कलन

कलन : कलन याचा मूळ अर्थ जाणणे, समजावून घेणे, आकलन करणे असा आहे. कलन याचा इंग्रजी प्रतिशब्द Calculus हा Calcule (अर्थ : लहान खडे अथवा गोटे) या लॅटिन शब्दावरून आला आहे. फार पूर्वी गणन करण्यास असे गोटे वापरीत असत आणि एखाद्या गोष्टीत सातत्याने होणारे बदल लहान लहान भागांच्या एकत्रीकरणाने अभ्यासता येतात हे तत्त्वही त्यामागे असू शकेल. सामान्य गणितात वापरल्या जाणर्‍या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार, घात व घातमूळ ही षड‌्विध कृत्ये प्रायः बहुतेकांना माहीत असतात. या षड्वि‌ध कृत्यांशिवाय ‘सीमा’ हे आणखी एक मूलभूत स्वरूपाचे कृत्य कलनशास्त्रात वापरले जाते [→ अवकलन व समाकलन]. किंबहुना सीमा हे गणितकृत्य कलनाचे व्यवच्छेदक लक्षण मानवयास हरकत नाही.

कलन ही गणिताची एक महत्त्वाची शाखा आहे. निसर्गात किंवा मानवी व्यवहारात नित्य आढळणारे बदल लक्षात घेऊन, निरीक्षणाने त्यांची नोंद करून, त्यांना गणितीय नियमांत बसवून त्यांचा शास्त्रोक्त अभ्यास कलनशास्त्रात केला जातो. भौतिकी, रसायनशास्त्र, जीवविज्ञान इ. विज्ञानशाखा, तसेच अर्थशास्त्रादी समाजशास्त्रे, सांख्यिकी(संख्याशास्त्र) इ. शाखांत, किंबहुना जेथे जेथे बदलत्या गोष्टी आहेत तेथे तेथे कलनशास्त्राचा उपयोग अपरिहार्य होऊन बसला आहे. 

इतिहास : सीमाविषयक संकल्पनेवर प्राचीन काळापासून बर्‍याच विद्वानांनी विचार केलेला आढळतो. अन्वस्त(पॅराबोला) इ. वक्रांची लांबी, वृत्तचिती, शंकू, गोल इ. प्रस्थांचे(घन आकृत्यांचे) घनफळ काढण्यासाठी आर्किमिडीज यांनी इ. स. पू. तिसर्‍या शतकात वापरलेली पद्धती हल्लीच्या सीमा संकल्पनेशी पुष्कळच जवळची आहे. यानंतर सतराव्या शतकाच्या पूर्वार्धात वक्रास स्पर्शिका(स्पर्शरेषा) काढणे, लघुतम वा महत्तम मूल्ये शोधणे, निरनिराळ्या वक्रांसाठी क्षेत्रफळ काढणे इत्यादींकरिता फेर्मा, पास्कल, देकार्त, हायगेन्झ वगैरे गणितज्ञांनी वेगवेगळ्या पद्धती शोधून काढल्या. परंतु ह्या सर्व पद्धती त्या त्या विशिष्ट प्रश्नांकरिता उपयुक्त होत्या. सर्व प्रश्नांना उपयोगी पडेल अशी व्यापक पद्धती नव्हती, पण अवकलांक व समाकल[→अवकलन व समाकलन]. यांच्या मूलभूत संकल्पनांच्या दिशेनेच ही प्रगती होती. या पार्श्वभूमीवर सीमा संकल्पनेचा वापर करून असे प्रश्न सोडविण्यासाठी एक व्यापक शास्त्र शोधून काढण्याची महत्त्वाची कामगिरी न्यूटन व लायप्निट्स यांनी स्वतंत्रपणे सतराव्या शतकाच्या उत्तरार्धात बजावली. हेच शास्त्र कलन या नावाने आता ओळखले जाते. 

