श्रेढी

श्रेढी : हीक्रमवार येणाऱ्या संख्यांची किंवा पदांची बेरीज असते. अनंत पुनरावर्तीदशमान संख्यांची आसन्न मूल्ये काढणे, बीजातीत समीकरणे सोडविणे, लॉगरिथमीयकिंवा त्रिकोणमितीय फलनांची मूल्ये मिळविणे, समाकलनांचे मूल्यमापन करणे आणिमर्यादा मूल्य प्रमेये सोडविणे यांकरिता श्रेढींचा वापर करतात.

सांतश्रेढींकरिता (फक्त मर्यादित पदांकरिता) योग क्रियेने बेरीज करता येते.अनंत श्रेढींकरिता (फक्त अमर्यादित पदांकरिता) काही सीमावर्ती पद्धतींनीबेरीज किंवा मूल्य मिळविता येणे शक्य असते. जेव्हा सर्वांत साध्या अशापद्धतीने मूल्य मिळते, तेव्हा अनंत श्रेढी अभिसारी असते. अभिसारितेच्याअनेक कसोट्यांनी अप्रत्यक्षपणे बेरीज शोधून काढता येते. श्रेढीच्याअभ्यासासाठी प्रथम श्रेणीचा अभ्यास करणे आवश्यक असते.

श्रेणी : १^२, २^२, ३^२, …. , न^२अशा क्रमवार संख्या लिहीत गेल्यास पहिली १^२, दुसरी २^२, नवी संख्यान^२होते म्हणजे १, २, ३ या क्रमवार नैसर्गिक संख्यांशी एकास-एक संगती असणाऱ्यासंख्या मिळतात. अशा प्रकारे, नैसर्गिक संख्यांच्या संचावर जर एखादे ⇨फलनदिले असेल, तर त्या अनुषंगाने क्रमवार येणाऱ्या फलनप्रतिमांच्या संचास श्रेणी म्हणतात [ ⟶ अवकलन व समाकलन]. संख्यांच्या या फलनप्रतिमाब_१, ब_२, ब_३, … अशा किंवाब (१), ब (२), ब (३), … अशा दाखवितात.नया नैसर्गिक संख्येची प्रतिमाब (न)किंवाब_नअसल्यास थोडक्यात श्रेणी { ब (न)} किंवा {ब_न} अशी लिहितातन = १, २, ३,…क्रमाने ठेवून सर्व प्रतिमा मिळतात. श्रेणीतील पदांची संख्या सांत किंवा अनंत असू शकते. श्रेणी सांत असल्यास ती {ब_न}^म_{न =१}अशी लिहितात. उदाहरणार्थअ, द, रया कोणत्याही स्थिर संख्या असतील, तरअ, अ+द, अ + २द,…., अ + (न-१) दअशीनपदांची सांत अंक श्रेणी किंवाअ, अ र, अ र^२,…. अ र^न-१अशीनपदांची सांत गुणोत्तर श्रेणी त्यावरून मिळते. या गुणोत्तरश्रेणीतअ =१, र=^१/_२घेऊन १,^१/_२, ^१/_२^२, ^१/_२  ३, …. , ^१/२^न-१, …. अशी अनंत गुणोत्तर श्रेणीही बनविता येते. श्रेणीची काही क्रमवार पदेलिहून झाल्यावर… या चिन्हाने श्रेणी अनंत आहे असे दाखवितात. जरब_१&lt ब_२&lt ब_३ &lt.… असेल, म्हणजे श्रेणीची पदे क्रमाने वाढतच असतील, तर तिला वाढती एकदिक्‌ श्रेणी म्हणतात. उलट जरब_१ &gt ब_२ &gt ब_३ &gt….. असेल, तर तिला एकदिक्‌ उतरती श्रेणी म्हणतात. 

