परिमाणात्मक विश्लेषण

परिमाणात्मक विश्लेषण : भौतिकीय शास्त्र हे मोठ्या प्रमाणात मापनविज्ञानावर आधारित आहे. त्यामध्ये येणाऱ्या विविध राशींचे वर्गीकरण मूलभूत व साधित (मूलभूत राशींवर आधारलेल्या) अथवा द्वितीयक असे करता येते. लांबी, द्रव्यमान व काल या सामान्यपणे मूलभूत राशी म्हणून घेतल्या जातात. कोणत्याही द्वितीयक राशीचा (उदा., वेग, प्रेरणा) वरील मूलभूत राशीशी असलेला संबंध परिमाणाच्या स्वरूपात दाखविला जातो. द्वितीयक राशीचे प्रत्यक्ष मापन कसे केले जाते याविषयीचा खुलासाही या परिणामात्मक संबंधावरून स्पष्ट होतो. उदा., पुढे दाखविल्याप्रमाणे वेगाची परिमाणे [L¹] [M⁰] [T-¹] अशी आहेत. याचा अर्थ असा होतो की, वेगाच्या प्रत्यक्ष मापनात द्रव्यमान मोजावे लागत नाही पण एक ठराविक अंतर [L¹] व ते चालून जाण्यास लागणारा काल [T¹] या दोन्ही राशी वेगवेगळ्या मोजून त्यांपासून वेगाचे मूल्य काढले जाते.

परिमाणात्मक विश्लेषण हे विविध प्रकारच्या भौतिकीय राशींमधील गणितीय परस्पर संबंध समजून घेण्याकरिता उपयुक्त असे एक ढोबळ सैद्धांतिक तंत्र आहे. लॉर्ड जे. डब्ल्यू. एस्. रॅली (१८४२–१९१९) यांनी या पद्धतीचा प्रथम मोठ्या प्रमाणात उपयोग करून या पद्धतीचे महत्त्व निदर्शनास आणून दिले. काही भौतिकीय प्रयोगांमध्ये आढळणाऱ्या राशींचे वर्तन इतके कूट व जटिल (गुंतागुंतीचे) असते की, यथार्थ गणितीय विश्लेषण करून त्यांविषयीचे ज्ञान करून घेणे शक्य होत नाही, असे प्रसंग अथवा परिस्थिती वायू व द्रव यांच्या गतिकी शास्त्रात (प्रेरणा आणि तीमुळे निर्माण होणारी गती यांचा अभ्यास करणाऱ्या शास्त्रात) बऱ्याच वेळा अनुभवास येतात. याकरिता प्रत्यक्षात वापरावयाच्या प्रणालीच्या लहान आकारमानाच्या प्रतिरूपावर (मॉडेलवर) प्रयोग करून त्याच्या वर्तनाबद्दल ज्ञान मिळवले जाते. परिमाणात्मक विश्लेषण पद्धतीचा उपयोग करून हे ज्ञान मोठ्या आकारमानाच्या मूळ प्रणालीचा अभिकल्प (आराखडा) करण्याकरिता वापरता येते. ही पद्धत विमान किंवा नौका यांचे अभिकल्प व बांधणी या कार्याकरिता विशेष उपयुक्त ठरते. सैद्धांतिक गणितीय रीतीने मिळालेली सूत्रे बरोबर अथवा सुसंगत आहेत की नाहीत हे ठरविण्याकरिता लागणारी कसोटी या विश्लेषणामधून मिळते. एखाद्या आविष्काराचे सैद्धांतिक विवेचन करण्याकरिता योजलेली मीमांसा योग्य दिशेने जाते आहे की नाही याबद्दलचा पडताळाही या विश्लेषणापासून मिळतो. शेवटी असे काही प्रयोग असतात की, ज्यांमध्ये अनेक राशी एकाच वेळी बदलत असतात आणि त्यामुळे त्यांद्वारे मिळालेल्या प्रदत्तापासून (माहितीपासून) निश्चित निष्कर्ष काढणे अवघड होते. अशा वेळी यांपैकी काही राशी स्थिर ठेवून उरलेल्या राशींचे परस्परांबरोबर होणारे बदल मोजले जातात. या मर्यादित स्वरूपाच्या प्रदत्तावरून परिमाणात्मक विश्लेषणाच्या मदतीने प्रणालीच्या संपूर्ण वर्तनाविषयी अंदाज करता येतात.