कोणताही वक्र एखाद्या बिंदूच्या चलनाने रेखाटला जातो. यावरून वक्राचा एखादा लहानसा तुकडा तो बिंदू अल्प वेळात रेखाटील हे उघड आहे. वक्राचा हा अत्यल्प तुकडा तो बिंदू अत्यल्प वेळात रेखाटील असे मानून न्यूटन यांनी त्यास ‘मोमेंटम’ (संवेग, म्हणजे वस्तुमान X वेग या अर्थाचा शब्द) असे संबोधिले. हा मोमेंटम भागिले अत्यल्प काळ या गुणोत्तरास त्यांनी ‘फ्लक्शन’ (स्रोत समानार्थी) अशी संज्ञा दिली व ते क्षं असे दर्शविले. आधुनिक परिभाषेत क्ष हे ट चे फलन असल्यास(परस्परात गणितीय संबंध असल्यास) क्षं हे क्ष चे फ्लक्शन आहे म्हणजे तो ट क्षणीचा वेग आहे. लायप्निट्स यांनी हे 

क्ष^प चे फ्लक्शन कसे काढावयाचे याचे विवरण १७०४ मध्ये न्यूटन यांनी केले. चलपदाची वाढ त्यांनी ० याने दर्शवून द्विपद प्रमेयाच्या (द्विपदी राशीच्या घाताचा विस्तार करण्यासंबंधीच्या प्रमेयाच्या) साहाय्याने (क्ष+०)प याचा विस्तार मांडला आणि त्यावरून (क्ष+०)^प – क्ष^प हा फरक काढला. (क्ष+०)^प – क्ष^प आणि ० या वाढी शून्य करून त्याचे अंतिक उत्तर एकास प क्ष^प-१ येते असे दाखविले. यास त्यांनी ‘प्राइम अँड अल्टिमेट रेशोज’ असे संबोधिले. यामध्ये खरे पाहता या दोन्ही वाढी जे गुणोत्तर देतात ते ÷ अशा स्वरूपाचे येते. अशा प्रकारच्या गुणोत्तरास भारतीय गणिती भास्कराचार्य यांनी ‘शून्यलब्धि’ असे संबोधिलेले आहे. कलनशास्त्रातील सुरुवातीची ही कल्पना भास्कराचार्यांना आलेली होती म्हणून कलनशास्त्रास कधीकधी शून्यलब्धि गणित असेही पूर्वी संबोधीत. पण या शास्त्रात भारतीयांनी प्रगती केलेली आढळत नाही.

 अशा समीकरणाने दर्शवितात.

वर्षे मूळ धरून होती. किंबहुना कलनशास्त्रास ‘अल्पतमीय कलनशास्त्र’ म्हणजे इंग्रजीत ‘इन्फिनिटेसिमल कॅल्क्युलस’ अशीही संज्ञा दिलेली आढळते. आज गणितशास्त्रात रूढ झालेली सीमाविषयक व्याख्या कलनशास्त्राच्या आद्यजनकांना माहीत नव्हती. ते त्यास ‘अल्टिमेट रेशो’ म्हणजे अंतिम गुणोत्तर म्हणत. पण अंतिम गुणोत्तर म्हणून मांडलेली संकल्पना न्यूटन यांना पसंत होती असे वाटत नाही. कारण प्रिन्सिपिया या आपल्या गणितीय ग्रंथात याविषयीच्या विवेचनात न्यूटन म्हणतात, ‘येथे विचारात घेतलेली गणितीय पदे लहान लहान भागांनी तयार झालेली नसून ती तयार होताना बिंदूचे अखंडित चलन चालू आहे…’. यात गुणोत्तरातील अंश आणि छेद हळूहळू शून्याप्रत जातात, असे न्यूटन यांना सुचवायचे आहे असे दिसते. त्यांच्या याच विधानामुळे एकोणिसाव्या आणि विसाव्या शतकातील गणितज्ञांच्या विचारांना चालना मिळाली. न्यूटन व लायप्निट्स यांनी विकास केलेल्या कलनशास्त्रास मूलभूत स्वरूपाच्या व्याख्या देऊन या विषयाची मांडणी तर्ककठोर तत्त्वांवर अधिष्ठित करण्याचा कोशी यांनी १८२१–२३ या काळात प्रथम प्रयत्न केला व नंतर व्हायरश्ट्रास (१८१५—९७), कँटर (१८४५—१९१८) व डेडेकिंट (१८३१—१९१६) या गणितज्ञांनी त्यास हातभार लावला. आता कलनशास्त्राचा पाया संख्या, संच, फलन आणि सीमा यांच्या तर्ककठोरतेच्या तत्त्वांनी दिलेल्या व्याख्यांवर आधरलेला आहे. [→ फलन संख्या संच सिद्धांत]. संख्या या संज्ञेची व्याख्या दिल्यावर संख्या रेषा, चलपद व स्थिरांक, आवृत व अनावृत अंतराल, बिंदूचा परिसर यांच्या प्रथम व्याख्या देऊन नंतर फलनाची व्याख्या व्यवस्थितपणे मांडता येते. चलपद म्हणजे काय याची यथार्थ कल्पना देणारी चलपदाची यथार्थ व्याख्या विसाव्या शतकातच गणितज्ञांस देणे शक्य झालेले आहे.

