फलन

∞	१
ζ (स)= ∑	नस
न  =  १

   हे एक डीरिक्ले फलनाचे उदाहरण आहे.  गॅमा फलनाची व्याख्या पुढील समीकरणाने दिली जाते

∞

Γ (न) = e-क्षक्षन-१.dक्ष ( न&gt 0 )

0

   

---

  याला ऑयलर यांचे दुसऱ्या क्रमांकाचे समाकल फलन असेही म्हणतात.  बीटा फलनाची व्याख्या पुढील समीकरणाने दिली जाते,

१

B (म, न) =क्ष  म-१ (१ – क्ष)  न-१.dक्ष ( म, न &gt  ) o

0

  याला ऑयलर यांचे प्रथम क्रमाकांचे समाकल फलन असेही म्हणतात.

  

  एफ्. डब्ल्यू. बेसेल यांचे फलनJ _प(क्ष) हे खालील श्रेढीने मिळते,

  

  गॅमा व बीटा फलनांचे काही गुणधर्म  ‘ अवकलन व समाकलन ’  या नोंदीत(‘काही महत्त्वाचे समाकल ’  या उपशीर्षकाखाली) दिलेले आहेत. गॅमा आणि बीटा फलने सांख्यिकीतील(संख्याशास्त्रातील)  ⇨ वंटन सिद्धांता त तसेच गणितीय विश्लेषणात उपयुक्त आहेत.  लझांद्र व बेसेल फलने गणितीय भौतिकीय विशेष उपयुक्त आहेत.  लझांद्र फलने⇨ वर्चस् विद्धांत,  विद्युत् स्थितिकी( बहुशः स्थिर स्थितीत असणाऱ्या विद्युत् भारांसंबंधीचे शास्त्र), ⇨गोलीय हरात्मक यांतील प्रश्नांत येतात.  बेसेल फलने पटलांची कंपने,  उष्णता संवहन,  विद्युत् चुंबकीय तरंगांचे⇨ समाक्ष केबल, ⇨ तरंग मार्गदर्शक इत्यादींतील प्रसारण,  गोलीय हरात्मके इत्यादीसंबंधीच्या प्रश्नांत येतात.

  

 सदसत् चलाची फलने:  स्वयंचलाचा प्रांत सदसत् संख्या संच[⟶ संख्या]  असेल,  तर फलन सदसत् चलाचे फलन होईल.  या फलनाची मूल्ये सत् संख्या किंवा सदसत् संख्या असू शकतील म्हणजेच या फलनाची कक्षा सदसत् संख्या संचाचा उपसंच असेल.  समजा द =  त+ i थ हे र =  क्ष + i य चे फलन आहे.  त हा सत् भाग क्ष आणिय चे फलन होईल व तसेच थ हा असत् भागही क्ष आणि य चे फलन होईल.

  

---

  सदसत् फलनाकरिता सीमा,  संततता व अवकलनीयता यांच्या व्याख्या सत् चलाच्या सीमा,  संततता व अवकलनीयता यांच्या धर्तीवरच केल्या जातात.  ड प्रांतात फलन द =  फ( र)  निश्चित केले असेल व त्या प्रांतातील प्रत्येक बिंदूशी फ( र)  चा अवकलज निश्चित होत असेल,  तर द ला वैश्लेषित फलन म्हणतात.  ई जे.  बी.  गूर्सा यांनी असे सिद्ध केले की,  द =  फ ( र) =  त + iथ वैश्लेषिक असण्याकरिता त आणि थ या फलनाचे प्रथम आंशिक अवकलज संतत असले पाहिजेत व त्यांनी कोशी- रीमान समीकरणांची पूर्तता केली पाहिजे.  ती समीकरणे अशी

δ त	=	δ थ	,	δ त	=  –	δ थ
δ क्ष		δ य		δ य		δ क्ष

  त+ i  थ वैश्लेषिक असेल, तर त आणि थ पी. एस्. लाप्लास यांच्या

δ२झ	+	δ२झ	= 0
δक्ष२		δय२

  या समीकरणाची पूर्तता करतात. म्हणूनच त्यांना हरात्मक फलने म्हणतात. दोन हरात्मक फलनांचे योग फलन, वियोग फलन, गुणाकार फलन ही हरात्मक असतात. भागाकार फलनही हरात्मक असते मात्र छेदातील फलन ड प्रांतात कोठेही शून्य होता कामा नये.

 

   वैश्लेषिक फलनांचे समाकल: सदसत् फलनाच्या समाकलाची व्याख्या सत् फलनांच्या समाकलाच्या धर्तीवरच केली जाते. मात्र  सदसत् फलनाच्या बाबतीत समाकलाकरिता एखादा नियमित वक्र वापरला जातो.

