बीजगणित, अमूर्त : बऱ्याच वेळा निरनिराळ्या राशींमध्ये एखादा समान गुणधर्म किंवा संबंध आढळतो. त्याच समान गुणधर्माचा अभ्यास करून काही निष्कर्ष काढले असता त्याला अमूर्तीकरण असे म्हणतात. अमूर्तीकरणाचा फायदा म्हणजे हे निष्कर्ष तो समान गुणधर्म असणाऱ्या सर्व राशींना लागू करता येतात. अशा तऱ्हेचे अंकगणिताचे अमूर्तीकरण म्हणजेच बीजगणित होय.
इतिहास व विकास : अमूर्त बीजगणिताचा अभ्यास व विस्तार मुख्यतः विसाव्या शतकामध्ये झालेला आहे. आधुनिक बीजगणिताच्या उदयापूर्वी बीजगणिताच्या अभ्यासामध्ये मुख्य भर समीकरणे सोडवून त्यांचे निर्वाह (उत्तरे) शोधणे यावरच होता. इंग्‍लंडमध्ये डब्ल्यू. आर्. हॅमिल्टन (१८०५—६५) यांनी ⇨ चतुर्दलींविषयी संशोधन केले. त्याच सुमारास आर्थर केली (१८२१—९५) व जे. जे. सिल्व्हेस्टर (१८१४—९७) यांनी आव्यूहांसंबंधी [⟶ आव्यूह सिद्धांत] संशोधन केले. जॉर्ज बूल (१८१५—६४) यांनी तर्कशास्त्राची बीजगणिताच्या परिभाषेमध्ये मांडणी केली. अमूर्त बीजगणिताचा अभ्यास सध्याच्या पूर्णावस्थेस नेण्यास एल्. क्रोनेकर (१८२३—९१), जे. डब्ल्यू. आर्. डेडेकिंट (१८३१—१९१६), डी. हिल्बर्ट (१८६२—१९४३), एम्. नटर (१८४४—१९२१) वगैरे जर्मन गणितज्ञांनी विशेष हातभार लावलेला आहे. या गणितज्ञांनी अमूर्त बीजगणिताचा वापर वैश्लेषिक भूमिती, बैजिक संख्या सिद्धांत, गट सिद्धांत या शाखांमध्ये केला व त्या समृद्ध केल्या. विसाव्या शतकामध्ये निरनिराळ्या बीजगणितीय प्रणालींच्या अमूर्त स्वरूपाविषयीच्या अभ्यासावर विशेष भर दिलेला आढळतो. त्याचबरोबर काही नवीन संकल्पनांनी भरही घातली गेलेली आहे.
प्राथमिक बीजगणितातील विकासातून आजच्या अमूर्त बीजगणिताची व बीजगणितीय प्रणालीच्या संकल्पनेची उत्क्रांती झालेली आहे. प्राथमिक बीजगणित हे मूलतः अंकगणितात उपयोगात असलेल्या संख्यांच्या संचांशी संबंधित होते. या संचांच्या घटकांच्या बाबतीत बेरीज व गुणाकार ही कृत्ये (वजाबाकी व भागाकार ही यांच्या उलट कृत्ये आहेत) वापरण्यात आली. काही मूलभूत नियमांनी बनणाऱ्या स्वयंसिद्धकीय(विविध गृहीतांवर आधारलेल्या प्रणालीच्या) अस्तित्वाचीही गणितज्ञांना जाणीव झालेली होती. आजही प्राथमिक बीजगणितात व अंकगणितात मानलेल्या गृहीतांचे स्वयंसिद्धकीय प्रणालीद्वारे विवरण केले जाते. तथापि काही गणितीय राशी या नियमांचे पालन करीत नाहीत. अशा प्रकारच्या अतिशय व्यापक स्वयंसिद्धकीय अमूर्त प्रणालींची मांडणी (वा रचना) करणे व त्यांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करणे, हा अमूर्त बीजगणिताचा प्रधान हेतू आहे. या प्रणाली विविध प्रकारच्या संचांच्या बनलेल्या असून त्यांत व्यापक स्वरूपाची कृत्ये व कित्येक स्वयंसिद्धके अनुस्यूत असतात. ज्याप्रमाणे यूक्लिड यांच्या स्वयंसिद्धकांखेरीज इतर स्वयंसिद्धकांवर नवीन स्वयंसुसंगत भूमिका आधारता येतात [⟶ भूमिति] त्याचप्रमाणे प्राथमिक बीजगणितापेक्षा भिन्न अशा स्वयंसिद्धकांवर नवीन बीजगणिते आधारता येतात. या नव्या बीजगणितांमध्ये संख्यांखेरीज इतर गणितीय राशी (उदा., आव्यूह) अंतर्भूत होऊ शकतात. संभाव्य गणितीय प्रणालींची विविधता व संपन्नता उलगडून दाखविण्याचे महत्कार्य अमूर्त बीजगणिताने केलेले आहे.
अमूर्त बीजगणिताची वेधकता त्याच्या व्यापकतेत व कल्पक दृष्टिकोनात आहे. सर्व संकल्पना प्रत्यक्ष (मूर्त) परिस्थितीतून वा आविष्कारातून उद्‌भवलेल्या आहेत. अमूर्त बीजगणितामुळे अभिजात बीजगणितातील सिद्धांतांचे नवीन दृष्टिकोनातून विवरण करता येते आणि त्यामुळे या सिद्धांतांना अतिशय दूरगामी एकता व व्यापकता प्राप्त झालेली आहे. अमूर्तीकरणाद्वारे हे बीजगणित प्राथमिक बीजगणितातील अनेक अत्यावश्यक समस्यांचे अशा प्रकारे विवरण करते की, एखाद्या अमूर्त समस्येच्या उत्तरामुळे तिच्या अनेक विशिष्ट रूपांची सोडवणूक करता येते पण याचबरोबर अमूर्त बीजगणितात व्यापक सिद्धांतही शोधले जातात उदा., अनन्य अवयवीकरण शक्य आहे अशा सर्व प्रांतांचे निर्धारण करणे (यासंबंधी पुढे विवेचन आलेले आहे). अमूर्त बीजगणिताचे खरे मूल्य प्रगत गणितीय विश्लेषण, भूमिती, भौतिकी, तत्त्वज्ञान, तर्कशास्त्र व इतर क्षेत्रांतील त्याच्या उपयुक्ततेत आहे. सदसत् क्षेत्रे, रूपांतरणांचा गट,⇨पुंजयामिकीत महत्त्वाचे असलेले सममित आव्यूह, जॉर्ज बूल या गणितज्ञांच्या नावाने ओळखले जाणारे ⇨ बुलियन बीजगणित, जालक सिद्धांत, सांतातील संख्या [⟶ अनंत—१] इत्यादींच्या विकासावर अमूर्त बीजगणितातील संकल्पनांचा मोठा प्रभाव पडलेला आहे.
