेने मानसशास्त्रीय चाचण्यांतील गुणांच्या विश्लेषणातून एका सिद्धांताचा (अवयवात्मक विश्लेषणासह) विकास झाला आणि त्यातील प्रतिदर्शन सिद्धांत प्रसामान्य वंटनावर आधारलेला आहे. या बाबतीत तसेच कृषी प्रयोगांत, अभियांत्रिकीय प्रश्नांत, काही अर्थशास्त्रीय प्रश्नांत व इतर क्षेत्रांत समष्टींचा बहुचर प्रसामान्य वंटनाशी पुरेशी निकटची आसन्नता आढळून आलेली असल्याने या प्रतिकृतीवर आधारलेली सांख्यिकीय विश्लेषणे समर्थनीय आहेत. असे म्हणता येते. प्रसामान्य वंटनावर आधारलेल्या बहुचरात्मक पद्धती यथार्थ गणितीय विवरणास सापेक्षतः सुलभ असल्यामुळे व त्यांचा व्यावहारिक उपयोग असल्यामुळे त्या विस्तारपूर्वक विकसित करण्यात आलेल्या आहेत.

 

पहा : सांख्यिकीय अनुमानशास्त्र.

 

संदर्भ : 1. Anderson, T. W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, New York, 1958.

           2. Holzinger, K. J. Harman, H. H. Factor Analysis, Chicago, 1941 .

           3. Kendall, M. G. A Course in Multivariate Analysis, London, 1957.

           4. Rao, C. R. Advanced Statistical Methods in Bio metric Research, New York, 1952.

           5. Roy, S. N. Some Aspects of Multivariate Analysis, New York, 1957.

           6. Wilks, S. S. Mathematical Statistics, New York, 1962.

       

भापकर, व. प्र. (इं.) भदे, व. ग. (म.)

“