अभिसारी श्रेणी :{ब (न)} या अनंत श्रेणीतील न चे मूल्य क्रमाने वाढवत गेल्यास जर {ब (न)}चे मूल्य क्रमानेसया संख्येच्या अधिकाधिक जवळ येत असेल, तरसया संख्येस {ब (न)} या श्रेणीची सीमा म्हणतात. गणिताच्या भाषेत लिहावयाचे झाल्यास सीमा_न→∞ ब (न) = सअसेल, म्हणजे दिलेल्याउया प्रत्येक धन संख्येसाठीणही अशी संख्याअस्तित्वात असेल की, णपेक्षा मोठया कोणत्याहीनसाठीब(न)आणिसमधील अंतरअ (ब_न , स)= lब (न) - सl &lt उ, तरसही {ब(न)} या श्रेणीची सीमा आहे असे म्हणतात. अशी सांत सीमा असलेल्या श्रेणीस अभिसारी श्रेणी म्हणतात. उदा., १,^१/_२, ^१/_२^२ ,…… ही अनंत श्रेणी अभिसारी असून तिची सीमा ० आहे.

अभिसारी नसलेल्या श्रेणीस अपसारी म्हणतात. अपसारी श्रेणी बंधित (प्रत्येकपदाचे मूल्य एका विशिष्ट संख्येपेक्षा लहान आणि एका विशिष्टसंख्येपेक्षामोठे) असू शकेल. उदाहरणार्थ १, -१, १, -१,……हीअपसारी बंधित श्रेणी आहे. अशा श्रेणीस आंदोलित अपसारी श्रेणी म्हणतात. अबंधित अपसारी श्रेणीचे उदाहरण १^२, २^२, ३^२,….., न^२,….. हे आहे. अभिसारी अनंत श्रेणी मात्र बंधितच असते.

श्रेणीच्या अभिसारितेच्या काही कसोट्या :(१) कोणतीही एकदिक् बंधित श्रेणी अभिसारी असते. (२) कोशी यांची कसोटी : जर दिलेल्या कोणत्याहीउसाठीणही अशी संख्या अस्तित्वात असेलकी, णपेक्षा मोठया असलेल्या कोणत्याहीम, लया नैसर्गिक संख्यांसाठीअ (ब_न , ब_ल) = l ब_न-ब_ल l &lt उ, तर {ब_न} ही संख्या श्रेणी अभिसारी असते.

मानीय अवकाशातील श्रेणी : क्ष, य, रहे संख्यांच्या संचातील असतील तरक्ष, यमधील अंतरअ(क्ष, य)= l क्ष य l असते. या अंतराच्या व्याख्येत पुढील गुणधर्म आहेत : (१) जरक्ष≠यतरअ(क्ष,य) &gt ० आणि जरक्ष = यतरअ(क्ष,य) = ०. (२)अ(क्ष, य) = अ(य, क्ष). (३)अ(क्ष,य)≤अ(क्ष,र)+अ(र,य). यावरून व्यापकीकरण करण्यासाठी संख्यांच्या संचांऐवजी कोणताही संच घेतात.या संचातील कोणत्याही दोन बिंदूंसाठी अंतराची व्याख्या उपलब्ध असेल आणित्या व्याख्येआधारे वरील (१), (२), (३) या अटी पूर्ण होत असतील, तरईया अवकाशास मानीय अवकाश म्हणतात. कार्तीय द्विमितीय किंवा त्रिमितीयभूमितीमध्ये कोणत्याही दोन बिंदूंचे कार्तीय सहनिर्देशक माहीत असताना त्यादोन बिंदूंतील अंतर काढण्याचे सूत्र उपलब्ध आहे [⟶ भूमिति]. यावरून प्रतलीय अवकाश आणि त्रिमितीय अवकाश ही मानीय अवकाशाचीउदाहरणे होतात. जर नैसर्गिक संख्यांचा प्रतिमासंच या मानीय अवकाशात असेल, तर या मानीय अवकाशातील श्रेणी {ब_न} मिळेल. ती अभिसारी असण्यासाठी कोणत्याही दिलेल्याउया धन संख्येसाठी अशी संख्याणअस्तित्वात असली पाहिजे की, णपेक्षा मोठया प्रत्येकनसाठीअ (ब_न , स) &lt उ म्हणजेच सीमा_न→∞ ब(न) = स.