मूलभूत व साधित राशी (अथवा एकके): लांबीसारखी (उदा., अ आणि आ या दोन बिंदूंमधील अंतरासारखी) एखादी भौतिकीय राशी मोजावयाची असल्यास त्याकरिता प्रथम मीटर, सेंटिमीटर यांसारखे एक पुनर्निर्मितिक्षम (सहज पुन्हा निर्माण करता येईल) असे एक (लांबीकरिता) मानक निश्चित करावे लागते. प्रत्यक्ष प्रयोगाद्वारे मोजावयाच्या ‘लांबी’ या राशीत हे मानक किती पटीने सामावले जाते हे नंतर पाहिले जाते. अशा प्रकारच्या मापनाचा परिणाम म्हणून ३० मी. यासारखी राशी मिळते. यामध्ये ३० ही एक शुद्ध संख्या आहे व त्यानंतर येणाऱ्या राशीत वापरलेल्या मानकाचा उल्लेख असतो. लांबीकरिता सेंटिमीटर हे जर मानक धरले, तर हीच लांबी ३,००० सेंमी. याने दर्शविली जाईल. या उदाहरणावरून असे आढळते की, एखाद्या इष्ट राशीचे मूल्य दाखविणारी संख्या राशीचे मूल्यमापन करण्याकरिता वापरलेल्या मानकाच्या आकारमानाच्या व्यस्त प्रमाणात असते. वरील नियम कोणत्याही राशीच्या मापनक्रियेमध्ये यथार्थ असतो असे दाखविता येते. भौतिकीतील निरनिराळ्या शाखांतील आविष्कारांचे संख्यात्मक वर्णन करण्याकरिता विविध राशी लागतात. या प्रत्येक राशीकरिता स्वतंत्रपणे एकक निश्चित करण्याची आवश्यकता असत नाही, कारण या राशी स्वतंत्र नसून त्यांमध्ये परस्पर सूत्ररूपी संबंध असतात. उदा., यामिकी (प्रेरणांच्या क्रियेमुळे वस्तूवर होणाऱ्या परिणामांचा अभ्यास करणारे शास्त्र) व गतिकी शास्त्रांत लागणाऱ्या सर्व राशींची एकके अथवा मानके ही लांबी, द्रव्यमान व काल या तीन मूलभूत राशींच्या एककांच्या साहाय्याने निश्चित करता येतात. मूलभूत राशी अथवा एकके यांच्या साहाय्याने ज्यांची मानके अथवा एकके नि्श्चित होतात, त्यांस साधित अथवा द्वितीयक राशी असे म्हणतात.उदा., वेग = अंतर/काल या सूत्राने वेग मिळत असल्यामुळे मीटर-सेकंद पद्धतीमध्ये वेगाचे एकक १ मीटर प्रती सेकंद एवढे होते. मागे वर्णन केल्याप्रमाणे वेगाचे मापन करण्याकरिता आपण प्रत्यक्षात एक अंतर मोजतो व एक कालखंड मोजतो आणि नंतर दुसऱ्या राशीने पहिल्या राशीस भागतो. वेगाचे परिमाण = [अंतर] [काल]^-१ या समीकरणाने हीच माहिती संक्षिप्त स्वरूपात दिली जाते. ‘वेगाचे परिमाण’ या शब्दप्रयोगामुळे वेगाचे प्रत्यक्ष मापन करण्याकरिता जी क्रिया वापरली जाते तिचे दिग्दर्शन केलेले असते. या क्रियेचे निर्देशन मापन केलेली राशी (वेग) या प्रकारे चौरस कंसात टाकून केले जाते. याच न्यायाने [अंतर] अथवा [L] याचा अर्थ लांबी अथवा अंतर ही मूलभूत राशी मापण्याकरिता वापरलेल्या क्रिया असा होतो. [M] आणि [T] हे द्रव्यमान व काल या राशींचे अनुक्रमे परिमाण दर्शवितात. या तीन मूलभूत परिमाणांमध्ये विविध साधित राशींचे परिमाण त्यांना संबद्ध करणाऱ्या सूत्रावरून काढता येतात.

[वेग]=[L]/[T] = [L¹ M⁰ T^-1]

साधित राशीचे परिमाण वरील सूत्रात येणाऱ्या मूलभूत राशीच्या घातांकाच्या स्वरूपात असतात. याप्रमाणे वेगाचे परिमाण लांबीकरिता १, द्रव्यमानाकरिता शून्य व कालाकरिता –१ हे आहेत असे म्हटले जाते.

प्रेरणा = द्रव्यमान × प्रवेग

म्हणून  

[प्रेरणा] = [M1] [L1T-1] [T-1] = [L1 M1 T-2].

यावरून असे दिसते की, कोणत्याही साधित राशीचे परिमाण [L^a M^b T^c] या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहिता येतात. यामधील a, b, c हे घातांक राशीचे परिमाण होतात. कोणताच घातांक दर्शविलेला नसला, तर तो १ आहे असे मानतात. हे घातांक पूर्णांकच असले पाहिजेत अशा प्रकारचा काही निर्बंध नसतो, असे दाखविता येते [⟶एकके व परिमाणे].

वरील प्रकारे साधित राशीचे परिमाण मूलभूत परिमाणांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात मांडता येण्याकरिता पुढील दोन गृहिते आवश्यक ठरतात. (१) साधित राशीच्या मापनक्रियेच्या प्रत्येक टप्प्याकरिता प्राथमिक अथवा मूलभूत राशीची वापरलेली एकके एकाच मूल्याची असतात. (२) सापेक्षीय राशिमूल्याची निरपेक्ष महत्ता कायम अथवा अचल असते. वरील सिद्धांत लांबी, द्रव्यमान व काल या मूलभूत राशींकरिता कसा यथार्थ असतो, याचे निदर्शन करणे अवघड नाही. दिलेल्या वस्तूंच्या या दोन एकक पद्धतींत (उदा.,