ऐतिहासिक दृष्ट्या पाहता १७०० ते १९०० हा काळ म्हणजे कलनशास्त्राच्या विकासाचा काळा समजला जातो. या काळात कलनशास्त्राचा फार झपाट्याने विस्तार झाला. या कालाचे स्थूलमानाने पाच कालखंड करता येतात आणि प्रत्येक कालखंडाचे प्रमुख गणिती कोण हेही स्पष्ट करता येते. आंग्ल गणितज्ञ टॉमस सिंप्सन (१७१०—६१) आणि फ्रेंच गणितज्ञ जी. एफ्‌. ए. लॉपीताल (१६६१—१७०४) हे पहिल्या कालखंडाचे अग्रणी होत. दुसया कालखंडाचा अग्रहक्क स्विस गणितज्ञ ऑयलर (१७०७—८३) यांच्याकडे जातो. त्यांनी न्यूटन व लायप्निट्स यांनी दिलेल्या व्याख्या गृहीत धरून कलनशास्त्रातील पुष्कळसे निष्कर्ष सिद्ध केले आणि गणिताच्या इतर शाखांचा विकास करण्यासाठी कलनाचा उपयोग केला. तिसया कालखंडाचे अगणी फ्रेंच गणिती लाग्रांझ (१७१९—१८१३) हे होत. न्यूटन–लायप्निट्स प्रणीत कलनशास्त्राच्या पायासंबंधी त्यांना शंका वाटल्यामुळे त्यांनी फलनाच्या व्याख्येकरिता टेलर श्रेढीने[→ अवकलन व समाकलन] मिळणार्‍या फलनाच्या विस्ताराचा उपयोग केला. फलनाचा घातश्रेढीच्या स्वरूपात विस्तार करता येतो असे गृहीत धरून त्यांनी फ (क्ष + ह) = फ(क्ष) + कह + खह^२ + गह^३ + …… असे मांडले व त्यावरून क = फ’ (क्ष) हा फ (क्ष) चा अवकलांक काढला. त्यामुळे फ’ (क्ष) हा अवकलांक मिळविण्यासाठी अल्पतमांचे गुणोत्तर ही कल्पना त्यांना वापरावी लागली नाही. तथापि वरील समीकरणात फ(क्ष) डाव्या बाजूस घेऊन ह ने भागल्यास आणि उजव्या बाजूकडील ह चे मूल्य शून्य घालून अवकलांक क मिळतो. त्यामुळे वरील संकल्पना नवी नव्हती हे उघड आहे. चवथ्या पाचव्या कालखंडांचे अग्रणी अनुक्रमे फ्रेंच गणिती कोशी (१७८९ —१८५७) आणि जर्मन गणिती व्हायरश्ट्रास हे होत. गणिताच्या इतिहासात तर्ककठोरतेचे जनक म्हणून कोशी यांचे नाव घेतले जाते तथापि कलनशास्त्रात कोशी यांनीच प्रथम तर्ककठोरता आणली. कोशी यांनी विशद केलेली कलनशास्त्रतील मूलभूत तत्त्वे चिकित्सक गणिती मनाची पकड घेऊ शकली, तथापि त्यांचे विवरण आणखी तर्ककठोर करण्यास व्हायरश्ट्रास, कँटर आणि डेडेकिंट यांचे प्रयत्न कारणीभूत झाले. 

