गोडेल, कुर्ट : (२८ एप्रिल १९०६– ). प्रसिद्ध गणितवेत्ता व तर्कवेत्ता. जन्म चेकोस्लाव्हाकियात बर्‌नॉ या गावी. रूडोल्फ व मारिएन येथून त्यांनी पदवी घेतली. व्हिएन्ना विद्यापीठातून त्यांनी पीएच्.डी. मिळविली (१९३०). येल विद्यापीठातून ते डी.लिट्. झाले (१९५१). हार्व्हर्ड विद्यापीठाने त्यांना ‘डॉक्टर ऑफ सायन्स’ ही अत्युच्च सन्मान्य पदवी दिली (१९५२). ॲमर्स्ट कॉलेजनेही १९६७ मध्ये त्यांना ‘डॉक्टर ऑफ सायन्स’ ही सन्मान्य पदवी दिली. १९३३ ते १९३८ ह्या काळात त्यांनी व्हिएन्ना विद्यापीठात अध्यापन केले. १९४० मध्ये ते अमेरिकेला गेले व त्यानंतर तेथेच स्थायिक झाले. १९४८ मध्ये त्यांनी अमेरिकन नागरिकत्व स्वीकारले. प्रिन्स्टन येथील ‘इन्स्टिट्यूट ऑफ ॲड्व्हान्स स्टडीज’ ह्या संस्थेत त्यांनी १९४० ते १९५२ पर्यंत अध्यापन व संशोधन केले. १९५३ मध्ये त्यांना आइन्स्टाइन पारितोषिक मिळाले. ‘अमेरिकन फिलॉसॉफिकल सोसायटी’, ‘अमेरिकन मॅथेमॅटिकल सोसायटी’, ‘असोसिएशन ऑफ सिंबलिक लॉजिक’, ‘नॅशनल अकॅडमी ऑफ सायन्सेस’, ‘अमेरिकन अकॅडमी ऑफ आर्ट्‌स अँड सायन्सेस’ इ. विद्वत्‌सभा-संस्थांचे सदस्यत्व त्यांना मिळाले. सध्या प्रिन्स्टन येथे ‘प्रगत केंद्रा’त तसेच प्रिन्स्टन विद्यापीठात ते संशोधन व अध्यापनकार्य करीत आहेत.
गोडेल यांचा एकमेव ग्रंथ द कन्सिस्टन्सी ऑफ द कन्टिन्युअम हायपॉथेसिस हा असून तो १९४० मध्ये प्रसिद्ध झाला परंतु त्यांनी संशोधनात्मक नियतकालिकांत महत्त्वाचे व विद्वत्तापूर्ण असे लेखन विपुल प्रमाणात केलेले आहे. गणिताच्या संदर्भात निर्माण होणाऱ्या तर्कशास्त्रीय व मूलभूत अशा प्रश्नांवरील त्यांचे चिंतन त्यांच्या सखोल व्यासंगाची व बौद्धिक पातळीची साक्ष देईल. त्यांच्या चिंतनाचे विषय मुख्यत्वेकरून विधेय-कलनाचे पूर्णत्व, ॲक्शन ऑफ चॉइस, कँटरचा सातत्यक (कन्टिन्युअम) सिद्धांत, संच सिद्धांताची गृहीततत्त्वे, आइन्स्टाइनच्या सिद्धांतानुसार विश्वाची पुनर्रचना इ. आहेत परंतु तर्कशास्त्राच्या प्रांतात त्यांची कीर्ती त्यांनी १९३१ मध्ये जर्मन भाषेत मांडलेल्या एका महत्त्वपूर्ण प्रमेयामुळे अजरामर झाली आहे. हे प्रमेय ‘गोडेल-प्रमेय’ (गोडेल थिअरम) म्हणूनच ओळखले जाते. केवळ एवढ्या एका प्रमेयामुळेसुद्धा त्यांचे नाव अजरामर व्हावे इतके ते प्रमेय महत्त्वाचे व मूलगामी स्वरूपाचे आहे. ह्या प्रमेयाचा थोडक्यात मथितार्थ पुढीलप्रमाणे :
डाव्हीट हिल्बर्ट यांनी भूमितीच्या क्षेत्रात आणि फ्रेग, रसेल व व्हाइटहेड यांनी गणिताच्या क्षेत्रात तार्किक एकसूत्रीपणा व रचनात्मक व्यवस्थितपणा आणण्याचा तसेच काही मोजक्या गृहीत कृत्यांवरून गणिताच्या सर्व प्रमेयांची सिद्धता करण्याचा प्रयत्न केलेला होता. विशेषतः ⇨ बर्ट्रंड रसेल व ⇨ ए. एन्. व्हाइटहेड यांनी आपल्या प्रिन्सिपिआ मॅथेमॅटिका (३ खंड, १९१०–१३) ह्या ग्रंथात सर्व गणिताचे