परिपूर्ण मानीय अवकाश: वर संख्या श्रेणीसाठी जी कोशी यांची अभिसारितेची कसोटी दिली आहे, तीप्रत्येक मानीय अवकाशातील श्रेणीला लागू पडत नाही. ज्या मानीय अवकाशातीलश्रेणीला ही कसोटी लागू पडते त्या अवकाशास परिपूर्ण मानीय अवकाश म्हणतात.सर्व संख्यांचा संच, प्रतलावरील सर्व बिंदूंचा संच, त्रिमितीय अवकाशातीलसर्व बिंदूंचा संच ही परिपूर्ण मानीय अवकाशाची उदाहरणे आहेत, तर परिमेयसंख्यांचा संच [ज्यातक्ष, यया परिमेय संख्यांमधीलअ (क्ष, य)= l क्ष-य l हे अपरिपूर्ण मानीय अवकाशाचे उदाहरण आहे.

फलन-श्रेणी : जर नैसर्गिक संख्यांच्या संचातील प्रत्येक संख्येची फलनप्रतिमा ही संख्येऐवजी [क, ख] या अंतरालावरील एक फलन असेल, तर अशा कमवार येणाऱ्या फलनांच्या संचास फलन-श्रेणी म्हणतात.

१, २, ३,…या संख्यांच्या फलनप्रतिमा फ_१ (क्ष), फ_२ (क्ष),फ_३ (क्ष),… क≤क्ष ≤ख अशा दाखवितात, तर श्रेणी थोडक्यात {फ_न (क्ष)} अशी लिहितात. या फलनप्रतिमा संख्यांच्या संचातील किंवा इतर कोणत्याही मानीय अवकाशातील असू शकतात.क्षहा स्थिर ठेवला, तर {फ_न (क्ष)}हीसंख्या-श्रेणी किंवा मानीय अवकाशातील श्रेणी असेल. तिच्यासाठी अभिसारितेचीवर दिलेली व्याख्या उपयोजून ती अभिसारी आहे का नाही हे ठरविता येते. मात्रया व्याख्येतीलणही संख्या आता फक्तउवर अवलंबून असणार नाही, तर तीक्षवरही अवलंबून असू शकेल. जर विशिष्ट अभिसारी फलन श्रेणीत अभिसारितेच्या व्याख्येतीलणही संख्याक्षवर अवलंबून नसेल (फक्तउवर अवलंबून असेल), तर अशी फलन श्रेणी {फ_न (क्ष)} ही [क, ख] या अंतरालात एकविध अभिसारी आहे, असे म्हणतात.  

०≤क्ष≤ १, ही फलन श्रेणी [ ०, १] यामधीलक्षच्या प्रत्येक मूल्यासाठी अभिसारी आहे आणि तिची सीमा हीस (क्ष) = क्षआहे. मात्र  

 असले पाहिजे. येथेणहाउवरच अवलंबून आहे, क्षच्या मूल्यावर अवलंबून नाही, म्हणून दिलेली श्रेणी [ ०, १] या अंतरालावर एकविध अभिसारी आहे.

 एकविध अभिसारी श्रेणीची प्रमेये: [ क, ख]या अंतरालावर एकविध अभिसारी असलेल्या व सीमाफ (क्ष)असलेल्या {फ_न (क्ष)} या फलन-श्रेणीसाठी पुढील तीन सिद्धांत महत्त्वाचे आहेत : (१) { फ_न (क्ष)} मधील सर्व फलने [क, ख] वर संतत असतील, तरफ (क्ष)हे फलनसुद्धा [क, ख]या अंतरालावर संतत असते.

(२) जर {फ_न (क्ष)] मधील सर्व फलने [क, ख] वर समाकलनीय असतील, तरफ(क्ष)हेफलनसुद्धा [क, ख] वर समाकलनीय असते आणि 

सीमा_न→∞क∫^खफ_न (क्ष) dक्ष =_क∫^खफ (क्ष) dक्ष 

(३) {फ_न (क्ष)} या श्रेणीच्या अवकलनाबाबत पुढील प्रमेय उपलब्ध आहे. जर {फ_न} मधील प्रत्येक फलन [क, ख]वर अवकलनीय असेल, [क, ख] मधीलक्ष_०या बिंदूसाठी {फ_न (क्ष_०)} ही श्रेणी अभिसारी असेल, आणि { फ’_न(क्ष)} ही श्रेणी [क, ख] वर एकविध अभिसारी असेल, तर {फ_न(क्ष)} ही श्रेणी [क, ख] वर एकविध अभिसारी असते. तिची सीमाफ(क्ष)असल्यास फ'(क्ष) = सीमा_न→∞फ’_न (क्ष).  