प्रस्तुत नोंदीत दिलेली माहिती प्राथमिक स्वरूपाची असून या विषयाच्या विविध शाखांत झपाट्याने चालू असलेल्या संशोधनामुळे त्याच्या क्षेत्रात व स्वरूपात लक्षणीय बदल घडून येत आहेत.
संच सिद्धांत : पुढील विवेचनात गट, वलय, पूर्णांकी प्रांत, क्षेत्र, एकघाती अवकाश वगैरे बीजगणितीय प्रणालींचा परिचय करून दिला आहे. या विवेचनात संच लिद्धांतातील ज्या काही संकल्पनांचा वापर करावा लागतो, त्यांसंबंधीची माहिती खाली दिली आहे. (अधिक माहितीसाठी ‘संच सिद्धांत’ही नोंद पहावी).
चित्रण : समजा फ : स ⟶ श असे फलन घेतले [⟶ फलन] म्हणजेच क्ष e स असल्यास त्याची संगती य e श याच्याशी जोडली जाते, अशा प्रत्येक क्ष साठी त्याची एकच प्रतिमा य शक्य असते. या फलनास स संचाचे श संचावर फ—कृत चित्रण म्हणतात.
समतुल्यता संबंध : एखाद्या संचातील कोणत्याही दोन घटकांमध्ये एखाद्या संबंधाची व्याख्या केली असता (व तो संबंध Ä या चिन्हाने दर्शविल्यास) आणि जर क्ष व य हे दोन दोन घटक Ä या संबंधाने जोडले असतील तर, हे क्ष Ä य असे दाखवतात. असा संबंध जर पुढील अटी पाळत असेल, तर तो समतुल्यता संबंध आहे असे म्हणतात (१) स्ववर्ती : प्रत्येक क्ष करिता, क्ष Ä क्ष (२) सममित : प्रत्येक क्ष, य करिता, जर क्ष Ä य, तर य Ä क्ष आणि (३) संक्रमणीय : जर क्ष Ä य आणि य Ä झ, तर क्ष Ä झ.
द्विमान कृत्य : स X स या गुणनसंचाचे स वरील चित्रण म्हणजे द्विमान कृत्य होय. स मधील दोन घटक घेतले, तर या चित्रणाने स मधील घटक मिळतो, म्हणून यास द्विमान कृत्य म्हटले जाते. उदा., संख्या-संचामध्ये गुणाकार म्हणजे द्विमान कृत्य होय, कारण कोणत्याही दोन संख्या (समजा ४ व ५) घेतल्या की त्यांपासून संख्या संचातील घटकच (येथे ४ X ५ = २० ही संख्या) मिळतो.
अर्धगट व गट : समजा स संचासाठी ¤ ह्या चिन्हाने दर्शविलेले द्विमान कृत्य साहचर्य नियम पाळते [म्हणजेच क ¤ (ख ¤ ग) = (क ¤ ख ¤ग] अशा (स, ¤) प्रणालीला अर्धगट म्हणतात. उदा., (१) प : धन पूर्णांक संच, द्विमान कृत्य ¤ म्हणजेच बेरीज (+) (२) प आणि ¤ म्हणजे गुणाकार (X) (३) एखाद्या दिलेल्या संचाच्या सर्व उपसंचांचा संच आणि ¤ म्हणजे संच-युती (४) दिलेल्या संचाच्या रूपांतरणांचा संच आणि द्विमान कृत्य ¤ म्हणजे रूपांतरणाचा गुणाकार (येथे गुणाकार म्हणजे एका रूपांतरणानंतर दुसरे रूपांतरण). याचे उदाहरण म्हणजे न वस्तूंच्या क्रमचयांचा संच [⟶ समचयात्मक विश्लेषण]. अर्थात या संचातील घटकांची संख्या न! असेल [न! = १.२.३ …… (न—१). न]. अर्धगटातील घटकांची संख्या सांत असेल, तर त्याला सांत अर्धगट म्हणतात. अर्धगटातील द्विमान कृत्य क्रमनिरपेक्ष असेल, तर त्याला क्रमनिरपेक्षी अर्धगट म्हणतात. अर्धगटामध्ये त हा घटक असा असला की, त क = क (क अर्धगटाचा कोणताही घटक), तर त ला वाम अविकारी घटक म्हणतात. तसेच क थ = क असेल, तर थ ला दक्षिण अविकारी घटक म्हणतात. उदा., स संचामध्ये क ख = ख अशी द्विमान कृत्याची व्याख्या केली, तर अर्धगट तयार होईल आणि प्रत्येक घटक वाम अविकारी घटक होईल. एखाद्या अर्धगटामध्ये त व थ दोन्हीही उपलब्ध असतील, तर त = थ हे दाखविता येते. अर्थात अशा अर्धगटामध्ये एकापेक्षा जास्त अविकारी घटक असणार नाहीत. त = थ हा एकच अविकारी घटक असल्यास तो १ या चिन्हाने दर्शवितात. जर कक‘ = १ असेल तर क दक्षिण नियमित आहे असे म्हणतात आणि क‘ ला क चा दक्षिण व्यस्त म्हणतात. अशीच व्याख्या वाम नियमित व वाम व्यस्त यांची करतात.