---

मीटर किंवा सेंटिमीटर) लांब्या मोजल्या, तरी त्यांचे गुणोत्तर एकच येते.याचा अर्थ एका वस्तूची लांबी दुसऱ्या वस्तूच्या लांबीच्या सापेक्षतेत मोजली, तर या सापेक्ष महत्तेचे मुल्य वापरलेल्या एकक पद्धतीवर अवलंबून असत नाही. म्हणजेच या मूल्याला निरपेक्ष महत्ता आहे. द्रव्यमानाचे मापन अंतिम विश्लेषणामध्ये द्रव्यमानाची अक्षय्यता [⟶द्रव्य आणि ऊर्जा यांची अक्षय्यता] या भौतिकीय तत्त्वावर आधारित राहते असे दिसते. वस्तूचे द्रव्यमान काढणे म्हणजे तत्त्वतः तिचे प्रत्येकी एकक द्रव्यमान असलेल्या लहान तुकडयांत विभाजन करणे हे होय. त्यामुळे द्रव्यमानाकरिता सापेक्षिय राशिमूल्याची निरपेक्ष महत्ता या गृहिताचा एवढाच अर्थ होतो की, या सर्व लहान तुकड्यांचे एकंदर द्रव्यमान, मुळ वस्तूचे विभाजन करण्याआधी जेवढे द्रव्यमान होते, तेवढेच होते. कालाच्या एककाचे मूल्य निश्चित करण्याकरिता पृथ्वीच्या परिभ्रमण गतीचा उपयोग केला असला, तरी प्रत्यक्षात कालखंडाचे मापन घड्याळाच्या साहाय्याने होते. वरील गृहीत कालाकरिता सुद्धा यथार्थ असू शकते, हे थोडे जास्त जटिल पण याच प्रकारचे विवरण करून स्पष्ट करता येते. 

साधित राशींनी वरील गृहिताचे पालन केल्यास त्या राशी मूलभूत राशी अथवा एककाच्या निरनिराळ्या घातांच्या गुणाकारांनी दर्शविता येतात, हे गणितीय रीतीने सिद्ध करता येते.

यामिकीतील काही राशींची परिमाण सूत्रे : अनुरूप सूत्राचा उपयोग करून यामिकीमध्ये लागणाऱ्या काही महत्त्वाच्या राशींची परिमाण सूत्रे खाली दिली आहेत. 

राशी	व्याख्या	परिमाण सूत्र
लांबी	मूलभूत	[L1]
द्रव्यमान	मूलभूत	[M1]
काल	मूलभूत	[T1]
वेग	अंतर/काल	[L1T-1]
प्रवेग	वेग/काल	[L1T-2]
प्रेरणा	द्रव्यमान×प्रवेग	[M1L1T-2]
संवेग	द्रव्यमान×वेग	[M1L1T-1]
ऊर्जा किंवा कार्य	प्रेरणा×अंतर	[L2M1T-1]
कोन	कंस/त्रिज्या	[O]
कोनीय वेग	कोन/काल	[T-1]
कोनीय प्रवेग	कोनीय वेग/काल	[T-2]
प्रेरणा युग्म	प्रेरणा×भुजा	[L2M1T-2]
निरूढी परिबल	द्रव्यमान×त्रिज्या२	[L2M1]
कोनीय संवेग	निरूढी परिबल× कोनीय वेग	[L2M1T-1]
क्षेत्रफळ	लांबी x रुंदी	[L2]
घनफळ	लाबी×रुंदी×उंची	[L3]
घनता	द्रव्यमान/घनफळ	[ L-3M1]
दाब	प्रेरणा/क्षेत्रफळ	[L-1M1T-2]

शुद्ध संख्यांचे परिमाण शून्य असते, हे उघड आहे. वरील राशींच्या स्पष्टीकरणासाठी ‘यामिकी’ हा नोंद पहावी

भौतिकीय राशींमधील संबंध दर्शविणाऱ्या समीकरणाचे निर्दोषत्व: भौतिकीय राशींमधील संबंध दर्शविणाऱ्या समीकरणात अथवा सूत्रामध्ये बऱ्याच वेळा स्थिरांक येतात. हे स्थिरांक जर परिमाणरहित असतील, तर ते समीकरण पूर्ण आहे असे समजले जाते. उदा., S (फूट) उंचीवरून पदार्थाला खाली पडण्यास लागणारा काल t (से.), S =16t², या सूत्राने फूट-पौंड-सेकंद पद्धतीप्रमाणे मिळतो. यात १६ हा स्थिरांक आहे. S जर मीटरमध्ये मोजले, तर वरील सूत्र बरोबर ठरत नाही. यावरून हे पूर्ण नाही असे दिसते. कारण मापनाकरिता वापरलेली एकक पद्धती बदलली, तर समीकरणाचे आकारिक स्वरूप बदलते. या बदलाचे कारण शोधले, तर १६ हा स्थिरांक परिमाण रहित नाही असे आढळते. हेच समीकरण S = 1/2gt² या स्वरूपात मांडले (g गुरुत्वीय प्रवेग), तर यामध्ये आता येणारा 1/2 हा स्थिरांक परिमाणरहित आहे, असे दाखविता येते. पूर्ण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची परिमाणे एकरूप असली पाहिजेत या सिद्धांताचा उपयोग करून मिळालेले एखादे सूत्र बरोबर आहे की नाही, हे पाहता येते.