श्रेढी : {ब_न}_{^लन= १} ही सांत श्रेणी दिली असेल, तर तिच्या सर्व पदांची बेरीजब_१+ब_२+ …….+ब_लही होईल. या बेरजेला सांत श्रेढी म्हणतात. {ब_न}श्रेणी अनंत असेल, तर त्यातील पहिल्यानपदांची बेरीजस_न = ब_१+ब_२+……+ब_नअशी मिळविता येते. या आंशिक बेरजेमुळेन= १, २, ३,…. साठी {स_न}ही अनंत श्रेणी मिळते. या श्रेणीस श्रेढी म्हणतात. ती ∑^∞_न=१ब_नकिंवा ∑ब_नकिंवाब_१+ब_२+…+ब_न+….. अशीही दर्शवितात.  

जर श्रेणी {स_न} ही अभिसारी असेल व तिची सीमा स असेल, तर श्रेढी ∑ब_नअभिसारी असून तिची बेरीजसआहे असे म्हणतात. म्हणजेच सीमा_न→∞स_न=सअसेल, तरब_न=सअसे लिहितात. अभिसारी नसलेल्या श्रेढीस अपसारी म्हणतात.

केवल अभिसारी श्रेढी : ∑ब_नया श्रेढीच्या प्रत्येक पदाचे केवल मूल्य घेऊन ∑l ब_नl ही नवीन श्रेढी तयार करता येते. ही नवीन श्रेढी अभिसारी असेल, तर ∑ब_नही श्रेढी केवल अभिसारी आहे असे म्हणतात. एखादी श्रेढी केवल अभिसारी असेल, तर ती अभिसारी असतेच पण प्रत्येक अभिसारी श्रेढी केवल अभिसारी असेलच असेनाही.   

फलन-श्रेढी : ही वरील प्रकारेच फलन-श्रेणीवरून तयार करता येते. {फन (क्ष)} ही [क, ख] अंतरालावर फलन-श्रेणी दिली असता त्यावरूनस_न (क्ष) = फ_१(क्ष)+फ_२(क्ष)+……+फ_न(क्ष)अशी आंशिक बेरीज बनवून {स_न (क्ष)} अशी श्रेणी होते. तिला फलन-श्रेढी म्हणतात आणि ती ∑फ_न(क्ष)किंवाफ_१(क्ष)+फ_२(क्ष)+……+फ_न(क्ष)+……या चिन्हांनीही दाखवितात. {स_न(क्ष)} ही श्रेणी [क, ख] वर अभिसारी (एकविध अभिसारी) असेल, तर ∑फ_न(क्ष)ही श्रेढी [क, ख]वर अभिसारी (एकविध अभिसारी) आहे असे म्हणतात.{स_न}ची सीमा (म्हणजे सीमा_न→∞स_न) जरफ(क्ष)असेल, तर ∑ब_न(क्ष)ची बेरीजफ(क्ष)आहे असे म्हणतात.

श्रेढीची उदाहरणे : (१) १,^१/_२,^१/_४ ,……. या गुणोत्तर श्रेणीवरून १ +^१ /_२ +^१/_४ + … ^१ / _२^न-१ + …ही संख्या श्रेढी तयार करता येते. तिच्या पहिल्यानपदांची बेरीजस_न = २ (१-^१/_२^न) अशी होते. तर सीमा_न⟶∞स_न = सीमा _न⟶∞ २ (१– ^१/_२^न) = २ होते. त्यामुळेΡ ^१/_२ ^(न-१) ही अनंत गुणोत्तर श्रेढी अभिसारी असून तिची बेरीज २ आहे. 