समजा स हा संच आहे व त्यामध्ये एका द्विमान कृत्याची व्याख्या केली आहे. या संचात पुढील अटी पूर्ण होत असतील, तर त्याला गट म्हणतात.
(१) क (ख ग) = (क ख) ग, (साहचर्य).
(२) क.१ = १.क = क, (अविकारी घटकाचे अस्तित्व).
(३) क.क—१ = १ = क—१. क, (क—१ हा क क्ष = १
याचा निर्वाह आहे व त्याला व्यस्त म्हणतात.)
गटाची काही उदाहरणे पुढीलप्रमाणे : (१) सत् संख्यांचा संच [⟶ संख्या] द्विमान कृत्य बेरीज अविकारी घटक शून्य. (२) शून्याव्यतिरिक्त सत् संख्यांचा संच द्विमान कृत्य गुणाकार अविकारी घटक १. (३) क्षन = १, (न पूर्णांक) या समीकरणाच्या निर्वाहांचा संच द्विमान कृत्य गुणाकार अविकारी घटक १. (४) प्रतलामध्ये एका बिंदूभोवतीच्या भ्रमणांचा संच द्विमान कृत्य भ्रमणांचे परिणामी भ्रमण अविकारी घटक : शून्य अंशातून भ्रमण. (५) प्रतलातील सदिशांचा संच [⟶ सदिश] द्विमान कृत्य-सदिश बेरीज अविकारी घटक शून्य सदिश. (६) न वस्तूंच्या क्रमचयांचा संच हा गट क्रन या चिन्हाने दर्शवितात (याला सममित गट असेही म्हणतात) द्विमान कृत्य गुणाकार अविकारी घटक अविकारी क्रमचय.
ज्या गटामधील द्विमान कृत्य क्रमनिरपेक्षी असते, त्याला एन्. एच्. आबेल (१८०२ — २९) या नॉर्वेजियन गणितज्ञांच्या नावावरून आबेलीय गट म्हणतात. वरील उदाहरणांमध्ये सत् संख्यांचा गट हा आबेलीय आहे. न वस्तूंच्या क्रमचयांचा संच हा न ³ ३ असल्यास अनाबेलीय गट आहे. ज्या गटातील घटकांची संख्या सांत आहे त्याला सांग गट म्हणतात. क्रन सांत गट आहे. गटातील घटकांच्या संख्येला गटाची कोटी म्हणतात. क्रन ची कोटी न! आहे. सत् संख्यांचा गट हे एक अनंत गटाचे उदाहरण आहे.
समजा ग हा एक गट आहे. जर घ हा ग च्या अरिक्त उपसंच असून त्याच द्विमान कृत्याच्या साह्याने गटाच्या अटी पूर्ण करीत असेल, तर घ ला ग चा उपगट म्हणतात. जर घ युक्त उपसंच असेल, तर त्याला युक्त उपगट म्हणतात. प्रत्येक अनंत गटामध्ये युक्त उपगट उपलब्ध असतात. जर गट सांत असेल, तर उपगटाची कोटी गटाच्या कोटीचा अवयव असते. गटाचे सर्व घटक एकाच घटकाच्या घातापासून तयार होत असतील, तर अशा गटाला चक्री गट म्हणतात. अविभाज्य कोटीचा सांत गट हा चक्री गट असतो. समजा घ हा ग चा उपगट आहे. अ हा ग चा कोणताही एक घटक घेऊन त्याचा घ मधील प्रत्येक घटकाशी डावीकडून गुणाकार करून मिळणाऱ्या संचास घ चा वाम सहसंच म्हणतात व तो अ घ असा दर्शवितात. अशीच व्याख्या दक्षिण सहसंचाची करतात. वाम व दक्षिण सहसंच समान असतील, तर त्या उपगटाला प्रसामान्य उपगट म्हणतात.
अर्धगट व गट यांची तुलना केली असता अर्धगटाच्या अटी गटाच्या अटीपेक्षा शिथिल आहेत, हे सहज दिसून येईल. त्यामुळे प्रत्येक अर्धगट गट असेलच असे नाही. उदा., धन पूर्णांक संख्यांचा संच हा बेरीज हे द्विमान कृत्य विचारात घेतल्यास एक अर्धगट आहे परंतु गट नाही. स या संचामध्ये द्विमान कृत्याची व्याख्या कख = क अशी केली, तर अर्धगट तयार होईल परंतु तो गट असणार नाही. [⟶ गट सिद्धांत].
पूर्णांकी प्रांत : पूर्णांकी प्रांताची व्याख्या पुढीलप्रमाणे करतात : समजा प हा एक संच आहे आणि क, ख, ग, ….. वगैरे त्याचे घटक आहेत. या संचामध्ये क + ख आणि कख (दोन घटकांची बेरीज व गुणाकार) या दोन द्विमान कृत्यांची व्याख्या केली आहे. प मध्ये पुढील गृहीते (नियम) पाळली जात असतील तर प ला पूर्णांकी प्रांत म्हणतात.
(१) क, ख eप Þ क+खe प, कख e प, (संवृतता).
(२) क+ख = ख + क आणि कख = खक, (क्रमनिरपेक्षता).
(३) क + (ख+ग) = (क+ख) + ग आणि
क (खग) = (कख) ग, (साहचर्य).
(४) क (ख+ग) = कख+कग, (वितरण).
(५) प मध्ये असा एक घटक आहे (त्याला ० हे चिन्ह वापरू) की, क + ० = क, (० ला बेरजेकरिता अविकारी घटक म्हणतात).
(६) प मध्ये असा एक घटक आहे (त्याला १ हे चिन्ह वापरू) की, १ ¹ ० आणि क.१=क, (१ ला गुणकाराकरिता अविकारी घटक म्हणतात).
(७) क+क्ष= ० या समीकरणाला प मध्ये निर्वाह आहे, म्हणजे निर्वाह क्ष e प. (क्ष ला क चा बेरीज व्यस्त म्हणतात व तो —क असा दर्शवितात).
(८) ग ≠० आणि कग=खग असेल, तर क=ख, (विलोपन नियम).