संक्षेपण (रिडक्शन) हे तर्कशास्त्रात होऊ शकते, असा नवीन सिद्धांत माडून गणिताची एक परिपूर्ण अशी निगामी प्रणाली रचून दाखवली होती. सर्व गणित हे अशा तऱ्हेने तर्कशास्त्रात सामावण्याचा त्यांचा हा अभिनव प्रयोग यशस्वी झाल्याचा दावाही पुढे करण्यात येत होता. गणित ही एक तर्कशास्त्रीय रचना आहे व त्या रचनेत कोठेही विसंगती नाही, असा या दाव्याचा आशय होता. १९१० ते १९३० या कालखंडात प्रिन्सिपिआ मॅथेमॅटिकाकडे गणिताचा आधार म्हणून पाहिले गेले परंतु या यशाला १९३१ मध्ये कुर्ट गोडेल यांनी आपल्या ‘uber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme Ι’ या निबंधाद्वारे आव्हान दिले. या निबंधात त्यांनी मांडलेले प्रमेय असे :
गणिताची रचनात्मक व्यवस्था करू पाहणाऱ्या कोणत्याही निगामी प्रणालीत असे एकतरी सूत्र असते, की ज्याची त्या प्रणालीत सिद्धता करता येत नाही. तसेच त्या सूत्राचा नकार वा अभावही (निगेशन) सिद्ध करता येत नाही.
या प्रमेयावरून निष्पन्न होणारे दुसरे प्रमेय असे : गणिताची रचनात्मक व्यवस्था करणाऱ्या कोणत्याही निगामी प्रणालीची सुसंगती त्या प्रणालीच्या कक्षेत सिद्ध करता येत नाही. या दोन्ही प्रमेयांची गोडेलनी केलेली सिद्धता इथे देता येणार नाही पण ती जाणकारांस मान्य झालेली आहे, एवढे नमूद केलेच पाहिजे. प्रिन्सिपिआ मॅथेमॅटिकाच्या संदर्भात या दोन्ही प्रमेयांची तार्किक फलनिष्पत्ती ही खालीलप्रमाणे थोडक्यात सांगता येईल :
आपण जर असे मानले, की प्रिन्सिपिआ मॅथिमॅटिका हा ग्रंथ संपूर्ण गणिताची निगामी प्रणालीत पद्धतशीर मांडणी करतो, तर त्या प्रणालीकरणात व्याघात किंवा विसंगती असूच शकणार नाही, असे आपणांस खात्रीपूर्वक सांगता येणार नाही. म्हणजे प्रिन्सिपिआ मॅथेमॅटिकाविषयीचा सुसंगतीचा प्रश्न अनिर्णित अवस्थेतच राहतो आणि तर्कशास्त्राच्या दृष्टीने हे योग्य नव्हे.
याउलट आपण जर असे मानले, की प्रिन्सिपिआ मॅथेमॅटिका ही गणिताची एक सुसंगत निगामी प्रणाली आहे, तर त्या प्रणालीद्वारे संपूर्ण गणिताची पद्धतशीर मांडणी होते, असे आपणास म्हणता येणार नाही.
गोडेल यांच्या प्रमेयामुळे केवळ गणिताच्या तत्त्वज्ञान विभागातच सुसंगतिविषयक प्रश्नाने डोके वर काढले आहे असे नव्हे, तर तत्त्वज्ञानाच्या सर्वच शाखांत, जिथे जिथे ज्ञानरचनेचा व्यापार अपेक्षित आहे तिथे तिथे, ज्ञानरचनेच्या शक्यतेविषयी साशंकता व्यक्त करण्यात आलेली आहे. कोणत्याही ज्ञानशाखेच्या बाबतीत परिपूर्णसर्वसंग्रहात्मक व सुसंगत अशा प्रणालीचे उद्दिष्ट हे केवळ असाध्य असेच आहे, हाच गोडेल यांच्या प्रमेयाचा मथितार्थ आहे.
संदर्भ : 1. Nagel, Ernest Newman, J. R. Godel’s Proof, New York, 1958.
2. Van Heijenoort, John, From Frege to Godel : Source Book on Mathematical Logic, 1879–1931, Cambridge, (Mass.), 1966.
बोकील, श्री. व्यं.