  

   समजा व हा एक नियमित वक्र आहे(आ.  ४), तर

 

   र _१, र _२, . . . . . . . .., र _न हे वक्रावरील कोणतेही बिंदू आहेत आणिΔ  र_म=र_म  –  र_म-1. न अशा त ऱ्हेने अनंताप्रत जातो की, त्याच वेळी सर्वांत मोठा । र_म  –  र_म– _१→o. या समाकलाला वक्रानुसारी समाकल म्हणता त. ड प्रांतात फ(र) वैश्लेषिक असेल, तर र_१ आणि र_२ या बिंदूंना जोडणाऱ्या कोणत्याही नियमित वक्रावर फ(र) चा समाकल तोच असतो. हीच गोष्ट कोशी यांच्या समाकल प्रमेयाने निराळ्या तऱ्हे ने मांडलेली आहे. 

  

  कोशी यांचे समाकल प्रमेय:  फ( र)  हे फलन व या बंद वक्रावर आणि त्याच्या अंतर्भागात एकमूल्यी व वैश्लेषिक असेल,  तर

  

  याचे व्यस्त प्रमेयही(ई. मोरेरा यांचे प्रमेय) सत्य आहे.

---

  र_o हा   बिंदू   ड   प्रांता   असेल, तर   फ  (र_o) करिता   कोशी   यांनी   पुढील   समाकल   सूत्र   दिले.

 

   फ(र) करिता पुढील घात श्रेढी मांडता येते.

फ(र) =	∞	कन (र-र0)न
	∑
	न=०

  या ठिकाणी क_न गुणक पुढील सूत्राने मिळतात.

 

  अर्थात येथे व हा बंद वक्र असून त्यात र_o चा अंतर्भाव आहे आणि त्यांच्या अंतर्भागात फ(र) वैश्लेषिक आहे. फ(र) च्या या विस्तारालाच टेलर श्रेढी म्हणतात.

  

  फलन जर प _१&lt र  –  र_o &lt प _२ सारख्या वलयाकार प्रांतात वैश्लेषित असेल, तर टेलर श्रेढीचा उपयोग होत नाही. अशा वेळी लॉरां यांच्या प्रमेयाचा उपयोग करून विस्तार लिहावा लागतो. तो पुढीलप्रमाणे:

 

   या ठिकाणी

  

  व हा । र- र_o।= प _१ आणि । र- र_o ।= प _२ या दोन वर्तुळांमध्ये असणारा एक बंद वक्र आहे.

  

---

  वैश्लेषिक फलनाच्या एकाकी विसंगती:  र_o  बिंदूच्या परिसरातील र_o  व्यतिरिक्त सर्व बिंदूपाशी फ( र)  वैश्लेषित असेल,  तर र_o,  ला फ( र)  ची एकाकी विसंगती म्हणतात.  फ( र)  ची लॉरां विस्तार श्रेढी

फ(र) =	∞	अन (र-र०)न
	∑
	-∞

 मांडली, तर या विस्ताराच्या स्वरूपावरून विसंगतींचे वर्गीकरण पुढीलप्रमाणे करता येते: ( १) विस्तारात(र- र_o) च्या ऋण घातांची पदे नसतील, तर र_o ला अपनेय(निराकरण करण्याजोगी) विसंगती म्हणतात( २) विस्तारात ऋण घातांची सांत पदे असतील व सर्वांत मोठा ऋण घात न असेल, तर र_o ला  ‘ न ’  व्या घाताचा ध्रुवबिंदू म्हणतात. ( ३) विस्तारात ऋण घाताची पदे अनंत असतील, तर र_o ला अनिवार्य विसंगती म्हणतात. उदा.,

e१/र = १ +	१	+	१	.	१	+ . . . . .
	र		२!		२2

  या फलनाची र= o या ठिकाणी अनिवार्य विसंगती आहे. 

  

   अवशेष: र_o या ठिकाणी फ(र) ची एकाकी विसंगती असेल, तर

 

 याला फ(र) चा र_o या ठिकाणचा अवशेष म्हणतात. र_o हा अनंत बिंदू असेल, तर अवशेष

 

  येथे समाकल उलट दिशेने घेतला जातो.