ही कसोटी प्रथम S=1/2gt² या समीकरणास लावू. यामध्ये येणाऱ्या राशींची परिमाणे [S]=[L], [g]=[L¹T^-2], [t²]=[T²] एवढी आहेत. त्यामुळे उजव्या बाजूचे परिमाण [L] एवढेच होते, हे दिसून येईल.

ताणलेल्या तारेवरील अनुप्रस्थ तरंगांच्या (ज्यातील माध्यमाचे कण तरंग प्रसारणाच्या दिशेला लंब दिशेत कंप पावतात अशा तरंगांच्या) वेगाकरिता खालील सूत्राची पूर्तता होते.

v = √ (T0 / m)

यात T० तारेवर लावलेली ताण प्रेरणा, m तारेचे प्रती सेंमी. द्रव्यमान आणि v तरंग वेग आहे. उजव्या बाजूच्या राशीची परिमाणे [T0]=[L1M1T-2], [m]=[M1L-1] तर डाव्या बाजूचे परिमाण [v]=[L1T-1] असून, [√T0/m]=[L1T-1] हे दिसते.

भौतिकीय राशींमधील सूत्रात्मक संबंधाचा शोध : पाय (π)सिद्धांत : या कामाकरिता खाली दिलेल्या π– सिद्धांताचा उपयोग होतो. एखाद्या भौतिकीय प्रणालीत x1,x2,……, xn या n संख्या राशी आहेत असे गृहित धरू. या राशी

ø(x1,x2,…………,xn) = 0

या सूत्राने एकमेकींशी संबंधीत आहेत असे मानू. यांपैकी काही परिमाणरहित स्थिरांक असतील (उदा., विशिष्ट गुरुत्व), तर काही परिमाणरहित पण चल राशी असू शकतील (उदा., कोन). वरील n राशींची परिमाणात्मक सूत्रे m इतक्या मूलभूत राशींवर आधारित असतील, तर π– सिद्धांताप्रमाणे या प्रणालीकरिता π1, π2,……., πn-m म्हणजे n-m एवढ्या राशी परिमाणरहित असल्या पाहिजेत व या राशीकडून

Ψ(π1, π2,……..,πn-m)=0

अशा एका सूत्राची पूर्तता केली जाते. वरील सिद्धांत ई. बकिंगहॅम यांनी १९१४ मध्ये प्रथम काटेकोर गणितीय रीत वापरून सिद्ध केला. π1,π2,……, πn-m ही पदे एकमेकांपासून संपूर्णपणे स्वतंत्र असतात हे येथे नमूद केले पाहिजे.

π– या सिद्धांताचा उपयोग लंबकाचा आवर्तकाल (एका झोक्याकरिता लागणारा काल) काढण्याकरिता कसा केला जातो, हे खाली दाखविले आहे. या उदाहरणाकरिता मूलभूत राशी L, M, T या आहेत असे धरले, तर m=३ प्रयोगाने आपणास असे आढळते की, लंबकाचा आवर्तकाल हा लंबकाच्या दोऱ्याचे वजन, लंबकाच्या गोलकाची त्रिज्या, हवेचा विरोध यांबरोबर नगण्य चलन दाखवितो. त्यामुळे लंबकाचा आवर्तकाल ज्यांवर अवलंबून असू शकेल अशी एकूण पुढे दिलेली पाच पदे उरतात.

पद	चिन्ह	परिमाण
लंबकाचे द्रव्यमान	m	[M]
दोऱ्याची लांबी	l	[L]
गुरुत्वीय प्रवेग	g	[LΤ-2]
आवर्तकाल	Τ	[T]
कोनीय परमप्रसर	θ	[O]
[परमप्रसर म्हणजे एखाद्या संदर्भ स्थिर स्थितीपासून होणारे कमाल स्थानांतर]

---

परिवर्ती राशींची संख्या n=५ आणि m=३ म्हणून याकरिता n–m=२ म्हणजे दोन परिमाणरहित राशी यावयास पाहिजेत. π– सिद्धांतावरून या दोन राशींकरिता (π₁ व π₂)

ψ(π₁, π₂)=0

या समीकरणाची पूर्तता झाली पाहिजे. यांकीपैकी एक राशी θ आहे हे वरील कोष्टकावरून समजते, म्हणजे π₁=θ. तसेच π₂ ही स्वतंत्र राशी असल्यामुळे ती उरलेल्या चार राशींपासूनच मिळत असली पाहिजे, हे स्पष्ट आहे. तिचे स्वरूप काढण्याकरिता

[M^a] [L^b] [LT^-2]^c [T^δ] ही राशी परिमाणरहित असण्याकरिता a=0, b= -δ/2, c= δ/2 असे दाखविता येते

अथवा π₂=l-δ/².gδ/².T^δ

येथे δ ही अज्ञात संख्या आहे. याचा अर्थ असा होतो की,

ψ[(l^-1/2.g ^1/2.T)^δ, θ]=0

यावरून Τ=f(θ). √l/g हे सिद्ध करता येते. f(θ) या स्थिरांकाचे मूल्य मात्र प्रत्यक्ष प्रयोगावरून काढावे लागते.