पूर्णांक संख्यांचे गुणधर्म लक्षात घेऊन वरील गृहीते मांडली आहेत, हे सहज दिसून येईल. पूर्णांक संख्यांनी एक पूर्णांकी प्रांत मिळतो हे उघड आहे. पूर्णांकी प्रांताची दुसरी उदाहरणे म्हणजे परिमेय संख्यांचा संच व सत् संख्यांचा संच. तसेच क+ख Ö२ (क, ख पूर्णांक) अशा संख्यांचा संच हा पूर्णांकी प्रांत आहे हे वरील नियम पडताळून पाहिल्यास दिसून येईल. या संचांत ०+० Ö२ व १+० Ö२ हे अविकारी घटक आहेत.
पूर्णांकी प्रांतामध्ये पुढील नियमांसारखे नियम व्याख्येतील गृहीतांच्या आधारे सिद्ध करता येतात.
(१) क.०=०=०-.क,
(२) (२) (-क).(-ख)=कख,
(३) कख=०Þक=० किंवा ख=० वगैरे.
पूर्णांक संख्यांच्या संचामध्ये धन पूर्णांक संख्यांचा उपसंच असा आहे. की, दोन धन पूर्णांक संख्यांची बेरीज व गुणाकार धन पूर्णांकच असतात आणि क कोणताही पूर्णांक असेल तर क धन पूर्णांक असेल किंवा क =० असेल किंवा –क धन पूर्णांक असेल. हाच गुणधर्म परिमेय संख्यांचा संच व सत् संख्यांचा संच यांकरिताही खरा आहे. अशा प्रकारचा गुणधर्म असणाऱ्या पूर्णांकी प्रांताला क्रमित पूर्णांकी प्रांत म्हणतात. परिचित भाषेमध्ये क्रमित पूर्णांकी प्रांतामध्ये क्रमसंबंध (तो < या चिन्हाने दर्शवितात) असा असतो की,
(१) क< ख, ख < ग Þ क < ग,
(२) क< ख Þ क + ग < ख + ग,
(३) क < ख, ० < ग Þ क ग < खग,
(४) क < ख किंवा क = ख किंवा ख < क असलेच पाहिजे.
क्रमित पूर्णांकी प्रांतामध्ये प्रत्येक अरिक्त उपसंचात सर्वांत लहान घटक उपलब्ध असेल, तर अशा क्रमित पूर्णांकी प्रांताला सुक्रमित पूर्णांकी प्रांत म्हणतात. धन पूर्णांक संख्यांचा संच सुक्रमित आहे. यावरून ० आणि १ यांच्या दरम्यान दुसरा पूर्णांक नाही हे दाखविता येते. परिमेय संख्यांचा संच व सत् संख्यांचा संच सुक्रमित नाहीत हे दिसून येईल. मापी म पूर्णांक संख्यांचा संच (प्रत्येक पूर्णांकाला म ने भागल्यावर पूर्णांक उरतो व अशा उरणाऱ्या सर्व पूर्णांकांनी बनणारा संच) पूर्णांकी प्रांताचे विलोपन नियम (गृहीत क्र. ८) सोडून बाकी सर्व नियम पाळतो. म अविभाज्य संख्या असल्यास मापी म पूर्णांक संख्यांचा संच पूर्णांकी प्रांत आहे, हे सहज दिसून येईल. अर्थात हा पूर्णांकी प्रांत सांत होईल.
वलय : पूर्णांकी प्रांताच्या व्याख्येमध्ये दिलेल्या नियमांपैकी काही नियम वगळून वलयाची व्याख्या केली जाते. वलयाची व्याख्या पुढीलप्रमाणे करतात : समजा व हा एक संच आहे आणि क, ख, ग, …. वगैरे त्याचे घटक आहेत. या संचामध्ये क+ख आणि कख या द्विमान कृत्यांची व्याख्या केली आहे. व मध्ये पुढील नियम पाळले जात असतील, तर व ला वलय म्हणतात.
(१) क, ख e व Þक + ख e ल (संवृतता).
(२) क + ख = ख + क, (क्रमनिरपेक्षता).
(३) क + (ख + ग) = (क + ख) + ग, (साहचर्य).
(४) क + ० = ० + क = क, (अविकारी घटकांचे अस्तित्व).
(५) क e व, तर व मध्ये क चा बेरीज व्यस्त – क हाही असेल आणि क + (– क) = ०.
(६) क, ख e व Þ क ख e व, (संवृतता).
(७) क (ख ग) = (क ख) ग, (साहचर्य).
(८) क (ख + ग) = क ख + क ग आणि (ख + ग) क = खक + गक, (वितरण).
व या संचाचा एखादा अरिक्त उपसंच जर त्याच द्विमान कृत्यांच्या संदर्भात वलयाचे नियम पाळत असेल, तर त्याला त्या वलयाचे उपवलय म्हणतात. वलयाची काही उदाहरणे पुढीलप्रमाणे :
(१) पूर्णांक संख्यांचा संच, परिमेय संख्यांचा संच, सत् संख्यांचा संच, सदसत् संख्यांचा संच, सर्वांकरिता द्विमान कृत्ये म्हणजे नेहमीच्या व्याख्येप्रमाणे बेरीज व गुणाकार.
(२) न X न वर्ग आव्यूहांचा संच द्विमान कृत्ये म्हणजे आव्यूह बेरीज व आव्यूह गुणाकार [⟶ आव्यूह सिद्धांत].
(३) मापी म पूर्णांक संख्यांचा संच द्विमान कृत्ये मापी म बेरीज व मापी म गुणाकार.
(४) [०,१] या अंतराला वरील संतत फलनांचा संच [⟶ फलन] द्विमान कृत्ये.
(५) (फ + ग) (क्ष) = फ (क्ष) + ग (क्ष) आणि
(६) (फ ग) (क्ष) = फ (क्ष). ग (क्ष)**
वलयाच्या अटी पूर्णांकी प्रांताच्या अटीपेंक्षा शिथिल आहेत, हे सहज दिसून येईल. प्रत्येक वलय पूर्णांकी प्रांत असेलच असे नाही. उदा., वरील उदाहरणांपैकी (२) मधील आव्यूहांचा संच आणि (४) मधील संतत फलनांचा संच ही वलये आहेत, परंतु पूर्णांकी प्रांत नाही.