कलनशास्त्र तर्ककठोर तत्त्वावर अधिष्ठित होण्यास कारणीभूत झालेल्या आणखी एका संकल्पनेचा उल्लेख करणे इष्ट ठरेल. १६३८ साली गॅलिलीओ यांनी १, ४, ९, १६,… इ. वर्गांची संख्या १,२,३,४,… या पूर्णांकांच्या संख्येइतकीच आहे असे प्रतिपादन केले. म्हणजेच { १, ४, ९, १६,…} आणि {१, २, ३, ४,…} हे संच तुल्य आहेत व त्यांचा संचांक (संचातील घटकांची संख्या) एकच आहे. ही संकल्पना एकोणिसाव्या शतकाच्या शेवटी कँटर यांनी संशोधिलेल्या संच सिद्धांताच्या प्रारंभाला पूरक ठरली. कलनशास्त्रात सध्या उपयोगात असलेली परिमित आणि अपरिमित संचांमधील एकास-एक संवादाची संकल्पना दृढमूल झाली. फलनाची व्याख्या आता बिंदू संच या संकल्पनेवर आधारण्यात आलेली आहे. अर्थात गणनीय संच व अगणनीय संच यांची गॅलिलीओ यांना कल्पना नव्हती. त्यांच्या व्याख्या १८४० मध्ये बोलत्सानो यांनी व १८७८ साली कँटर यांनी प्रमाणित स्वरूपात मांडल्या. 

न्यूटन व लायप्निट्स यांनी दिलेल्या कलनशास्त्रातील मूलभूत व्याख्या तर्ककठोर भाषेत मांडलेल्या नव्हत्या आणि कलनातील मूलभूत संकल्पनांचे विशुद्धीकरण विसाव्या शतकात पूर्ण झाले. असे जर आहे, तर बेर्नुली, ऑयलर, लाग्रांझ, लाप्लास इ. वैश्लेषिक गणितज्ञांनी कलनशास्त्रातील प्रगत निष्कर्ष बरोबर कसे काढले असा प्रश्न पडतो. या गणितज्ञांनी तर या निष्कर्षांचा उपयोग करून विशुद्ध व अनुप्रयुक्त (व्यावहारिक) गणिताचाही विस्तार केला. या प्रश्नाचे उत्तर थोडक्यात देणे शक्य नाही. एवढेच म्हणता येईल की, गणितातील निष्कर्षदेखील अंतःप्रज्ञेने गणितज्ञांना सुचणे शक्य असून नंतर त्यांना तर्ककठोरतेची बैठक देण्यात नंतरचे गणितज्ञ यशस्वी होतात आणि अशा प्रकारची बैठक देता आली नाही, तर ती का देता येत नाही याची कारणमीमांसा गणितज्ञ करतात व त्यातील दोष शोधून काढतात. व्याख्या ठिसूळ असली, तरी तिने दिलेला निष्कर्ष सत्य असल्यास तो निष्कर्ष मूलभून स्वरूपाचा म्हणावयास हरकत नाही, त्याचे विवरण तर्ककठोर नाही इतकेच. पण त्यावरून मिळविलेले निष्कर्ष चुकीचे असण्याचे कारण संभवत नाही, त्यास तर्ककठोरतेची बैठक पुढील गणिती देतील असे मानणे शक्य आहे. यामुळे कलनशास्त्राची झपाट्याने प्रगती करण्यात गणिती यशस्वी झाले आणि म्हणूनच आधुनिक गणितात कलनशास्त्राचा शोध अपूर्व ठरला. 

न्यूटन यांनी १६६६ सालीच कलनशास्त्राचा शोध लावला पण तो त्यांनी १६८६ मध्ये प्रसिद्ध केला. लायप्निट्स यांनी आपले संशोधन १६७५ मध्ये पूर्ण करून १६७७ साली ते प्रसिद्ध केले. त्यामुळे कलनशास्त्राचे आद्यजनकत्व कोणास द्यावयाचे हा प्रश्न उद्भवला. न्यूटन यांनी प्रसिद्धीपराङ्मुखतेमुळे आपले शोध जवळजवळ वीस वर्षे प्रसिद्ध केले नाहीत असे आंग्ल लोकांचे म्हणणे होते. हॅली या ज्योतिषशास्त्रज्ञांनी आग्रह केल्यानंतरच न्यूटन यांनी प्रिन्सिपिया हा आपला ग्रंथ पूर्ण केला. अवकलांक दर्शविण्यासाठी न्यूटन यांनी चलपदाच्या डोक्यावर टिंब देण्याची पद्धती वापरली. उदा., क्षं हा क्ष चा ट सापेक्ष