वरील उदाहरणात आपण जर असे मानले की, लंबकाचा कोनीय परमप्रसर θ≈0 आहे तर विवेचनात थोडा फरक पडतो, कारण आता n=४, m=३ असल्यामुळे परिमाणरहित राशींची संख्या फक्त एकच होते. त्यामुळे

ψ(l/Τ²g)=0 अथवा l/T²g=स्थिरांक

असा निर्वाह (उत्तर) मिळतो.

भौतिकीय राशीतील अज्ञात संबंध काढणे : समजा, एक लहान धातूचा गोलक एका श्यान (दाट) पण स्थिर असलेल्या द्रवामधून मार्गक्रमण करीत आहे. द्रवाच्या श्यानतेमुळे त्याच्यावर एक विरोधी प्रेरणा कार्य करू लागते. या विरोधी प्रेरणेकरिता सूत्र शोधून काढावयाचे आहे. याकरिता वापरण्यात येणारी रीत वर वापरलेल्या रीतीपेक्षा निराळी आहे. प्रयोगाद्वारे आणि सैद्धांतिक विवेचनावरून असे दिसते की, ही प्रेरणा खालील राशींवर अवलंबून असावी.

राशी	चिन्ह	परिमाण
गोलकाची त्रिज्या	a	[L]
द्रवाची घनता	ρ	[ML-3]
द्रवाचा श्यानता गुणांक	η	[ML-1T-1]
गोलकाचा वेग (द्रवाच्या सापेक्ष)	v	[LT-1]

समजा, विरोधी प्ररणा=ka^wρ^xη^yv^x (k हा स्थिरांक आहे), समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची परिमाणे एकरूप पाहिजेत हा सिद्धांत वापरला, तर

1=x + y

2=w–3x–y + z

–2=–y–z

अशी तीन समीकरणे मिळतात. या प्रमेयात अज्ञात राशी चार पण समीकरणे तीन अशी परिस्थिती असल्यामुळे याचा संपूर्ण निर्वाह मिळणे शक्य होत नाही पण z या एकाच अज्ञात राशीचा उपयोग करून खालील सूत्र मिळते.

विरोधी प्रेरणा=ka^zρ^z-1η^2-zv^z

आता जर आपण एकच गोलक व द्रव घेऊन (म्हणजे a, ρ, η स्थिर ठेवून) विरोधी प्रेरणा गोलकाच्या वेगानुसार कशी बदलते हे पाहिले, तर कमी वेगाकरिता z=१ असे दिसून येते. अशा रीतीने विरोधी प्रेरणा=kaηv हे सूत्र मिळते.

सैद्धांतिक भौतिकीमध्ये अनुप्रयोग: जेव्हा एखाद्या भौतिकीय आविष्काराच्या बाबतीत त्यामागील यंत्रणेविषयी पुरेशी माहिती उपलब्ध असते तेव्हा परिमाणात्मक विश्लेषणाचा उपयोग त्यासंबंधी प्राथमिक संवीक्षण करण्याकरिता करता येतो. उदा., नीच तापमानास आढळणाऱ्या विशिष्ट उष्णतेच्या वर्तनाविषयी [⟶ उष्णता] विचार करताना आइनस्टाइन यांना अशी कल्पना सुचली की, पदार्थाच्या सामान्य स्थितिस्थापक वर्तनाकरिता (पदार्थावरील विकृतिकारक प्रेरणा काढून घेतल्यावर तो मूळ स्थितीत परत येण्याच्या वर्तनाकरिता) जबाबदार असणाऱ्या प्रेरणांचाच संबंध अवरक्त (वर्णपटातील तांबड्या रंगाच्या अलीकडील अदृश्य) क्षेत्रात अणू उत्सर्जित करीत असलेल्या विशेषक कंप्रतेशी (दर सेकंदास होणाऱ्या कंपनांच्या संख्येशी) असू शकेल. हा संबंध निश्चित करण्याकरिता त्यांनी खालील राशी विचारात घेतल्या.

राशी	चिन्ह	परिमाण
विशेषक कंप्रता	ν	[T-1]
संकोच्यता	K	[M-1LT2]
अणु-संख्या प्रती घ. सेंमी.	N	[L-3]
अणुचे द्रव्यमान	m	[M]

यावरून K=A . ν^-2 N^-1/2m^-1 असे दाखविले. येथे A स्थिरांक आहे. वरील सूत्राला भौतिकीय सार्थकता आहे की नाही हे ठरविण्याकरिता आइनस्टाइन यांनी एक कसोटी ठरविली. त्यांच्या मते A या स्थिरांकाचे मूल्य फार कमी किंवा जास्त नसेल तेव्हाच वरील सूत्रापासून उद्बोधक असे काही तरी मिळण्याचा संभव असतो. तांब्याकरिता A या स्थिरांकाचे मूल्य ०·१८ एवढे आहे. यावरून आइनस्टाइन यांनी या कल्पनेचा मागोवा घेत अणूंच्या विशिष्ट उष्णतेबद्दलच्या सिद्धांताचा विकास केला.