प्रकार: वलयांमध्ये गुणाकार क्रमनिरपेक्ष असेल, तर अशा वलयाला क्रमनिरपेक्षी वलय म्हणतात. गुणाकाराकरिता अविकारी घटक उपलब्ध असेल, तर अशा वलयाला अविकारयुक्त वलय म्हणतात. अर्थात अविकारक घटक असल्यास तो एकमेव असतो. अविकारक घटक नसलेल्या वलयाचे उदाहरण म्हणजे सम संख्यांचा संच. क्रमनिरपेक्षी नसलेल्या वलयाचे उदाहरण म्हणजे वर दिलेल्या उदाहरणांपैकी आव्यूहांचा संच. पूर्णांकी प्रांत हे वलय असते हे उघड आहे. समजा व एक वलय आहे आणि त्यामध्ये ० सोडून इतर घटकांकरिता फ या फलनांची व्याख्या अशी केली आहे की, त्यांची मूल्ये अ-ऋण पूर्णांक संख्या आहेत व (१) फ (क ख) ³ फ (क) . फ (ख), क ख ¹ ०, (२) क, ख (¹ ०) e व असेल, तर भ आणि ब असे मिळतात की, क = भख + ब आणि ब = ० किंवा फ (ब) < फ(ख). अशा वलयाला ‘यूक्लिडीय वलय’ म्हणतात. (२) मधील नियमाला यूक्लिडीय गणनविधी असे म्हणतात [⟶अंकगणित]. वलयाच्या अ-ऋण घटकांचा संच जर वलयाच्या गुणकारी अर्धगटाचा उपगट असेल, तर वलयाला विभाजन वलय किंवा विषम क्षेत्र असे म्हणतात. पूर्णांकी प्रांतातील घटक सहगुणक घेऊन बनविलेल्या बहुपदींच्या संचास ‘बहुपदी वलय’ म्हणतात.
वलयांच्या संबंधात एक महत्त्वाची संकल्पना म्हणजे गुणजावली ही होय. तिची व्याख्या पुढीलप्रमाणे : व वलयाचा ब हा अरिक्त उपसंच पुढील अटी पूर्ण करीत असेल, तर ब ला गुणजावली म्हणतात (१) क१, क२ e ब Þ क१ – क२e ब, (२) क e ब, अ e व Þ क अ, अ क e ब. उदा., सम संख्यांचा संच ही पूर्णांक संख्यांच्या बलयातील एक गुणजावली आहे. व वलयाचे अभिरूप चित्रण (त्याची व्याख्या पुढे दिली आहे) केले असता ० वर चित्रित होणाऱ्या घटकांचा संच ही एक गुणजावली आहे. व वलयामध्ये व आणि (०) या दोन्ही गुणजावल्या आहेत. यांना अयुक्त गुणजावल्या म्हणतात. इतर गुणजावलींना युक्त गुणजावली म्हणतात. अविकारकयुक्त क्रमनिरपेक्षी वलयामध्ये क या घटकापासून (क) = {क्ष क। क्षeव}तयार होणाऱ्या गुणजावलीस प्रधान गुणजावली म्हणतात. पूर्णांक संख्यांच्या वलयामध्ये प्रत्येक गुणजावली प्रधान गुणजावली असते. तसेच फ (क्ष) या बहुपदी वलयामध्ये प्रत्येक गुणजावली प्रधान गुणजावली असते . ज्या क्रमनिरपेक्षी वलयांमध्ये सर्व गुणजावल्या प्रधान असतात, त्या वलयाला प्रधान गुणजावली वलय म्हणतात. पूर्णांक संख्यांचे वलय व बहुपदी वलय ही दोन्हीही प्रधान गुणजावली वलये आहेत. (क) आणि (ख) या दोन गुणजावल्या असतील, तर (क) Ç (ख)ही पण गुणजावली असते. तसेच (क) + (ख) = {क’ + ख’। क’ e (क), ख’ e (ख)} ही पण गुणजावली असते. पूर्णांकी प्रांतामध्ये क हा ख चा अवयव असेल, तर गुणजावली (ख) गुणजावली (क) चा उपसंच असते म्हणजेच
क । ख Û (क) Ç(ख)
पूर्णांकी प्रांतामध्ये एखादा घटक इतर सर्व घटकांचा अवयव असेल, तर त्या घटकाला एकक म्हणतात. पूर्णांक संख्यांच्या संचामध्ये १ हा एकक आहे. क + I ख, (क, ख पूर्णांक I = Ö-१) या गौसीय (के. एफ्. गौस या गणितज्ञांच्या नावावरून ओळखण्यात येणाऱ्या) सदसत् पूर्णांकांच्या संचामध्ये ± १, ± i हे एकक आहेत. ३ + २Ö२ ही संख्या क + ख Ö२ (क, ख पूर्णांक) या संख्यांच्या संचामध्ये एकक आहे. पूर्णांकी प्रांतामध्ये क आणि ख हे दोन घटक असे असतील की, प्रत्येक दुसऱ्याचा अवयव आहे, तर त्या दोघांना एकमेकांचे ‘सहकारी’ म्हणतात. गौसीय सदसत् पूर्णांक संख्या संचामध्ये क + i ख हा पुढील संख्यांचा सहकारी आहे : क + I ख, —क — I ख, I क — ख, — I क + ख. प्रधान गुणजावली पूर्णांकी प्रांतामध्ये दोन घटकांचा म. सा. वि. आणि ल. सा. वि. काढता येतो. पूर्णांकी प्रांतामध्ये एखाद्या घटकांचे त्याचे सहकारी व एकक यांशिवाय दुसरे अवयव नसतील, तर त्या घटकाला अविभाज्य घटक म्हणतात. अन्यथा त्याला विघटनीय घटक म्हणतात.