हे चिन्ह कोणत्याही कोटीचा अवकलांक दाखविण्यास सोयीचे आहे तसेच या संकेतनात स्वयंचल व परचल कोणते हेही उघड होते. उच्चतर कोटींचे अवकलांक दर्शविण्यासाठी चलपदाच्या डोक्यावर टिंबे देण्याची न्यूटन यांची पद्धती सोयीची नाही.

दोन्ही गणितज्ञांनी निरनिराळी संकेतने वापरली व त्यामुळे त्यांची कलनशास्त्राकडे पाहण्याची दृष्टी निराळी होती, यावरूनच त्या दोघांनी या शास्त्राचा शोध स्वतंत्रपणे लावला हे उघड होते. लायप्निट्स यांनी एक गणितीय साधन या दृष्टीने कलनशास्त्राचा विकास केला, तर न्यूटन यांनी निरीक्षित नैसर्गिक आविष्काराच्या स्पष्टीकरणाचे एक साधन म्हणून कलनशास्त्राचा कसा उपयोग करता येईल हे दाखविण्याचा प्रयत्न केला. १६९३ मध्ये न्यूटन यांना असे आढळून आले की, कलनशास्त्राचा सर्व यूरोपभर प्रसार झालेला असून त्याचे आद्यजनकत्व लायप्निट्स यांना मिळालेले आहे. वास्तविक न्यूटन व लायप्निट्स एकमेकांस पूर्णपणे ओळखत होते व आपल्या कल्पना दुसर्‍याने चोरल्या असे एकमेकांस कधीही वाटत नव्हते. तथापि नंतर  कलन- शास्त्राच्या शोधाचे श्रेय सामान्य इंग्रज माणसासही राष्ट्रीय इभ्रतीचा प्रश्न वाटू लागून अनेक आरोपप्रत्यारोप केले गेले. यामुळे लायप्निट्स यांची कलनशास्त्रातील परिभाषा, चिन्हे आणि संकेतने सोयीची, सुटसुटीत,  अर्थवाही आणि पुढील संशोधनकार्यास योग्य असूनही आंग्ल गणितज्ञांनी ती वापरावयाची नाहीत हा आपला हट्ट सोडला नाही व न्यूटन यांची बोजड चिन्हे त्यांनी तशीच उपयोगात ठेवली. यामुळे आंग्ल गणितज्ञ नंतरच्या काळात कलनशास्त्रामध्ये विशेष कामगिरी करू शकले नाहीत. याच काळात स्विस आणि फ्रेंच गणितज्ञांनी लायप्निट्स यांची पद्धती वापरून कलनशास्त्र प्रगत केले आणि समजण्यास सोपे केले. विज्ञान व इतर शाखांत विवक्षित संकेतने सर्व राष्ट्रांनी एकसारखीच वापरावीत याचे औचित्य यावरून उघड होते.

गतिकी, उष्णता, वहन, विद्युत्‌ इ. विषयांत संततता ही संकल्पना प्रामुख्याने येते. या संकल्पनेचे यथार्थ विवरण करणे केवळ कलनाच्या शोधामुळेच शक्य झाले. यामिकी (प्रेरणांची वस्तूंवर होणारी क्रिया व त्यामुळे निर्माण होणारी गती यांचा अभ्यास करणारी गणितीय शाखा), ज्योतिषशास्त्र व इतर विज्ञानशाखांत येणारी समीकरणे कशी सोडवावयाची ह्याची उपपत्ती देणार्‍या कलनाच्या विविध शाखा प्रगत झालेल्या आहेत. विशुद्ध गणितात येणारी विविध फलने कलनशास्त्राच्या साहाय्याने पूर्णपणे अभ्यासता येतात. ही फलने कोणत्या प्रकारच्या ⇨अवकल समीकरणांची पूर्तता करतात, त्यांनी पाळावयाच्या प्राथमिक सीमांत अटी कशा असावयास पाहिजेत हे शोधण्याचा मार्ग कलनशास्त्राच्या प्रगतीमुळेच उघड झाला. सर्वांत सोपे समीकरण म्हणजे d य = फ (क्ष) d क्ष व ते समाकलाची व्याख्या देते. ∫ फ (क्ष) d  क्ष यावरून विविध फलने काढण्यात गणितज्ञ यशस्वी झाले आहेत.