एका एकक पद्धतीमधून दुसऱ्या एकक पद्धतीत संख्यात्मक रूपांतरण: एका पदार्थाची प्रती घन फूटास पौंड या एककात काढलेली घनता y असली, तर त्या पदार्थाची प्रती घन सेंमी. ला ग्रॅम या एककातील x घनता पुढे दिलेल्या सूत्रानुसार काढता येते.

x ग्रॅम/घ. सेंमी. = y पौंड/घ. फूट × (द्रव्यमानाचे रूपांतर गुणन पद) / लांबीचे रूपांतर गुणन पद)३

[१ पौंड ≈ ४५४ ग्रॅम व १ फूट ≈ ३०·५ सेंमी.]

x = y [४५४ / (३०·५)३] ग्रॅम/घ. सेंमी.

इतर भौतिकीय राशींच्या रूपांतराकरिता अशाच स्वरूपाची सूत्रे मांडता येतील.

प्रतिरूपावरील प्रयोगाद्वारे आवश्यक ज्ञानप्राप्ती: मूळ पदार्थाच्यापेक्षा लहान आकारमानाच्या प्रतिरूपावर प्रयोग करून मूळ वेगवान पदार्थाच्या वर्तनाविषयी माहिती मिळवून विमानासारख्या मोठ्या आकारमानाच्या वस्तूचे अभिकल्प करणे परिमाणात्मक विश्लेषण पद्धतीने शक्य होते. एक ठराविक आकारमानाची मोठी वस्तू जर स्थिर वेगाने हवेसारख्या द्रायूमधून गेली, तर तिच्या गतीला होणऱ्या रोधाचे स्वरूप व महत्ता काय असेल हा प्रश्न येथे सोडवायचा असतो. या उदाहरणामध्ये जी पहिली गोष्ट लक्षात येते ती ही की, द्रायूचे आकारमान त्यामध्ये धावणाऱ्या वस्तूच्या कित्येक पटीने जास्त आहे. या वेगवान वस्तूला जो रोध होतो त्याचे मूल्य पुढील राशींमुळे ठरते. (१) वस्तूचा आकार, (२) तिचा वेग, (३) द्रायूची घनता, श्यानता व संकोच्यता. त्यामुळे आपण वस्तूच्या गतीचे वर्णन करण्याकरिता खालील राशींची निवड करू शकतो.

---

राशी	चिन्ह	परिमाण
रोध	R	[MLT-2]
वेग	v	[LT-1]
द्रायूची घनता	d	[ML-3]
द्रायूची श्यानता	μ	[ML-1T-1]
ध्वनी वेग (द्रायूमध्ये)	v’	[LT-1]
वस्तूची लांबी	l	[L]
रूपगुणांक	r1/r2	[O]

वस्तूचा आकार सामान्यपणे लंबगोल मानला, तर त्याचा रूपगुणांक दीर्घ अक्ष/लघू अक्ष या गुणोत्तराने दर्शविला जातो. या उदाहरणाकरिता जर π– सिद्धांत वापरला, तर यात चार परिमाणरहित राशी असावयास पाहिजेत असे दिसून येते. त्यांपैकी दोन सहज सुचणाऱ्या अशा राशी म्हणजे रूपगुणांक व v’/v या होत. मागे वर्णन केलेल्या पद्धतीने vld/μ व R/v²l²d या उरलेल्या दोन राशी होत असे दाखविता येते. π– सिद्धांताचा उपयोग करून

R=V²l²d F ( vld/μ, r₁/r₂)

असे सूत्र मिळते. Vιd /μ याला रेनल्ड्झ अंक म्हणतात [→द्रायू यामिकी]. विमानाचे प्रतिरूप तयार करून त्याच्यावर प्रयोग करून मोठ्या आकारमानाच्या मूळ विमानाचा अभिकल्प करण्याकरिता पहिली जी गोष्ट माहीत पाहिजे ती ही की, प्रतिरूप व मूळ विमान यांचा भूमितीय आकार अथवा रूपगुणांक सारखा असला पाहिजे. मूळ विमान व प्रतिरूप या दोहोंकरिता द्रायू हवा हाच असल्यामुळे d/μ याचे मूल्य दोहोंकरिता तेच राहील. या दोन्हीमध्ये यामिकीय साम्य राहावयास पाहिजे असेल, तर त्याकरिता vl याचे मूल्य एकच राहील हे पहावयास पाहिजे. जर प्रतिरूपाची लांबी मूळ विमानाच्या १/१० असेल, तर याचा अर्थ त्याचा वेग मूळ विमानाच्या १० पटींनी जास्त असावयास पाहिजे, हे स्पष्ट आहे. ही गोष्ट व्यवहारात आणणे शक्य नसते. त्याकरिता एका युक्तीचा उपयोग केला जातो.vld/μ या राशीच्या काही ठराविक मूल्यानंतर F याचे मूल्य जवळजवळ स्थिर होते, असे प्रयोगाने आढळते. अशा परिस्थितीत रोध हा v²ι² याच्या प्रमाणात वाढतो. यामुळे प्रतिरूपावरील प्रयोगावरून प्रत्यक्ष विमानावर केवढा रोध मिळेल याचे गणितीय रीत्या गणन करणे शक्य होते. विमानाचा वेग जर खूप जास्त असेल, तर या गणितामध्ये ध्वनीच्या वेगाचा संबंध येतो. या परिस्थितीत प्रतिरूपाचा वेग मूळ विमानाच्या वेगाएवढाच ठेवावा लागतो.