(२) [०, ^१/_२] या अंतरालावर फ_न (क्ष) = क्ष^(न-१) न = १, २, ३,… अशी फलने दिलीअसता त्यावरून Ρ क्ष^(न-१)अशी गुणोत्तर श्रेढी मिळते. 

एकविध अभिसारितेच्यापुढे दिलेल्या प्रमेयांपैकी तुलना कसोटीचे प्रमेय वापरूनही श्रेढी [०,^१/_२] या अंतरालावर एकविध अभिसारी आहे असे दाखविता येते.

(३)फूर्ये श्रेढी : हे फलन-श्रेढीचे एक महत्त्वाचे उदाहरण आहे. हिचा उपयोगकाही अवकल समीकरणांचा निर्वाह काढण्यासाठी होतो[⟶ फूर्ये श्रेढी अवकलसमीकरणे].

श्रेढीच्या अभिसारितेची काही प्रमेये : (१) जर Ρब_न अभिसारी असेल, तर सीमा _न⟶∞ब_न = ०.

(२) धन संख्यांची श्रेढी Ρब_न साठी {स_न}ही आंशिक बेरजेपासून मिळालेली श्रेणी बंधित असेल, तर आणि तरच Ρब_न अभिसारी असते.

(३) तुलना-कसोटी : णपेक्षा मोठया कोणत्याही न या नैसर्गिकसंख्येसाठी lब_नl &lt भ_न असेल आणि Ρभ_न अभिसारी असेल, तर Ρब_न अभिसारी असते.

(४) जर ब_१, ब_२, ……, ब_न, ….. या सर्व धन संख्या असतीलआणि सीमा _न⟶∞ब_न=० असेल, तर ब_१-ब_२+ब_३-ब_४+…. ही एकाआड एक धन-ऋण पदे असलेली श्रेढी अभिसारी असते.

(५)कोशी यांची कसोटी : यापूर्वी दिलेल्या श्रेणीच्या अभिसारितेच्याकसोट्यां पैकी कोशी यांची कसोटी {स_न} या श्रेणीस लावल्यास श्रेढीच्याअभिसारितेची पुढील कसोटी मिळते. कोणत्याही दिलेल्या उ या धन संख्येसाठी जरण ही अशी संख्या अस्तित्वात असेल की, ण पेक्षा मोठया कोणत्याहीम, ल या नैसर्गिक संख्यांसाठी

(६) कोशी यांची मूळ-कसोटी : Ρब_नया श्रेढीतील सर्व पदे धन असतील आणि कोणत्याही न या नैसर्गिक संख्येसाठी ^न√ब_न ≤ घ ( घ ही न वर अवलंबून नसलेली स्थिर संख्या), तर Ρब_नअभिसारी असते.

(७) गुणोत्तर कसोटी : Ρब_नया श्रेढीतील सर्व पदे धन असतीलआणि प्रत्येक न साठी (ब_न+१ / ब_न) &lt घ &lt १ असेल (घही न वर अवलंबून नसलेली स्थिर संख्या), तर Ρब_नअभिसारी असते.

एकविधअभिसारी श्रेढीसंबंधी प्रमेये: Ρफ_न (क्ष), क ≤ क्ष ≤ ख या फलन-श्रेढीसंबंधी काही प्रमेये अशी : (१)तुलना कसोटी : जर Ρभ_न ही संख्या श्रेढी अभिसारी असेल आणि ण पेक्षा मोठया असलेल्या प्रत्येक न साठी lफ_न (क्ष)l &lt भ_न क ≤ क्ष ≤ ख असेल, तर Ρफ_न (क्ष) ही श्रेढी [क, ख] अंतरावर एकविध अभिसारी असते.

(२) कोशी यांची कसोटी : श्रेढीच्या अभिसारितेच्या यापूर्वी दिलेल्या प्रमेय (५) मध्ये ण ही संख्या फक्त उ वर अवलंबून असेल (क्षवरअवलंबून नसेल) आणि तरीही कोशी यांची कसोटी (५) ही Ρ फ_न (क्ष) ला लागू होत असेल, तर Ρफ_न (क्ष) ही श्रेढी [क, ख] वरएकविध अभिसारी असते. 