अंकगणितामध्ये पुढील प्रमेय (अनन्य अवयवीकरण प्रमेय) पायाभूत प्रमेय म्हणून ओळखले जाते : “कोणतीही पूर्णांक संख्या एकाच प्रकारे अविभाज्य संख्यांच्या (अवयवांच्या) गुणाकाराच्या रूपात (क्रम विचारात न घेता) मांडता येते.” पूर्णांकी प्रांतांच्या बाबतीत मात्र सर्वच पूर्णांकी प्रांतांमध्ये अशा तऱ्हेचे प्रमेय खरे असत नाही. उदा., प (Ö — ५) म्हणजे क+ख Ö — ५ (क, ख पूर्णांक). अशा संख्यांच्या पूर्णांकी प्रांतामध्ये ९=(२ + Ö — ५) (२ — Ö — ५) = ३ X ३. तसेच प Ö—३) मध्ये ३९ = (६ + Ö — ३) (६ — Ö — ३) = ३३ X ३. ज्या पूर्णांकी प्रांतामध्ये अनन्य अवयवीकरण प्रमेय खरे असते, त्याला अनन्य अवयवीकरण पूर्णांकी प्रांत म्हणतात. प्रधान गुणजावली पूर्णांकी प्रांत हा अनन्य अवयवीकरण पूर्णांकी प्रांत असतो.
प्रत्येक यूक्लिडीय पूर्णांकी प्रांत प्रधान गुणजावली प्रांत असतो म्हणून तो अनन्य अवयवीकरण पूर्णांकी प्रांत असतो, हे उघड आहे.
अभिलक्षण : समजा म हा पूर्णांक आहे आणि व वलयाच्या क्ष या प्रत्येक घटकाकरिता म क्ष = ० आहे. म हा अशा तऱ्हेचा सर्वांत लहान घन पूर्णांक असेल, तर म ला व चे अभिलक्षण म्हणतात. अशा तऱ्हेचा म उपलब्ध नसेल, तर वलयाचे अभिलक्षण ० आहे असे म्हणतात (या ठिकाणी म क्ष चा अर्थ क्ष + क्ष + क्ष +….म वेळा हाच घ्यावयाचा आहे म क्ष हा म आणि क्ष यांचा गुणाकार समजावयाचा नाही). क ¹ ०, ख ¹ ० आणि क ख = ० किंवा ख क = ० असेल, तर क ला शून्याचा विभाजक म्हणतात. वलयामध्ये शून्याचे विभाजक नसतील, तर अशा वलयाचे अभिलक्षण एक अविभाज्य संख्या असते.
क्षेत्र : पूर्णांकी प्रांतामध्ये प्रत्येक क ¹ ० अशा घटकाचा क—१ हा क.क—१ = १ या समीकरणाची पूर्तता करणारा गुणाकार व्यस्त उपलब्ध असेल, तर अशा पूर्णांकी प्रांताला क्षेत्र म्हणतात. क्षेत्राची उदाहरणे पुढीलप्रमाणे : (१) परिमेय संख्यांचा संच, (२) सत् संख्यांचा संच, (३) सदसत् संख्यांचा संच, (४) क + खÖ२ (क, ख परिमेय संख्या) अशा संख्यांचा संच.
क्षेत्राच्या अटींपेक्षा पूर्णांकी प्रांताच्या अटी शिथिल आहेत. त्यामुळे प्रत्येक पूर्णांकी प्रांत क्षेत्र असेलच असे नाही. उदा., पूर्णांक संख्यांचा संच पूर्णांकी प्रांत आहे, परंतु क्षेत्र नाही. प (Ö—३) म्हणजेच क + ख Ö—३ (क, ख पूर्णांक) अशा संख्यांचा संच पूर्णांकी प्रांत आहे परंतु क्षेत्र नाही. सम संख्यांचा संच वलय आहे, परंतु क्षेत्र नाही. क्षे क्षेत्राचा क्षे’ हा अरिक्त उपसंच जर त्याच द्विमान कृत्यांच्या संदर्भात क्षेत्राच्या अटी पूर्ण करीत असेल, तर त्याला क्षे चे उपक्षेत्र म्हणतात. सदसत् संख्यांच्या क्षेत्राचे सत् संख्याचे क्षेत्र हे उपक्षेत्र आहे आणि तसेच परिमेय संख्यांचे क्षेत्र हे सत् संख्यांच्या क्षेत्रांचे उपक्षेत्र आहे. वर दिलेली अभिलक्षणाची व्याख्या वापरून क्षेत्राचे अभिलक्षण ठरविता येईल. क्षेत्रातील घटकांची संख्या सांत असेल, तर त्याला सांत क्षेत्र म्हणतात. पम (मापी म पूर्णांक संख्यांचा संच), हा म अविभाज्य असल्यास एक पूर्णांकी प्रांत आहे, हे वर आलेच आहे. ते एक क्षेत्र आहे असे दाखविता येते. या क्षेत्राचे अभिलक्षण म असून हे क्षेत्र एक सांत क्षेत्राचे उदाहरण आहे. सांत क्षेत्राचे अभिलक्षण एक अविभाज्य संख्या असते व क्षेत्राची कोटी त्या अभिलक्षणाचा घात असतो. म अविभाज्य व न पूर्णांक असताना मन घटकांचे एकच क्षेत्र असते व ते ग क्षे (मन) या चिन्हाने दर्शवितात व त्याला गाल्वा क्षेत्र (एव्हारीस्त गाल्वा या फ्रेंच गणितज्ञांच्या नावावरून) म्हणतात. प्रत्येक पूर्णांकी प्रांत हा अशा एका क्षेत्रात अंतःस्थापित करता येतो की, त्या क्षेत्राचा प्रत्येक घटक हा पूर्णांकी प्रांताच्या दोन घटकांचा भागाकार असतो. अशा क्षेत्राला त्या पूर्णांकी प्रांताचे भागक्षेत्र म्हणतात. पूर्णांक संख्यांच्या पूर्णांकी प्रांताचे परिमेय संख्यांचे क्षेत्र हे भागक्षेत्र आहे.