भौतिकीच्या इतर शाखांमधील राशींची परिमाणे: आतापर्यंतचे विवेचन यामिकीमध्ये लागणाऱ्या विविध भौतिकीय राशींच्या संदर्भात केले गेले आहे. प्रकाश, उष्णता आणि विद्युत् चुंबकत्व यांसारख्या शाखांत लागणाऱ्या राशींचे यथार्थ वर्णन करण्याकरिता प्रत्येकी एक अशी अतिरिक्त मूलभूत राशी गृहित धरावी लागते, असे दिसून येते. विवेचनाच्या सोयीकरिता पुढील मजकुरात फक्त विद्युत् चुंबकीय राशींच्याच परिमाणांचाच विचार केला आहे. या विवेचनापासून मिळणारे निष्कर्ष प्रकाश, उष्णता इ. शाखांत तद्नुरूप रीत्या लागू पडतात, असे मानण्यास हरकत नाही.

जुन्या सेंटिमीटर-ग्रॅम-सेकंद पद्धतीनुसार कोणत्याही विद्युत् चुंबकीय राशीचे परिमाण स्थिर विद्युत् एकक पद्धतीनुसार किंवा विद्युत् चुंबकीय एकक पद्धतीनुसार व्यक्त करता येते. स्थिर विद्युत् एकक पद्धत L, M, T व k₀ या मूलभूत राशींवर आधारलेली आहे. येथे k₀ हा रिक्त अवकाशाचा विद्युत् अपार्यता स्थिरांक [⟶विद्युत् अपारक पदार्थ] आहे. या पद्धतीत F=q₁q₂ /k₀r² हा कुलंब यांचा नियम मूलभूत समीकरण म्हणून वापरतात (यात q₁ व q₂हे दोन विद्युत् भारांचे बल, r त्यांमधील अंतर व F ही त्यांमध्ये निर्माण होणारी प्रेरणा आहे.) यावरून विद्युत् भाराचे परिमाण [q]=[k₀^1/2] [M^1/2 L^3/2 T^-1] असे मिळते. विद्युत् चुंबकीय पद्धतीत दोन चुंबकीय ध्रुवांमधील प्रेरणेचे F = m₁m₂/μ₀ r² हे कुलंब समीकरण मूलभूत म्हणून वापरले जाते. येथे μ₀ हा रिक्त अवकाशाचा चुंबकीय पार्यता स्थिरांक, m₁ व m₂ हे दोन चुंबकीय ध्रुवांचे बल व r हे त्यांमधील अंतर आहे. यावरून चुंबकीय ध्रुवाचे परिमाण [m]=[ μ₀^1/2] [M^1/2 L^3/2 T^-1] असे येते.

जे. बायो (ब्यो) व एफ्. साव्हार यांनी प्रयोगाद्वारे सिद्ध केलेले सेंटिमीटर-ग्रॅम-सेकंद एकक पद्धतीनुसार मिळणारे B=i ds sinθ/r² हे समीकरण (यात ds इतक्या अत्यल्प लांबीच्या तारेतून i अँपिअर विद्युत् प्रवाह जात असताना तारेपासून r इतक्या असलेल्या बिंदूपाशी निर्माण होणारे B चुंबकीय प्रवर्तन असून θ विद्युत् प्रवाहाची दिशा आणि तार व इष्ट बिंदू यांना जोडणारी रेषा यांतील कोन आहे.) चुंबकीय राशी व विद्युतीय राशी यांमधील दुवा आहे. त्याचा उपयोग करून विद्युत् भाराचे परिमाण [q]=[μ₀^-1/2] [M^1/2 L^1/2] असे मिळते परंतु कोणत्याही एकक पद्धतीत एखादी राशी मोजली, तर तिची परिमाणे तीच राहतात. या सिद्धांताचा उपयोग केल्यास खाली दिलेले गुणोत्तर परिमाणरहित असले पाहिजे असा निष्कर्ष निघतो.

विद्युत् चुंबकीय पद्धत [q]	=	1	.  [LT-1]
स्थिर विद्युत् पद्धत [q]		[ε0μ0]1/2

यावरून [ε₀μ₀]^1/2 याचे परिमाण [वेग] हे असले पाहिजे, हे स्पष्ट होते. प्रत्यक्ष मापन केल्यास वरील गुणोत्तराचे मूल्य सेंमी. -ग्रॅम-सेकंद पद्धतीत ३ x १०१० या प्रकाशवेगाच्या मूल्याएवढे येते. एकाच भौतिकीय राशीस दोन निरनिराळी परिमाणे आहेत अशी परिस्थिती