कणाच्या गतीचा विचार करताना ऑयलर यांनी कणाचा वेग व त्याच्या सहनिर्देशकांचे (संदर्भ अक्षांच्या सापेक्ष असणारी कणाची स्थिती दर्शविणार्‍या अंकांचे) फलन असल्यास त्याच्या गतीची समीकरणे ∫ व d स याच्या लघुतमीकरणाने काढता येतात, असे दाखविले. येथे d स म्हणजे बिंदूने रेखाटलेल्या गतिवक्राचा अल्पतम भाग आहे. यावरून ऑयलर यांना कोणत्याही समाकलाच्या लघुतमीकरणाची कल्पना सुचली आणि त्यातूनच ⇨चलनकलन या कलनशास्त्राच्या शाखेचा उगम झाला. अवकल समीकरणे व चलनकलन या कलनशास्त्राच्या उपशाखांची इ. स. १८०० च्या सुमारास इतकी प्रगती झाली की, त्यांना गणितात स्वतंत्र स्थान प्राप्त झाले. भौतिकीतील वर्चस्‌ उपपत्ती कलनशास्त्रामुळेच प्रगत होऊ शकली. कोशी, रीमान इ. गणितज्ञांना सदसत्‌ फलनांच्या [→ फलन] उपपत्तीचे व्यवस्थितरीत्या विवरण करणे केवळ कलनाच्या शोधामुळेच शक्य झाले.

संतततेची संकल्पना कलनशास्त्रात मूलभूत स्वरूपाची असली, तरी ⇨सांत अंतर कलन या कलनशास्त्राच्या उपशाखेत चलपद संतत मूल्ये धारण न करता केवळ पृथक्‌ मूल्ये धारण करते. या उपशाखेची उपपत्ती टेलर (१६८५—१७३१) यांनी १७१५–१७ च्या सुमारास मांडली. यात वापरण्यात येणारी ∆ आणि त्याचा व्यत्यास ∑ ही संकेतने अवकलन व समाकलन या क्रियांची निदर्शक आहेत. त्यामुळे या उपशाखेस ‘∆ , ∑ कलनशास्त्र’ असेही म्हणतात. ∆ हे संकेतन प्रथम झां बेर्नुली यांनी उपयोगात आणले. कोशी आणि आबेल यांनी अभिसारितेविषयीचा [→ अवकलन व समाकलन] नियम सर्व गणितशास्त्रात वापरला पाहिजे असे दाखविल्यामुळे तर्ककठोरतेचा निकष लावणार्‍या गणितज्ञांच्या मनाची पकड सांत अंतर कलन घेऊ शकले नाही. यामुळे उपशाखेची प्रगती १८२० नंतर थांबली, पण सदसत्‌ फलनांच्या उपपत्तीवरून प्वांकारे यांनी १८८० मध्ये सांत अंतर कलनाचे समाधानकारक विवरण केले. त्यामुळे सांख्यिकीय विश्लेष्णात या उपशाखेचा उपयोग होऊ लागला. 

अशा रीतीने अनेक गणितशाखांचे मूळ कलनशास्त्रामध्ये आहे. कलनशास्त्राच्या शोधामुळे गणितशास्त्रातच नव्हे तर इतर ज्ञानशाखांतही क्रांतीकारक बदल झालेले आहेत.

पहा : अवकलनवसमाकलन अवकलसमीकरणे चलनकलन फलन संचसिद्धांत समाकलसमीकरणेवरूपांतरे सांतअंतरकलन. 

संदर्भ :1. Bell E.T. Development of Mathematics New York, 1945.

   2. Miller N Limits The concept and it’s Role in Mathematics, New York

   3. Reichmann, W. J. Calculus Explained, London, 1964.

  4. Ritow, Ira, Capsule Calculus, London, 1963.

गुर्जर, ल.वा. 

“