  

   कोशी यांनी अवशेषाविषयी एक मूलभूत प्रमेय मांडले असून ते पुढीलप्रमाणे आहे:  फ( र)  हे फलन व या बंद आणि नियमित वक्रावर आणि त्याच्या अंतर्भागात,  ज्यांची संख्या सांत( न)  आहे अशा ध्रुवबिंदूखेरीज,  संतत असल्यास,

 

   अनुरू पी चित्रण: समजा द= फ(र) वैश्लेषित फलन आहे व फ(र) हे ड प्रांतात कोठेही शून्य नाही. र च्या प्रत्येक मूल्याला द चे एक संगत मूल्य मिळते आणि र व द प्रतलांतील बिंदूंची संगती लावता येते. यामुळे ड प्रांताचे द प्रतलातील एका प्रांतामध्ये चित्रण होते. हे चित्रण समकोण व अभिदिशा संरक्षक असते म्हणजे  θ या कोनात एकमेकांना छेदणाऱ्या दोन वक्रांचे चित्रण केले, तर चित्रणातील वक्रांमधील कोन तितकाच(0) राहतो व कोनाची दिशाही कायम राहते.  यालाच अनुरूपी चित्रण म्हणतात. उदा.,

द = eiα	(र-क)
	(र-कॅ)

  या फलनाने असत् र ≥  ० या अर्धप्रतलाचे । द ।  ≤  १ या वर्तुळात अनुरूपी चित्रण होते(येथे  α सत् असून क ही क ची असत् संयुग्मी संख्या आहे). 

  

---

  समग्र फलन: जे फलन संपू र्ण र- प्रतलात वैश्लेषित असते त्याला समग्र फलन म्हणतात. अशा फलनांना विसंगती असलीच, तर ती फक्त अनंत बिंदूपाशीच असते. बहुपदी फलने समग्र फलनांचाच एक प्रकार आहेत. अनंत बिंदूपाशी असणारी एकमेव विसंगती ध्रुवबिंदू असते.

 

  घातीय फलने: exp (र) या घातीय फलनाची व्याख्या पुढील श्रेढीने करतात.  

exp (र) = १ +	∞
	∑	र न
	न=१	न!

 या श्रेढीची अभिसारण त्रिज्या अनंत आहे. exp (र) · exp (र ’) = exp (र+र ’) हे दाखविता येते. या योग प्रमेयाची घातांक नियमाशी असलेली समरूपता लक्षात घेऊनexp (र) च्या ऐवजीe^र असे लिहितात.

  

   त्रिकोणमितीय फलने:  सदसत् चलाची त्रिकाणमितीय फलने पुढील श्रेढीने निश्चित करतात.

ज्या (र) =	∞
	∑	(-१)न र२न+१
	न=०	(२ न+१)!

कोज्या (र) =	∞
	∑	(-१)न र२न
	न=०	(२ न)!

  घातीय फलनाचा वापर करून ज्या(र) आणि कोज्या(र) अशीही मांडता येतील.

ज्या (र) =	eIर – e-Iर	, कोज्या (र) =	eIर + e-Iर
	२ i		२

 र सदसत् असताना त्रिकोणमितीय नित्य समीकरणे सत्य असतात,  हे दाखविता येते.

  अपास्तीय फलने:  ही फलने पुढील व्याख्यांनी देतात:  

  अपाज्या( र) =  ^१/_२(e ^र  – e^– र),  अपाकोज्या( र) =  ^१/_२(e ^र  – e^– र)  अर्थात येथेe ^र चा अर्थexp ( र)  असा घ्यावयाचा.

  

   लॉगरिथमीय फलने:  घातीय फलनाचे व्यस्त फलन म्हणजे लॉगरिथमीय फलन होय.  र सदसत् असेल,  तर लॉग( र)  बहुमूल्यी फलन असते आणि लॉग( र) =  लॉग( । र ।) + i  को ( र).  को( र)  चे प्रमुख मूल्य घेऊन लॉग( र)  चे जे मूल्य मिळते त्याला प्रमुख मूल्य म्हणतात. [। र । हे र चे केवल मूल्य व को(र) हो कोनांक आहे ⟶ संख्या].

  

---

 द्वि– आवर्त फलने:  वर आवर्त फलनाची व्याख्या दिलेली आहे.  जर फ( र)  चे दोन प्रमुख आवर्तनांक असतील आणि त्या दोन आवर्तनांकांचे गुणोत्तर  तस् नसेल,  तर फ( र)  ला द्वि- आवर्त फलन म्हणतात.  या प्रकारचे प्रसिद्ध फलन म्हणजे व्हायरश्ट्रास यांचे द्वि- आवर्त फलनp ( र).  के. जी.  जे.  याकोबी यांनी असे दाखवून दिले की,  द्वि- आवर्त फलनाच्या दोन प्रमुख गुणोत्तर सत् संख्या असू शकत नाहीत,  तसेच दोनांपेक्षा जास्त स्वतंत्र आवर्त असलेले फलनही असू शकत नाही. p ( र)  हे फलन पुढे दिलेल्या द्वि- श्रेढीमध्ये मांडता येते.

p (र) =	१	+ ∑	{	१	–	१	}
	र२	म, न		(र-Ω  म,न)२		(Ω  म,न)२

   

  येथेΩ  _{म,१  न}=  २ म  ω _१+  २न  ω _२ असून २  ω _१ व २ ω _२ हे या फलनाचे दोन आवर्तनांक आहेत.