 (३) जर Ρफ_न (क्ष)[ क, ख] अंतरालावर एकविध अभिसारी असलेल्या श्रेढीतील प्रत्येक पद [क, ख] वरसंतत असेल, तर त्या श्रेढीची बेरीज फ (क्ष) सुद्धा [क, ख] संतत असते.

(४) Ρ फ_न (क्ष) या [ क, ख] अंतरालावर एकविध अभिसारी असलेल्या श्रेढीतील प्रत्येक पद [क, ख] वरसमाकलनीय असेल, तर त्या श्रेढीची बेरीज फ (क्ष) सुद्धा [क, ख] वरसमाकलनीय असून

_क⨜^ख फ (क्ष) dक्ष = Ρ_क⨜^ख फ (क्ष) dक्ष

(५) Ρफ_न (क्ष)क ≤ क्ष ≤ ख या [ क, ख] अंतरालावर एकविध अभिसारी श्रेढीतील प्रत्येक पद [क, ख] वर अवकलनीय असेल,Ρफ’_न (क्ष)ही अवकलित श्रेढी [क, ख] वरएकविध अभिसारी असेल आणि Ρफ_न (क्ष)= फ (क्ष) असेल तर Ρफ’_न (क्ष) = फ’ (क्ष) क ≤ क्ष ≤ ख.

घातश्रेढी :फ_न (क्ष) = अ_नक्ष^न न = ०, १, २, घेऊन तयार केलेल्या अ_०+अ_१क्ष+अ_२क्ष^२+ ….. Ρ^∞_न=० अ_नक्ष^नया फलन-श्रेढीस घातश्रेढी म्हणतात. अ_०, अ_१,…. या स्थिर संख्यांना घातश्रेढीचे सह-गुणक म्हणतात. ही श्रेढी क्ष च्या एखादयामूल्यासाठी अभिसारी असेल, तर l क्ष l&lt र असलेल्या क्षच्या सर्व मूल्यांसाठी ही घातश्रेढीअभिसारी असेल आणि l क्ष l &gt र असलेल्या क्ष च्या सर्व मूल्यांसाठी अपसारीअसेल, तर र या संख्येस त्या घातश्रेढीची अभिसारिता-त्रिज्या म्हणतात. अशीश्रेढी [-र, र] अंतरालावरएकविध अभिसारीही असते. एवढेच नव्हे तर प्रत्येक अवकलन करून मिळणारी Ρ^∞_न=१  अ_नक्ष^नक्ष^(न-१)ही श्रेढीसुद्धा [-र, र] वरएकविध अभिसारी असते. जर दिलेल्या घातश्रेढीची बेरीज फ (क्ष) असेल, तर Ρ^∞_न=१  अ_ननक्ष^(न-१)या अवकलित श्रेढीची बेरीज फ’(क्ष)असते. अशा प्रकारे घातश्रेढीचे कितीही वेळा अवकलन करता येते आणि अशा प्रकारे मिळालेली श्रेढी [-र, र ] वर एकविधअभिसारी असते. तसेच घातश्रेढीचे पदश: समाकलनही करता येते.

म्हणजे जर Ρअ_न क्ष^न = फ (क्ष) -र ≤ क्ष ≤ र, 

तरΡ _-र⨜^रअ_नक्ष^न dक्ष = _-र⨜^रफ (क्ष)d क्ष 

एकविध अभिसारी फलन-श्रेढीची प्रमेये घातश्रेणीला लावून हे सर्व निष्कर्ष मिळतात. काही वेळा दिलेल्या फलनाच्या समतुल्य अशी घातश्रेढीही काढता येते. क्ष चे मूल्य शून्याच्या जवळपास असेल आणि फ (क्ष)हे दिलेले फलन क्ष च्या शून्य या मूल्यासाठी कितीही वेळा वारंवार अवकलनीय असेल, तर 

अशी मॅक्लॉरिन घातश्रेढी मिळते. अशा प्रकारे e^क्ष, लॉग (१+क्ष), (अ + क्ष)^म, ज्या (क्ष), कोज्या (क्ष) इ. फलनाच्या फलनांच्या घातश्रेढी काढता येतात [⟶ अवकलन व समाकलन]. अवकल समीकरणाचा निर्वाह घातश्रेढीरूप गृहीत धरून त्यावरून याश्रेढीचे सहगुणक काढून काही अवकल समीकरणे सोडवितात. या पद्धतीने लझांद्रसमीकरण व बेसेल समीकरण यांचा निर्वाह काढता येतो.[⟶ अवकल समीकरणे].