अमूर्त एकघाती अवकाश : (सदिश अवकाश). समजा स = {क्ष, य, ….. }हा एक संच आहे व त्या संचावर बेरीज या द्विमान कृत्याची व्याख्या केलेली आहे. श = {क, ख, ….. }हे एक क्षेत्र आहे व त्यातील घटकांचा स मधील घटकांशी गुणाकार व्याख्यात केलेला आहे. खालील अटी पूर्ण होत असतील तर, स ला श या क्षेत्रावरील एकघाती अवकाश म्हणतात :
(१) स बेरजेकरिता आबेलीय गट आहे.
(२) क (क्ष + य) = क क्ष + क य (क + ख) क्ष = क क्ष + ख क्ष (क ख) क्ष = क (ख क्ष) १ क्ष = क्ष.
एकघाती अवकाशाची काही उदाहरणे पुढीलप्रमाणे आहेत :
(१) सदसत् संख्याचे क्षेत्र हा सत् संख्याच्या क्षेत्रावर एकघाती अवकाश आहे. येथे सदसत् संख्या हे सदिश आहेत व सत् संख्या अदिश आहेत. (२) फ क्षेत्रातील घटकांचा सहगुणक म्हणून वापर करून तयार केलेले बहुपदींचे वलय फ [क्ष]. (३) सत् संख्या संचावरील संतत फलनांचा संच. या ठिकाणी सदिश बेरजेची व्याख्या पुढीलप्रमाणे : (फ + ग) क्ष = फ (क्ष) + ग (क्ष). सत् संख्या म्हणजे अदिश व (क फ) (क्ष) = क फ (क्ष), (क कोणतीही सत् संख्या). [⟶ सदिश अवकाश].
क्षेत्रविस्तार : क्षे’ हे क्षेत्र क्षे चे उपक्षेत्र असेल, तर क्षे ला क्षे’ चा विस्तार म्हणतात. उदा., सदसत् संख्यांचे क्षेत्र हे सत् संख्यांच्या क्षेत्राचा विस्तार आहे. तसेच क + खÖ२ (क ख परिमेय) या संख्यांचे क्षेत्र, परिमेय संख्यांच्या क्षेत्राचा विस्तार आहे. क्षे हे क्षेत्र क्षे’ क्षेत्राचा विस्तार असेल, तर क्षे ला क्षे’ वरील सदिश अवकाश मानता येईल. याकरिता क्षे मधील बेरीज व क्षे मधील घटकांचा क्षे’ मधील घटकांशी गुणाकार ही सदिश अवकाशातील कृत्ये होतील, या सदिश अवकाशाची मिती सांत असेल किंवा अनंत असेल त्याप्रमाणे क्षे ला क्षे’ चा सांत किंवा अनंत विस्तार म्हणतात. वरील क + खÖ२ या संख्यांचे क्षेत्र परिमेय संख्यांच्या क्षेत्राचा सांत विस्तार आहे. तसेच सदसत् संख्यांचे क्षेत्र हा सत् संख्यांच्या क्षेत्राचा सांत विस्तार आहे परंतु प (p) हा प चा अनंत विस्तार होईल (प परिमेय संख्यांचे क्षेत्र). क्षे क्षेत्रातील प्रत्येक घटक क्षे’ वरील एका बहुपदी समीकरणाची पूर्तता करीत असेल, तर क्षे ला क्षे’ चा बैजिक विस्तार म्हणतात. अन्यथा त्याला बीजातीत विस्तार म्हणतात. प (p) हा प चा बीजातीत विस्तार आहे. क्षे’ क्षेत्रामध्ये एकाच घटकाची भर घालून तयार होणाऱ्या विस्ताराला सरल विस्तार म्हणतात. सदसत् संख्यांचे क्षेत्र सत् संख्यांच्या क्षेत्राचा सरल विस्तार आहे. समजा क्षे हा क्षे’ चा सरल विस्तार आहे व त्यामध्ये घटक म्हणून क्षे’[क्ष]या क्षेत्रातील अविघटनीय बहुपदीचे बीज समाविष्ट आहे. अशा वेळी क्षे या क्षेत्राला बहुपदीचे बीज क्षेत्र म्हणतात. जर क्षे हा क्षे’ चा विस्तार असून फ (क्ष) e क्षे’ [क्ष]आणि फ (क्ष) eक्षे [क्ष]आणि फ (क्ष) = अ (क्ष – य१) (क्ष – य२) … (क्ष-यन) य१, य२, … eक्षे अ eक्षे क्षे = क्षे (य१, य२, ……, यन) असेल, तर क्षे ला क्षे’ चे विघटन क्षेत्र म्हणतात. समजा फ (क्ष) e क्षे’ [क्ष]आणि फ (क्ष) चे एक बीज क्षे मध्ये असल्यास सर्व बीजे क्षे मध्ये असतात. अशा वेळी क्षे ला प्रसामान्य विस्तार म्हणतात. फ (क्ष) या क्षे’ वरील अविघटनीय पदावलीची बीजे विघटनीय क्षेत्रात साधी असतील, तर फ (क्ष) क्षे’ वर वियोजनीय आहे असे म्हणतात. फा (क्ष) या कोणत्याही पदावलींचे अविघटनीय अवयव वियोजनीय असतील, तर फा (क्ष) वियोजनीय आहे असे म्हणतात. µ क्षे’ वर बैजिक असून जर µ ची निम्निष्ठ पदावली क्षे’ वर वियोजनीय असेल, तर µ वियोजनीय आहे, असे म्हणतात. क्षे हा क्षे’ चा विस्तार असून क्षे चा प्रत्येक घटक क्षे’ वर वियोजनीय असेल, तर क्षे हा क्षे’ चा वियोजनीय विस्तार आहे असे म्हणतात.