  

  p (र) चे योग सूत्र पुढीलप्रमाणे आहे:

p(र+स) =	१	{	p'(र) – p'(स)	}२ – p(र) – p(स).
	४		p(र) – p(स)

    

   अनेकचल फलने : काही वेळा एका परचलाचे मूल्य दोन किंवा अधिक स्वयंचलांशी निगडित असते. जसे य= π  क्ष^२र या सूत्राने क्ष त्रिज्या आणि र उंची असणाऱ्या दंडगोलाचे घनफळ(य) मिळते. येथे य परचलाचे मूल्य क्ष आणि र दोन स्वयंचलांवर अवलंबून आहे. याचत ऱ्हेनेयपरचलक्ष_१, क्ष_२,  . ……… , क्ष_नयानस्वयंचलांशीनिगडितअसेल, तरएकनचलांचेफलनसिद्धहोईल. हाफलनसंबंधपुढीलप्रमाणेदर्शवितायेईल:  

  य=  फ( क्ष_१,  क्ष_२,  ……..,  क्ष _न)    

 या फलनाची संततता पुढीलप्रमाणे निश्चित करतात.  

   

  जर[( क्ष_१–  क्ष_१’)^२ + ( क्ष_२ –  क्ष_२’)^२ +  …..] ^१/ २&lt δ  असताना । फ( क्ष_१, क्ष_२,  …..,  क्ष_न) –  फ( क्ष_१ ’,  क्ष_२’,  ……,  क्ष_न ’) ।&lt  ε तर फ हे फलन( क्ष_१’,  क्ष_२’,  ……,  क्ष_न ’)  या बिंदूपाशी संतत आ हे असे म्हणतात. बहुचल फलनामध्ये एक सोडून बाकी सर्व चल स्थिर मानले, तर त्या फलनाचा जो अवकलज मिळतो त्याला आंशिक अवकलज म्हणतात. र= फ(क्ष, य) मध्ये य स्थिर मानल्यास र चा क्ष सापेक्ष आंशिक अवकलज मिळतो व तो  ^δर/_δक्ष असा दर्शवितात.  

  पूर्ण अवकल  :  समजा र= फ(क्ष,य). जर ∆ र= फ(क्ष+ ∆ क्ष, य+ ∆ य) – फ(क्ष, य) हा बदल क∆ क्ष+ ख∆ य+p (∆ क्ष, ∆ य → o, तरp   → o) असा मांडता येत असेल, तर र अवकलनीय आहे असे म्हणतात व क∆ क्ष+ ख∆ य या मुख्य भागाला र चा पूर्ण अवकल म्हणतात. तोd र ने दर्शविल्यास असे दाखविता येते. 

   

   अनेकचल फलनांविषयीचे समघात फलनांचे ऑयलर प्रमेय प्रसिद्ध आहे[⟶ अवकलन व समाकलन]. 

  

  अनेकचल फलनाची महत्तम आणि लघुत्तम मूल्ये शोधण्याकरिता लाग्रांझ यांची अनिश्चित गुणकांची रीत उपयोगी पडते.

  

---

  सदसत् अनेकचल फलने:  सत् चलांच्या अनेकचल फलनाप्रमाणेच सदसत् चलांच्या अनेकचल फलनाची संकल्पना मांडता येते.  सदसत् संख्यांचा संचC  ने दर्शवितात.  अर्थातCXCXC  ….. (प गुणक) हा प-मितीय अवकाश होईल. तोC^प ने दर्शवितात. र= (र _१, र _२,  ….. ,  र_प) हा या अवकाशातील एक बिंदू होईल. फ(र) र ’ च्या परिसरात

   

  

   

  अशा अभिसारी घात श्रेढीच्या स्वरूपात मांडता येत असेल, तर फ(र) ला वैश्लेषित फलन म्हणतात. या फलनाकरिता कोशी-रीमान समीकरणे पुढीलप्रमाणे होती ल :

  

 