श्रेढी व श्रेणीचा इतिहास :१, ३, ५, ७, …… किंवा२, ४, ६, ८, …. अशा सांत श्रेणीचा उल्लेखवेदकालातील ऋग्वेदी, यजुर्वेदी रूद्रसंहितेत आढळतो. साधारणपणे इ. स. पू.२०० ते इ. स. २०० या काळातील बक्षाली हस्तलिखितामध्ये सांत अंक श्रेणी, तिची न पदांची बेरीज इ. माहिती आली आहे. पुढे सहाव्या शतकात आर्यभट्टांनीसांत अंक श्रेढीच्या सूत्रांबरोबरच १^२+२^२ + ….. + न^२ १^३ +२^३ + ….. +न^३या सांत श्रेढींच्या बेरजेची सूत्रेही दिली आहेत. पुढे दहाव्या शतकातमहावीर या गणितज्ञांनी सांत गुणोत्तर श्रेढींचे सविस्तर विवरण केले आहे.अशा प्रकारे काही सांत श्रेढींचा अभ्यास भारतात मध्ययुगापर्यंत झालेलादिसतो. या सांत श्रेढींचे व्यावहारिक उपयोग आहेत पण गणितशास्त्राच्यापुढील अभ्यासाच्या दृष्टीने अभिसारी किंवा अपसारी अनंत श्रेढी अधिकमहत्त्वाच्या ठरल्या आहेत. या श्रेढींचा विचार कलनशास्त्राच्या उदयापूर्वीसुरू झाला. सतराव्या शतकात सर आयझॅक न्यूटन, गोटफीट व्हिल्हेल्म लायप्निट्सयांच्या कालखंडात या अभ्यासाची वेगाने सुरूवात झाली. पुढे अठराव्या शतकातझां ल राँ द ॲलांबेर, लेनर्ड ऑयलर इत्यादींनी या अभ्यासास शास्त्रीय बैठकदेऊन त्याचा अधिक तर्कशुद्घ विकास करण्याचा प्रयत्न केला. एकोणिसाव्याकार्ल फीड्रिख गौस, ऑग्युस्तीन ल्वी कोशी, नील्स हेन्रिक आबेल यांच्याकाळापासून श्रेढींचा गणिताच्या आधुनिक पद्धतीने अभ्यास सुरू झाला. या तीनकालखंडात साधारणपणे श्रेणी व श्रेढीचा विकास झाला पण या काळात अपसारीश्रेढींकडे मात्र दुर्लक्ष झाले. पुढे अर्नेस्टो चेझारो, एमील बॉरेल, लिपॉटफेयेर यांनी एकोणिसाव्या शतकाच्या अखेरीस अपसारी श्रेढींचा अभ्यासही कितीमहत्त्वाचा आहे, हे दाखवून दिले. हेच कार्य पुढे सर गॉडफी हॅरल्ड हार्डी, जे. ई. लिट्लवुड यांनी विसाव्या शतकात चालू ठेवले. त्यांनी अपसारी श्रेणीचेदिलेल्या फलनाच्या अनंतवर्ती विस्ताराच्या दृष्टीने असलेले महत्त्वहीस्पष्ट केले. अशा विस्ताराच्या पहिल्या दोन-तीन पदांच्या बेरजेमुळेच फलनाचेजवळजवळ तंतोतंत मूल्य मिळते.

पहा : अवकलन व समाकलन अवकल समीकरणे पाय् (π) फलन फूर्ये श्रेढी बेर्नुली संख्या.

संदर्भ : 1. Bell, E. T. Development of Mathematics, 1945.  

             2. Gurjar, L. V. Ancient Indian Mathematics and Veda, Pune, 1947.  

            3. Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, 1964.   

            4. Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. II, Dover, 1953.

कस्तुरे, दा. य.

“