गाल्वा गट : समजा क्षे हा क्षे’ चा सांत वियोजनीय व प्रसामान्य विस्तार आहे. क्षे च्या क्षे’ – आत्मरूपणांच्या गटाला गाल्वा गट असे म्हणतात व तो ग (क्षे/क्षे’) या चिन्हाने दर्शवितात. गाल्वा गटाची कोटी क्षे च्या क्षे’ वरील मितीबरोबर असते. गाल्वा सिद्धांताचे पायाभूत प्रमेय असे : म हे क्षे’ आणि क्षे यांच्या मघले क्षेत्र आहे आणि क्षे हा क्षे’ चा सांत, वियोजनीय व प्रसामान्य विस्तार आहे, तर म ⟶ ग (क्षे/म) हे क्षे’ व क्षे यांच्या मधल्या क्षेत्रांचे ग (क्षे/क्षे’) या गाल्वा गटाच्या उपगटांच्या संचावर एकास-एक चित्रण असते.
गाल्वा सिद्धांताचे उपयोग : चारापेक्षा जास्ता घात असणाऱ्या समीकरणांचे निर्वाह करणींच्या भाषेमध्ये मांडण्याचा पुरातन कालापासून न सुटलेला प्रश्न गाल्वा सिद्धांतामुळे सुटलेला आहे. अ क्ष२+क क्ष+ ख = ० या द्विघाती
|
समीकरणाची बीजे |
– क ± Öक२ – ४ अख |
अशी मांडता येतात. तसेच त्रिघाती व चतुर्घाती समीकरणांची बीजेही |
|
२अ |
अशाच तऱ्हेने मांडता येतात. चारापेक्षा जास्त घात असणाऱ्या समीकरणांची बीजे अशाच तऱ्हेने मिळविण्याचा प्रयत्‍न शेकडो वर्षे गणितज्ञांनी केला परंतु त्यात त्यांना यश आले नाही. गाल्वा सिद्धांतावरून असे सिद्ध करता आले की, ही गोष्ट अशक्य आहे [⟶ समीकरण सिद्धांत].
भूमितीमध्ये पुढील तीन समस्या पुरातन कालापासून सुटल्या नव्हत्या. कंपास व सरळ पट्टी ह्या दोनच उपकरणांचा उपयोग करून पुढील रचना करणे : (१) घनाची दुप्पट करणे (२) कोनाचे त्रिभाजन करणे आणि (३) वर्तुळाचे चौरसीकरण करणे. या तीनही रचना अशक्य आहेत ही गोष्ट गाल्वा सिद्धांताने सिद्ध करता आली. [⟶ गणितातील अनिर्वाहित प्रश्न].
समरूपण व अभिरूपण : समजा स आणि स’ या दोन गणितीय प्रणाली आहेत व त्यांमध्ये एकास-एक संगती लावली आहे. जर ही संगती कृत्यरक्षक असेल, तर त्या संगतीला समरूपण म्हणतात. [समजा स मधील कृत्य + या चिन्हाने दर्शविले व स’ मधील कृत्य Äया चिन्हाने दर्शविले. जर क, ख eस क’, ख’ e स’ क àक’, ख àख’ आणि क + ख ⟶ क’ Äख’, तर अशा संगतीस कृत्यरक्षक म्हणतात]. समजा स हा सत् संख्यांचा संच आहे व स’ हा धन सत् संख्यांचा संच आहे. स मधील कृत्य बेरीज आहे आणि स’ मधील कृत्य गुणाकार आहे. जर स आणि स’ मध्ये एकास-एक संगती क्ष ⟶ eक्ष या नियमाने लावली [e हा स्वाभाविक लॉगरिथमांचा आधारांक आहे⟶ इ (e)], तर क्ष+य ⟶ eक्ष+य = eक्ष.eय. यावरून ही संगती कृत्यरक्षक आहे हे दिसून येईल व म्हणून हे दोन गटांतील समरूपणाचे एक उदाहरण आहे.
समजा व एक वलय आहे आणि आ (व) हा खाली दर्शविलेल्या प्रकारच्या न X न वर्ग आव्यूहांचा संच आहे.
|
क्ष = |
[ |
क्ष ० ०………..० |
] |
,क्ष e व |
|
० क्ष ०………..० |
||||
|
० ० क्ष………..० |
||||
|
………………. |
||||
|
० ० ०………..क्ष |
क्ष⟶क्ष ही एकास-एक संगती लावली, तर व आणि आ (व) यांमध्ये समरूपण मिळते, हे पडताळून पहाता येईल.
समरूपणाच्या व्याख्येमध्ये एकास-एक संगती ही अट शिथिल करून अनेकांस-एक ही संगती मान्य केली, तर अभिरूपण मिळते. अभिरूपणामध्ये ज्या घटकांची प्रतिमा अविकारी घटक असते त्या घटकांच्या संचाला अभिरूपणाचा गाभा म्हणतात. पूर्णांक संचाचे प ⟶iप हे चित्रण घेतले व द्विमान कृत्य पूर्णांक संचामध्ये बेरीज आणि {± i, ±१} या संचामध्ये गुणाकार घेतले, तर आपणास अभिरूपण मिळते आणि या अभिरूपणाचा गाभा म्हणजे ४ म अशा पूर्णांक संख्यांचा संच असतो. अभिरूपणामध्ये अविकारी घटकाची प्रतिमा अविकारी घटकच असते व व्यस्ताची प्रतिमा व्यस्तच असते.
स गटाचे स्वतःवर समरूपण केल्यास त्याला आत्मरूपण म्हणतात. गटाचे स्वतःवर अभिरूपण केल्यास त्याला अंतरूपण म्हणतात.
पहा : गट सिद्धांत बूलीयन बीजगणित संच सिद्धांत.
संदर्भ: 1. Birkhoff, G. Maclane, S. A Survey of Modern Algebra, New York, 1962.
2. Jacobson, N. Lectures in Abstract Algebra, 3 Vols., Princeton, 1951-1964.
3. Patterson, E. M. Rutherford, D. E. Elementary Abstract Algebra, Edinburgh, 1965.
4. Shanti Narayan, A Textbook of Modern Abstract Algebra, New Delhi, 1962.
5. Warden, B. L. Van der Trans., Blum, F. Modern Algebra, 2 Vols., New York, 1953.
ओक, स. ज.
“