  सदसत् प- अवकाश हे खुल्या सदसत् समुच्चयाचे एक साधे उदाहरण आहे.  यापासून एक सुटसुटीत सदसत् समुच्चय बनविता येतो.  त्याला सदसत् प्रक्षेपीय प- अवकाश म्हणतात.  बहुचल फलनांच्या प्रगत अभ्यासात पेंडी[ आबेलीय गटांची,  वलयांची वगैरे ⟶  बीजगणित,  अमूर्त],  सदसत् रेषा जुडगा,  सदसत् सदिश जुडगा या संकल्पनांचा वापर केला जातो.  पी.  कुसीन यांनी व्हायरश्ट्रास व एम्. जी.  मिट्टाग- लफ्‌लर यांच्या प्रमेयांचा प- अवकाशात विस्तार करून दोन समस्या मांडल्या.  त्या के.  ओका या गणितज्ञांनी सोडविल्या.  ओका  यांनी पूर्णरूपी प्रांतांचा विचार केला आहे. न-अवकाशातील पूर्णरूपी प्रांतांचे सत् अवकाशातील बहिर्वक्र प्रांताशी सादृश्य आहे. के. कोडायरा व डी.सी. स्पेन्सर यांनी सुटसुटीत सदसत् वैश्लेषित समुच्ययांच्या विरूपणाने विवरण केले आहे. सी.एल्. सिगेल यांनी उगत्मरूपी फलनांचे विवरण केले आहे.

  

  सदिश फलाने:  हा सदिश( परिणाम व महत्ता असलेली राशी)  च या अदिश चलावरून निश्चित होत असेल,  तर   हे च चे सदिश फलन होते.  गतिमान बिंदूचा स्थान सदिश,  वेग सदिश,  प्रवेग सदिश ही सर्व सदिश फलनाची उदाहरणे आहेत.  चा अवकलज पुढीलप्रमाणे मिळतो.

  

d	=	सीमा	(च + Δ  च)-   (च)
d च		Δ च⟶ ०	Δ च

   

  सदिश एकापेक्षा अधिक चलांवर अवलंबून असेल,  तर अनेकचल फलनाप्रमाणेच आंशिक अवकलज मिळविता येतात.  रीमान समाकल पद्धतीने प्रदिश फलनाप्रमाणेच सदिश फलनाकरिताही रेखा,  पृष्ठ व घन समाकलाच्या व्याख्या देतात येतात. [⟶ सदिश].

  

  गट सिद्धांत:  गट सिद्धांतातील समरूपण, सामियरूपण, आत्मरूपण ही फलनाचीच उदाहरणे आहेत. कारण या सर्व रूपांतरणांमध्ये दोन संचांतील घटकांमध्ये एकास एक संगती लावली जाते. [⟶ गट सिद्धांत].

 

 अमूर्त फलन सिद्धांत: ⇨ चलनकलनशास्त्रामध्ये ज्या फलनांचा विचार केला जातो ती समाकल असतात.

 जसे ∫ य √(क्ष’^२ + य’^२) dय.

   

  याचे मूल्य क्ष = फ _१(ट), य फ _२(ट) अशा वक्राच्या आकारावर अवलंबून असते. चलनकलनशास्त्रापासून प्रेरणा घेऊन अशा फलनांचा विचार सुरू झाला की, फलनाचा प्रांत व कक्षा ही दोन्ही वर्णनात्मक गुणविशेषावर अवलंबून ठेवण्यात येऊ लागली. या अमूर्त संकल्पनांचा उपयोग नंतर⇨ पुंजयामिकी व⇨ प्राक्षेपिकी या विषयांत करण्यात येऊ लागला.

  

  पहा: अवकलन व समाकलन विश्लेषण, गणितीय.

  

  संदर्भ:  1 . Ahlfors, L.V. Complex Analysis, New York, 1953 .

    2 . Boas, R.P. A. Primer of Real Functions, New York, 1960 .

    3 . Copson, E.T. An Introduction to the Theory of a Complex Variable, London, 1961.

    4 . Graves, L.M. The Theory of Functions of Real Variables, New York, 1956.

    5 . Hobson, E.W. The Theory of Functions of a Real Varibale and the Theory of Fourier Series, 2 Vols., New York, 1957.

    6 . Knopp, K. Trans. Bagemihl, F.Theory of Functions, 2 Parts, New York, 1945.

   7. Landau, E. G. H. Trans. Streinhardt, F. Foundations of Analysis, New York, 1951.

   8. Titchmarsh, E. c. The Theory of Functions, London, 1962.  

   

 पटवर्धन, ग. कृ. आगाशे, क. म.  क, स. ज.

“