वरील उदाहरणात दिसते. कोणत्याही राशीचे परिमाण हे ती राशी कोणत्या रीतीने व्याख्यात केली जाते व मापली जाते याचे एक प्रकारचे निवेदन आहे असे लक्षात घेतले, तर याविषयी आश्चर्य वाटण्याचे कारण नाही. हेच तत्त्व दुसऱ्या शब्दात सांगावयाचे झाले, तर राशीचे परिमाणात्मक सूत्र त्या राशीच्या वास्तविक भौतिकी स्वरूपाचे निदर्शन करते, असे म्हणता येते. काही शास्त्रज्ञांच्या मते परिमाण निर्देशनाची दोन पर्यायी रूपे (उदा., विद्युत् भाराकरिता वर दिलेली) ही घटना त्या राशीच्या भौतिकीय सार्थकतेविषयी असलेल्या आपल्या अपूर्ण ज्ञानाचे प्रतीक आहे. मापनाच्या पद्धतीनुसार एखाद्या राशीच्या परिमाणात कसा बदल होऊ शकतो याकरिता खालील उदाहरण देता येते. अ आणि आ या बिंदूंमधील अंतर जर आपण मानक मोजपट्टीच्या द्वारे मोजले, तर त्यास [L] हे परिमाण राहील. प्रकाश किंवा ध्वनी तरंगांना अ ते आ हे अंतर जाण्याकरिता लागणारा काल मोजून सुद्धा हे अंतर मोजता येईल. अशा मापनात या अंतराचे परिमाण [T] आहे असे वाटेल. ज्योतिषशास्त्रामध्ये ताऱ्याचे अंतर प्रकाशवर्ष या एककात दिले जाते. या मापनात प्रत्यक्षात [L]=[T] [LT^-1] या प्रकारची क्रिया वापरली जाते.

---

परिमाणरहित राशी अथवा समूह : परिमाणात्मक व परिमाणरहित अशा राशीच्या संयोजनाने बनलेल्या परिमाणरहित राशी या जटिल अभियांत्रिकीय प्रक्रियेच्या विश्लेषणाकरिता उपयुक्त ठरतात. याच्यापासून विविध प्रणालीतील साधर्म्य ठरविण्याचे निष्कर्ष मिळतात. उदा., द्रवगतिकीमध्ये दोन प्रणालींत गतिकीय साधर्म्य असण्याकरिता त्यांचे रेनल्ड्झ अंक एक असावयास पाहिजेत असा निकष परिमानात्मक विश्लेषणावरून कसा मिळतो हे मागे दाखविले आहे. अशा राशी किंवा अंक यांच्या साहाय्याने विज्ञान आणि अभियांत्रिकीमध्ये येणाऱ्या जटिल प्रश्नांचे विश्लेषण करण्याकरिता उपयुक्त ठरतात. कारण अशा प्रश्नांचे गणितीय रीतीने संपूर्ण निर्वाह मिळविणे शक्य होत नाही [⟶द्रायुयामिकी].

सैद्धांतिक मूल्यमापन : परिमाणात्मक विश्लेषण पद्धतीच्या अनुप्रयोगांबद्दल व त्यापासून मिळणाऱ्या निष्कर्षाच्या सार्थकतेबद्दल एकवाक्यता असली, तरी या पद्धतीमागील तत्त्वप्रणालीबद्दल मतभेद आहेत. एका मताप्रमाणे परिमाणात्मक विश्लेषण हे प्रत्यक्षात विश्लेषणाचे विश्लेषण असते. ठराविक तऱ्हेच्या मापनपद्धतीमुळे मिळालेले निष्कर्ष व त्यांचे एका विशिष्ट गणितीय पद्धतीने केलेले संस्करण यापासून काही सार्थ असे निष्कर्ष मिळू शकतात याबद्दल काही शंका नाही पण या पद्धतीला निरपेक्ष असे मूलभूत महत्त्व नाही, असे या मताच्या शास्त्रज्ञांना वाटते. याउलट दुसऱ्या मतप्रणालीप्रमाणे भौतिकीय राशीच्या परिमाणाला पुष्कळच मूलभूत सार्थकता आहे. परिमाणापासून मोजलेल्या राशीच्या वास्तविक भौतिकीय स्वरूपाविषयी निश्चित ज्ञान मिळते. या मतप्रणालीप्रमाणे कोणत्याही राशीला फक्त एकच परिमाण असले पाहिजे. तथापि काही राशींना सध्या एकापेक्षा अधिक परिमाणे असू शकतात असे जे आढळते किंवा त्याच्या परिमाण सूत्रात अपूर्णांक येतात याचे कारण या राशीमागे असणाऱ्या भौतिकीय आविष्काराविषयीचे सध्या उपलब्ध असलेले ज्ञान हेच अपूर्ण आहे. याविषयीचे आपले ज्ञान हेच अपूर्ण आहे. याविषयीचे आपले ज्ञान पुरेसे वाढल्यानंतर या असंगती दूर होतील, असे या मतप्रणालीच्या शास्त्रज्ञांस वाटते.

संदर्भ: 1. Bridgeman, P. W. Dimensional Analysis, New Haven, 1931.

2. Ipsen, D. C. Units, Dimensions and Dimensionless numbers, New York, 1960.

3. Pankhurst, R. C. Dimensional Analysis And Scale Factors, New York, 1964.

4. Porter, A. W. Method of Dimensions, London, 1946.

जोशी, वि.भि. चिपळोणकर, व. त्रिं.

“